这个运动轨迹方程是什么？
这真是一个有趣的问题！要说清楚一个运动轨迹方程，就像要讲清楚一个故事一样，得有头有尾，有细节，还得让人听得懂，而不是一堆冷冰冰的数字。
想象一下，我们不是在解一道数学题，而是在描述一个物体在空间里怎么移动。这个“运动轨迹方程”其实就是那个“地图”或者“说明书”，它告诉我们，在任何一个时间点，这个物体会在哪里。
咱们就拿最常见也最容易理解的情况来说吧，就是物体在二维平面（比如一张纸上）的运动。我们通常会用两个变量来描述物体的位置：一个叫横坐标 (x)，一个叫纵坐标 (y)。它们就像是你在地图上找一个地点，需要经度和纬度一样，x和y就是这个物体在“运动平面”上的坐标。
而时间 (t)，就是故事的线索。物体的位置不是一成不变的，它会随着时间的变化而变化。所以，我们的运动轨迹方程就是要告诉我们：
在某个特定的时间点 t，物体在 x 方向上的位置是多少？
在同一个时间点 t，物体在 y 方向上的位置又是多少？
这样一来，我们就能知道在任何一个时刻，这个物体“坐落”在哪里了。
那么，这个“方程”具体是怎么长的呢？它其实就是把 x 的位置和你所知道的时间 t 联系起来，以及把 y 的位置和你所知道的时间 t 联系起来。
简单来说，你可以把运动轨迹方程写成这样：
x = f(t) （这里的 "f" 是一个函数，意思是 x 的值是由 t 的值决定的）
y = g(t) （这里的 "g" 也是一个函数，意思是 y 的值是由 t 的值决定的）
这两个方程合在一起，就构成了一个参数方程。你可以把它理解成：你给时间 t 一个值，然后代入这两个函数里，就能算出物体在那一刻对应的 x 和 y 坐标，也就知道了它的具体位置。
举个例子，让它更生动一些：
想象一个 小球被你水平抛出去。
我们知道：
初速度是水平的（假设方向是 x 轴正方向），大小是 $v_0$。
在竖直方向上，只有重力在起作用，所以会有一个向下的加速度，我们通常用 g 来表示，方向是 y 轴负方向。
现在，我们要看看这个小球的运动轨迹方程是什么。
1. 先看水平方向 (x 方向)：
小球在水平方向上没有受到任何阻碍（忽略空气阻力），所以它的速度一直是恒定的，就是那个初速度 $v_0$。
那么，在时间 t 的时候，它水平移动了多远呢？就像你一直以恒定的速度往前走，时间越长，走得越远。
所以，x 的位置 = 水平初速度 × 时间。
这就得到了第一个方程：
$x(t) = v_0 t$
2. 再看竖直方向 (y 方向)：
小球在竖直方向上是自由落体的，刚开始的时候速度是 0（因为是水平抛出）。在重力作用下，它的速度会越来越大，并且方向是向下的。
我们知道，在匀加速直线运动中，位移的计算公式是：位移 = 初速度 × 时间 + $frac{1}{2}$ × 加速度 × 时间²。
在这里，竖直方向的初速度是 0，加速度是 g（因为我们通常把向上设为正方向）。
所以，y 的位置 = 竖直初速度 × 时间 + $frac{1}{2}$ × 竖直加速度 × 时间²。
这就得到了第二个方程：
$y(t) = 0 imes t + frac{1}{2} imes (g) imes t^2 = frac{1}{2}gt^2$
好了，现在我们就有了一对描述小球运动的参数方程了：
$x(t) = v_0 t$
$y(t) = frac{1}{2}gt^2$
通过这对方程，你就可以算出小球在任何一个时间点的确切位置。比如，我想知道小球在抛出后 2 秒钟时在哪里？
代入 t=2：
$x(2) = v_0 imes 2 = 2v_0$
$y(2) = frac{1}{2}g imes 2^2 = frac{1}{2}g imes 4 = 2g$
所以，小球在 2 秒钟时，就在水平方向的 $2v_0$ 处，竖直方向的 2g 处。这就是它的运动轨迹上的一个点。
还有一个更有意思的说法：消去参数！
有时候，我们不希望用时间来描述轨迹，而是希望直接得到 x 和 y 之间的关系，也就是一个隐函数或者显函数。这就好像我们不用“地图说明书”了，而是直接把“这张纸本身”拿来研究。
怎么做呢？很简单，就是利用刚才那两个参数方程，把那个“参数”——也就是时间 t——给“消掉”。
还是拿抛小球的例子：
$x = v_0 t$
$y = frac{1}{2}gt^2$
从第一个方程，我们可以很容易地解出 t：
$t = frac{x}{v_0}$
然后，把这个 t 的表达式代入第二个方程：
$y = frac{1}{2}g imes (frac{x}{v_0})^2$
$y = frac{1}{2}g imes frac{x^2}{v_0^2}$
$y = frac{g}{2v_0^2} x^2$
看！这个方程 $y = frac{g}{2v_0^2} x^2$ 就 直接描述了 y 和 x 之间的关系。它告诉你，无论小球运动到哪里，它的 y 坐标总是和它的 x 坐标的平方成一个固定的比例关系。
这个方程的形状，你可能已经看出来了，它是一个抛物线！这就是为什么我们说小球的运动轨迹是抛物线的原因。
总结一下，一个运动轨迹方程，本质上就是在描述物体在不同时刻的位置。
它可能是用 时间作为参数 的 参数方程 （比如我们刚才看到的 $x(t)$ 和 $y(t)$），就像一张详细的“行程表”。
它也可能是在 消去时间参数后 得到的 x 和 y 之间的直接关系式，就像一张“地图轮廓线”。
不同的运动会有不同的轨迹方程。比如，匀速直线运动的轨迹是直线；圆周运动的轨迹是圆；而我们刚才看的抛射运动，轨迹就是抛物线。这些方程就像是这些运动的“身份证”，一眼就能认出来它是什么样的运动。
所以，运动轨迹方程不是什么神秘的东西，它就是用来“画出”物体运动路径的“指令”或者“蓝图”，让我们能够准确地知道物体在每一个瞬间都去了哪里。是不是比想象中要直观一些了？
想象一下，我们不是在解一道数学题，而是在描述一个物体在空间里怎么移动。这个“运动轨迹方程”其实就是那个“地图”或者“说明书”，它告诉我们，在任何一个时间点，这个物体会在哪里。
咱们就拿最常见也最容易理解的情况来说吧，就是物体在二维平面（比如一张纸上）的运动。我们通常会用两个变量来描述物体的位置：一个叫横坐标 (x)，一个叫纵坐标 (y)。它们就像是你在地图上找一个地点，需要经度和纬度一样，x和y就是这个物体在“运动平面”上的坐标。
而时间 (t)，就是故事的线索。物体的位置不是一成不变的，它会随着时间的变化而变化。所以，我们的运动轨迹方程就是要告诉我们：
在某个特定的时间点 t，物体在 x 方向上的位置是多少？
在同一个时间点 t，物体在 y 方向上的位置又是多少？
这样一来，我们就能知道在任何一个时刻，这个物体“坐落”在哪里了。
那么，这个“方程”具体是怎么长的呢？它其实就是把 x 的位置和你所知道的时间 t 联系起来，以及把 y 的位置和你所知道的时间 t 联系起来。
简单来说，你可以把运动轨迹方程写成这样：
x = f(t) （这里的 "f" 是一个函数，意思是 x 的值是由 t 的值决定的）
y = g(t) （这里的 "g" 也是一个函数，意思是 y 的值是由 t 的值决定的）
这两个方程合在一起，就构成了一个参数方程。你可以把它理解成：你给时间 t 一个值，然后代入这两个函数里，就能算出物体在那一刻对应的 x 和 y 坐标，也就知道了它的具体位置。
举个例子，让它更生动一些：
想象一个 小球被你水平抛出去。
我们知道：
初速度是水平的（假设方向是 x 轴正方向），大小是 $v_0$。
在竖直方向上，只有重力在起作用，所以会有一个向下的加速度，我们通常用 g 来表示，方向是 y 轴负方向。
现在，我们要看看这个小球的运动轨迹方程是什么。
1. 先看水平方向 (x 方向)：
小球在水平方向上没有受到任何阻碍（忽略空气阻力），所以它的速度一直是恒定的，就是那个初速度 $v_0$。
那么，在时间 t 的时候，它水平移动了多远呢？就像你一直以恒定的速度往前走，时间越长，走得越远。
所以，x 的位置 = 水平初速度 × 时间。
这就得到了第一个方程：
$x(t) = v_0 t$
2. 再看竖直方向 (y 方向)：
小球在竖直方向上是自由落体的，刚开始的时候速度是 0（因为是水平抛出）。在重力作用下，它的速度会越来越大，并且方向是向下的。
我们知道，在匀加速直线运动中，位移的计算公式是：位移 = 初速度 × 时间 + $frac{1}{2}$ × 加速度 × 时间²。
在这里，竖直方向的初速度是 0，加速度是 g（因为我们通常把向上设为正方向）。
所以，y 的位置 = 竖直初速度 × 时间 + $frac{1}{2}$ × 竖直加速度 × 时间²。
这就得到了第二个方程：
$y(t) = 0 imes t + frac{1}{2} imes (g) imes t^2 = frac{1}{2}gt^2$
好了，现在我们就有了一对描述小球运动的参数方程了：
$x(t) = v_0 t$
$y(t) = frac{1}{2}gt^2$
通过这对方程，你就可以算出小球在任何一个时间点的确切位置。比如，我想知道小球在抛出后 2 秒钟时在哪里？
代入 t=2：
$x(2) = v_0 imes 2 = 2v_0$
$y(2) = frac{1}{2}g imes 2^2 = frac{1}{2}g imes 4 = 2g$
所以，小球在 2 秒钟时，就在水平方向的 $2v_0$ 处，竖直方向的 2g 处。这就是它的运动轨迹上的一个点。
还有一个更有意思的说法：消去参数！
有时候，我们不希望用时间来描述轨迹，而是希望直接得到 x 和 y 之间的关系，也就是一个隐函数或者显函数。这就好像我们不用“地图说明书”了，而是直接把“这张纸本身”拿来研究。
怎么做呢？很简单，就是利用刚才那两个参数方程，把那个“参数”——也就是时间 t——给“消掉”。
还是拿抛小球的例子：
$x = v_0 t$
$y = frac{1}{2}gt^2$
从第一个方程，我们可以很容易地解出 t：
$t = frac{x}{v_0}$
然后，把这个 t 的表达式代入第二个方程：
$y = frac{1}{2}g imes (frac{x}{v_0})^2$
$y = frac{1}{2}g imes frac{x^2}{v_0^2}$
$y = frac{g}{2v_0^2} x^2$
看！这个方程 $y = frac{g}{2v_0^2} x^2$ 就 直接描述了 y 和 x 之间的关系。它告诉你，无论小球运动到哪里，它的 y 坐标总是和它的 x 坐标的平方成一个固定的比例关系。
这个方程的形状，你可能已经看出来了，它是一个抛物线！这就是为什么我们说小球的运动轨迹是抛物线的原因。
总结一下，一个运动轨迹方程，本质上就是在描述物体在不同时刻的位置。
它可能是用 时间作为参数 的 参数方程 （比如我们刚才看到的 $x(t)$ 和 $y(t)$），就像一张详细的“行程表”。
它也可能是在 消去时间参数后 得到的 x 和 y 之间的直接关系式，就像一张“地图轮廓线”。
不同的运动会有不同的轨迹方程。比如，匀速直线运动的轨迹是直线；圆周运动的轨迹是圆；而我们刚才看的抛射运动，轨迹就是抛物线。这些方程就像是这些运动的“身份证”，一眼就能认出来它是什么样的运动。
所以，运动轨迹方程不是什么神秘的东西，它就是用来“画出”物体运动路径的“指令”或者“蓝图”，让我们能够准确地知道物体在每一个瞬间都去了哪里。是不是比想象中要直观一些了？
网友意见
记 个点各自的矢径为 ，追逐速度为 ，那么根据题意有：
令 ，则上式化为：
可见当 已知时，即可由上述微分方程决定 ，进而决定 。三维空间中，每个矢径函数由3个标量函数构成，总共 个未知函数，正好可以由上述 个微分方程决定。只须知道每个点的初始位置即可求解，并不需要预先指定一个点的轨迹， @一半春休 的想法完全正确。
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