宇宙里面有这么多天体，为何我们仍然能够计算天体的运动轨道？

你这个问题问得非常实在！的确，宇宙浩瀚无垠，光是咱们银河系就有数千亿颗恒星，更别说还有数不清的星系、黑洞、行星、小行星等等。要在如此庞杂的天体海洋里，还能精准地算出行星的轨迹，甚至预测几百年后的位置，这本身就是一件了不起的事情。为什么我们做得到呢？这背后其实是一系列科学原理和人类智慧的结晶。

1. 万有引力定律：宇宙的指挥棒

说到底，天体的运动之所以有规律可循，最核心的原因就是万有引力定律。这是牛顿在17世纪提出的伟大发现，简洁而又普适。它告诉我们，宇宙中任何两个有质量的物体之间都存在一种相互吸引的力，这个力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

你可以想象一下，太阳是那么庞大，它周围的行星，像地球、火星、木星等等，都受到太阳巨大的引力拉扯。正是这种引力，就像一根无形的绳子，把行星“绑”在太阳周围，让它们沿着特定的轨道运动，而不是像断了线的风筝一样飞出去。

同样地，地球上的物体之所以会掉到地上，也是因为地球有质量，对我们产生了引力。月球绕着地球转，也是因为地球的引力。就连遥远的星系，它们内部的恒星也是在星系中心的那个超级大质量黑洞或者恒星聚集体的引力作用下运转。

2. 运动定律：牛顿力学构筑的框架

有了万有引力定律，我们还需要一套工具来描述和计算这种力如何影响物体的运动。这里就轮到牛顿的三大运动定律了：

第一定律（惯性定律）： 任何物体都要保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态。这就解释了为什么在没有外力的情况下，天体要么保持不动，要么以恒定的速度直线前进。
第二定律（加速度定律）： 物体的加速度与作用在它身上的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。简单说就是，力是改变物体运动状态的原因，力越大，改变越快。
第三定律（作用力与反作用力定律）： 每一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。这就保证了引力是相互的，太阳拉着地球，地球也同样拉着太阳，虽然太阳受到的拉力效应不那么明显。

这三条定律，再加上万有引力定律，就构成了我们能够计算天体运动的经典力学基础。

3. 数学和计算：把物理定律变成可操作的工具

光有定律还不够，我们还得把它们变成具体的计算方法。这就需要强大的数学工具。

微积分： 你可以想象一下，天体的位置和速度是不断变化的。牛顿当年发明微积分，很大程度上就是为了解决行星运动的问题。微积分可以让我们描述和计算这些连续变化的过程。比如，我们可以通过知道一个天体在某个时刻的位置和速度，然后根据万有引力定律计算出它受到的力，再通过运动定律计算出它下一时刻的速度和位置。这个过程可以不断重复，一步一步地“模拟”出天体的整个运动轨迹。
解析几何： 让我们能够用方程来描述物体的运动路径。比如，行星绕恒星的轨道，在理想情况下，会是椭圆形。我们可以用数学方程来精确地描述这个椭圆的形状、大小和方向。

通过微积分和解析几何，我们就能把万有引力定律和运动定律转化成一系列可以用计算机或手动计算的方程。

4. 观测技术的发展：获取数据的眼睛

要计算天体的运动，首先得知道它们现在的位置、速度和质量等等信息。这需要高精度的天文观测技术。

望远镜： 从伽利略的第一个天文望远镜开始，人类的观测能力就在不断提升。从地面到太空（哈勃望远镜、詹姆斯·韦伯空间望远镜），我们看到了越来越遥远、越来越微弱的天体，也获得了越来越精确的观测数据。
测距技术： 通过视差法、标准烛光（如造父变星、Ia型超新星）等方法，我们可以测量天体到我们的距离。
多普勒效应： 通过分析天体发出的光的谱线，我们可以知道天体相对于我们的运动速度（径向速度）。

有了这些观测数据，我们才能为牛顿力学的方程提供“输入”，然后计算出天体的未来状态。

5. 迭代和修正：让计算更精准

一开始，牛顿力学在描述太阳系行星运动时非常准确。但随着观测越来越精细，我们发现了一些小的偏差。最著名的例子就是水星的近日点进动。

水星的轨道并不是一个完美的椭圆，它的近日点（离太阳最近的点）会随着时间缓慢地移动。牛顿力学在考虑了太阳和其他行星（金星、地球、木星等）的引力影响后，计算出的进动值与实际观测值之间存在一个微小的差异。

这个问题直到爱因斯坦提出广义相对论才得到完美解释。广义相对论认为，引力不是一种“力”，而是由质量和能量引起的时空弯曲的表现。在强引力场（如太阳附近）或者高速运动时，经典力学就不再那么精确了，需要用相对论来修正。

这个例子说明，我们对天体运动的计算并非一成不变。随着观测技术的发展和理论的深入，我们不断地对模型进行迭代和修正，让我们的计算越来越接近真实情况。

总结一下，我们之所以能计算天体的运动轨道，是因为：

宇宙遵循着基本的物理定律，最核心的就是万有引力定律和牛顿运动定律。
数学工具（特别是微积分）为我们提供了描述和计算这些定律的方法。
不断发展的天文观测技术为我们提供了必要的输入数据。
我们能够通过理论的深化（如相对论）和计算的修正来不断提高精度。

所以，虽然宇宙中天体数量庞大且种类繁多，但只要它们受到引力作用，并且我们能获取到它们的初始状态信息，我们就能借助强大的理论和工具，描绘出它们在宇宙中的运行轨迹。这就像给一个复杂的机械装置设定好初始参数，然后让它按照预设的物理规律运行一样。这是一个美妙而又充满挑战的领域，人类在这条道路上从未停止探索的脚步。

网友意见

首先三体问题无解是指没有解析解，或者说不存在一劳永逸的一个简单的函数可以随便预测任何一个时间点的天体位置，这个叫做无解。

但是二体问题，例如俩质点围着转圈圈，这个我们可以得到一个函数，这个函数只要把时间代进去，你愿意算那一年的就可以算出哪一年的。

所以不管多少体的问题，只要你有足够的计算资源，你慢慢的一点点的从这个时间往后面推，做最笨的事情，你是可以预测后面的走势的。但是三体问题不仅仅是无解，而且是个混沌系统，这个才是最麻烦的地方，混沌系统的意思是，如果你的初始值偏差了一点点，那么这个误差会一直放大不会收敛。这就带来了三体问题的更麻烦的事情，因为一开始我们不可能精确的测量出天体的准确位置，然后这点儿误差会在计算过程中不断地放大，最终导致我们越往后推算就误差就越大，最终导致我们不可能预测太久之后的天体位置。

但是很显然的，虽然误差不会收敛，但是误差放大的速度不是无限的。所以，我们的确无法计算所有天体在任何时间点的精确的位置。但是，这不代表我们不能算出在限定时间范围内他们的大致位置。

这不止是因为遥远的天体的影响弱。题目中的所谓“三体运动无解”是误解。

三体问题是指三个质点仅在引力作用下的运动问题，庞加莱证明了三体问题不能用守恒量得到解析解，但那并不等于无解。1913 年，Sundman^[1]已经证明三体问题存在级数解，且在大多数情况下收敛——当然，收敛的速度很慢，但实际的天体系统根本不需要你给出遥远未来的预测。1990 年，Wang Qiudong^[2]将上述结论推广到多体问题。

“可数多个天体相互作用”只要给出质量、初始位置和速度，就是用 Verlet intergration^[3]进行计算的问题了，算得有多快取决于你有多少计算力，电子计算机就可以进行。你要算的天体多的话可以看看 @作大死的风子君 的回答：

历史上规划航天器在太阳系内的轨道、利用引力弹弓时，使用的计算机比你拿来看这个的计算设备还要慢：

现实中的半人马座阿尔法三星压根不存在什么三体问题。比邻星距离半人马座阿尔法 A 星和 B 星太远、质量也太小，对那两个恒星没有值得一提的影响，而那两个恒星的质量也不够让比邻星乱走。宇宙中真实存在的三恒星系统要么是三体问题的特解状态，要么随着时间将一个恒星扔出系统之外而变成单纯双星。比邻星现在就处于飞离该系统的轨道上。

讨论的系统规模越庞大，距离遥远的天体之间的作用就越微弱，天体的低速运动能带来的变化也需要越长的时间。银河盘的运动可以用简单的电磁场中旋转的等离子体来再现，没有必要列出千亿个星体之间的引力作用。

可观测宇宙中星体的数量是有限的，且绝大部分星体之间的影响都可以忽略，整个系统的运动规律在暗能量支配之下表现为宇宙的加速膨胀。

参考

1. ^ Sundman, Karl F. "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36.1 (1913): 105-179.
2. ^ Qiu-Dong, Wang. "The global solution of the n-body problem." Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 50.1 (1990): 73-88.
3. ^ 用于整合牛顿运动方程的数值方法。在分子动力学模拟和视频游戏中用来计算粒子的轨迹，具有比Euler方法更高的稳定性、时间可逆性、区域保留性。https://resources.saylor.org/wwwresources/archived/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-6.1.pdf

前排的 @赵泠 @作大死的风子君 都已经说得很好了。我想推荐一个让题主自己就可以试试上手预测太阳系（乃至任意的引力系统，只要你算力足够...）未来某一时刻中质点的轨道参数的软件包：

除了考虑可以优化计算速度，减少计算质点间相互作用的次数的算法之外，我们还需要考虑具体的数值解方程时的用的数值算法的精度。这里我们需要考虑我们正在考察的引力系统的性质：如果是一个行星系统的话，那行星们是否都大致呆在椭圆轨道上？如果是的话，那么每个行星的能量应该是大致守恒的（一般而言，比二体问题更复杂的三体问题乃至N体问题中，单个质点的能量并不是守恒的），我们可以考虑一种辛（symplectic）积分法^[1]，例如REBOUND中提供的WHFast^[2]，以尽量减少长期数值计算中的能量误差。

现在我们可以考虑另一种情况：行星们并不总是安分地呆在开普勒轨道上，行星系统可能是混沌的，以至于有发生行星碰撞的可能。如果我们的数值方法采用固定的步长（time-step），那么可能会出现的一个问题是：在我们的模拟中，由于时间是离散化的，上一帧两个行星还保持着一定距离，而下一帧它们已经互相“穿过去”了。而在连续时间的现实中，可能两颗行星已经撞在了一起。这时我们可以使用REBOUND中的IAS15^[3]积分法，它提供了所谓的自适应步长（adaptive time-step），可以根据行星之间的距离自己决定计算时采用的时间步长。当两颗行星非常接近时，例如一颗行星进入了另一颗行星的希尔球^[4]（Hill sphere，在这个球里行星的引力影响占主导，而非是行星围绕的恒星引力占主导）时，IAS15就会自动缩短时间步长以避免我们上面提到的“穿过去”的现象发生。

参考

1. ^Symplectic integrator, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_integrator
2. ^WHFast: A fast and unbiased implementation of a symplectic Wisdom-Holman integrator for long term gravitational simulations. https://arxiv.org/abs/1506.01084
3. ^IAS15: a fast, adaptive, high-order integrator for gravitational dynamics, accurate to machine precision over a billion orbits. https://arxiv.org/abs/1409.4779
4. ^Hill sphere, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere

我来补充一下 @赵泠 的回答吧，正好最近计算物理课期末作业在做一个相关的课题，不想看公式的可以直接跳过。

解多体问题的关键是解牛顿运动方程：

（1）

这一看就是个二阶微分方程，那咱们写成微分形式：

（2）

其中，加速度可以套万有引力加速度公式 （3）。

考虑到在N体系统中每一个物体都会受到N-1个物体共同的引力作用，加速度项就是上面等式（3）代入所有N-1个物体的质量和相对位置一个一个加起来。比方说某系统里面有 个天体，那么这就是其中物体 受到的引力加速度：

（4）

其中 这个项略掉，因为自己不可能跟自己相互作用。

公式部分完。

---

泠姐提到的Verlet Integration是一种针对牛顿运动方程快速求积分的算法，虽然稳定性和对计算资源的高效利用好过欧拉法，但只解决了计算等式（1）和（2）两个微分方程的问题。当系统内物体数量极其庞大时，即使演算时间很短，等式（4）还是会吃掉比（1）和（2）多得多的资源，因为这时等式4的计算量与物体总数的关系是 。如果是演算半人马座的三体系统，等式（４）要重复 遍，可是一百体系统呢？一千体？显然，光靠天文学家们收到的那亿点点经费去买更好的电脑来暴力解多体问题是不现实的，即使用电磁场内的等离子体来模拟，也许能做一些质性研究，但肯定做不到“只要给出质量、初始位置和速度”就能给出关于某个星系的量化结果。

那，要怎样才能把这 的计算量降下来呢？

首先，Barnes-Hut Simulation 表示，可以把这多体系统所在的空间不停地细分，立体的多体模拟咱就分成八份，平面的模拟就分成四份，像这样（空白方框略）：

直到每个方格里的物体数量小于等于事先规定的数量，而且每个方格里物体和方格重心相对目标的夹角不大于事先规定的角度。如果有方格违反了这两条规则，就继续四分它，分到不违反了为止。到这步，整个多体系统就被你近似成了一个个大小不一的单元格，计算万有引力作用的时候把整个单元格近似成一个大质量物体，总计算量和物体总数的关系就变成了 ，当N数值暴涨的时候O的增量会远远小于暴力排列组合。

数一数上图有多少根绿线，就可以清楚看到BH模拟强大的减负效果。每个目标点对应 个（近似）引力源，N个目标就需要 次运算，这就是BH模拟的点－格相互作用。

基于这个算法改进出的快速多极算法（Fast Multipole Method, FMM）甚至实现了 的运算量，也就是说模拟多体系统内万有引力作用所需的步骤跟物体总数呈线性增长，这种特性也是它名字里面“快速”的来源。因为FMM不在乎目标和引力源是点还是单元格，它可以把BH模拟的点－格相互作用变成了点－点、点－格、格－格三种相互作用的灵活结合：当一片区域集中了大量的点时，把这片区域近似成单元格；当一片区域只有一个点时，这片区域的重心就是那个点本身。快速多极算法曾被评为“20世纪十大算法”之一，从80年代被开发到现在，已经衍生出很多变种，都在天体物理学界发挥着非常重要的作用。

泠姐的回答稍微简化了一点，虽然在天体物理方面解广义上的三体问题确实没有什么用场，但解限制性三体问题是现在航天器任务规划很重要的一部分，尤其是像鹊桥、詹姆斯韦伯、火星探索这些任务，它们的轨道规划本身就是求限制性三体问题特解。格局再打开，研究球状星团的动力学问题、探究宇宙中大尺度纤维状结构和超星系团的成因，都需要模拟天文数字的星体之间的相互作用，在这种情况下，一种可以极大地减少计算资源和时间资源消耗的方法就显得尤其重要了。

三体运动，也就是三个质点的问题很早就可以解的。不过庞加莱证明了三体问题不能用守恒量得到解析解。怎么证明我也不懂，但是结果懂。

三个质点的运动，通常是用近似解。

这个方法经常运用到分子模型中，比如扯蛋模型。

计算这类用的积分法很烦。

Verlet积分法是一种用于积分牛顿方程的数值方法。在分子动力学模拟和视频中经常用于计算粒子的运动轨迹，在游戏的粒子系统中经常用到。跟欧拉方法相比，Verlet积分法提供了更健壮的计算方式，这在物理中很重要，比如积分面积保持特性等。

用欧拉积分简单地计算轨迹是很常见的。然而欧拉积分中有很多问题，这就不展开细讲。

Verlet法是用到了Størmer的计算粒子在磁场中运动的轨迹的方式(因此这个方法又叫Störmer的方法)，在1967年，法国物理学家Loup Verlet将这个方法运用到到分子动力计算中，后来有人以此运用到宇宙中的类似计算。

好上面的哔哔完了，下面开始扯蛋。

上面是真的扯蛋模型。别看着扯蛋好玩，但是上瘾。

比如模拟一个臭氧

输入 O1OO1 然后回车

然后出现臭氧的样子。

当然上面的演示由于在屏幕中心加了一个很强大的重力。上面的是无法模仿三体的方式。而且只能单点扯。

但是大体的意思是一样的。只要扯动了一边可以看到三者的运动。

另外别把三体太当真。

有计算机后，处理这种积分并不难，尤其有很多简化计算。

另外计算化学里有几个是得了诺奖的。就是运用了牛顿模型与量子模型之间的综合。

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