∫（1+2cosθ）/（5+4cosθ）dθ这个积分怎么求？
这道积分 ∫（1+2cosθ）/（5+4cosθ）dθ，看起来有点挑战性，但其实是个很经典的三角换元积分题。咱们一步一步把它拆解开来，就像剥洋葱一样，一层一层把它的本质给挖出来。
第一步：观察和化简
首先，我们看到被积函数是一个关于 cosθ 的有理函数。当遇到这种情况时，我们通常会考虑使用万能代换法，也就是令 $t = an( heta/2)$。这样做的好处是，它可以把所有的三角函数都转化为关于 $t$ 的有理函数，从而把积分转化为一个关于 $t$ 的有理分式积分，而这种积分我们是比较熟悉的。
我们先回忆一下万能代换的几个重要关系式：
$d heta = frac{2dt}{1+t^2}$
$cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$
$sin heta = frac{2t}{1+t^2}$
接下来，我们把这些关系式代入到我们的积分表达式中：
分子：$1 + 2cos heta = 1 + 2left(frac{1t^2}{1+t^2} ight) = frac{1+t^2 + 2(1t^2)}{1+t^2} = frac{1+t^2+22t^2}{1+t^2} = frac{3t^2}{1+t^2}$
分母：$5 + 4cos heta = 5 + 4left(frac{1t^2}{1+t^2} ight) = frac{5(1+t^2) + 4(1t^2)}{1+t^2} = frac{5+5t^2+44t^2}{1+t^2} = frac{9+t^2}{1+t^2}$
被积函数整体：$frac{1+2cos heta}{5+4cos heta} = frac{frac{3t^2}{1+t^2}}{frac{9+t^2}{1+t^2}} = frac{3t^2}{9+t^2}$
现在，整个积分就变成了关于 $t$ 的表达式了：
$int frac{3t^2}{9+t^2} cdot frac{2dt}{1+t^2}$
第二步：裂项（部分分式分解）
我们现在需要对 $frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)}$ 进行积分。为了方便计算，我们可以对被积函数进行裂项，也就是部分分式分解。
我们设：
$frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)} = frac{A}{1+t^2} + frac{Bt+C}{9+t^2}$
将右边通分：
$frac{A(9+t^2) + (Bt+C)(1+t^2)}{(1+t^2)(9+t^2)}$
所以我们有：
$2(3t^2) = A(9+t^2) + (Bt+C)(1+t^2)$
$62t^2 = 9A + At^2 + Bt + Bt^3 + C + Ct^2$
$62t^2 = Bt^3 + (A+C)t^2 + Bt + (9A+C)$
现在我们比较等式两边同次幂的系数：
$t^3$ 的系数：$0 = B$
$t^2$ 的系数：$2 = A+C$
$t$ 的系数：$0 = B$ (这和上面一致，可以放心)
常数项：$6 = 9A+C$
我们现在有关于 $A$ 和 $C$ 的两个方程：
1. $A+C = 2$
2. $9A+C = 6$
用第二个方程减去第一个方程：
$(9A+C) (A+C) = 6 (2)$
$8A = 8$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入第一个方程：
$1+C = 2$
$C = 3$
所以，我们的裂项结果是：
$frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)} = frac{1}{1+t^2} + frac{3}{9+t^2}$
第三步：积分计算
现在我们可以对分解后的表达式进行积分了：
$int left(frac{1}{1+t^2} frac{3}{9+t^2} ight) dt$
第一项的积分：
$int frac{1}{1+t^2} dt = arctan(t)$
第二项的积分：
$int frac{3}{9+t^2} dt = 3 int frac{1}{9+t^2} dt$
为了计算这个积分，我们可以提取公因数 9：
$3 int frac{1}{9(1 + t^2/9)} dt = frac{3}{9} int frac{1}{1 + (t/3)^2} dt = frac{1}{3} int frac{1}{1 + (t/3)^2} dt$
令 $u = t/3$，则 $du = (1/3)dt$，所以 $dt = 3du$。
$frac{1}{3} int frac{1}{1+u^2} (3du) = int frac{1}{1+u^2} du = arctan(u)$
将 $u = t/3$ 代回来：$arctan(t/3)$
所以，整个积分的结果（关于 $t$ 的）是：
$arctan(t) arctan(t/3) + C'$ (这里的 $C'$ 是积分常数)
第四步：换回原变量 $ heta$
最后一步，我们把 $t = an( heta/2)$ 代回去。
$arctan( an( heta/2)) arctan(frac{ an( heta/2)}{3}) + C'$
$arctan( an( heta/2))$ 就是 $ heta/2$ （在合适的范围内）。
所以最终的结果是：
$frac{ heta}{2} arctanleft(frac{ an( heta/2)}{3} ight) + C'$
整理一下思路和最终答案
整个过程可以概括为：
1. 万能代换： 将 $cos heta$ 和 $d heta$ 统一用 $t = an( heta/2)$ 来表示，把积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分。
2. 裂项： 对转化后的被积函数进行部分分式分解，使其成为更易于积分的形式。
3. 积分计算： 分别对分解后的各项进行积分，得到关于 $t$ 的结果。
4. 换元还原： 将 $t$ 换回 $ an( heta/2)$，得到关于 $ heta$ 的最终积分结果。
所以，最终的答案是：
$int frac{1+2cos heta}{5+4cos heta} d heta = frac{ heta}{2} arctanleft(frac{ an( heta/2)}{3} ight) + C$
记住，这其中涉及到的三角函数恒等变换和部分分式分解是关键。处理这类积分，一定要有耐心，一步一步来。
第一步：观察和化简
首先，我们看到被积函数是一个关于 cosθ 的有理函数。当遇到这种情况时，我们通常会考虑使用万能代换法，也就是令 $t = an( heta/2)$。这样做的好处是，它可以把所有的三角函数都转化为关于 $t$ 的有理函数，从而把积分转化为一个关于 $t$ 的有理分式积分，而这种积分我们是比较熟悉的。
我们先回忆一下万能代换的几个重要关系式：
$d heta = frac{2dt}{1+t^2}$
$cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$
$sin heta = frac{2t}{1+t^2}$
接下来，我们把这些关系式代入到我们的积分表达式中：
分子：$1 + 2cos heta = 1 + 2left(frac{1t^2}{1+t^2} ight) = frac{1+t^2 + 2(1t^2)}{1+t^2} = frac{1+t^2+22t^2}{1+t^2} = frac{3t^2}{1+t^2}$
分母：$5 + 4cos heta = 5 + 4left(frac{1t^2}{1+t^2} ight) = frac{5(1+t^2) + 4(1t^2)}{1+t^2} = frac{5+5t^2+44t^2}{1+t^2} = frac{9+t^2}{1+t^2}$
被积函数整体：$frac{1+2cos heta}{5+4cos heta} = frac{frac{3t^2}{1+t^2}}{frac{9+t^2}{1+t^2}} = frac{3t^2}{9+t^2}$
现在，整个积分就变成了关于 $t$ 的表达式了：
$int frac{3t^2}{9+t^2} cdot frac{2dt}{1+t^2}$
第二步：裂项（部分分式分解）
我们现在需要对 $frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)}$ 进行积分。为了方便计算，我们可以对被积函数进行裂项，也就是部分分式分解。
我们设：
$frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)} = frac{A}{1+t^2} + frac{Bt+C}{9+t^2}$
将右边通分：
$frac{A(9+t^2) + (Bt+C)(1+t^2)}{(1+t^2)(9+t^2)}$
所以我们有：
$2(3t^2) = A(9+t^2) + (Bt+C)(1+t^2)$
$62t^2 = 9A + At^2 + Bt + Bt^3 + C + Ct^2$
$62t^2 = Bt^3 + (A+C)t^2 + Bt + (9A+C)$
现在我们比较等式两边同次幂的系数：
$t^3$ 的系数：$0 = B$
$t^2$ 的系数：$2 = A+C$
$t$ 的系数：$0 = B$ (这和上面一致，可以放心)
常数项：$6 = 9A+C$
我们现在有关于 $A$ 和 $C$ 的两个方程：
1. $A+C = 2$
2. $9A+C = 6$
用第二个方程减去第一个方程：
$(9A+C) (A+C) = 6 (2)$
$8A = 8$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入第一个方程：
$1+C = 2$
$C = 3$
所以，我们的裂项结果是：
$frac{2(3t^2)}{(9+t^2)(1+t^2)} = frac{1}{1+t^2} + frac{3}{9+t^2}$
第三步：积分计算
现在我们可以对分解后的表达式进行积分了：
$int left(frac{1}{1+t^2} frac{3}{9+t^2} ight) dt$
第一项的积分：
$int frac{1}{1+t^2} dt = arctan(t)$
第二项的积分：
$int frac{3}{9+t^2} dt = 3 int frac{1}{9+t^2} dt$
为了计算这个积分，我们可以提取公因数 9：
$3 int frac{1}{9(1 + t^2/9)} dt = frac{3}{9} int frac{1}{1 + (t/3)^2} dt = frac{1}{3} int frac{1}{1 + (t/3)^2} dt$
令 $u = t/3$，则 $du = (1/3)dt$，所以 $dt = 3du$。
$frac{1}{3} int frac{1}{1+u^2} (3du) = int frac{1}{1+u^2} du = arctan(u)$
将 $u = t/3$ 代回来：$arctan(t/3)$
所以，整个积分的结果（关于 $t$ 的）是：
$arctan(t) arctan(t/3) + C'$ (这里的 $C'$ 是积分常数)
第四步：换回原变量 $ heta$
最后一步，我们把 $t = an( heta/2)$ 代回去。
$arctan( an( heta/2)) arctan(frac{ an( heta/2)}{3}) + C'$
$arctan( an( heta/2))$ 就是 $ heta/2$ （在合适的范围内）。
所以最终的结果是：
$frac{ heta}{2} arctanleft(frac{ an( heta/2)}{3} ight) + C'$
整理一下思路和最终答案
整个过程可以概括为：
1. 万能代换： 将 $cos heta$ 和 $d heta$ 统一用 $t = an( heta/2)$ 来表示，把积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分。
2. 裂项： 对转化后的被积函数进行部分分式分解，使其成为更易于积分的形式。
3. 积分计算： 分别对分解后的各项进行积分，得到关于 $t$ 的结果。
4. 换元还原： 将 $t$ 换回 $ an( heta/2)$，得到关于 $ heta$ 的最终积分结果。
所以，最终的答案是：
$int frac{1+2cos heta}{5+4cos heta} d heta = frac{ heta}{2} arctanleft(frac{ an( heta/2)}{3} ight) + C$
记住，这其中涉及到的三角函数恒等变换和部分分式分解是关键。处理这类积分，一定要有耐心，一步一步来。
网友意见
For the integral , use the Weierstrass substitution, then . Use partial fractions, then .
Both integral can be evaluated with the same method:
and
Therefore, . Substitute back , we obtain .
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