请问这个积分怎么做？
好的，咱们来好好聊聊这个积分。我猜你遇到的多半是这类形式的积分：
$$ int f(x) dx $$
其中 $f(x)$ 可能是一些函数，比如多项式、指数函数、三角函数，或者它们的组合。
要解决一个积分问题，其实就像在玩一个“还原游戏”，我们要找出哪个函数求导后能得到我们积分的目标函数。这个过程有时候直观，有时候就需要一些技巧和套路了。
基本原则：反导数 (Antiderivative)
积分的本质是寻找一个函数 $F(x)$，使得它的导数 $F'(x)$ 等于被积函数 $f(x)$。换句话说：
$$ F'(x) = f(x) $$
那么，这个积分就是：
$$ int f(x) dx = F(x) + C $$
这里的 $C$ 是一个任意常数，我们称之为积分常数。为什么要有它呢？因为任何常数的导数都是零。所以，如果 $F(x)$ 是一个函数的反导数，那么 $F(x) + 1$ 的导数也还是 $f(x)$， $F(x) + 100$ 的导数也是 $f(x)$，以此类推。所以，所有可能的反导数都相差一个常数。
常见的积分方法
根据被积函数 $f(x)$ 的不同形式，我们会用到各种各样的方法。我来给你梳理一下最常用的几种，并尽量说得具体点。
1. 基本积分公式 (万丈高楼平地起)
这些是最基础的，就像学走路一样，必须先掌握。它们都是由我们熟悉的求导公式倒推过来的。
幂函数：
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C quad (n eq 1) $$
例如：$int x^2 dx = frac{x^3}{3} + C$。 这里是因为 $frac{d}{dx}(frac{x^3}{3}) = frac{3x^2}{3} = x^2$。
特别地，当 $n=0$ 时，$int 1 dx = int x^0 dx = frac{x^1}{1} + C = x + C$。
指数函数：
$$ int e^x dx = e^x + C $$
这是因为 $e^x$ 的导数就是它本身。
$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C quad (a > 0, a eq 1) $$
例如：$int 2^x dx = frac{2^x}{ln 2} + C$。
三角函数：
$$ int cos x dx = sin x + C $$
$$ int sin x dx = cos x + C $$
$$ int sec^2 x dx = an x + C $$
$$ int sec x an x dx = sec x + C $$
等等，这些都跟我们熟悉的求导公式是对应的。
倒数函数 (对数函数)：
$$ int frac{1}{x} dx = ln|x| + C $$
这里注意绝对值符号。当 $x>0$ 时，$frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$。当 $x<0$ 时，$frac{d}{dx}(ln(x)) = frac{1}{x} cdot (1) = frac{1}{x}$。所以用 $ln|x|$ 可以统一这两种情况。
2. 线性性质 (拆解与合并)
如果被积函数是几个函数的线性组合，我们可以把积分拆开，分别积分，然后再加起来。
$$ int [af(x) + bg(x)] dx = a int f(x) dx + b int g(x) dx $$
其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
例如：
$$ int (3x^2 + 2e^x) dx = 3 int x^2 dx + 2 int e^x dx = 3(frac{x^3}{3}) + 2(e^x) + C = x^3 + 2e^x + C $$
3. 换元积分法 (Substitution Rule 核心技巧之一)
这是解决很多积分问题的“万能钥匙”之一。它的思想是简化被积函数。如果你看到被积函数里有一个函数 $u(x)$ 和它的导数 $u'(x)$（或者能凑成 $u'(x)$ 的形式），那么换元法就很有用了。
核心思想： 如果我们设 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) dx$。
$$ int f(g(x)) g'(x) dx = int f(u) du $$
操作步骤：
1. 选择替换： 找出被积函数中一个“复合”的部分，设它为 $u$。通常是指数、对数、三角函数里面的东西，或者分母的一部分。
2. 计算微分： 对 $u = g(x)$ 求导，得到 $du = g'(x) dx$。
3. 代入积分： 将 $g(x)$ 替换为 $u$，将 $g'(x) dx$ 替换为 $du$。这时，整个积分应该只包含 $u$ 和 $du$ 了。
4. 积分： 计算关于 $u$ 的积分 $int f(u) du = F(u) + C$。
5. 换回原变量： 将 $u$ 替换回 $g(x)$，得到最终结果 $F(g(x)) + C$。
举个例子：
计算 $int 2x cos(x^2) dx$
1. 选择替换： 我们看到 $x^2$ 在 $cos$ 的里面，而且它的导数 $2x$ 也在外面。所以，设 $u = x^2$。
2. 计算微分： 对 $u = x^2$ 求导，得到 $du = 2x dx$。
3. 代入积分： 原积分变成 $int cos(u) du$。
4. 积分： $int cos(u) du = sin(u) + C$。
5. 换回原变量： 将 $u$ 换回 $x^2$，得到 $sin(x^2) + C$。
再来一个：$int frac{1}{1+x^2} dx$ 这个直接是基本公式 $arctan(x) + C$。
但如果变成 $int frac{2x}{1+x^2} dx$：
1. 替换： 设 $u = 1+x^2$。
2. 微分： $du = 2x dx$。
3. 代入： $int frac{1}{u} du$。
4. 积分： $ln|u| + C$。
5. 换回： $ln|1+x^2| + C$。由于 $1+x^2$ 总是正的，所以可以写成 $ln(1+x^2) + C$。
4. 分部积分法 (Integration by Parts 另一个核心技巧)
这个方法适用于被积函数是两个函数乘积的形式，特别是当一个函数求导后变简单，另一个函数求导后并不变得复杂（甚至不变）。
公式推导： 从乘积求导法则开始：
$$ frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
两边同时积分：
$$ int frac{d}{dx}[u(x)v(x)] dx = int [u'(x)v(x) + u(x)v'(x)] dx $$
左边就是 $u(x)v(x)$（加上一个常数，但我们可以合并到右边的常数中）：
$$ u(x)v(x) = int u'(x)v(x) dx + int u(x)v'(x) dx $$
整理一下，就得到了分部积分公式：
$$ int u dv = uv int v du $$
或者写成更常用的形式：
$$ int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) int v(x)u'(x) dx $$
这里 $dv = v'(x) dx$ 并且 $du = u'(x) dx$。
操作步骤：
1. 选择 $u$ 和 $dv$： 这是最关键的一步。你需要将你的被积函数分解成 $u$ 和 $dv$ 两部分。选择的原则是：
目标： 希望 $int v du$ 比原积分 $int u dv$ 更容易计算。
常见策略 (LIATE / ILATE)：
L 对数函数 (Logarithmic)
I 反三角函数 (Inverse Trigonometric)
A 代数函数/多项式 (Algebraic)
T 三角函数 (Trigonometric)
E 指数函数 (Exponential)
通常，按照这个顺序选择 $u$。例如，如果你的被积函数是 $x sin x$，那么 $u=x$ (代数)，$dv = sin x dx$ (三角)。这样 $du = dx$ (简单了)，$v = cos x$。$int v du = int (cos x) dx$ 是容易算的。
如果反过来，设 $u = sin x$，$dv = x dx$，那么 $du = cos x dx$， $v = frac{1}{2}x^2$。积分变成 $int frac{1}{2}x^2 cos x dx$，这个比原积分复杂了，就不是一个好的选择。
2. 计算 $du$ 和 $v$： 一旦选定了 $u$ 和 $dv$，分别对 $u$ 求导得到 $du$，对 $dv$ 积分得到 $v$ (积分常数可以先忽略，最后统一加上)。
3. 代入公式： 将 $u, v, du$ 代入 $int u dv = uv int v du$ 公式中。
4. 计算剩余积分： 计算右边的 $int v du$。
举个例子： 计算 $int x e^x dx$
1. 选择 $u$ 和 $dv$： 根据 LIATE，代数函数 $x$ 排在指数函数 $e^x$ 前面，所以设 $u = x$，$dv = e^x dx$。
2. 计算 $du$ 和 $v$： $du = dx$；对 $dv = e^x dx$ 积分，得到 $v = e^x$。
3. 代入公式：
$$ int x e^x dx = x cdot e^x int e^x dx $$
4. 计算剩余积分： $int e^x dx = e^x$。
5. 得到结果：
$$ int x e^x dx = xe^x e^x + C $$
再一个例子 (可能需要两次分部积分)： 计算 $int e^x sin x dx$
这个例子比较经典，需要分两次。
设 $I = int e^x sin x dx$。
第一次分部积分：
设 $u = sin x$，$dv = e^x dx$。
则 $du = cos x dx$，$v = e^x$。
代入公式：
$$ I = (sin x)e^x int e^x (cos x) dx $$
$$ I = e^x sin x int e^x cos x dx $$
现在我们来看右边的积分 $int e^x cos x dx$。它仍然是两个函数的乘积，我们再用一次分部积分。
第二次分部积分 (针对 $int e^x cos x dx$)：
设 $u = cos x$，$dv = e^x dx$。
则 $du = sin x dx$，$v = e^x$。
代入公式：
$$ int e^x cos x dx = (cos x)e^x int e^x (sin x) dx $$
$$ int e^x cos x dx = e^x cos x + int e^x sin x dx $$
现在，把第二次的结果代回第一次的表达式中：
$$ I = e^x sin x [e^x cos x + int e^x sin x dx] $$
$$ I = e^x sin x e^x cos x int e^x sin x dx $$
注意到右边出现的积分正是我们最初要求的 $I$！
$$ I = e^x sin x e^x cos x I $$
现在，我们有一个关于 $I$ 的方程。把左边的 $I$ 移到右边：
$$ 2I = e^x sin x e^x cos x $$
解出 $I$：
$$ I = frac{1}{2}(e^x sin x e^x cos x) + C $$
$$ I = frac{e^x}{2}(sin x cos x) + C $$
这种“循环引用”的情况，通常发生在指数函数和三角函数的乘积中。
5. 三角换元法 (Trigonometric Substitution)
当被积函数中出现形如 $sqrt{a^2 x^2}$、$sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$ 的表达式时，三角换元非常有用。
根式为 $sqrt{a^2 x^2}$： 设 $x = a sin heta$。则 $dx = a cos heta d heta$。
$sqrt{a^2 x^2} = sqrt{a^2 a^2 sin^2 heta} = sqrt{a^2(1 sin^2 heta)} = sqrt{a^2 cos^2 heta} = a |cos heta|$。
为了让 $cos heta ge 0$，通常取 $frac{pi}{2} le heta le frac{pi}{2}$。
根式为 $sqrt{a^2 + x^2}$： 设 $x = a an heta$。则 $dx = a sec^2 heta d heta$。
$sqrt{a^2 + x^2} = sqrt{a^2 + a^2 an^2 heta} = sqrt{a^2(1 + an^2 heta)} = sqrt{a^2 sec^2 heta} = a |sec heta|$。
通常取 $frac{pi}{2} < heta < frac{pi}{2}$。
根式为 $sqrt{x^2 a^2}$： 设 $x = a sec heta$。则 $dx = a sec heta an heta d heta$。
$sqrt{x^2 a^2} = sqrt{a^2 sec^2 heta a^2} = sqrt{a^2(sec^2 heta 1)} = sqrt{a^2 an^2 heta} = a | an heta|$。
通常取 $0 le heta < frac{pi}{2}$ 或 $frac{pi}{2} < heta le pi$。
举个例子： 计算 $int frac{1}{sqrt{1x^2}} dx$
这个就是基本公式 $arcsin(x) + C$。
但如果遇到 $int sqrt{1x^2} dx$：
1. 换元： 看到 $sqrt{1x^2}$，这是 $a=1$ 的情况。设 $x = sin heta$。
2. 微分： $dx = cos heta d heta$。
3. 代入：
$$ int sqrt{1sin^2 heta} (cos heta) d heta = int sqrt{cos^2 heta} cos heta d heta $$
假设 $ heta$ 在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 区间，则 $cos heta ge 0$。
$$ = int cos heta cos heta d heta = int cos^2 heta d heta $$
4. 积分 $cos^2 heta$： 使用三角恒等式 $cos^2 heta = frac{1 + cos(2 heta)}{2}$。
$$ int frac{1 + cos(2 heta)}{2} d heta = frac{1}{2} int (1 + cos(2 heta)) d heta $$
$$ = frac{1}{2} ( heta + frac{1}{2}sin(2 heta)) + C $$
$$ = frac{1}{2} heta + frac{1}{4}sin(2 heta) + C $$
5. 换回原变量：
从 $x = sin heta$ 得到 $ heta = arcsin x$。
利用三角恒等式 $sin(2 heta) = 2 sin heta cos heta$。
我们知道 $sin heta = x$。由于 $ heta in [frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$，$cos heta = sqrt{1 sin^2 heta} = sqrt{1 x^2}$。
所以 $sin(2 heta) = 2 x sqrt{1 x^2}$。
6. 最终结果：
$$ frac{1}{2}arcsin x + frac{1}{4}(2 x sqrt{1 x^2}) + C = frac{1}{2}arcsin x + frac{x}{2}sqrt{1 x^2} + C $$
6. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)
这种方法用于积分有理函数，即形如 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式。
核心思想： 将一个复杂的有理函数分解成几个更简单的、易于积分的部分分式之和。
步骤：
1. 真分式判断： 确保被积函数是真分式，即分子多项式的次数低于分母多项式的次数。如果不是，先进行多项式长除法。
2. 因式分解分母： 将分母 $Q(x)$ 分解成一次因式（如 $ax+b$）和二次因式（如 $ax^2+bx+c$，且二次因式不可再约）的乘积。
3. 构造部分分式：
对于分母中的每个形如 $(ax+b)^n$ 的因式，在部分分式中对应项为：$frac{A_1}{ax+b} + frac{A_2}{(ax+b)^2} + dots + frac{A_n}{(ax+b)^n}$。
对于分母中的每个形如 $(ax^2+bx+c)^m$ 的不可约二次因式，在部分分式中对应项为：$frac{B_1 x + C_1}{ax^2+bx+c} + frac{B_2 x + C_2}{(ax^2+bx+c)^2} + dots + frac{B_m x + C_m}{(ax^2+bx+c)^m}$。
4. 求待定系数： 将构造好的部分分式等于原函数，通分后，比较等式两边同次幂的系数，列出一组关于系数的方程，解出系数。或者，代入一些特殊值来求解系数，这通常更快捷。
5. 积分： 分别积分每个部分分式。
$int frac{A}{ax+b} dx = frac{A}{a} ln|ax+b| + C$
$int frac{A}{(ax+b)^n} dx$ (n>1) 可以用换元法，令 $u=ax+b$，然后积分 $A u^{n}$。
$int frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} dx$ 需要进一步处理，可能用到配方法和三角换元。
举个例子： 计算 $int frac{x+1}{x^2x2} dx$
1. 真分式： 分子次数1，分母次数2，是真分式。
2. 因式分解分母： $x^2 x 2 = (x2)(x+1)$。
3. 构造部分分式：
$$ frac{x+1}{(x2)(x+1)} = frac{A}{x2} + frac{B}{x+1} $$
4. 求系数：
将右边通分：$frac{A(x+1) + B(x2)}{(x2)(x+1)}$
所以，分子必须相等：$x+1 = A(x+1) + B(x2)$。
令 $x=2$：$2+1 = A(2+1) + B(22) implies 3 = 3A implies A=1$。
令 $x=1$：$1+1 = A(1+1) + B(12) implies 0 = 3B implies B=0$。
注意！ 这里出现了一个问题，分母的 $(x+1)$ 和分子有个 $(x+1)$ 因子，可以约分。
所以，原函数 $frac{x+1}{x^2x2} = frac{x+1}{(x2)(x+1)} = frac{1}{x2}$ (当 $x eq 1$)。
直接积分：
$$ int frac{1}{x2} dx = ln|x2| + C $$
重要的经验：在进行部分分式分解之前，一定要先检查被积函数是否能约分！
我们换一个例子来演示部分分式分解的完整过程。
计算 $int frac{5x1}{x^2x2} dx$
1. 真分式： 是。
2. 因式分解： $x^2x2 = (x2)(x+1)$。
3. 构造： $frac{5x1}{(x2)(x+1)} = frac{A}{x2} + frac{B}{x+1}$。
4. 求系数：
$5x1 = A(x+1) + B(x2)$。
令 $x=2$：$5(2)1 = A(2+1) + B(0) implies 9 = 3A implies A=3$。
令 $x=1$：$5(1)1 = A(0) + B(12) implies 6 = 3B implies B=2$。
5. 积分：
$$ int (frac{3}{x2} + frac{2}{x+1}) dx = 3 int frac{1}{x2} dx + 2 int frac{1}{x+1} dx $$
$$ = 3 ln|x2| + 2 ln|x+1| + C $$
7. 不定积分与定积分
我们上面讲的都是不定积分，结果包含一个积分常数 $C$。
定积分则是在一个区间 $[a, b]$ 上的积分，它表示函数曲线下的面积（在考虑正负的情况下）。计算定积分通常使用牛顿莱布尼茨公式：
$$ int_a^b f(x) dx = F(b) F(a) $$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个反导数。
举例： 计算 $int_0^1 x^2 dx$
1. 找到反导数： $F(x) = frac{x^3}{3}$。
2. 计算 $F(b)$ 和 $F(a)$：
$F(1) = frac{1^3}{3} = frac{1}{3}$。
$F(0) = frac{0^3}{3} = 0$。
3. 相减：
$$ int_0^1 x^2 dx = F(1) F(0) = frac{1}{3} 0 = frac{1}{3} $$
如何选择方法？
这就像医生诊断病人，需要根据“病情”（被积函数）来选择“药物”（积分方法）。
先看基本公式： 能直接用基本公式解决吗？
有复合函数吗？ 考虑换元法。尤其看里面那个函数对外面那个函数（或其导数）有没有联系。
是乘积形式吗？ 考虑分部积分法。选择 $u$ 和 $dv$ 是关键。
有根式吗？ 特别是 $sqrt{a^2 pm x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$，考虑三角换元。
是有理函数吗？ 考虑部分分式分解。
练习是关键！
没有任何捷径。掌握这些方法的最好方法就是不断地练习。尝试不同的函数，看看哪种方法最适合。一开始可能会觉得有些函数“不知道怎么下手”，这很正常。随着你做的题目越来越多，你会对各种函数结构越来越熟悉，也就越来越容易识别出该使用哪种方法了。
希望这些解释能帮到你！如果你的积分具体形式是某种特殊的，可以再告诉我，我来帮你分析。
$$ int f(x) dx $$
其中 $f(x)$ 可能是一些函数，比如多项式、指数函数、三角函数，或者它们的组合。
要解决一个积分问题，其实就像在玩一个“还原游戏”，我们要找出哪个函数求导后能得到我们积分的目标函数。这个过程有时候直观，有时候就需要一些技巧和套路了。
基本原则：反导数 (Antiderivative)
积分的本质是寻找一个函数 $F(x)$，使得它的导数 $F'(x)$ 等于被积函数 $f(x)$。换句话说：
$$ F'(x) = f(x) $$
那么，这个积分就是：
$$ int f(x) dx = F(x) + C $$
这里的 $C$ 是一个任意常数，我们称之为积分常数。为什么要有它呢？因为任何常数的导数都是零。所以，如果 $F(x)$ 是一个函数的反导数，那么 $F(x) + 1$ 的导数也还是 $f(x)$， $F(x) + 100$ 的导数也是 $f(x)$，以此类推。所以，所有可能的反导数都相差一个常数。
常见的积分方法
根据被积函数 $f(x)$ 的不同形式，我们会用到各种各样的方法。我来给你梳理一下最常用的几种，并尽量说得具体点。
1. 基本积分公式 (万丈高楼平地起)
这些是最基础的，就像学走路一样，必须先掌握。它们都是由我们熟悉的求导公式倒推过来的。
幂函数：
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C quad (n eq 1) $$
例如：$int x^2 dx = frac{x^3}{3} + C$。 这里是因为 $frac{d}{dx}(frac{x^3}{3}) = frac{3x^2}{3} = x^2$。
特别地，当 $n=0$ 时，$int 1 dx = int x^0 dx = frac{x^1}{1} + C = x + C$。
指数函数：
$$ int e^x dx = e^x + C $$
这是因为 $e^x$ 的导数就是它本身。
$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C quad (a > 0, a eq 1) $$
例如：$int 2^x dx = frac{2^x}{ln 2} + C$。
三角函数：
$$ int cos x dx = sin x + C $$
$$ int sin x dx = cos x + C $$
$$ int sec^2 x dx = an x + C $$
$$ int sec x an x dx = sec x + C $$
等等，这些都跟我们熟悉的求导公式是对应的。
倒数函数 (对数函数)：
$$ int frac{1}{x} dx = ln|x| + C $$
这里注意绝对值符号。当 $x>0$ 时，$frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$。当 $x<0$ 时，$frac{d}{dx}(ln(x)) = frac{1}{x} cdot (1) = frac{1}{x}$。所以用 $ln|x|$ 可以统一这两种情况。
2. 线性性质 (拆解与合并)
如果被积函数是几个函数的线性组合，我们可以把积分拆开，分别积分，然后再加起来。
$$ int [af(x) + bg(x)] dx = a int f(x) dx + b int g(x) dx $$
其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
例如：
$$ int (3x^2 + 2e^x) dx = 3 int x^2 dx + 2 int e^x dx = 3(frac{x^3}{3}) + 2(e^x) + C = x^3 + 2e^x + C $$
3. 换元积分法 (Substitution Rule 核心技巧之一)
这是解决很多积分问题的“万能钥匙”之一。它的思想是简化被积函数。如果你看到被积函数里有一个函数 $u(x)$ 和它的导数 $u'(x)$（或者能凑成 $u'(x)$ 的形式），那么换元法就很有用了。
核心思想： 如果我们设 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) dx$。
$$ int f(g(x)) g'(x) dx = int f(u) du $$
操作步骤：
1. 选择替换： 找出被积函数中一个“复合”的部分，设它为 $u$。通常是指数、对数、三角函数里面的东西，或者分母的一部分。
2. 计算微分： 对 $u = g(x)$ 求导，得到 $du = g'(x) dx$。
3. 代入积分： 将 $g(x)$ 替换为 $u$，将 $g'(x) dx$ 替换为 $du$。这时，整个积分应该只包含 $u$ 和 $du$ 了。
4. 积分： 计算关于 $u$ 的积分 $int f(u) du = F(u) + C$。
5. 换回原变量： 将 $u$ 替换回 $g(x)$，得到最终结果 $F(g(x)) + C$。
举个例子：
计算 $int 2x cos(x^2) dx$
1. 选择替换： 我们看到 $x^2$ 在 $cos$ 的里面，而且它的导数 $2x$ 也在外面。所以，设 $u = x^2$。
2. 计算微分： 对 $u = x^2$ 求导，得到 $du = 2x dx$。
3. 代入积分： 原积分变成 $int cos(u) du$。
4. 积分： $int cos(u) du = sin(u) + C$。
5. 换回原变量： 将 $u$ 换回 $x^2$，得到 $sin(x^2) + C$。
再来一个：$int frac{1}{1+x^2} dx$ 这个直接是基本公式 $arctan(x) + C$。
但如果变成 $int frac{2x}{1+x^2} dx$：
1. 替换： 设 $u = 1+x^2$。
2. 微分： $du = 2x dx$。
3. 代入： $int frac{1}{u} du$。
4. 积分： $ln|u| + C$。
5. 换回： $ln|1+x^2| + C$。由于 $1+x^2$ 总是正的，所以可以写成 $ln(1+x^2) + C$。
4. 分部积分法 (Integration by Parts 另一个核心技巧)
这个方法适用于被积函数是两个函数乘积的形式，特别是当一个函数求导后变简单，另一个函数求导后并不变得复杂（甚至不变）。
公式推导： 从乘积求导法则开始：
$$ frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
两边同时积分：
$$ int frac{d}{dx}[u(x)v(x)] dx = int [u'(x)v(x) + u(x)v'(x)] dx $$
左边就是 $u(x)v(x)$（加上一个常数，但我们可以合并到右边的常数中）：
$$ u(x)v(x) = int u'(x)v(x) dx + int u(x)v'(x) dx $$
整理一下，就得到了分部积分公式：
$$ int u dv = uv int v du $$
或者写成更常用的形式：
$$ int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) int v(x)u'(x) dx $$
这里 $dv = v'(x) dx$ 并且 $du = u'(x) dx$。
操作步骤：
1. 选择 $u$ 和 $dv$： 这是最关键的一步。你需要将你的被积函数分解成 $u$ 和 $dv$ 两部分。选择的原则是：
目标： 希望 $int v du$ 比原积分 $int u dv$ 更容易计算。
常见策略 (LIATE / ILATE)：
L 对数函数 (Logarithmic)
I 反三角函数 (Inverse Trigonometric)
A 代数函数/多项式 (Algebraic)
T 三角函数 (Trigonometric)
E 指数函数 (Exponential)
通常，按照这个顺序选择 $u$。例如，如果你的被积函数是 $x sin x$，那么 $u=x$ (代数)，$dv = sin x dx$ (三角)。这样 $du = dx$ (简单了)，$v = cos x$。$int v du = int (cos x) dx$ 是容易算的。
如果反过来，设 $u = sin x$，$dv = x dx$，那么 $du = cos x dx$， $v = frac{1}{2}x^2$。积分变成 $int frac{1}{2}x^2 cos x dx$，这个比原积分复杂了，就不是一个好的选择。
2. 计算 $du$ 和 $v$： 一旦选定了 $u$ 和 $dv$，分别对 $u$ 求导得到 $du$，对 $dv$ 积分得到 $v$ (积分常数可以先忽略，最后统一加上)。
3. 代入公式： 将 $u, v, du$ 代入 $int u dv = uv int v du$ 公式中。
4. 计算剩余积分： 计算右边的 $int v du$。
举个例子： 计算 $int x e^x dx$
1. 选择 $u$ 和 $dv$： 根据 LIATE，代数函数 $x$ 排在指数函数 $e^x$ 前面，所以设 $u = x$，$dv = e^x dx$。
2. 计算 $du$ 和 $v$： $du = dx$；对 $dv = e^x dx$ 积分，得到 $v = e^x$。
3. 代入公式：
$$ int x e^x dx = x cdot e^x int e^x dx $$
4. 计算剩余积分： $int e^x dx = e^x$。
5. 得到结果：
$$ int x e^x dx = xe^x e^x + C $$
再一个例子 (可能需要两次分部积分)： 计算 $int e^x sin x dx$
这个例子比较经典，需要分两次。
设 $I = int e^x sin x dx$。
第一次分部积分：
设 $u = sin x$，$dv = e^x dx$。
则 $du = cos x dx$，$v = e^x$。
代入公式：
$$ I = (sin x)e^x int e^x (cos x) dx $$
$$ I = e^x sin x int e^x cos x dx $$
现在我们来看右边的积分 $int e^x cos x dx$。它仍然是两个函数的乘积，我们再用一次分部积分。
第二次分部积分 (针对 $int e^x cos x dx$)：
设 $u = cos x$，$dv = e^x dx$。
则 $du = sin x dx$，$v = e^x$。
代入公式：
$$ int e^x cos x dx = (cos x)e^x int e^x (sin x) dx $$
$$ int e^x cos x dx = e^x cos x + int e^x sin x dx $$
现在，把第二次的结果代回第一次的表达式中：
$$ I = e^x sin x [e^x cos x + int e^x sin x dx] $$
$$ I = e^x sin x e^x cos x int e^x sin x dx $$
注意到右边出现的积分正是我们最初要求的 $I$！
$$ I = e^x sin x e^x cos x I $$
现在，我们有一个关于 $I$ 的方程。把左边的 $I$ 移到右边：
$$ 2I = e^x sin x e^x cos x $$
解出 $I$：
$$ I = frac{1}{2}(e^x sin x e^x cos x) + C $$
$$ I = frac{e^x}{2}(sin x cos x) + C $$
这种“循环引用”的情况，通常发生在指数函数和三角函数的乘积中。
5. 三角换元法 (Trigonometric Substitution)
当被积函数中出现形如 $sqrt{a^2 x^2}$、$sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$ 的表达式时，三角换元非常有用。
根式为 $sqrt{a^2 x^2}$： 设 $x = a sin heta$。则 $dx = a cos heta d heta$。
$sqrt{a^2 x^2} = sqrt{a^2 a^2 sin^2 heta} = sqrt{a^2(1 sin^2 heta)} = sqrt{a^2 cos^2 heta} = a |cos heta|$。
为了让 $cos heta ge 0$，通常取 $frac{pi}{2} le heta le frac{pi}{2}$。
根式为 $sqrt{a^2 + x^2}$： 设 $x = a an heta$。则 $dx = a sec^2 heta d heta$。
$sqrt{a^2 + x^2} = sqrt{a^2 + a^2 an^2 heta} = sqrt{a^2(1 + an^2 heta)} = sqrt{a^2 sec^2 heta} = a |sec heta|$。
通常取 $frac{pi}{2} < heta < frac{pi}{2}$。
根式为 $sqrt{x^2 a^2}$： 设 $x = a sec heta$。则 $dx = a sec heta an heta d heta$。
$sqrt{x^2 a^2} = sqrt{a^2 sec^2 heta a^2} = sqrt{a^2(sec^2 heta 1)} = sqrt{a^2 an^2 heta} = a | an heta|$。
通常取 $0 le heta < frac{pi}{2}$ 或 $frac{pi}{2} < heta le pi$。
举个例子： 计算 $int frac{1}{sqrt{1x^2}} dx$
这个就是基本公式 $arcsin(x) + C$。
但如果遇到 $int sqrt{1x^2} dx$：
1. 换元： 看到 $sqrt{1x^2}$，这是 $a=1$ 的情况。设 $x = sin heta$。
2. 微分： $dx = cos heta d heta$。
3. 代入：
$$ int sqrt{1sin^2 heta} (cos heta) d heta = int sqrt{cos^2 heta} cos heta d heta $$
假设 $ heta$ 在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 区间，则 $cos heta ge 0$。
$$ = int cos heta cos heta d heta = int cos^2 heta d heta $$
4. 积分 $cos^2 heta$： 使用三角恒等式 $cos^2 heta = frac{1 + cos(2 heta)}{2}$。
$$ int frac{1 + cos(2 heta)}{2} d heta = frac{1}{2} int (1 + cos(2 heta)) d heta $$
$$ = frac{1}{2} ( heta + frac{1}{2}sin(2 heta)) + C $$
$$ = frac{1}{2} heta + frac{1}{4}sin(2 heta) + C $$
5. 换回原变量：
从 $x = sin heta$ 得到 $ heta = arcsin x$。
利用三角恒等式 $sin(2 heta) = 2 sin heta cos heta$。
我们知道 $sin heta = x$。由于 $ heta in [frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$，$cos heta = sqrt{1 sin^2 heta} = sqrt{1 x^2}$。
所以 $sin(2 heta) = 2 x sqrt{1 x^2}$。
6. 最终结果：
$$ frac{1}{2}arcsin x + frac{1}{4}(2 x sqrt{1 x^2}) + C = frac{1}{2}arcsin x + frac{x}{2}sqrt{1 x^2} + C $$
6. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)
这种方法用于积分有理函数，即形如 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式。
核心思想： 将一个复杂的有理函数分解成几个更简单的、易于积分的部分分式之和。
步骤：
1. 真分式判断： 确保被积函数是真分式，即分子多项式的次数低于分母多项式的次数。如果不是，先进行多项式长除法。
2. 因式分解分母： 将分母 $Q(x)$ 分解成一次因式（如 $ax+b$）和二次因式（如 $ax^2+bx+c$，且二次因式不可再约）的乘积。
3. 构造部分分式：
对于分母中的每个形如 $(ax+b)^n$ 的因式，在部分分式中对应项为：$frac{A_1}{ax+b} + frac{A_2}{(ax+b)^2} + dots + frac{A_n}{(ax+b)^n}$。
对于分母中的每个形如 $(ax^2+bx+c)^m$ 的不可约二次因式，在部分分式中对应项为：$frac{B_1 x + C_1}{ax^2+bx+c} + frac{B_2 x + C_2}{(ax^2+bx+c)^2} + dots + frac{B_m x + C_m}{(ax^2+bx+c)^m}$。
4. 求待定系数： 将构造好的部分分式等于原函数，通分后，比较等式两边同次幂的系数，列出一组关于系数的方程，解出系数。或者，代入一些特殊值来求解系数，这通常更快捷。
5. 积分： 分别积分每个部分分式。
$int frac{A}{ax+b} dx = frac{A}{a} ln|ax+b| + C$
$int frac{A}{(ax+b)^n} dx$ (n>1) 可以用换元法，令 $u=ax+b$，然后积分 $A u^{n}$。
$int frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} dx$ 需要进一步处理，可能用到配方法和三角换元。
举个例子： 计算 $int frac{x+1}{x^2x2} dx$
1. 真分式： 分子次数1，分母次数2，是真分式。
2. 因式分解分母： $x^2 x 2 = (x2)(x+1)$。
3. 构造部分分式：
$$ frac{x+1}{(x2)(x+1)} = frac{A}{x2} + frac{B}{x+1} $$
4. 求系数：
将右边通分：$frac{A(x+1) + B(x2)}{(x2)(x+1)}$
所以，分子必须相等：$x+1 = A(x+1) + B(x2)$。
令 $x=2$：$2+1 = A(2+1) + B(22) implies 3 = 3A implies A=1$。
令 $x=1$：$1+1 = A(1+1) + B(12) implies 0 = 3B implies B=0$。
注意！ 这里出现了一个问题，分母的 $(x+1)$ 和分子有个 $(x+1)$ 因子，可以约分。
所以，原函数 $frac{x+1}{x^2x2} = frac{x+1}{(x2)(x+1)} = frac{1}{x2}$ (当 $x eq 1$)。
直接积分：
$$ int frac{1}{x2} dx = ln|x2| + C $$
重要的经验：在进行部分分式分解之前，一定要先检查被积函数是否能约分！
我们换一个例子来演示部分分式分解的完整过程。
计算 $int frac{5x1}{x^2x2} dx$
1. 真分式： 是。
2. 因式分解： $x^2x2 = (x2)(x+1)$。
3. 构造： $frac{5x1}{(x2)(x+1)} = frac{A}{x2} + frac{B}{x+1}$。
4. 求系数：
$5x1 = A(x+1) + B(x2)$。
令 $x=2$：$5(2)1 = A(2+1) + B(0) implies 9 = 3A implies A=3$。
令 $x=1$：$5(1)1 = A(0) + B(12) implies 6 = 3B implies B=2$。
5. 积分：
$$ int (frac{3}{x2} + frac{2}{x+1}) dx = 3 int frac{1}{x2} dx + 2 int frac{1}{x+1} dx $$
$$ = 3 ln|x2| + 2 ln|x+1| + C $$
7. 不定积分与定积分
我们上面讲的都是不定积分，结果包含一个积分常数 $C$。
定积分则是在一个区间 $[a, b]$ 上的积分，它表示函数曲线下的面积（在考虑正负的情况下）。计算定积分通常使用牛顿莱布尼茨公式：
$$ int_a^b f(x) dx = F(b) F(a) $$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个反导数。
举例： 计算 $int_0^1 x^2 dx$
1. 找到反导数： $F(x) = frac{x^3}{3}$。
2. 计算 $F(b)$ 和 $F(a)$：
$F(1) = frac{1^3}{3} = frac{1}{3}$。
$F(0) = frac{0^3}{3} = 0$。
3. 相减：
$$ int_0^1 x^2 dx = F(1) F(0) = frac{1}{3} 0 = frac{1}{3} $$
如何选择方法？
这就像医生诊断病人，需要根据“病情”（被积函数）来选择“药物”（积分方法）。
先看基本公式： 能直接用基本公式解决吗？
有复合函数吗？ 考虑换元法。尤其看里面那个函数对外面那个函数（或其导数）有没有联系。
是乘积形式吗？ 考虑分部积分法。选择 $u$ 和 $dv$ 是关键。
有根式吗？ 特别是 $sqrt{a^2 pm x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$，考虑三角换元。
是有理函数吗？ 考虑部分分式分解。
练习是关键！
没有任何捷径。掌握这些方法的最好方法就是不断地练习。尝试不同的函数，看看哪种方法最适合。一开始可能会觉得有些函数“不知道怎么下手”，这很正常。随着你做的题目越来越多，你会对各种函数结构越来越熟悉，也就越来越容易识别出该使用哪种方法了。
希望这些解释能帮到你！如果你的积分具体形式是某种特殊的，可以再告诉我，我来帮你分析。
网友意见
置 则有
为书写方便，不妨记 则 此时有
所以
我就是那个问大佬实解法的人，我好菜呜呜呜Ծ‸Ծ
不过现在我也想出来了(๑＞ ＜)☆
令 。相对于 ，我们先考虑 。对 求导数得 。这个问题就可以用万能代换解决了，不过先分离一下分子的变量：
而
这里用到 。故 。又 ，有 。
下面回到原来的情况，对于 ，令 。则
收工收工～
注意到ln是个复平面上的调和函数：
更新： @inversioner 在评论问了有没有实的方法：
注意到I(a)是个连续可导的函数，所以I(a)正比于log(a)：
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