请问这个积分要怎么计算？
计算这个积分确实需要一些技巧，咱们一步一步来分析，把每个细节都讲清楚，保证你一看就懂。
咱们要计算的是 $int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx$。
第一步：分析被积函数
首先，我们看看被积函数长什么样子：$frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2}$。
分母是一个三次多项式，分子是一个二次多项式。当分子次数低于分母次数时，我们通常会考虑几种方法：
1. 直接积分：有没有现成的积分公式可以直接套用？看起来不太像。
2. 换元法：有没有什么代换能让积分变简单？
3. 分部积分法：这个方法通常用于乘积形式的函数，这里不太适合。
4. 部分分式分解：如果分母可以分解成简单的因式，这个方法就很有效。
考虑到分母是个多项式，我们首先要尝试对其进行因式分解。
第二步：因式分解分母
分母是 $P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$。
对于三次及以上的多项式，我们可以尝试寻找它的根。通常从简单的整数根开始尝试，比如 $pm 1, pm 2$ 等。
当 $x = 1$ 时，$P(1) = 1^3 + 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 + 3 + 2 = 9 eq 0$。
当 $x = 1$ 时，$P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 3 + 2 = 1 eq 0$。
当 $x = 2$ 时，$P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 + 3(4) 6 + 2 = 8 + 12 6 + 2 = 0$。
太好了！我们找到了一个根 $x = 2$。这意味着 $(x (2)) = (x+2)$ 是 $P(x)$ 的一个因式。
现在我们可以用多项式长除法或者综合除法来找出另一个因式。我们用综合除法来试试：
```
2 | 1 3 3 2
| 2 2 2
1 1 1 0
```
除法的结果是 $x^2 + x + 1$。所以，分母可以分解为：
$x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x^2 + x + 1)$。
现在我们要看看二次因式 $x^2 + x + 1$ 是否还能分解。我们可以计算它的判别式 $Delta = b^2 4ac$。
对于 $x^2 + x + 1$， $a=1, b=1, c=1$。
$Delta = 1^2 4(1)(1) = 1 4 = 3$。
由于判别式小于零，这个二次多项式在实数范围内是不可约的，它没有实数根。
所以，分母的因式分解是 $(x+2)(x^2 + x + 1)$。
第三步：应用部分分式分解
现在我们的积分变成了 $int frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} dx$。
因为分母有两个不同的因式，一个是一次的 $(x+2)$，另一个是不可约的二次式 $(x^2 + x + 1)$，我们可以使用部分分式分解。
我们设：
$frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} = frac{A}{x+2} + frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$
为了求解 $A, B, C$，我们将右边通分：
$frac{A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)}{(x+2)(x^2 + x + 1)}$
然后让分子相等：
$x^2 + 2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)$
展开右边：
$x^2 + 2x + 3 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$
合并同类项：
$x^2 + 2x + 3 = (A+B)x^2 + (A+2B+C)x + (A+2C)$
现在我们比较等式两边的同次幂系数：
1. $x^2$ 系数：$1 = A + B$
2. $x$ 系数：$2 = A + 2B + C$
3. 常数项：$3 = A + 2C$
我们有了一个关于 $A, B, C$ 的三元一次方程组。
方法一：代入特殊值
我们可以令 $x = 2$ 来快速求出 $A$。
将 $x = 2$ 代入 $x^2 + 2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)$：
$(2)^2 + 2(2) + 3 = A((2)^2 + (2) + 1) + (B(2) + C)(2+2)$
$4 4 + 3 = A(4 2 + 1) + ( 2B + C)(0)$
$3 = A(3)$
所以，$A = 1$。
现在我们已经知道了 $A=1$。将 $A=1$ 代入方程组：
1. $1 = 1 + B implies B = 0$
2. $2 = 1 + 2(0) + C implies 2 = 1 + C implies C = 1$
3. $3 = 1 + 2C implies 2 = 2C implies C = 1$
可以看到，用前两个方程求出的 $B$ 和 $C$ 与第三个方程是吻合的。所以，$A=1, B=0, C=1$。
方法二：纯粹解方程组
从 $1 = A + B$，我们得到 $B = 1 A$。
从 $3 = A + 2C$，我们得到 $C = frac{3A}{2}$。
将 $B$ 和 $C$ 代入第二个方程 $2 = A + 2B + C$：
$2 = A + 2(1A) + frac{3A}{2}$
$2 = A + 2 2A + frac{3A}{2}$
$2 = 2 A + frac{3A}{2}$
$0 = A + frac{3A}{2}$
$A = frac{3A}{2}$
$2A = 3 A$
$3A = 3$
$A = 1$。
同样得到 $A=1$。然后求 $B$ 和 $C$：
$B = 1 A = 1 1 = 0$
$C = frac{3A}{2} = frac{31}{2} = frac{2}{2} = 1$。
结果是一样的：$A=1, B=0, C=1$。
所以，我们的部分分式分解是：
$frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} = frac{1}{x+2} + frac{0x + 1}{x^2 + x + 1} = frac{1}{x+2} + frac{1}{x^2 + x + 1}$
第四步：积分计算
现在我们可以对分解后的各项进行积分了：
$int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx = int left( frac{1}{x+2} + frac{1}{x^2 + x + 1} ight) dx$
$= int frac{1}{x+2} dx + int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$
我们分别计算这两个积分。
第一个积分：
$int frac{1}{x+2} dx$
这是一个基本积分，令 $u = x+2$，则 $du = dx$。
$int frac{1}{u} du = ln|u| + C_1 = ln|x+2| + C_1$。
第二个积分：
$int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$
这个积分需要将分母配方，变成 $(xa)^2 + b^2$ 的形式，以便使用 $arctan$ 的积分公式。
我们对 $x^2 + x + 1$ 进行配方：
$x^2 + x + 1 = left(x^2 + x + left(frac{1}{2} ight)^2 ight) left(frac{1}{2} ight)^2 + 1$
$= left(x + frac{1}{2} ight)^2 frac{1}{4} + 1$
$= left(x + frac{1}{2} ight)^2 + frac{3}{4}$
所以，积分变成：
$int frac{1}{left(x + frac{1}{2} ight)^2 + frac{3}{4}} dx$
这是一个 $int frac{1}{u^2 + a^2} du$ 的形式，其结果是 $frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$。
在这里，令 $u = x + frac{1}{2}$，则 $du = dx$。
$a^2 = frac{3}{4}$，所以 $a = sqrt{frac{3}{4}} = frac{sqrt{3}}{2}$。
积分计算结果为：
$frac{1}{a} arctanleft(frac{u}{a} ight) + C_2 = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} arctanleft(frac{x + frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}} ight) + C_2$
$= frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{frac{2x+1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}} ight) + C_2$
$= frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2x+1}{sqrt{3}} ight) + C_2$
第五步：合并结果
将两个积分结果合并，得到最终的答案：
$int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx = ln|x+2| + frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2x+1}{sqrt{3}} ight) + C$
其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。
总结一下整个计算过程：
1. 分析被积函数：识别出分母是三次多项式，分子是二次多项式。
2. 因式分解分母：通过尝试整数根，找到 $x=2$ 是分母的根，然后通过多项式除法得到分母的分解是 $(x+2)(x^2+x+1)$，并且二次因子在实数范围内不可约。
3. 部分分式分解：根据分母的因式分解形式，设出待定系数的表达式 $frac{A}{x+2} + frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$，然后通过代入特殊值或解方程组确定系数 $A=1, B=0, C=1$。
4. 积分计算：将部分分式分解的结果积分，分别计算了 $int frac{1}{x+2} dx$ 和 $int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$。第一个是简单的对数积分，第二个是通过配方法转化为 $arctan$ 的积分形式。
5. 合并结果：将各项积分结果相加，得到最终的积分值。
整个过程关键在于准确地因式分解分母，然后正确地进行部分分式分解，最后对各项进行标准的积分计算。特别是二次因式 $x^2+x+1$ 的处理，是计算 $arctan$ 部分的关键。希望这个详细的步骤能够帮助你理解这个积分的计算方法！
咱们要计算的是 $int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx$。
第一步：分析被积函数
首先，我们看看被积函数长什么样子：$frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2}$。
分母是一个三次多项式，分子是一个二次多项式。当分子次数低于分母次数时，我们通常会考虑几种方法：
1. 直接积分：有没有现成的积分公式可以直接套用？看起来不太像。
2. 换元法：有没有什么代换能让积分变简单？
3. 分部积分法：这个方法通常用于乘积形式的函数，这里不太适合。
4. 部分分式分解：如果分母可以分解成简单的因式，这个方法就很有效。
考虑到分母是个多项式，我们首先要尝试对其进行因式分解。
第二步：因式分解分母
分母是 $P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$。
对于三次及以上的多项式，我们可以尝试寻找它的根。通常从简单的整数根开始尝试，比如 $pm 1, pm 2$ 等。
当 $x = 1$ 时，$P(1) = 1^3 + 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 + 3 + 2 = 9 eq 0$。
当 $x = 1$ 时，$P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 3 + 2 = 1 eq 0$。
当 $x = 2$ 时，$P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 + 3(4) 6 + 2 = 8 + 12 6 + 2 = 0$。
太好了！我们找到了一个根 $x = 2$。这意味着 $(x (2)) = (x+2)$ 是 $P(x)$ 的一个因式。
现在我们可以用多项式长除法或者综合除法来找出另一个因式。我们用综合除法来试试：
```
2 | 1 3 3 2
| 2 2 2
1 1 1 0
```
除法的结果是 $x^2 + x + 1$。所以，分母可以分解为：
$x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x^2 + x + 1)$。
现在我们要看看二次因式 $x^2 + x + 1$ 是否还能分解。我们可以计算它的判别式 $Delta = b^2 4ac$。
对于 $x^2 + x + 1$， $a=1, b=1, c=1$。
$Delta = 1^2 4(1)(1) = 1 4 = 3$。
由于判别式小于零，这个二次多项式在实数范围内是不可约的，它没有实数根。
所以，分母的因式分解是 $(x+2)(x^2 + x + 1)$。
第三步：应用部分分式分解
现在我们的积分变成了 $int frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} dx$。
因为分母有两个不同的因式，一个是一次的 $(x+2)$，另一个是不可约的二次式 $(x^2 + x + 1)$，我们可以使用部分分式分解。
我们设：
$frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} = frac{A}{x+2} + frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$
为了求解 $A, B, C$，我们将右边通分：
$frac{A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)}{(x+2)(x^2 + x + 1)}$
然后让分子相等：
$x^2 + 2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)$
展开右边：
$x^2 + 2x + 3 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$
合并同类项：
$x^2 + 2x + 3 = (A+B)x^2 + (A+2B+C)x + (A+2C)$
现在我们比较等式两边的同次幂系数：
1. $x^2$ 系数：$1 = A + B$
2. $x$ 系数：$2 = A + 2B + C$
3. 常数项：$3 = A + 2C$
我们有了一个关于 $A, B, C$ 的三元一次方程组。
方法一：代入特殊值
我们可以令 $x = 2$ 来快速求出 $A$。
将 $x = 2$ 代入 $x^2 + 2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+2)$：
$(2)^2 + 2(2) + 3 = A((2)^2 + (2) + 1) + (B(2) + C)(2+2)$
$4 4 + 3 = A(4 2 + 1) + ( 2B + C)(0)$
$3 = A(3)$
所以，$A = 1$。
现在我们已经知道了 $A=1$。将 $A=1$ 代入方程组：
1. $1 = 1 + B implies B = 0$
2. $2 = 1 + 2(0) + C implies 2 = 1 + C implies C = 1$
3. $3 = 1 + 2C implies 2 = 2C implies C = 1$
可以看到，用前两个方程求出的 $B$ 和 $C$ 与第三个方程是吻合的。所以，$A=1, B=0, C=1$。
方法二：纯粹解方程组
从 $1 = A + B$，我们得到 $B = 1 A$。
从 $3 = A + 2C$，我们得到 $C = frac{3A}{2}$。
将 $B$ 和 $C$ 代入第二个方程 $2 = A + 2B + C$：
$2 = A + 2(1A) + frac{3A}{2}$
$2 = A + 2 2A + frac{3A}{2}$
$2 = 2 A + frac{3A}{2}$
$0 = A + frac{3A}{2}$
$A = frac{3A}{2}$
$2A = 3 A$
$3A = 3$
$A = 1$。
同样得到 $A=1$。然后求 $B$ 和 $C$：
$B = 1 A = 1 1 = 0$
$C = frac{3A}{2} = frac{31}{2} = frac{2}{2} = 1$。
结果是一样的：$A=1, B=0, C=1$。
所以，我们的部分分式分解是：
$frac{x^2 + 2x + 3}{(x+2)(x^2 + x + 1)} = frac{1}{x+2} + frac{0x + 1}{x^2 + x + 1} = frac{1}{x+2} + frac{1}{x^2 + x + 1}$
第四步：积分计算
现在我们可以对分解后的各项进行积分了：
$int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx = int left( frac{1}{x+2} + frac{1}{x^2 + x + 1} ight) dx$
$= int frac{1}{x+2} dx + int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$
我们分别计算这两个积分。
第一个积分：
$int frac{1}{x+2} dx$
这是一个基本积分，令 $u = x+2$，则 $du = dx$。
$int frac{1}{u} du = ln|u| + C_1 = ln|x+2| + C_1$。
第二个积分：
$int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$
这个积分需要将分母配方，变成 $(xa)^2 + b^2$ 的形式，以便使用 $arctan$ 的积分公式。
我们对 $x^2 + x + 1$ 进行配方：
$x^2 + x + 1 = left(x^2 + x + left(frac{1}{2} ight)^2 ight) left(frac{1}{2} ight)^2 + 1$
$= left(x + frac{1}{2} ight)^2 frac{1}{4} + 1$
$= left(x + frac{1}{2} ight)^2 + frac{3}{4}$
所以，积分变成：
$int frac{1}{left(x + frac{1}{2} ight)^2 + frac{3}{4}} dx$
这是一个 $int frac{1}{u^2 + a^2} du$ 的形式，其结果是 $frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$。
在这里，令 $u = x + frac{1}{2}$，则 $du = dx$。
$a^2 = frac{3}{4}$，所以 $a = sqrt{frac{3}{4}} = frac{sqrt{3}}{2}$。
积分计算结果为：
$frac{1}{a} arctanleft(frac{u}{a} ight) + C_2 = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} arctanleft(frac{x + frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}} ight) + C_2$
$= frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{frac{2x+1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}} ight) + C_2$
$= frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2x+1}{sqrt{3}} ight) + C_2$
第五步：合并结果
将两个积分结果合并，得到最终的答案：
$int frac{x^2 + 2x + 3}{x^3 + 3x^2 + 3x + 2} dx = ln|x+2| + frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2x+1}{sqrt{3}} ight) + C$
其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。
总结一下整个计算过程：
1. 分析被积函数：识别出分母是三次多项式，分子是二次多项式。
2. 因式分解分母：通过尝试整数根，找到 $x=2$ 是分母的根，然后通过多项式除法得到分母的分解是 $(x+2)(x^2+x+1)$，并且二次因子在实数范围内不可约。
3. 部分分式分解：根据分母的因式分解形式，设出待定系数的表达式 $frac{A}{x+2} + frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$，然后通过代入特殊值或解方程组确定系数 $A=1, B=0, C=1$。
4. 积分计算：将部分分式分解的结果积分，分别计算了 $int frac{1}{x+2} dx$ 和 $int frac{1}{x^2 + x + 1} dx$。第一个是简单的对数积分，第二个是通过配方法转化为 $arctan$ 的积分形式。
5. 合并结果：将各项积分结果相加，得到最终的积分值。
整个过程关键在于准确地因式分解分母，然后正确地进行部分分式分解，最后对各项进行标准的积分计算。特别是二次因式 $x^2+x+1$ 的处理，是计算 $arctan$ 部分的关键。希望这个详细的步骤能够帮助你理解这个积分的计算方法！
网友意见
设 ，则 。现在求导，得：
其中最后一个等式利用了正切函数的周期性。现在设 则有：
由于对称性，假设a>0则有：
现在结合初值条件，便能得到结论：
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您好！很高兴能和您一起探讨这个问题。您提供的积分表达式是什么呢？请您将它写出来，这样我才能帮您判断它是否正确，并进一步为您详细讲解如何得出结果。通常，一个积分的正确性体现在几个方面：1. 被积函数的可积性： 首先，我们需要看积分的被积函数在积分区间上是否是连续的，或者至少是可积的（例如，在有限个点.............
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没问题，咱们来聊聊这个三重积分怎么算。别担心，我会尽量说得明白些，就当咱们俩一起研究一道数学题一样，让你看着不至于觉得是冷冰冰的机器在讲课。咱们先来看看这个三重积分长什么样？得有积分符号三重，然后里面有个被积函数，最后还有三个微分项，比如 `dx dy dz`。就长这样：$$ iiint_V f(x.............
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嘿，兄弟姐妹们，今天咱们来聊聊怎么对付一个看着有点吓人，但其实拆解开来，也不是那么难搞的定积分。咱们的目标是彻底搞清楚，不留任何疑问。假设我们要计算的这个定积分是：$$ int_a^b f(x) , dx $$这里的 $a$ 是积分的下限，$b$ 是积分的上限，$f(x)$ 是被积函数，$dx$ 表.............
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