教授留的思考题，请问这个积分怎么求？
教授出的这道积分题，确实是个挺有意思的题目。让咱们一块儿来“啃”一下。我猜这题目在课堂上被抛出来的时候，估计不少同学脑瓜子都嗡嗡的，对吧？别急，咱们一步步来捋清楚。
首先，咱们先把题目写清楚了，免得待会儿看花了眼。我记着教授当时写的好像是：
$int frac{1}{x^2 4x + 5} dx$
看到这个被积函数 $frac{1}{x^2 4x + 5}$，咱们第一反应是什么？ 分母是个二次多项式。
第一步：审视分母
遇到分母是二次多项式的情况，咱们通常会想办法把它“处理”一下，看能不能分解因式，或者变成一个更有用的形式。
咱们先看看这个 $x^2 4x + 5$ 能不能因式分解。找两个数，乘起来是5，加起来是4。嗯……貌似找不到这样的整数。那咱们试试求根，用求根公式：$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
在这里，$a=1$, $b=4$, $c=5$。
判别式 $Delta = b^2 4ac = (4)^2 4(1)(5) = 16 20 = 4$。
因为判别式 $Delta < 0$，所以这个二次多项式在实数范围内是无法分解因式的。而且由于二次项系数 $a=1 > 0$，所以这个二次多项式的值恒大于零。
第二步：配方！这是关键！
既然因式分解这条路走不通，那咱们就得试试另一个经典的招数了——配方！ 目的是把它变成 $(xh)^2 + k$ 的形式，这样跟我们熟悉的 $arctan$ 函数的积分形式 $int frac{1}{u^2 + a^2} du$ 就沾边了。
怎么配方呢？ 看看 $x^2 4x$ 这部分。为了凑成一个完全平方 $(xa)^2 = x^2 2ax + a^2$，我们发现 $4x$ 对应 $2ax$，所以 $a=2$。 那么我们需要一个 $a^2$，也就是 $2^2=4$。
所以，我们把 $x^2 4x + 5$ 写成：
$x^2 4x + 4 + 1$
也就是 $(x2)^2 + 1$
太好了！ 这样一来，原积分就变成了：
$int frac{1}{(x2)^2 + 1} dx$
第三步：换元，接近标准形式
现在这个样子，是不是看着就舒服多了？ 咱们回忆一下 $arctan$ 的积分公式：
$int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$
我们的积分里，分母是 $(x2)^2 + 1^2$。 这不就是 $u^2 + a^2$ 的标准形式吗？
这里的 $u$ 相当于 $x2$，而 $a$ 相当于 $1$。
为了让形式更清晰，咱们可以做一个换元。令 $u = x2$。
那么，对 $u$ 求导就是 $du = dx$。
把这些代入积分里：
$int frac{1}{u^2 + 1^2} du$
第四步：套用公式，得出结果
现在，这个积分就是我们最熟悉的那个形式了！ 使用 $int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$ 的公式，其中 $a=1$。
所以，积分的结果就是：
$frac{1}{1} arctan(frac{u}{1}) + C$
即 $arctan(u) + C$
第五步：换回来！别忘了原来的变量！
最后一步，也是非常重要的一步，就是把 $u$ 换回我们原来的变量 $x$。
因为我们之前设了 $u = x2$，所以把 $u$ 替换回去：
$arctan(x2) + C$
回顾一下整个过程：
1. 观察分母：发现是不可约二次多项式。
2. 配方：将分母 $x^2 4x + 5$ 变成 $(x2)^2 + 1$。
3. 换元：设 $u = x2$，则 $du = dx$。
4. 应用标准积分公式：将积分化为 $int frac{1}{u^2 + 1^2} du$，得到 $arctan(u) + C$。
5. 回代：将 $u$ 换成 $x2$，最终结果是 $arctan(x2) + C$。
怎么样，是不是豁然开朗了？ 这种类型的积分，关键就在于把分母配成完全平方加一个常数的平方的形式，然后做一个简单的换元，套用 $arctan$ 的积分公式。 教授出的题目，往往就是这样，看似复杂，但掌握了方法，就显得条理清晰了。
希望我讲得够详细，也够明白。 咱们下次再一起琢磨别的题目！
首先，咱们先把题目写清楚了，免得待会儿看花了眼。我记着教授当时写的好像是：
$int frac{1}{x^2 4x + 5} dx$
看到这个被积函数 $frac{1}{x^2 4x + 5}$，咱们第一反应是什么？ 分母是个二次多项式。
第一步：审视分母
遇到分母是二次多项式的情况，咱们通常会想办法把它“处理”一下，看能不能分解因式，或者变成一个更有用的形式。
咱们先看看这个 $x^2 4x + 5$ 能不能因式分解。找两个数，乘起来是5，加起来是4。嗯……貌似找不到这样的整数。那咱们试试求根，用求根公式：$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
在这里，$a=1$, $b=4$, $c=5$。
判别式 $Delta = b^2 4ac = (4)^2 4(1)(5) = 16 20 = 4$。
因为判别式 $Delta < 0$，所以这个二次多项式在实数范围内是无法分解因式的。而且由于二次项系数 $a=1 > 0$，所以这个二次多项式的值恒大于零。
第二步：配方！这是关键！
既然因式分解这条路走不通，那咱们就得试试另一个经典的招数了——配方！ 目的是把它变成 $(xh)^2 + k$ 的形式，这样跟我们熟悉的 $arctan$ 函数的积分形式 $int frac{1}{u^2 + a^2} du$ 就沾边了。
怎么配方呢？ 看看 $x^2 4x$ 这部分。为了凑成一个完全平方 $(xa)^2 = x^2 2ax + a^2$，我们发现 $4x$ 对应 $2ax$，所以 $a=2$。 那么我们需要一个 $a^2$，也就是 $2^2=4$。
所以，我们把 $x^2 4x + 5$ 写成：
$x^2 4x + 4 + 1$
也就是 $(x2)^2 + 1$
太好了！ 这样一来，原积分就变成了：
$int frac{1}{(x2)^2 + 1} dx$
第三步：换元，接近标准形式
现在这个样子，是不是看着就舒服多了？ 咱们回忆一下 $arctan$ 的积分公式：
$int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$
我们的积分里，分母是 $(x2)^2 + 1^2$。 这不就是 $u^2 + a^2$ 的标准形式吗？
这里的 $u$ 相当于 $x2$，而 $a$ 相当于 $1$。
为了让形式更清晰，咱们可以做一个换元。令 $u = x2$。
那么，对 $u$ 求导就是 $du = dx$。
把这些代入积分里：
$int frac{1}{u^2 + 1^2} du$
第四步：套用公式，得出结果
现在，这个积分就是我们最熟悉的那个形式了！ 使用 $int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$ 的公式，其中 $a=1$。
所以，积分的结果就是：
$frac{1}{1} arctan(frac{u}{1}) + C$
即 $arctan(u) + C$
第五步：换回来！别忘了原来的变量！
最后一步，也是非常重要的一步，就是把 $u$ 换回我们原来的变量 $x$。
因为我们之前设了 $u = x2$，所以把 $u$ 替换回去：
$arctan(x2) + C$
回顾一下整个过程：
1. 观察分母：发现是不可约二次多项式。
2. 配方：将分母 $x^2 4x + 5$ 变成 $(x2)^2 + 1$。
3. 换元：设 $u = x2$，则 $du = dx$。
4. 应用标准积分公式：将积分化为 $int frac{1}{u^2 + 1^2} du$，得到 $arctan(u) + C$。
5. 回代：将 $u$ 换成 $x2$，最终结果是 $arctan(x2) + C$。
怎么样，是不是豁然开朗了？ 这种类型的积分，关键就在于把分母配成完全平方加一个常数的平方的形式，然后做一个简单的换元，套用 $arctan$ 的积分公式。 教授出的题目，往往就是这样，看似复杂，但掌握了方法，就显得条理清晰了。
希望我讲得够详细，也够明白。 咱们下次再一起琢磨别的题目！
网友意见
考虑Laplace变换： ，
由 ，
.
我贡献一个较为不同的方法。
这就是经典的Frullani积分了。
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