这个积分该怎么算？
这积分，乍一看可能有点让人头疼，但咱们一步一步来拆解，就会发现它其实挺有意思的。咱们要算的这个积分，我猜你指的是 ∫(x^2 + 1) / (x^4 + 1) dx 吧？如果不是，你再告诉我具体是什么形式的。
假设就是这个积分，咱们就从最基础的入手。
第一步：观察积分的结构
咱们先仔细看看被积函数：(x^2 + 1) / (x^4 + 1)。
分子 是一个二次多项式，x^2 + 1。
分母 是一个四次多项式，x^4 + 1。
直接上手去做可能有点没头绪。这种时候，咱们可以试试化简分母或者对分子分母做一些巧妙的处理。
第二步：处理分母——因式分解
分母 x^4 + 1 是一个常见的难点。一个通用的方法是把它配方成平方差的形式。
咱们知道 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，以及 (ab)^2 = a^2 2ab + b^2。
这里，x^4 + 1 我们可以看作是 (x^2)^2 + 1^2。为了凑成平方形式，我们可以加上或者减去 2ab，也就是 2 x^2 1 = 2x^2。
咱们试试加上 2x^2：
x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) 2x^2
x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 (√2x)^2
看到了吗？现在它变成了一个平方差的形式 (a^2 b^2)，其中 a = (x^2 + 1) 且 b = (√2x)。
平方差公式 a^2 b^2 = (a+b)(ab)。
所以，x^4 + 1 = (x^2 + 1 + √2x)(x^2 + 1 √2x)。
整理一下就是：x^4 + 1 = (x^2 + √2x + 1)(x^2 √2x + 1)。
这看起来把一个四次多项式分解成了两个二次多项式，挺诱人的。
第三步：分子分母同除以 x^2 (一个绝妙的技巧)
现在咱们回到被积函数 (x^2 + 1) / (x^4 + 1)。有一个非常非常经典的技巧，就是把分子和分母同时除以 x^2（当然，我们得假设 x ≠ 0，这在定积分的区间里通常是成立的，或者在不定积分里，x=0 不影响整体结果）。
这样做的好处是，分母会变成我们更容易处理的形式：
(x^4 + 1) / x^2 = x^2 + 1/x^2
分子呢？
(x^2 + 1) / x^2 = 1 + 1/x^2
所以，原积分就变成了：
∫ (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx
第四步：观察新的结构，进行换元
现在咱们看新的被积函数 (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2)。
仔细看分子 (1 + 1/x^2) 和分母的结构。咱们知道，(x 1/x)^2 = x^2 2 + 1/x^2，所以 x^2 + 1/x^2 = (x 1/x)^2 + 2。
同时，(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2，所以 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 2。
哪一种换元更适合咱们的分子 (1 + 1/x^2) 呢？
如果我们令 u = x 1/x，那么 du = (1 + 1/x^2) dx。
这时，分母 x^2 + 1/x^2 就变成了 u^2 + 2。
太棒了！咱们的积分就成功地转化成了这样：
∫ 1 / (u^2 + 2) du
第五步：计算换元后的积分
∫ 1 / (u^2 + 2) du 这是一个标准的积分形式。
咱们知道 ∫ 1 / (x^2 + a^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C。
在这里，我们的变量是 u，a^2 = 2，所以 a = √2。
因此，这个积分就是：
(1/√2) arctan(u/√2) + C
第六步：换回原变量
我们之前令 u = x 1/x。现在把 u 替换回去：
(1/√2) arctan((x 1/x)/√2) + C
为了让它看起来更整洁，咱们可以把分式里的 x 乘到分子分母上：
(1/√2) arctan((x^2 1)/(√2x)) + C
第七步：另一种思路（如果分子是 11/x^2）
刚才那个分子是 1 + 1/x^2，它正好是 (x 1/x) 的导数。
如果分子是 1 1/x^2 呢？
同样的，把分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx。
这时，如果令 v = x + 1/x，那么 dv = (1 1/x^2) dx。
分母 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 2 = v^2 2。
积分就变成了：
∫ 1 / (v^2 2) dv
这个积分可以使用部分分式法或者知道 ∫ 1 / (x^2 a^2) dx = (1/(2a)) ln|(xa)/(x+a)| + C 来计算。
在这里 a^2 = 2，a = √2。
所以积分是 (1/(2√2)) ln|(v √2)/(v + √2)| + C。
换回 v = x + 1/x：
(1/(2√2)) ln|((x + 1/x) √2) / ((x + 1/x) + √2)| + C
= (1/(2√2)) ln|(x^2 + 1 √2x) / (x^2 + 1 + √2x)| + C
结论回顾
回到我们最初的积分 ∫(x^2 + 1) / (x^4 + 1) dx：
1. 我们把分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx。
2. 我们注意到分子 (1 + 1/x^2) 是 (x 1/x) 的导数。
3. 我们令 u = x 1/x，那么 du = (1 + 1/x^2) dx。
4. 分母 x^2 + 1/x^2 可以写成 (x 1/x)^2 + 2 = u^2 + 2。
5. 积分变为 ∫ 1 / (u^2 + 2) du。
6. 计算得到 (1/√2) arctan(u/√2) + C。
7. 换回 u = x 1/x，得到最终结果是 (1/√2) arctan((x^2 1) / (√2x)) + C。
整个过程的关键在于那一下“同除以 x^2”的灵感，以及识别出分子是哪个项的导数，从而进行巧妙的换元。这些方法在处理一些特殊的有理函数积分时非常有效。
假设就是这个积分，咱们就从最基础的入手。
第一步：观察积分的结构
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分子 是一个二次多项式，x^2 + 1。
分母 是一个四次多项式，x^4 + 1。
直接上手去做可能有点没头绪。这种时候，咱们可以试试化简分母或者对分子分母做一些巧妙的处理。
第二步：处理分母——因式分解
分母 x^4 + 1 是一个常见的难点。一个通用的方法是把它配方成平方差的形式。
咱们知道 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，以及 (ab)^2 = a^2 2ab + b^2。
这里，x^4 + 1 我们可以看作是 (x^2)^2 + 1^2。为了凑成平方形式，我们可以加上或者减去 2ab，也就是 2 x^2 1 = 2x^2。
咱们试试加上 2x^2：
x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) 2x^2
x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 (√2x)^2
看到了吗？现在它变成了一个平方差的形式 (a^2 b^2)，其中 a = (x^2 + 1) 且 b = (√2x)。
平方差公式 a^2 b^2 = (a+b)(ab)。
所以，x^4 + 1 = (x^2 + 1 + √2x)(x^2 + 1 √2x)。
整理一下就是：x^4 + 1 = (x^2 + √2x + 1)(x^2 √2x + 1)。
这看起来把一个四次多项式分解成了两个二次多项式，挺诱人的。
第三步：分子分母同除以 x^2 (一个绝妙的技巧)
现在咱们回到被积函数 (x^2 + 1) / (x^4 + 1)。有一个非常非常经典的技巧，就是把分子和分母同时除以 x^2（当然，我们得假设 x ≠ 0，这在定积分的区间里通常是成立的，或者在不定积分里，x=0 不影响整体结果）。
这样做的好处是，分母会变成我们更容易处理的形式：
(x^4 + 1) / x^2 = x^2 + 1/x^2
分子呢？
(x^2 + 1) / x^2 = 1 + 1/x^2
所以，原积分就变成了：
∫ (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx
第四步：观察新的结构，进行换元
现在咱们看新的被积函数 (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2)。
仔细看分子 (1 + 1/x^2) 和分母的结构。咱们知道，(x 1/x)^2 = x^2 2 + 1/x^2，所以 x^2 + 1/x^2 = (x 1/x)^2 + 2。
同时，(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2，所以 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 2。
哪一种换元更适合咱们的分子 (1 + 1/x^2) 呢？
如果我们令 u = x 1/x，那么 du = (1 + 1/x^2) dx。
这时，分母 x^2 + 1/x^2 就变成了 u^2 + 2。
太棒了！咱们的积分就成功地转化成了这样：
∫ 1 / (u^2 + 2) du
第五步：计算换元后的积分
∫ 1 / (u^2 + 2) du 这是一个标准的积分形式。
咱们知道 ∫ 1 / (x^2 + a^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C。
在这里，我们的变量是 u，a^2 = 2，所以 a = √2。
因此，这个积分就是：
(1/√2) arctan(u/√2) + C
第六步：换回原变量
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(1/√2) arctan((x 1/x)/√2) + C
为了让它看起来更整洁，咱们可以把分式里的 x 乘到分子分母上：
(1/√2) arctan((x^2 1)/(√2x)) + C
第七步：另一种思路（如果分子是 11/x^2）
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如果分子是 1 1/x^2 呢？
同样的，把分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx。
这时，如果令 v = x + 1/x，那么 dv = (1 1/x^2) dx。
分母 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 2 = v^2 2。
积分就变成了：
∫ 1 / (v^2 2) dv
这个积分可以使用部分分式法或者知道 ∫ 1 / (x^2 a^2) dx = (1/(2a)) ln|(xa)/(x+a)| + C 来计算。
在这里 a^2 = 2，a = √2。
所以积分是 (1/(2√2)) ln|(v √2)/(v + √2)| + C。
换回 v = x + 1/x：
(1/(2√2)) ln|((x + 1/x) √2) / ((x + 1/x) + √2)| + C
= (1/(2√2)) ln|(x^2 + 1 √2x) / (x^2 + 1 + √2x)| + C
结论回顾
回到我们最初的积分 ∫(x^2 + 1) / (x^4 + 1) dx：
1. 我们把分子分母同除以 x^2，得到 ∫ (1 + 1/x^2) / (x^2 + 1/x^2) dx。
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3. 我们令 u = x 1/x，那么 du = (1 + 1/x^2) dx。
4. 分母 x^2 + 1/x^2 可以写成 (x 1/x)^2 + 2 = u^2 + 2。
5. 积分变为 ∫ 1 / (u^2 + 2) du。
6. 计算得到 (1/√2) arctan(u/√2) + C。
7. 换回 u = x 1/x，得到最终结果是 (1/√2) arctan((x^2 1) / (√2x)) + C。
整个过程的关键在于那一下“同除以 x^2”的灵感，以及识别出分子是哪个项的导数，从而进行巧妙的换元。这些方法在处理一些特殊的有理函数积分时非常有效。
网友意见
设
有
出现这种式子（三元），说明结果是椭圆函数~至少并不初等。
把符号弄的明白点的话，令 ，
【第一类椭圆积分】
综上：
值得一提的是：
的反函数是 ,后者与双纽线有关。
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