这个含定积分的极限怎么算？
这道题求的是一个含定积分的极限。这类问题通常可以通过一些技巧来解决，比如利用牛顿莱布尼茨公式、积分中值定理，或者将其转化为等价无穷小代换来处理。我们一步步来拆解这个问题，看看如何找到它的答案。
假设我们要计算的极限是这样的形式：
$$ lim_{x o a} frac{int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt}{k(x)} $$
其中 $a$ 可以是某个常数，也可以是 $infty$ 或 $infty$。
第一步：分析极限的形式
在尝试计算之前，首先要弄清楚当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母各自趋向什么值。
分母 $k(x)$： 看看 $k(x)$ 在 $x o a$ 时的极限。
分子 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$： 这部分稍微复杂一点。我们要看当 $x o a$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限分别是多少。假设 $lim_{x o a} f(x) = F$ 且 $lim_{x o a} g(x) = G$。如果 $F$ 和 $G$ 都是有限的，并且 $h(t)$ 在一个包含 $F$ 和 $G$ 的区间上连续，那么：
如果 $F = G$，那么分子趋向 $int_{F}^{F} h(t) dt = 0$。
如果 $F eq G$，那么我们需要知道 $h(t)$ 的积分值。如果 $h(t)$ 是一个常数 $C$，那么积分就是 $C cdot (GF)$。如果 $h(t)$ 不是常数，我们需要进一步分析。
最常见的情况是出现“ $frac{0}{0}$ ”型或“ $frac{infty}{infty}$ ”型不定式。
第二步：选择合适的解题方法
一旦确定了是哪种不定式，就可以选择相应的工具了。
方法一：洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
如果极限是“ $frac{0}{0}$ ”或“ $frac{infty}{infty}$ ”型，并且分子和分母的导数都存在（至少在某个去心邻域内），那么我们可以考虑使用洛必达法则。
洛必达法则告诉我们：
$$ lim_{x o a} frac{F(x)}{G(x)} = lim_{x o a} frac{F'(x)}{G'(x)} $$
在这里，我们的分子是 $F(x) = int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$，分母是 $G(x) = k(x)$。
我们需要计算分子 $F(x)$ 的导数。这里需要用到牛顿莱布尼茨公式和链式法则：
$$ frac{d}{dx} int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x) $$
然后，我们需要计算分母 $G(x) = k(x)$ 的导数，记为 $k'(x)$。
所以，如果符合条件，洛必达法则的应用形式就是：
$$ lim_{x o a} frac{int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt}{k(x)} = lim_{x o a} frac{h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x)}{k'(x)} $$
我们需要仔细检查分母 $k'(x)$ 是否也趋向于 0 或 $infty$。 如果应用一次洛必达法则后仍然是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，我们可以重复使用洛必达法则，直到得到一个确定的极限值。
举个例子说明：
计算 $lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} sin(t^2) dt}{x^3}$
1. 分析形式： 当 $x o 0$ 时，分子 $int_{0}^{0} sin(t^2) dt = 0$。分母 $x^3 o 0$。所以是 $frac{0}{0}$ 型不定式。
2. 应用洛必达法则：
分子导数：$frac{d}{dx} int_{0}^{x} sin(t^2) dt = sin(x^2) cdot 1 sin(0^2) cdot 0 = sin(x^2)$。
分母导数：$frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$。
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{3x^2}$。
3. 再次分析形式： 当 $x o 0$ 时，分子 $sin(0^2) = sin(0) = 0$。分母 $3(0)^2 = 0$。仍然是 $frac{0}{0}$ 型。
4. 再次应用洛必达法则：
分子导数：$frac{d}{dx} sin(x^2) = cos(x^2) cdot 2x$。
分母导数：$frac{d}{dx} 3x^2 = 6x$。
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{cos(x^2) cdot 2x}{6x}$。
5. 化简并计算：
$lim_{x o 0} frac{cos(x^2) cdot 2x}{6x} = lim_{x o 0} frac{cos(x^2)}{3}$ (因为 $x eq 0$ 时，$x$ 可以约掉)。
当 $x o 0$ 时，$cos(x^2) o cos(0) = 1$。
所以极限是 $frac{1}{3}$。
方法二：积分中值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)
如果积分的上限和下限都趋于同一个值（例如，当 $x o a$ 时，$f(x) o c$ 且 $g(x) o c$），并且分母也趋于 0，那么积分部分本身趋于 0。这时，我们可能需要用积分中值定理来“放大”这个积分，然后观察其增长速度。
积分中值定理的另一种形式是：对于在 $[u, v]$ 上连续的函数 $h(t)$，存在一个 $xi in (u, v)$ 使得：
$$ int_{u}^{v} h(t) dt = h(xi)(vu) $$
如果我们的积分是 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$，并且 $g(x) > f(x)$，那么：
$$ int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(xi_x)(g(x) f(x)) $$
其中 $xi_x$ 在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 之间。
当 $x$ 趋近于某个值时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋于同一个值 $c$，而 $g(x)f(x)$ 的差异是造成极限形式的关键，那么这个公式就很有用了。
举个例子说明：
计算 $lim_{x o 1} frac{int_{1}^{x} e^{t^2} dt}{x1}$
1. 分析形式： 当 $x o 1$ 时，分子 $int_{1}^{1} e^{t^2} dt = 0$。分母 $x1 o 0$。是 $frac{0}{0}$ 型。
2. 应用洛必达法则（也是一种思路）：
分子导数：$frac{d}{dx} int_{1}^{x} e^{t^2} dt = e^{x^2} cdot 1 e^{1^2} cdot 0 = e^{x^2}$。
分母导数：$frac{d}{dx} (x1) = 1$。
新的极限是：$lim_{x o 1} frac{e^{x^2}}{1} = e^{1^2} = e$。
或者用积分中值定理的思路来理解：
根据积分中值定理，存在一个 $xi$ 在 $1$ 和 $x$ 之间，使得：
$int_{1}^{x} e^{t^2} dt = e^{xi^2}(x1)$。
所以原极限变成：
$lim_{x o 1} frac{e^{xi^2}(x1)}{x1}$
当 $x o 1$ 时，$xi$ 也趋向于 $1$。
所以极限是 $lim_{xi o 1} e^{xi^2} = e^{1^2} = e$。
方法三：等价无穷小代换 (Equivalent Infinitesimals)
当分子中的积分部分可以被一个更简单的、趋近于零的函数所替代时，这个方法非常有效。
例如，我们知道当 $u o 0$ 时，$int_{0}^{u} f(t) dt sim f(0) cdot u$。这实际上是基于泰勒展开的第一项。如果 $f(t)$ 在 $0$ 附近近似为常数 $f(0)$。
更一般地，如果 $h(t)$ 在 $[f(x), g(x)]$ 区间上连续，且当 $x o a$ 时，$f(x) o c, g(x) o c$，那么 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$ 可以被看作是一个“长度”为 $g(x)f(x)$ 的积分。如果 $h(t)$ 在 $c$ 处不是常数，而是有变化的，我们可能需要更精细的近似。
例如，如果 $h(t) = t$ 且我们计算 $lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} t dt}{x^2}$：
1. 分析形式： $frac{0}{0}$ 型。
2. 直接计算积分： $int_{0}^{x} t dt = [frac{1}{2}t^2]_{0}^{x} = frac{1}{2}x^2$。
3. 代入极限： $lim_{x o 0} frac{frac{1}{2}x^2}{x^2} = frac{1}{2}$。
使用等价无穷小代换的思考：
当 $x o 0$ 时，对于积分 $int_{0}^{x} t dt$ 来说，$h(t)=t$ 在 $0$ 附近的变化比较平缓。积分的值可以近似为 $h(0) cdot x = 0 cdot x = 0$。但这个近似太粗略了。
考虑 $h(t)$ 在 $t=0$ 处的泰勒展开：$h(t) = h(0) + h'(0)t + O(t^2)$。
那么 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt approx int_{f(x)}^{g(x)} (h(0) + h'(0)t) dt$。
如果积分从 $0$ 开始，上限是 $x$，那么 $int_{0}^{x} h(t) dt approx int_{0}^{x} (h(0) + h'(0)t) dt = [h(0)t + frac{1}{2}h'(0)t^2]_{0}^{x} = h(0)x + frac{1}{2}h'(0)x^2$。
这提供了更精确的近似。
总结一下，解决这类含定积分的极限问题的步骤：
1. 仔细审题，明确积分的上下限和被积函数，以及分母的表达式。
2. 判断极限的不定式类型（$frac{0}{0}$, $frac{infty}{infty}$, $0 cdot infty$ 等）。 大多数情况下，我们都会遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$。
3. 如果是不定式，优先考虑洛必达法则。 这需要计算分子和分母的导数。
分子导数利用 牛顿莱布尼茨公式 和 链式法则：$frac{d}{dx} int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x)$。
计算分母的导数。
如果化简后的极限仍然是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$，重复使用洛必达法则。
4. 如果积分上下限都趋于同一个常数，并且与分母趋于零的趋势有关，可以考虑使用积分中值定理。
5. 在某些情况下，特别是当积分的上限或下限非常接近时，可以考虑使用等价无穷小代换，将积分近似成一个更简单的表达式，然后计算极限。这通常基于被积函数在积分区间内的泰勒展开。
关键点：
导数是核心： 无论哪种方法，理解如何求积分的导数（牛顿莱布尼茨+链式法则）是解决问题的基础。
化简是目的： 目标是将复杂的含积分的极限转化为一个简单且可以计算的极限。
代入验证： 在每一步计算后，都应该代入极限值，看看是否消除了不定性。
希望这样的详细解释能帮助你理解这类问题。在实际计算中，多做练习会让你更熟练地掌握这些方法。
假设我们要计算的极限是这样的形式：
$$ lim_{x o a} frac{int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt}{k(x)} $$
其中 $a$ 可以是某个常数，也可以是 $infty$ 或 $infty$。
第一步：分析极限的形式
在尝试计算之前，首先要弄清楚当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母各自趋向什么值。
分母 $k(x)$： 看看 $k(x)$ 在 $x o a$ 时的极限。
分子 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$： 这部分稍微复杂一点。我们要看当 $x o a$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限分别是多少。假设 $lim_{x o a} f(x) = F$ 且 $lim_{x o a} g(x) = G$。如果 $F$ 和 $G$ 都是有限的，并且 $h(t)$ 在一个包含 $F$ 和 $G$ 的区间上连续，那么：
如果 $F = G$，那么分子趋向 $int_{F}^{F} h(t) dt = 0$。
如果 $F eq G$，那么我们需要知道 $h(t)$ 的积分值。如果 $h(t)$ 是一个常数 $C$，那么积分就是 $C cdot (GF)$。如果 $h(t)$ 不是常数，我们需要进一步分析。
最常见的情况是出现“ $frac{0}{0}$ ”型或“ $frac{infty}{infty}$ ”型不定式。
第二步：选择合适的解题方法
一旦确定了是哪种不定式，就可以选择相应的工具了。
方法一：洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
如果极限是“ $frac{0}{0}$ ”或“ $frac{infty}{infty}$ ”型，并且分子和分母的导数都存在（至少在某个去心邻域内），那么我们可以考虑使用洛必达法则。
洛必达法则告诉我们：
$$ lim_{x o a} frac{F(x)}{G(x)} = lim_{x o a} frac{F'(x)}{G'(x)} $$
在这里，我们的分子是 $F(x) = int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$，分母是 $G(x) = k(x)$。
我们需要计算分子 $F(x)$ 的导数。这里需要用到牛顿莱布尼茨公式和链式法则：
$$ frac{d}{dx} int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x) $$
然后，我们需要计算分母 $G(x) = k(x)$ 的导数，记为 $k'(x)$。
所以，如果符合条件，洛必达法则的应用形式就是：
$$ lim_{x o a} frac{int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt}{k(x)} = lim_{x o a} frac{h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x)}{k'(x)} $$
我们需要仔细检查分母 $k'(x)$ 是否也趋向于 0 或 $infty$。 如果应用一次洛必达法则后仍然是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，我们可以重复使用洛必达法则，直到得到一个确定的极限值。
举个例子说明：
计算 $lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} sin(t^2) dt}{x^3}$
1. 分析形式： 当 $x o 0$ 时，分子 $int_{0}^{0} sin(t^2) dt = 0$。分母 $x^3 o 0$。所以是 $frac{0}{0}$ 型不定式。
2. 应用洛必达法则：
分子导数：$frac{d}{dx} int_{0}^{x} sin(t^2) dt = sin(x^2) cdot 1 sin(0^2) cdot 0 = sin(x^2)$。
分母导数：$frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$。
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{3x^2}$。
3. 再次分析形式： 当 $x o 0$ 时，分子 $sin(0^2) = sin(0) = 0$。分母 $3(0)^2 = 0$。仍然是 $frac{0}{0}$ 型。
4. 再次应用洛必达法则：
分子导数：$frac{d}{dx} sin(x^2) = cos(x^2) cdot 2x$。
分母导数：$frac{d}{dx} 3x^2 = 6x$。
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{cos(x^2) cdot 2x}{6x}$。
5. 化简并计算：
$lim_{x o 0} frac{cos(x^2) cdot 2x}{6x} = lim_{x o 0} frac{cos(x^2)}{3}$ (因为 $x eq 0$ 时，$x$ 可以约掉)。
当 $x o 0$ 时，$cos(x^2) o cos(0) = 1$。
所以极限是 $frac{1}{3}$。
方法二：积分中值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)
如果积分的上限和下限都趋于同一个值（例如，当 $x o a$ 时，$f(x) o c$ 且 $g(x) o c$），并且分母也趋于 0，那么积分部分本身趋于 0。这时，我们可能需要用积分中值定理来“放大”这个积分，然后观察其增长速度。
积分中值定理的另一种形式是：对于在 $[u, v]$ 上连续的函数 $h(t)$，存在一个 $xi in (u, v)$ 使得：
$$ int_{u}^{v} h(t) dt = h(xi)(vu) $$
如果我们的积分是 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$，并且 $g(x) > f(x)$，那么：
$$ int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(xi_x)(g(x) f(x)) $$
其中 $xi_x$ 在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 之间。
当 $x$ 趋近于某个值时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋于同一个值 $c$，而 $g(x)f(x)$ 的差异是造成极限形式的关键，那么这个公式就很有用了。
举个例子说明：
计算 $lim_{x o 1} frac{int_{1}^{x} e^{t^2} dt}{x1}$
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2. 应用洛必达法则（也是一种思路）：
分子导数：$frac{d}{dx} int_{1}^{x} e^{t^2} dt = e^{x^2} cdot 1 e^{1^2} cdot 0 = e^{x^2}$。
分母导数：$frac{d}{dx} (x1) = 1$。
新的极限是：$lim_{x o 1} frac{e^{x^2}}{1} = e^{1^2} = e$。
或者用积分中值定理的思路来理解：
根据积分中值定理，存在一个 $xi$ 在 $1$ 和 $x$ 之间，使得：
$int_{1}^{x} e^{t^2} dt = e^{xi^2}(x1)$。
所以原极限变成：
$lim_{x o 1} frac{e^{xi^2}(x1)}{x1}$
当 $x o 1$ 时，$xi$ 也趋向于 $1$。
所以极限是 $lim_{xi o 1} e^{xi^2} = e^{1^2} = e$。
方法三：等价无穷小代换 (Equivalent Infinitesimals)
当分子中的积分部分可以被一个更简单的、趋近于零的函数所替代时，这个方法非常有效。
例如，我们知道当 $u o 0$ 时，$int_{0}^{u} f(t) dt sim f(0) cdot u$。这实际上是基于泰勒展开的第一项。如果 $f(t)$ 在 $0$ 附近近似为常数 $f(0)$。
更一般地，如果 $h(t)$ 在 $[f(x), g(x)]$ 区间上连续，且当 $x o a$ 时，$f(x) o c, g(x) o c$，那么 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt$ 可以被看作是一个“长度”为 $g(x)f(x)$ 的积分。如果 $h(t)$ 在 $c$ 处不是常数，而是有变化的，我们可能需要更精细的近似。
例如，如果 $h(t) = t$ 且我们计算 $lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} t dt}{x^2}$：
1. 分析形式： $frac{0}{0}$ 型。
2. 直接计算积分： $int_{0}^{x} t dt = [frac{1}{2}t^2]_{0}^{x} = frac{1}{2}x^2$。
3. 代入极限： $lim_{x o 0} frac{frac{1}{2}x^2}{x^2} = frac{1}{2}$。
使用等价无穷小代换的思考：
当 $x o 0$ 时，对于积分 $int_{0}^{x} t dt$ 来说，$h(t)=t$ 在 $0$ 附近的变化比较平缓。积分的值可以近似为 $h(0) cdot x = 0 cdot x = 0$。但这个近似太粗略了。
考虑 $h(t)$ 在 $t=0$ 处的泰勒展开：$h(t) = h(0) + h'(0)t + O(t^2)$。
那么 $int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt approx int_{f(x)}^{g(x)} (h(0) + h'(0)t) dt$。
如果积分从 $0$ 开始，上限是 $x$，那么 $int_{0}^{x} h(t) dt approx int_{0}^{x} (h(0) + h'(0)t) dt = [h(0)t + frac{1}{2}h'(0)t^2]_{0}^{x} = h(0)x + frac{1}{2}h'(0)x^2$。
这提供了更精确的近似。
总结一下，解决这类含定积分的极限问题的步骤：
1. 仔细审题，明确积分的上下限和被积函数，以及分母的表达式。
2. 判断极限的不定式类型（$frac{0}{0}$, $frac{infty}{infty}$, $0 cdot infty$ 等）。 大多数情况下，我们都会遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$。
3. 如果是不定式，优先考虑洛必达法则。 这需要计算分子和分母的导数。
分子导数利用 牛顿莱布尼茨公式 和 链式法则：$frac{d}{dx} int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt = h(g(x)) cdot g'(x) h(f(x)) cdot f'(x)$。
计算分母的导数。
如果化简后的极限仍然是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$，重复使用洛必达法则。
4. 如果积分上下限都趋于同一个常数，并且与分母趋于零的趋势有关，可以考虑使用积分中值定理。
5. 在某些情况下，特别是当积分的上限或下限非常接近时，可以考虑使用等价无穷小代换，将积分近似成一个更简单的表达式，然后计算极限。这通常基于被积函数在积分区间内的泰勒展开。
关键点：
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关于房子的公摊面积问题，确实是一个在中国房地产市场中颇受关注，但在国际上相对少见的话题。这背后的政策渊源，要追溯到上世纪中国房地产市场的改革开放和商品房制度的建立。历史的开端：从福利分房到商品房在改革开放之前，中国的住房分配以福利分房为主。那时候，房子是由国家或单位分配的，居民支付的费用很低，基本不.............
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藤本烈在回答中提出的“中产阶级数量决定社会的信仰”这一观点，确实是一个值得深入探讨的视角。我们可以从多个角度来分析其是否有道理以及其背后的原因。总的来说，这个观点具有一定的合理性，但不能将其视为一个绝对的、唯一的决定性因素。它是一种社会学上的观察和推测，反映了中产阶级在现代社会中的特殊地位及其对社会.............
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“顶级”这个词，在咱们日常生活中，尤其是在谈论咖啡和白酒这类充满感官体验的产品时，很容易被挂在嘴边，也常常让人心生好奇：到底是什么让它“顶”起来的？这背后有没有什么硬邦邦的、大家都认账的“标准”？其实，要给“顶级咖啡”或者“顶级白酒”下一个放之四海而皆准的、严丝合缝的定义，难度非常大，因为它涉及到非.............
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好的，咱们来聊聊如何求这类含正弦函数的和式极限。这可是个挺有意思的问题，虽然看起来有点眼花缭乱，但拆解开来，其实是有章可循的。咱们就拿一个比较典型的例子来分析，比如：$$ lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} frac{sin(kx)}{n} $$看到这样的式子，第一反应可能.............
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