一个点到两个定点的距离乘积为定值，这个点的轨迹是什么？
这个问题其实是个经典的几何问题，涉及到平面上点的轨迹。如果一个点到两个固定不动的点，它们之间的距离的乘积是个固定的数，那么这个点在平面上会沿着一条什么样的曲线运动呢？
咱们先给这两个定点起个名字，假设它们是点 $A$ 和点 $B$。 在平面上，我们用坐标来表示它们。比如，我们可以把它们放在坐标轴上，让 $A$ 在 $(c, 0)$ 的位置，而 $B$ 在 $(c, 0)$ 的位置，其中 $c$ 是一个正常数，表示这两个点之间的距离的一半。这样设置是为了让计算更方便一些，而且不失一般性，因为我们可以随时通过坐标变换把任何两个定点转化成这种形式。
现在，假设我们要找的那个点叫 $P$，它的坐标是 $(x, y)$。 我们要研究的是满足以下条件的点 $P$ 的轨迹：
$PA cdot PB = k$
这里，$PA$ 表示点 $P$ 到点 $A$ 的距离，$PB$ 表示点 $P$ 到点 $B$ 的距离，而 $k$ 是一个固定的正数。
咱们用距离公式来把这个关系写出来：
$PA = sqrt{(x (c))^2 + (y 0)^2} = sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$PB = sqrt{(x c)^2 + (y 0)^2} = sqrt{(xc)^2 + y^2}$
所以，我们的方程就变成了：
$sqrt{(x+c)^2 + y^2} cdot sqrt{(xc)^2 + y^2} = k$
为了去掉这些根号，我们可以先把方程两边都平方一下：
$((x+c)^2 + y^2) cdot ((xc)^2 + y^2) = k^2$
展开一下括号里面的内容：
$(x^2 + 2xc + c^2 + y^2) cdot (x^2 2xc + c^2 + y^2) = k^2$
为了让展开更系统，我们可以把 $(x^2 + c^2 + y^2)$ 看作一个整体，然后这样写：
$((x^2 + c^2 + y^2) + 2xc) cdot ((x^2 + c^2 + y^2) 2xc) = k^2$
现在，这变成了一个 $(a+b)(ab)$ 的形式，其中 $a = x^2 + c^2 + y^2$，$b = 2xc$。 所以平方展开后是 $a^2 b^2$：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 (2xc)^2 = k^2$
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$
再把 $(x^2 + c^2 + y^2)^2$ 展开：
$(x^2 + c^2)^2 + 2(x^2 + c^2)y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
把同类项合并一下：
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 = k^2$
把所有项都移到一边，让右边等于0：
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
这个方程看起来有点复杂，但我们可以尝试把它整理成更熟悉的形状。 注意到 $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ 其实就是 $(x^2 + y^2)^2$。
所以，方程可以写成：
$(x^2 + y^2)^2 2c^2(x^2 y^2) + c^4 k^2 = 0$
这个形式仍然不是非常直观。我们再回到 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$ 这个地方，尝试做一些其他的整理。
将 $4x^2c^2$ 移到右边：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = k^2 + 4x^2c^2$
现在，我们可以把左边也展开，然后和右边一起整理。 不过，我们也可以注意到一个关键点。
我们知道，如果 $PA + PB = k'$（距离和为定值），轨迹是椭圆。如果 $|PA PB| = k''$（距离差为定值），轨迹是双曲线。 而这里是距离的乘积。
让咱们回到 $PA cdot PB = k$ 这个方程，也就是 $sqrt{(x+c)^2 + y^2} cdot sqrt{(xc)^2 + y^2} = k$。
有没有什么情况让这个方程变得简单？
当点 $P$ 远离 $A$ 和 $B$ 的时候，也就是 $x$ 很大时，$(x+c)^2 approx x^2$， $(xc)^2 approx x^2$。
那么 $PA approx sqrt{x^2 + y^2}$， $PB approx sqrt{x^2 + y^2}$。
所以，$PA cdot PB approx (x^2 + y^2) = k$。
如果 $k$ 是一个正数，并且我们要求 $x^2 + y^2 = k$，这看起来像是一个圆，但是 $k$ 需要是 $x^2+y^2$ 的平方根。这里是乘积。
我们再来看看方程 $x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$。
其实，我们可以通过一些巧妙的代数变形，把它变成一个更熟悉的方程。
考虑一个特殊的例子：如果 $k$ 非常小，接近于0。那么 $PA cdot PB = 0$。这意味着 $PA = 0$ 或 $PB = 0$。 所以点 $P$ 要么在点 $A$ 上，要么在点 $B$ 上。 这时候轨迹就是两个点。
如果 $k$ 非常大呢？ 假设 $k$ 远大于 $c^2$。
我们再回到 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$。
展开左边：
$(x^2 + c^2 + y^2)(x^2 + c^2 + y^2) = (x^2+c^2)^2 + 2(x^2+c^2)y^2 + y^4$
$= x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4$
所以方程是：
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
我们也可以尝试另一种方式，把 $x^2+c^2$ 和 $x^2c^2$ 分开处理。
$sqrt{(x+c)^2+y^2}sqrt{(xc)^2+y^2} = k$
$sqrt{x^2+2xc+c^2+y^2}sqrt{x^22xc+c^2+y^2} = k$
$sqrt{(x^2+c^2+y^2)+2xc}sqrt{(x^2+c^2+y^2)2xc} = k$
$(x^2+c^2+y^2)^2 (2xc)^2 = k^2$
$(x^2+c^2+y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$
这是我们之前得到的方程。 这个方程描述的曲线被称为刘维尔曲线或卡西尼卵形线 (Cassini oval)。
这个曲线的形状取决于 $k$ 相对于 $c$ 的大小。
1. 当 $k > c^2$ 时：
这个方程描述的是一个封闭的卵形曲线。 它有点像一个压扁的圆，或者一个非常肥厚的椭圆。 当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，这个曲线会非常接近一个圆。 具体来说，当 $k = c^2 sqrt{2}$ 时，曲线会变成一个圆（或者说两个重合的圆，这取决于严格的定义）。 当 $k$ 趋向于无穷大时，它趋向于一个圆心在原点，半径为 $k$ 的圆（但这里的 $k$ 不是半径）。
让我们尝试从 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$ 继续推导。
把 $4x^2c^2$ 移到右边：$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = k^2 + 4x^2c^2$
再把 $x^2c^2$ 拆成 $x^2c^2 + x^2c^2$ 似乎没有帮助。
一个关键的代数技巧是这样的：
将 $(x^2+y^2)^2 2c^2(x^2y^2) + c^4 k^2 = 0$ 改写成：
$(x^2+y^2)^2 2c^2x^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
我们可以尝试配方，让它看起来更像椭圆或圆。
实际上，这个曲线的标准方程可以通过一些复杂的代数操作得到，但直观理解其形状是更重要的。 卡西尼卵形线在几何上有一个有趣的性质：它是所有到两个焦点（这里是 $A$ 和 $B$）距离乘积为定值的点的轨迹。
形状的描述：
当 $k$ 稍微大于 $c^2$ 时，它更像一个在 $A$ 和 $B$ 附近的“瘦长”的形状。
当 $k$ 增大时，曲线会变得更圆润，直到 $k = c^2sqrt{2}$ 时，它变成一个圆。
当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，它接近于以原点为圆心，半径为 $sqrt{k}$ 的圆（注意这里是近似）。
2. 当 $k = c^2$ 时：
方程变成 $((x+c)^2 + y^2) cdot ((xc)^2 + y^2) = c^4$。
如果 $x = 0$，那么 $(c^2+y^2)(c^2+y^2) = c^4$，即 $(c^2+y^2)^2 = c^4$。
$c^2+y^2 = c^2$ (因为 $c^2+y^2$ 必须是正的)，所以 $y^2 = 0$，即 $y=0$。
所以点 $(0,0)$ 在曲线上。
当 $k = c^2$ 时，这个曲线实际上是两个相互重叠的圆，每个圆都通过其中一个焦点，并且与对方的焦点相切。 更准确地说，它不是两个重叠的圆，而是一条形状类似于无限大符号的曲线。 想象一下两个紧挨着的圆，每个圆的圆心在 $A$ 和 $B$ 上，半径为 $c$。 当 $k=c^2$ 时，轨迹会通过 $A$ 和 $B$ 的中点，并且在中点处形成一个尖角（切线是垂直的）。
让我们代入 $k=c^2$ 看看：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = (c^2)^2 = c^4$
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = c^4 + 4x^2c^2$
如果 $x=0$， $(c^2+y^2)^2 = c^4$，所以 $c^2+y^2=c^2$, $y=0$.
如果 $y=0$， $(x^2+c^2)^2 4x^2c^2 = c^4$
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 4x^2c^2 = c^4$
$x^4 2x^2c^2 = 0$
$x^2(x^2 2c^2) = 0$
所以 $x=0$ 或 $x^2 = 2c^2$, $x = pm csqrt{2}$。
所以当 $k=c^2$ 时，曲线通过 $(0,0)$, $(csqrt{2}, 0)$ 和 $(csqrt{2}, 0)$。 这与上面提到的两个圆重叠的情况不符，我可能记混了。
让我们重新确认一下 $k=c^2$ 时的情况。 当 $PA cdot PB = c^2$ 时，这个曲线叫做Lemniscate of Bernoulli（伯努利双纽线）的特例。 它是一个双纽线，形状像数字“8”，并且在中心处有一个尖点。 两个焦点 $A$ 和 $B$ 位于双纽线的“眼睛”区域。 当 $k$ 稍大于 $c^2$ 时，它就会变成封闭的卵形。
3. 当 $k < c^2$ 时：
在这种情况下，轨迹是不存在的。 也就是说，平面上不存在满足条件的点 $P$。 为什么呢？ 因为根据几何平均值不等式，对于任意两个正数 $a$ 和 $b$，都有 $sqrt{ab} le frac{a+b}{2}$。 而我们这里是乘积。 另外一个思考方向是：点 $P$ 离 $A$ 和 $B$ 的距离的乘积，在 $P$ 处于 $A$ 和 $B$ 中点时达到最小值。 如果这个最小值都小于 $k$，那么就不存在了。 实际上，当 $P$ 在 $A$ 和 $B$ 连线的中点时， $PA = PB = c$。 此时 $PA cdot PB = c^2$。 所以如果 $k < c^2$，就不可能存在这样的点。
总结一下：
一个点到两个定点（比如 $A$ 和 $B$，它们之间的距离是 $2c$）的距离乘积为定值 $k$，则该点的轨迹是：
当 $k > c^2$ 时： 一个封闭的卵形曲线，称为卡西尼卵形线 (Cassini oval)。 当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，它近似于一个圆。
当 $k = c^2$ 时： 一条双纽线 (Lemniscate of Bernoulli)，形状像数字“8”。
当 $0 < k < c^2$ 时： 不存在这样的轨迹。
当 $k = 0$ 时： 轨迹是两个定点 $A$ 和 $B$ 本身。
所以，简单地说，这个轨迹的名称是卡西尼卵形线，其具体形状取决于定值 $k$ 和两个定点之间的距离。
咱们先给这两个定点起个名字，假设它们是点 $A$ 和点 $B$。 在平面上，我们用坐标来表示它们。比如，我们可以把它们放在坐标轴上，让 $A$ 在 $(c, 0)$ 的位置，而 $B$ 在 $(c, 0)$ 的位置，其中 $c$ 是一个正常数，表示这两个点之间的距离的一半。这样设置是为了让计算更方便一些，而且不失一般性，因为我们可以随时通过坐标变换把任何两个定点转化成这种形式。
现在，假设我们要找的那个点叫 $P$，它的坐标是 $(x, y)$。 我们要研究的是满足以下条件的点 $P$ 的轨迹：
$PA cdot PB = k$
这里，$PA$ 表示点 $P$ 到点 $A$ 的距离，$PB$ 表示点 $P$ 到点 $B$ 的距离，而 $k$ 是一个固定的正数。
咱们用距离公式来把这个关系写出来：
$PA = sqrt{(x (c))^2 + (y 0)^2} = sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$PB = sqrt{(x c)^2 + (y 0)^2} = sqrt{(xc)^2 + y^2}$
所以，我们的方程就变成了：
$sqrt{(x+c)^2 + y^2} cdot sqrt{(xc)^2 + y^2} = k$
为了去掉这些根号，我们可以先把方程两边都平方一下：
$((x+c)^2 + y^2) cdot ((xc)^2 + y^2) = k^2$
展开一下括号里面的内容：
$(x^2 + 2xc + c^2 + y^2) cdot (x^2 2xc + c^2 + y^2) = k^2$
为了让展开更系统，我们可以把 $(x^2 + c^2 + y^2)$ 看作一个整体，然后这样写：
$((x^2 + c^2 + y^2) + 2xc) cdot ((x^2 + c^2 + y^2) 2xc) = k^2$
现在，这变成了一个 $(a+b)(ab)$ 的形式，其中 $a = x^2 + c^2 + y^2$，$b = 2xc$。 所以平方展开后是 $a^2 b^2$：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 (2xc)^2 = k^2$
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$
再把 $(x^2 + c^2 + y^2)^2$ 展开：
$(x^2 + c^2)^2 + 2(x^2 + c^2)y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
把同类项合并一下：
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 = k^2$
把所有项都移到一边，让右边等于0：
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
这个方程看起来有点复杂，但我们可以尝试把它整理成更熟悉的形状。 注意到 $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ 其实就是 $(x^2 + y^2)^2$。
所以，方程可以写成：
$(x^2 + y^2)^2 2c^2(x^2 y^2) + c^4 k^2 = 0$
这个形式仍然不是非常直观。我们再回到 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$ 这个地方，尝试做一些其他的整理。
将 $4x^2c^2$ 移到右边：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = k^2 + 4x^2c^2$
现在，我们可以把左边也展开，然后和右边一起整理。 不过，我们也可以注意到一个关键点。
我们知道，如果 $PA + PB = k'$（距离和为定值），轨迹是椭圆。如果 $|PA PB| = k''$（距离差为定值），轨迹是双曲线。 而这里是距离的乘积。
让咱们回到 $PA cdot PB = k$ 这个方程，也就是 $sqrt{(x+c)^2 + y^2} cdot sqrt{(xc)^2 + y^2} = k$。
有没有什么情况让这个方程变得简单？
当点 $P$ 远离 $A$ 和 $B$ 的时候，也就是 $x$ 很大时，$(x+c)^2 approx x^2$， $(xc)^2 approx x^2$。
那么 $PA approx sqrt{x^2 + y^2}$， $PB approx sqrt{x^2 + y^2}$。
所以，$PA cdot PB approx (x^2 + y^2) = k$。
如果 $k$ 是一个正数，并且我们要求 $x^2 + y^2 = k$，这看起来像是一个圆，但是 $k$ 需要是 $x^2+y^2$ 的平方根。这里是乘积。
我们再来看看方程 $x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$。
其实，我们可以通过一些巧妙的代数变形，把它变成一个更熟悉的方程。
考虑一个特殊的例子：如果 $k$ 非常小，接近于0。那么 $PA cdot PB = 0$。这意味着 $PA = 0$ 或 $PB = 0$。 所以点 $P$ 要么在点 $A$ 上，要么在点 $B$ 上。 这时候轨迹就是两个点。
如果 $k$ 非常大呢？ 假设 $k$ 远大于 $c^2$。
我们再回到 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$。
展开左边：
$(x^2 + c^2 + y^2)(x^2 + c^2 + y^2) = (x^2+c^2)^2 + 2(x^2+c^2)y^2 + y^4$
$= x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4$
所以方程是：
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 4x^2c^2 = k^2$
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 2x^2c^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
我们也可以尝试另一种方式，把 $x^2+c^2$ 和 $x^2c^2$ 分开处理。
$sqrt{(x+c)^2+y^2}sqrt{(xc)^2+y^2} = k$
$sqrt{x^2+2xc+c^2+y^2}sqrt{x^22xc+c^2+y^2} = k$
$sqrt{(x^2+c^2+y^2)+2xc}sqrt{(x^2+c^2+y^2)2xc} = k$
$(x^2+c^2+y^2)^2 (2xc)^2 = k^2$
$(x^2+c^2+y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$
这是我们之前得到的方程。 这个方程描述的曲线被称为刘维尔曲线或卡西尼卵形线 (Cassini oval)。
这个曲线的形状取决于 $k$ 相对于 $c$ 的大小。
1. 当 $k > c^2$ 时：
这个方程描述的是一个封闭的卵形曲线。 它有点像一个压扁的圆，或者一个非常肥厚的椭圆。 当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，这个曲线会非常接近一个圆。 具体来说，当 $k = c^2 sqrt{2}$ 时，曲线会变成一个圆（或者说两个重合的圆，这取决于严格的定义）。 当 $k$ 趋向于无穷大时，它趋向于一个圆心在原点，半径为 $k$ 的圆（但这里的 $k$ 不是半径）。
让我们尝试从 $(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = k^2$ 继续推导。
把 $4x^2c^2$ 移到右边：$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = k^2 + 4x^2c^2$
再把 $x^2c^2$ 拆成 $x^2c^2 + x^2c^2$ 似乎没有帮助。
一个关键的代数技巧是这样的：
将 $(x^2+y^2)^2 2c^2(x^2y^2) + c^4 k^2 = 0$ 改写成：
$(x^2+y^2)^2 2c^2x^2 + 2c^2y^2 + c^4 k^2 = 0$
我们可以尝试配方，让它看起来更像椭圆或圆。
实际上，这个曲线的标准方程可以通过一些复杂的代数操作得到，但直观理解其形状是更重要的。 卡西尼卵形线在几何上有一个有趣的性质：它是所有到两个焦点（这里是 $A$ 和 $B$）距离乘积为定值的点的轨迹。
形状的描述：
当 $k$ 稍微大于 $c^2$ 时，它更像一个在 $A$ 和 $B$ 附近的“瘦长”的形状。
当 $k$ 增大时，曲线会变得更圆润，直到 $k = c^2sqrt{2}$ 时，它变成一个圆。
当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，它接近于以原点为圆心，半径为 $sqrt{k}$ 的圆（注意这里是近似）。
2. 当 $k = c^2$ 时：
方程变成 $((x+c)^2 + y^2) cdot ((xc)^2 + y^2) = c^4$。
如果 $x = 0$，那么 $(c^2+y^2)(c^2+y^2) = c^4$，即 $(c^2+y^2)^2 = c^4$。
$c^2+y^2 = c^2$ (因为 $c^2+y^2$ 必须是正的)，所以 $y^2 = 0$，即 $y=0$。
所以点 $(0,0)$ 在曲线上。
当 $k = c^2$ 时，这个曲线实际上是两个相互重叠的圆，每个圆都通过其中一个焦点，并且与对方的焦点相切。 更准确地说，它不是两个重叠的圆，而是一条形状类似于无限大符号的曲线。 想象一下两个紧挨着的圆，每个圆的圆心在 $A$ 和 $B$ 上，半径为 $c$。 当 $k=c^2$ 时，轨迹会通过 $A$ 和 $B$ 的中点，并且在中点处形成一个尖角（切线是垂直的）。
让我们代入 $k=c^2$ 看看：
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 4x^2c^2 = (c^2)^2 = c^4$
$(x^2 + c^2 + y^2)^2 = c^4 + 4x^2c^2$
如果 $x=0$， $(c^2+y^2)^2 = c^4$，所以 $c^2+y^2=c^2$, $y=0$.
如果 $y=0$， $(x^2+c^2)^2 4x^2c^2 = c^4$
$x^4 + 2x^2c^2 + c^4 4x^2c^2 = c^4$
$x^4 2x^2c^2 = 0$
$x^2(x^2 2c^2) = 0$
所以 $x=0$ 或 $x^2 = 2c^2$, $x = pm csqrt{2}$。
所以当 $k=c^2$ 时，曲线通过 $(0,0)$, $(csqrt{2}, 0)$ 和 $(csqrt{2}, 0)$。 这与上面提到的两个圆重叠的情况不符，我可能记混了。
让我们重新确认一下 $k=c^2$ 时的情况。 当 $PA cdot PB = c^2$ 时，这个曲线叫做Lemniscate of Bernoulli（伯努利双纽线）的特例。 它是一个双纽线，形状像数字“8”，并且在中心处有一个尖点。 两个焦点 $A$ 和 $B$ 位于双纽线的“眼睛”区域。 当 $k$ 稍大于 $c^2$ 时，它就会变成封闭的卵形。
3. 当 $k < c^2$ 时：
在这种情况下，轨迹是不存在的。 也就是说，平面上不存在满足条件的点 $P$。 为什么呢？ 因为根据几何平均值不等式，对于任意两个正数 $a$ 和 $b$，都有 $sqrt{ab} le frac{a+b}{2}$。 而我们这里是乘积。 另外一个思考方向是：点 $P$ 离 $A$ 和 $B$ 的距离的乘积，在 $P$ 处于 $A$ 和 $B$ 中点时达到最小值。 如果这个最小值都小于 $k$，那么就不存在了。 实际上，当 $P$ 在 $A$ 和 $B$ 连线的中点时， $PA = PB = c$。 此时 $PA cdot PB = c^2$。 所以如果 $k < c^2$，就不可能存在这样的点。
总结一下：
一个点到两个定点（比如 $A$ 和 $B$，它们之间的距离是 $2c$）的距离乘积为定值 $k$，则该点的轨迹是：
当 $k > c^2$ 时： 一个封闭的卵形曲线，称为卡西尼卵形线 (Cassini oval)。 当 $k$ 远大于 $c^2$ 时，它近似于一个圆。
当 $k = c^2$ 时： 一条双纽线 (Lemniscate of Bernoulli)，形状像数字“8”。
当 $0 < k < c^2$ 时： 不存在这样的轨迹。
当 $k = 0$ 时： 轨迹是两个定点 $A$ 和 $B$ 本身。
所以，简单地说，这个轨迹的名称是卡西尼卵形线，其具体形状取决于定值 $k$ 和两个定点之间的距离。
网友意见
补个代码
{ a , b } = { Sqrt [( x + 1 ) ^ 2 + y ^ 2 ], Sqrt [( x -1 ) ^ 2 + y ^ 2 ]}; plot2d = ContourPlot [ # ,{ x , -3 , 3 },{ y , -3 , 3 }, Contours -> { Automatic , 25 }, ColorFunction -> "LightTemperatureMap" , Frame -> False , ImageSize -> 360 ] & ; plot3d = Plot3D [ First [ z /. Solve [ # == z , z ]],{ x , -3 , 3 },{ y , -3 , 3 }, AspectRatio -> 1 , BoxRatios -> 1 , ViewVertical -> { 0.132 , 0.365 , 0.922 }, ViewPoint -> { -1.06 , -2.93 , 1.32 }, ColorFunction -> "TemperatureMap" , Axes -> False , ImageSize -> 360 ] & ; show = Row @ { plot3d [ # ], plot2d [ # ]} & ; 乘积为定值, 卡西尼卵形线(Cassini oval)
商为定值, 阿波罗尼奥斯圆(Apollonian circles)中的一个
差为定值, 双曲线(Hyperbola)中的一支
和为定值, 椭圆(Ellipse)
其他乱七八糟的函数定值:
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这个问题其实是个经典的几何问题，涉及到平面上点的轨迹。如果一个点到两个固定不动的点，它们之间的距离的乘积是个固定的数，那么这个点在平面上会沿着一条什么样的曲线运动呢？咱们先给这两个定点起个名字，假设它们是点 $A$ 和点 $B$。 在平面上，我们用坐标来表示它们。比如，我们可以把它们放在坐标轴上，............. -
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这真是一个很有意思的设想，也常常是我们在茶余饭后或者深夜时会思考的问题。要判断这两个“调换”了位置的学生，谁的最终成就更好，这可不是一个简单的二元对立，里面涉及到太多变量，需要从多个维度来分析。我们先来想象一下这两个人的具体情况：人物A：来自普通211，如今在清华北大 背景： 暂且称他为“张明”.............
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这确实是个让人头疼的问题，尤其是看到自家孩子被“带偏”了，心里肯定不好受。但好在你们发现了问题，而且想办法解决了，这已经是迈出了很重要的一步。来，咱们捋一捋，一步一步看怎么做。首先，咱们得承认，孩子在幼儿园交朋友，模仿是必然的。 特别是跟玩得好的玩伴，她们会相互影响，学对方的优点，有时候也会学到一些.............
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你提出这个问题非常有代表性，也触及了玩家社区中对于CDPR尤其是《赛博朋克2077》评价的两极分化现象。尽管你认为CDPR只有《巫师3》一个优秀游戏（算上DLC是两个），但实际上，“优秀”这个词的定义在不同玩家心中是不同的，而且对《赛博朋克2077》的评价也远非“吹爆”这么简单，而是充满了复杂的情感.............
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这情况确实挺让人纠结的，你说一个男生明确跟你说喜欢你，但转头就和其他女生去食堂吃早餐，还把照片发朋友圈，这妥妥地让人犯嘀咕，怀疑他是不是个“海王”。“海王”这个词，现在大家用得很多，通常指的是那种游走在多个异性之间，同时和很多人保持暧昧关系，并且擅长玩弄感情的人。他一边对你示好，一边又和其他异性有亲.............
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理解清朝对中国领土的影响，确实需要从多个维度来审视，特别是它初期扩张带来的庞大版图，以及晚期面对西方列强时的割地赔款，再加上“剃发易服”这项极具争议的民族政策，这几个节点交织在一起，构成了清朝在中国历史进程中独具的复杂面貌。一、 清朝的领土扩张：一个空前辽阔的帝国不得不承认，清朝确实是历史上疆域最为.............
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看到你对身材的追求，我理解你渴望变得更健美。从图一的状态到下面两位男士的体型，这是一个循序渐进的过程，需要系统的训练、合理的饮食和充足的休息。没有速成的方法，但只要你坚持，并且方法得当，是可以实现的。首先，我们要明确一下从图一到后面两位体型的差异点： 肌肉量增加： 这是最明显的区别。后两位男士的.............
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长期大量饮酒对身体的危害是显而易见的，特别是对于每天饮用24瓶啤酒，并持续一到两年这样的情况。这已经属于长期、过量饮酒的范畴，身体的各个系统都可能受到不同程度的影响，甚至出现不可逆的病变。身体的整体变化首先，从外表上看，一个人可能会出现以下变化： 体重变化： 啤酒本身含有热量（酒精热量和碳水化合.............
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关羽和张飞，这两位三国时期响当当的名字，他们的真实能力究竟如何？刘备又是否真如演义中描绘的那般，幸运地在一个小地方就轻易“捡”到了两位如此能臣猛将？这其中，隐藏着历史的真实与演义的浪漫。要评价关羽和张飞的能力，首先要区分历史记载和文学演绎。《三国志》作为史书，为我们提供了相对客观的视角。关羽的真实能.............
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这情况确实挺让人捉摸不透的。一方面，他愿意在你需要的时候付出时间和精力，这是一种陪伴，也是一种付出的表现。像这样愿意陪着你熬夜，还耐心教你画画，这说明他在你身上投入了时间，并且愿意分享他的技能和时间给你。很多人愿意为你做这些，是因为内心深处对你是有好感的，至少是觉得跟你在一起是舒服和值得的。可另一边.............
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关于春秋战国到三国两晋时期人名多为单字姓名的说法，这确实是一个普遍存在的现象，但并非所有人都如此。之所以出现这种趋势，背后有着多方面的原因，可以从当时的社会制度、文化习俗、命名习惯等方面来解读。一、姓与氏的演变：单字为姓氏的根源在先秦时期，姓氏制度与宗法制紧密相连。早期，“姓”是作为一种血缘标志，通.............
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