如何解出这个定积分?
好的，我们来好好聊聊如何一步步拆解并算出这个定积分。
假设我们要计算的定积分是这样的：
$$ int_a^b f(x) , dx $$
这里的 $a$ 是积分的下限，$b$ 是积分的上限，$f(x)$ 是被积函数，而 $dx$ 表示我们是相对于变量 $x$ 来进行积分。
要解出这个定积分，通常我们会经历以下几个关键步骤：
第一步：找到被积函数 $f(x)$ 的不定积分（原函数）
这一步是最核心、也可能是最耗费脑筋的部分。找到一个函数 $F(x)$，使得它的导数就是被积函数 $f(x)$，即 $F'(x) = f(x)$。这个 $F(x)$ 就被称为 $f(x)$ 的一个原函数。
这一步涉及的技巧非常多，具体取决于被积函数 $f(x)$ 的形式：
基本积分公式： 你需要熟悉一些基本的积分公式，比如：
$int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (当 $n eq 1$ 时)
$int frac{1}{x} , dx = ln|x| + C$
$int e^x , dx = e^x + C$
$int sin x , dx = cos x + C$
$int cos x , dx = sin x + C$
$int sec^2 x , dx = an x + C$
$int frac{1}{sqrt{1x^2}} , dx = arcsin x + C$
等等…
线性性质： 如果被积函数是几个函数的和或差，或者乘以一个常数，我们可以逐项积分：
$int [c f(x) pm d g(x)] , dx = c int f(x) , dx pm d int g(x) , dx$
换元积分法 (Substitution Rule): 当被积函数包含一个复合函数及其内层函数的导数时，这个方法非常有用。我们设 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) , dx$。积分就变成了 $int f(g(x)) g'(x) , dx = int f(u) , du$。
例子： 假设要积 $int 2x cos(x^2) , dx$。我们可以令 $u = x^2$，那么 $du = 2x , dx$。原积分就变成 $int cos u , du = sin u + C = sin(x^2) + C$。
分部积分法 (Integration by Parts): 当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用这个方法。公式是 $int u , dv = uv int v , du$。关键在于选择合适的 $u$ 和 $dv$。通常选择容易积分的作为 $dv$，选择容易求导的作为 $u$。
例子： 假设要积 $int x e^x , dx$。我们可以令 $u = x$ (容易求导)，$dv = e^x , dx$ (容易积分)。那么 $du = dx$，$v = e^x$。应用公式得到 $x e^x int e^x , dx = x e^x e^x + C$。
三角换元 (Trigonometric Substitution): 当被积函数中出现 $sqrt{a^2 x^2}$、$sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$ 等形式时，可以尝试用三角函数替换，比如令 $x = a sin heta$、 $x = a an heta$ 或 $x = a sec heta$。
部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition): 当被积函数是一个有理函数（两个多项式的比值）时，如果分母可以因式分解，就可以将其分解为更简单的分式之和，再逐项积分。
其他特殊技巧： 有些积分可能需要组合使用上述方法，或者一些特定的积分技巧，比如积分递推公式等。
找到不定积分后，我们通常会得到一个带有常数 $C$ 的表达式 $F(x) + C$。但在计算定积分时，这个常数 $C$ 会被抵消掉，所以我们只需要找到一个原函数即可。
第二步：应用牛顿莱布尼茨公式 (Fundamental Theorem of Calculus, Part 2)
一旦我们找到了被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$，牛顿莱布尼茨公式就告诉我们如何计算定积分：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
这个公式的意义非常直观：就是计算原函数在积分上限处的值，减去原函数在积分下限处的值。
详细步骤示例：
我们来拿一个具体的例子，比如计算这个定积分：
$$ int_0^{pi/2} sin x cos x , dx $$
1. 寻找原函数：
我们看到被积函数是 $sin x cos x$。这里有两个选择来寻找原函数：
方法一：换元法。
我们可以令 $u = sin x$。那么 $du = cos x , dx$。
原来的积分形式是 $int u , du$。
它的不定积分为 $frac{1}{2} u^2 + C$。
将 $u$ 换回 $sin x$，我们得到原函数为 $frac{1}{2} sin^2 x + C$。
方法二：利用三角恒等式。
我们知道 $sin(2x) = 2 sin x cos x$，所以 $sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$。
那么原积分就变成了 $int_0^{pi/2} frac{1}{2} sin(2x) , dx$。
现在来积分 $frac{1}{2} sin(2x)$。我们知道 $int sin(kx) , dx = frac{1}{k} cos(kx) + C$。
所以 $int frac{1}{2} sin(2x) , dx = frac{1}{2} left( frac{1}{2} cos(2x) ight) + C = frac{1}{4} cos(2x) + C$。
这也是一个有效的原函数。
我们选择方法一得到的原函数 $F(x) = frac{1}{2} sin^2 x$ 来计算。
2. 应用牛顿莱布尼茨公式：
积分的下限是 $a = 0$，上限是 $b = pi/2$。
我们要计算 $F(b) F(a) = F(pi/2) F(0)$。
计算 $F(pi/2)$:
$F(pi/2) = frac{1}{2} sin^2(pi/2)$
我们知道 $sin(pi/2) = 1$，所以 $sin^2(pi/2) = 1^2 = 1$。
因此，$F(pi/2) = frac{1}{2} imes 1 = frac{1}{2}$。
计算 $F(0)$:
$F(0) = frac{1}{2} sin^2(0)$
我们知道 $sin(0) = 0$，所以 $sin^2(0) = 0^2 = 0$。
因此，$F(0) = frac{1}{2} imes 0 = 0$。
最后，计算差值：
$F(pi/2) F(0) = frac{1}{2} 0 = frac{1}{2}$。
所以，$int_0^{pi/2} sin x cos x , dx = frac{1}{2}$。
如果用方法二的原函数 $F(x) = frac{1}{4} cos(2x)$ 来算，结果也应该是一样的：
计算 $F(pi/2)$:
$F(pi/2) = frac{1}{4} cos(2 imes pi/2) = frac{1}{4} cos(pi)$
我们知道 $cos(pi) = 1$。
所以，$F(pi/2) = frac{1}{4} imes (1) = frac{1}{4}$。
计算 $F(0)$:
$F(0) = frac{1}{4} cos(2 imes 0) = frac{1}{4} cos(0)$
我们知道 $cos(0) = 1$。
所以，$F(0) = frac{1}{4} imes 1 = frac{1}{4}$。
最后，计算差值：
$F(pi/2) F(0) = frac{1}{4} (frac{1}{4}) = frac{1}{4} + frac{1}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$。
结果一致，这说明我们的计算过程是正确的。
总结一下解定积分的关键点：
1. 熟练掌握不定积分的技巧： 这是基础中的基础。没有扎实的不定积分能力，就无法进行下一步。需要记忆基本公式，并能灵活运用换元、分部、三角换元、部分分式等方法。
2. 理解牛顿莱布尼茨公式： 这是连接不定积分和定积分的桥梁。它告诉我们，只要找到一个原函数，就能通过代入上下限相减来得到定积分的值。
3. 仔细计算代入值： 在代入上下限并计算时，要特别注意三角函数、指数函数等的值，以及符号的处理，尤其是在处理负数或者分数时。
希望这样的解释足够详细，并且没有那种僵硬的“AI味儿”。如果有具体的积分问题想交流，随时都可以提出来！
假设我们要计算的定积分是这样的：
$$ int_a^b f(x) , dx $$
这里的 $a$ 是积分的下限，$b$ 是积分的上限，$f(x)$ 是被积函数，而 $dx$ 表示我们是相对于变量 $x$ 来进行积分。
要解出这个定积分，通常我们会经历以下几个关键步骤：
第一步：找到被积函数 $f(x)$ 的不定积分（原函数）
这一步是最核心、也可能是最耗费脑筋的部分。找到一个函数 $F(x)$，使得它的导数就是被积函数 $f(x)$，即 $F'(x) = f(x)$。这个 $F(x)$ 就被称为 $f(x)$ 的一个原函数。
这一步涉及的技巧非常多，具体取决于被积函数 $f(x)$ 的形式：
基本积分公式： 你需要熟悉一些基本的积分公式，比如：
$int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (当 $n eq 1$ 时)
$int frac{1}{x} , dx = ln|x| + C$
$int e^x , dx = e^x + C$
$int sin x , dx = cos x + C$
$int cos x , dx = sin x + C$
$int sec^2 x , dx = an x + C$
$int frac{1}{sqrt{1x^2}} , dx = arcsin x + C$
等等…
线性性质： 如果被积函数是几个函数的和或差，或者乘以一个常数，我们可以逐项积分：
$int [c f(x) pm d g(x)] , dx = c int f(x) , dx pm d int g(x) , dx$
换元积分法 (Substitution Rule): 当被积函数包含一个复合函数及其内层函数的导数时，这个方法非常有用。我们设 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) , dx$。积分就变成了 $int f(g(x)) g'(x) , dx = int f(u) , du$。
例子： 假设要积 $int 2x cos(x^2) , dx$。我们可以令 $u = x^2$，那么 $du = 2x , dx$。原积分就变成 $int cos u , du = sin u + C = sin(x^2) + C$。
分部积分法 (Integration by Parts): 当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用这个方法。公式是 $int u , dv = uv int v , du$。关键在于选择合适的 $u$ 和 $dv$。通常选择容易积分的作为 $dv$，选择容易求导的作为 $u$。
例子： 假设要积 $int x e^x , dx$。我们可以令 $u = x$ (容易求导)，$dv = e^x , dx$ (容易积分)。那么 $du = dx$，$v = e^x$。应用公式得到 $x e^x int e^x , dx = x e^x e^x + C$。
三角换元 (Trigonometric Substitution): 当被积函数中出现 $sqrt{a^2 x^2}$、$sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $sqrt{x^2 a^2}$ 等形式时，可以尝试用三角函数替换，比如令 $x = a sin heta$、 $x = a an heta$ 或 $x = a sec heta$。
部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition): 当被积函数是一个有理函数（两个多项式的比值）时，如果分母可以因式分解，就可以将其分解为更简单的分式之和，再逐项积分。
其他特殊技巧： 有些积分可能需要组合使用上述方法，或者一些特定的积分技巧，比如积分递推公式等。
找到不定积分后，我们通常会得到一个带有常数 $C$ 的表达式 $F(x) + C$。但在计算定积分时，这个常数 $C$ 会被抵消掉，所以我们只需要找到一个原函数即可。
第二步：应用牛顿莱布尼茨公式 (Fundamental Theorem of Calculus, Part 2)
一旦我们找到了被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$，牛顿莱布尼茨公式就告诉我们如何计算定积分：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
这个公式的意义非常直观：就是计算原函数在积分上限处的值，减去原函数在积分下限处的值。
详细步骤示例：
我们来拿一个具体的例子，比如计算这个定积分：
$$ int_0^{pi/2} sin x cos x , dx $$
1. 寻找原函数：
我们看到被积函数是 $sin x cos x$。这里有两个选择来寻找原函数：
方法一：换元法。
我们可以令 $u = sin x$。那么 $du = cos x , dx$。
原来的积分形式是 $int u , du$。
它的不定积分为 $frac{1}{2} u^2 + C$。
将 $u$ 换回 $sin x$，我们得到原函数为 $frac{1}{2} sin^2 x + C$。
方法二：利用三角恒等式。
我们知道 $sin(2x) = 2 sin x cos x$，所以 $sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$。
那么原积分就变成了 $int_0^{pi/2} frac{1}{2} sin(2x) , dx$。
现在来积分 $frac{1}{2} sin(2x)$。我们知道 $int sin(kx) , dx = frac{1}{k} cos(kx) + C$。
所以 $int frac{1}{2} sin(2x) , dx = frac{1}{2} left( frac{1}{2} cos(2x) ight) + C = frac{1}{4} cos(2x) + C$。
这也是一个有效的原函数。
我们选择方法一得到的原函数 $F(x) = frac{1}{2} sin^2 x$ 来计算。
2. 应用牛顿莱布尼茨公式：
积分的下限是 $a = 0$，上限是 $b = pi/2$。
我们要计算 $F(b) F(a) = F(pi/2) F(0)$。
计算 $F(pi/2)$:
$F(pi/2) = frac{1}{2} sin^2(pi/2)$
我们知道 $sin(pi/2) = 1$，所以 $sin^2(pi/2) = 1^2 = 1$。
因此，$F(pi/2) = frac{1}{2} imes 1 = frac{1}{2}$。
计算 $F(0)$:
$F(0) = frac{1}{2} sin^2(0)$
我们知道 $sin(0) = 0$，所以 $sin^2(0) = 0^2 = 0$。
因此，$F(0) = frac{1}{2} imes 0 = 0$。
最后，计算差值：
$F(pi/2) F(0) = frac{1}{2} 0 = frac{1}{2}$。
所以，$int_0^{pi/2} sin x cos x , dx = frac{1}{2}$。
如果用方法二的原函数 $F(x) = frac{1}{4} cos(2x)$ 来算，结果也应该是一样的：
计算 $F(pi/2)$:
$F(pi/2) = frac{1}{4} cos(2 imes pi/2) = frac{1}{4} cos(pi)$
我们知道 $cos(pi) = 1$。
所以，$F(pi/2) = frac{1}{4} imes (1) = frac{1}{4}$。
计算 $F(0)$:
$F(0) = frac{1}{4} cos(2 imes 0) = frac{1}{4} cos(0)$
我们知道 $cos(0) = 1$。
所以，$F(0) = frac{1}{4} imes 1 = frac{1}{4}$。
最后，计算差值：
$F(pi/2) F(0) = frac{1}{4} (frac{1}{4}) = frac{1}{4} + frac{1}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$。
结果一致，这说明我们的计算过程是正确的。
总结一下解定积分的关键点：
1. 熟练掌握不定积分的技巧： 这是基础中的基础。没有扎实的不定积分能力，就无法进行下一步。需要记忆基本公式，并能灵活运用换元、分部、三角换元、部分分式等方法。
2. 理解牛顿莱布尼茨公式： 这是连接不定积分和定积分的桥梁。它告诉我们，只要找到一个原函数，就能通过代入上下限相减来得到定积分的值。
3. 仔细计算代入值： 在代入上下限并计算时，要特别注意三角函数、指数函数等的值，以及符号的处理，尤其是在处理负数或者分数时。
希望这样的解释足够详细，并且没有那种僵硬的“AI味儿”。如果有具体的积分问题想交流，随时都可以提出来！
网友意见
emmm，只知道积分是收敛的。
btw，你这题成功爆了我的WolframAlpha2333
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