这个定积分如何求解？
这道定积分 $int_1^e frac{(ln x)^2}{x} dx$ 确实是个有趣的题目，我们一步一步来拆解它。
问题解析：我们面对的是一个怎样的积分？
首先，我们看到积分的被积函数是 $frac{(ln x)^2}{x}$，而积分区间是从 $1$ 到 $e$。
被积函数： $frac{(ln x)^2}{x}$。它由两部分组成：$ln x$（自然对数函数）的平方，以及 $x$。这两个函数本身并不复杂，但它们组合在一起时，尤其是 $ln x$ 的平方，会让我们想到一些特定的积分技巧。
积分区间： $[1, e]$。这里的上限 $e$ 是自然对数的底数，通常在涉及 $ln x$ 的积分中出现，这常常是一个好兆头，暗示着可能有“漂亮的”结果。下限 $1$ 是 $ln x$ 的一个关键点，因为 $ln(1) = 0$。
求解策略：哪个积分技巧最合适？
面对这样的被积函数，我们脑海中可能会浮现几种求解思路：
1. 直接积分法？ 如果被积函数是一个基本函数的积分，比如 $int x^n dx$ 或者 $int frac{1}{x} dx$。但 $frac{(ln x)^2}{x}$ 并不是一个我们能直接记出原函数的类型。
2. 换元积分法？ 这是我们首先应该考虑的。观察被积函数 $frac{(ln x)^2}{x}$，我们注意到 $ln x$ 的导数是 $frac{1}{x}$。而且，我们有 $(ln x)^2$ 这一项。这强烈提示我们可以使用换元积分法。
3. 分部积分法？ 如果我们能将被积函数看成两个函数的乘积，比如 $u dv$，然后套用 $int u dv = uv int v du$ 的公式。虽然理论上可能行，但在这个例子中，似乎不如换元法来得直接和高效。如果我们尝试分部积分，比如令 $u = (ln x)^2$，$dv = frac{1}{x} dx$，那么 $du = 2 ln x cdot frac{1}{x} dx$，$v = ln x$。这时我们会得到 $int v du = int ln x cdot frac{2 ln x}{x} dx = 2 int frac{(ln x)^2}{x} dx$，这样就又回到了原式，没有解决问题。如果令 $u = ln x$，$dv = frac{ln x}{x} dx$，计算 $dv$ 的积分可能也很麻烦。所以，换元法是最佳选择。
换元法详解：一步步替换
我们决定使用换元积分法。核心思路是找到一个替换，让被积函数和积分区间变得更简单。
第一步：选择合适的替换变量
观察 $frac{(ln x)^2}{x}$，我们注意到 $ln x$ 及其导数 $frac{1}{x}$ 都出现在表达式中。这让我们自然而然地选择：
令 $u = ln x$
第二步：计算微分
对 $u = ln x$ 两边取微分：
$du = d(ln x)$
我们知道 $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$，所以：
$du = frac{1}{x} dx$
第三步：转换被积函数
现在我们将原被积函数中的 $ln x$ 和 $frac{1}{x} dx$ 用 $u$ 和 $du$ 来替换：
原被积函数是 $(ln x)^2 cdot frac{1}{x} dx$。
将 $u = ln x$ 代入，得到 $u^2$。
将 $frac{1}{x} dx = du$ 代入。
所以，被积函数就变成了 $u^2 du$。
第四步：转换积分区间
这是进行定积分换元时非常关键的一步。我们不能直接使用原来的积分区间 $[1, e]$，因为现在的积分变量是 $u$，而不是 $x$。我们需要根据我们选择的替换关系 $u = ln x$ 来计算新的积分上下限。
下限： 当 $x = 1$ 时，新的下限 $u$ 是：
$u = ln(1) = 0$
上限： 当 $x = e$ 时，新的上限 $u$ 是：
$u = ln(e) = 1$
所以，原来的定积分 $int_1^e frac{(ln x)^2}{x} dx$ 就完全转换成了关于 $u$ 的定积分：
$int_0^1 u^2 du$
计算新积分：简单的幂函数积分
现在我们面对的是一个非常简单的积分：$int_0^1 u^2 du$。
对 $u^2$ 进行积分，根据幂函数积分法则 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，我们得到：
$int u^2 du = frac{u^{2+1}}{2+1} = frac{u^3}{3}$
第五步：计算定积分的值
最后，我们将求得的原函数 $frac{u^3}{3}$ 在新的积分区间 $[0, 1]$ 上进行计算，使用牛顿莱布尼茨公式：$int_a^b f(u) du = F(b) F(a)$。
$int_0^1 u^2 du = left[ frac{u^3}{3} ight]_0^1$
$= frac{(1)^3}{3} frac{(0)^3}{3}$
$= frac{1}{3} 0$
$= frac{1}{3}$
结果与回顾
因此，原定积分 $int_1^e frac{(ln x)^2}{x} dx$ 的值为 $frac{1}{3}$。
整个过程非常流畅，换元法在这里展现了它的威力。关键在于识别出 $(ln x)$ 和其导数 $(frac{1}{x})$ 的“匹配”关系，并准确地转换积分的变量和上下限。
总结一下我们的步骤：
1. 识别特征： 被积函数中包含 $ln x$ 及其导数 $frac{1}{x}$。
2. 选择替换： 令 $u = ln x$。
3. 计算微分： $du = frac{1}{x} dx$。
4. 转换被积函数： $(ln x)^2 frac{1}{x} dx$ 变为 $u^2 du$。
5. 转换积分区间： $x=1 implies u=0$， $x=e implies u=1$。
6. 计算新积分： $int_0^1 u^2 du = left[ frac{u^3}{3} ight]_0^1$。
7. 得出结果： $frac{1}{3} 0 = frac{1}{3}$。
希望这个详细的讲解能帮到你！
问题解析：我们面对的是一个怎样的积分？
首先，我们看到积分的被积函数是 $frac{(ln x)^2}{x}$，而积分区间是从 $1$ 到 $e$。
被积函数： $frac{(ln x)^2}{x}$。它由两部分组成：$ln x$（自然对数函数）的平方，以及 $x$。这两个函数本身并不复杂，但它们组合在一起时，尤其是 $ln x$ 的平方，会让我们想到一些特定的积分技巧。
积分区间： $[1, e]$。这里的上限 $e$ 是自然对数的底数，通常在涉及 $ln x$ 的积分中出现，这常常是一个好兆头，暗示着可能有“漂亮的”结果。下限 $1$ 是 $ln x$ 的一个关键点，因为 $ln(1) = 0$。
求解策略：哪个积分技巧最合适？
面对这样的被积函数，我们脑海中可能会浮现几种求解思路：
1. 直接积分法？ 如果被积函数是一个基本函数的积分，比如 $int x^n dx$ 或者 $int frac{1}{x} dx$。但 $frac{(ln x)^2}{x}$ 并不是一个我们能直接记出原函数的类型。
2. 换元积分法？ 这是我们首先应该考虑的。观察被积函数 $frac{(ln x)^2}{x}$，我们注意到 $ln x$ 的导数是 $frac{1}{x}$。而且，我们有 $(ln x)^2$ 这一项。这强烈提示我们可以使用换元积分法。
3. 分部积分法？ 如果我们能将被积函数看成两个函数的乘积，比如 $u dv$，然后套用 $int u dv = uv int v du$ 的公式。虽然理论上可能行，但在这个例子中，似乎不如换元法来得直接和高效。如果我们尝试分部积分，比如令 $u = (ln x)^2$，$dv = frac{1}{x} dx$，那么 $du = 2 ln x cdot frac{1}{x} dx$，$v = ln x$。这时我们会得到 $int v du = int ln x cdot frac{2 ln x}{x} dx = 2 int frac{(ln x)^2}{x} dx$，这样就又回到了原式，没有解决问题。如果令 $u = ln x$，$dv = frac{ln x}{x} dx$，计算 $dv$ 的积分可能也很麻烦。所以，换元法是最佳选择。
换元法详解：一步步替换
我们决定使用换元积分法。核心思路是找到一个替换，让被积函数和积分区间变得更简单。
第一步：选择合适的替换变量
观察 $frac{(ln x)^2}{x}$，我们注意到 $ln x$ 及其导数 $frac{1}{x}$ 都出现在表达式中。这让我们自然而然地选择：
令 $u = ln x$
第二步：计算微分
对 $u = ln x$ 两边取微分：
$du = d(ln x)$
我们知道 $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$，所以：
$du = frac{1}{x} dx$
第三步：转换被积函数
现在我们将原被积函数中的 $ln x$ 和 $frac{1}{x} dx$ 用 $u$ 和 $du$ 来替换：
原被积函数是 $(ln x)^2 cdot frac{1}{x} dx$。
将 $u = ln x$ 代入，得到 $u^2$。
将 $frac{1}{x} dx = du$ 代入。
所以，被积函数就变成了 $u^2 du$。
第四步：转换积分区间
这是进行定积分换元时非常关键的一步。我们不能直接使用原来的积分区间 $[1, e]$，因为现在的积分变量是 $u$，而不是 $x$。我们需要根据我们选择的替换关系 $u = ln x$ 来计算新的积分上下限。
下限： 当 $x = 1$ 时，新的下限 $u$ 是：
$u = ln(1) = 0$
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$int_0^1 u^2 du$
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$int u^2 du = frac{u^{2+1}}{2+1} = frac{u^3}{3}$
第五步：计算定积分的值
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$int_0^1 u^2 du = left[ frac{u^3}{3} ight]_0^1$
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1. 识别特征： 被积函数中包含 $ln x$ 及其导数 $frac{1}{x}$。
2. 选择替换： 令 $u = ln x$。
3. 计算微分： $du = frac{1}{x} dx$。
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6. 计算新积分： $int_0^1 u^2 du = left[ frac{u^3}{3} ight]_0^1$。
7. 得出结果： $frac{1}{3} 0 = frac{1}{3}$。
希望这个详细的讲解能帮到你！
网友意见
这类定积分最方便的算法是通过换元，转化成欧拉Beta函数来算。Beta函数和Gamma函数的基本性质在任何一本微积分教材上都有介绍，我就不细说了。
至于不定积分就稍微麻烦点了，不过已经有答主给出了具体的初等函数形式，可以参考一下。
以上
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