这个反常积分的发散如何证明?
我们来聊聊为什么这个“反常积分”会发散。所谓反常积分，说白了，就是我们平常计算定积分时，遇到了点“麻烦”，比如积分区域无限大，或者被积函数在某个点附近 behaves “怪怪的”。而我们今天要说的这个，从它的形式上看，就很可能属于积分区域无限大的情况。
假设我们面对的积分是这样的（我们就先别管具体是什么函数了，先抓住“区域无限大”这个核心特征）：
$$ int_{a}^{infty} f(x) , dx $$
这里的 $infty$ 就是告诉我们，积分的上限一直在往远方延伸，永无止境。我们知道，定积分的本质是求曲线下的面积。当积分上限跑到无穷远时，我们是在问：“从 $a$ 这个点开始，一直到无穷远处，这条由函数 $f(x)$ 和 x 轴围成的“带子”的面积，究竟有多大？”
发散，简单来说，就是这个面积“算不完”，它会趋向于无限大。
那么，怎么证明这一点呢？我们的思路是这样的：我们不能真的去计算一个无限大的面积。所以，我们得找一种“间接”的方式来判断。
核心思想：用一个“你知道它有多大”的已知积分来“比对”。
我们可以把这个反常积分看作是一个“极限”的过程。如果我们能找到另一个函数 $g(x)$，使得：
1. 在大部分区域， $f(x)$ 都比 $g(x)$ 大（或者至少不比 $g(x)$ 小）。 也就是说，$f(x) ge g(x)$ 在某个 $N$ 之后成立。
2. 我们知道从 $N$ 到无穷大的这个 $g(x)$ 的积分是发散的（面积是无限大的）。
如果这两点都满足，那么就像你用一根长绳子去比一根更长的绳子一样，如果更长的绳子都装不进一个箱子里，那短的绳子自然也装不进去。同样的道理，如果 $f(x)$ 的面积在大部分区域都比一个已经发散的 $g(x)$ 的面积还要大，那么 $f(x)$ 的总面积自然也是无限大的。
这叫做比较判别法（Comparison Test），是证明反常积分发散的常用工具。
反过来想，如果 $f(x)$ 在大部分区域都比一个收敛的积分（比如它的面积是有限的）还要小，那么 $f(x)$ 的积分自然也是收敛的。
但这回我们要证明的是“发散”，所以我们要找一个“足够大”的“发散”的参照物。
举个例子，来看一个具体的反常积分的发散证明：
假设我们要证明这个积分发散：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x} , dx $$
我们知道，当 $x o infty$ 的时候，$frac{1}{x}$ 越来越接近于 $0$，但它“慢悠悠”地接近 $0$。
我们该怎么证明它的面积是无限大呢？
我们需要找到一个函数 $g(x)$，使得在 $[1, infty)$ 上 $frac{1}{x} ge g(x)$，并且 $int_{1}^{infty} g(x) , dx$ 是发散的。
让我们考虑一个更“坏”一点的函数，比如 $frac{1}{2x}$ 或者更简单地，我们直接考虑这个积分本身的极限定义：
反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$ 的定义是：
$$ int_{a}^{infty} f(x) , dx = lim_{b o infty} int_{a}^{b} f(x) , dx $$
我们来计算 $int_{1}^{b} frac{1}{x} , dx$：
$$ int_{1}^{b} frac{1}{x} , dx = [ln|x|]_{1}^{b} = ln(b) ln(1) = ln(b) $$
现在，我们看这个极限：
$$ lim_{b o infty} ln(b) $$
大家都知道，当 $b$ 越来越大时，$ln(b)$ 也会越来越大，并且会一直增大下去，它会趋向于无穷大。
$$ lim_{b o infty} ln(b) = infty $$
这就直接证明了 $int_{1}^{infty} frac{1}{x} , dx$ 是发散的。
为什么说它“慢悠悠”地接近零呢？
我们可以和另一个我们知道收敛的积分比一下，比如 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx$。
$$ int_{1}^{b} frac{1}{x^2} , dx = int_{1}^{b} x^{2} , dx = [x^{1}]_{1}^{b} = frac{1}{b} (frac{1}{1}) = 1 frac{1}{b} $$
当 $b o infty$ 时，$frac{1}{b} o 0$，所以 $lim_{b o infty} (1 frac{1}{b}) = 1$。这个积分是收敛的，收敛于 $1$。
你看，在 $x$ 很大的时候，$frac{1}{x}$ 比 $frac{1}{x^2}$ 要“大得多”。虽然它们都趋向于零，但 $frac{1}{x}$ 的“衰减速度”太慢了，以至于在无穷远处积累起来的面积仍然是无限大的。
总结一下证明一个反常积分（形式为 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$）发散的思路：
1. 理解定义： 反常积分是对应极限 $lim_{b o infty} int_{a}^{b} f(x) , dx$ 的存在与否。如果极限是有限的，则收敛；如果极限是 $infty$ 或 $infty$，或者极限不存在，则发散。
2. 直接计算极限： 如果被积函数 $f(x)$ 比较简单，可以直接计算定积分 $int_{a}^{b} f(x) , dx$，然后求当 $b o infty$ 时的极限。如果极限是无穷大（或不存在），则该反常积分发散。
3. 使用比较判别法：
找到一个在积分区域（比如 $[N, infty)$）内满足 $f(x) ge g(x)$ 的函数 $g(x)$。
证明 $int_{N}^{infty} g(x) , dx$ 是发散的（通常通过直接计算极限，或者再次使用比较判别法来证明 $g(x)$ 的发散）。
如果这两个条件都满足，那么 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$ 也发散。
当我们说一个反常积分“发散”的时候，就像我们在试图测量一片无限延伸的土地的面积，而这片土地的“高度”虽然可能在下降，但下降得不够快，导致我们无论测量多远，总面积都在不断累积，永远也达不到一个固定的、有限的数值。它就像一个永远也填不满的杯子。
假设我们面对的积分是这样的（我们就先别管具体是什么函数了，先抓住“区域无限大”这个核心特征）：
$$ int_{a}^{infty} f(x) , dx $$
这里的 $infty$ 就是告诉我们，积分的上限一直在往远方延伸，永无止境。我们知道，定积分的本质是求曲线下的面积。当积分上限跑到无穷远时，我们是在问：“从 $a$ 这个点开始，一直到无穷远处，这条由函数 $f(x)$ 和 x 轴围成的“带子”的面积，究竟有多大？”
发散，简单来说，就是这个面积“算不完”，它会趋向于无限大。
那么，怎么证明这一点呢？我们的思路是这样的：我们不能真的去计算一个无限大的面积。所以，我们得找一种“间接”的方式来判断。
核心思想：用一个“你知道它有多大”的已知积分来“比对”。
我们可以把这个反常积分看作是一个“极限”的过程。如果我们能找到另一个函数 $g(x)$，使得：
1. 在大部分区域， $f(x)$ 都比 $g(x)$ 大（或者至少不比 $g(x)$ 小）。 也就是说，$f(x) ge g(x)$ 在某个 $N$ 之后成立。
2. 我们知道从 $N$ 到无穷大的这个 $g(x)$ 的积分是发散的（面积是无限大的）。
如果这两点都满足，那么就像你用一根长绳子去比一根更长的绳子一样，如果更长的绳子都装不进一个箱子里，那短的绳子自然也装不进去。同样的道理，如果 $f(x)$ 的面积在大部分区域都比一个已经发散的 $g(x)$ 的面积还要大，那么 $f(x)$ 的总面积自然也是无限大的。
这叫做比较判别法（Comparison Test），是证明反常积分发散的常用工具。
反过来想，如果 $f(x)$ 在大部分区域都比一个收敛的积分（比如它的面积是有限的）还要小，那么 $f(x)$ 的积分自然也是收敛的。
但这回我们要证明的是“发散”，所以我们要找一个“足够大”的“发散”的参照物。
举个例子，来看一个具体的反常积分的发散证明：
假设我们要证明这个积分发散：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x} , dx $$
我们知道，当 $x o infty$ 的时候，$frac{1}{x}$ 越来越接近于 $0$，但它“慢悠悠”地接近 $0$。
我们该怎么证明它的面积是无限大呢？
我们需要找到一个函数 $g(x)$，使得在 $[1, infty)$ 上 $frac{1}{x} ge g(x)$，并且 $int_{1}^{infty} g(x) , dx$ 是发散的。
让我们考虑一个更“坏”一点的函数，比如 $frac{1}{2x}$ 或者更简单地，我们直接考虑这个积分本身的极限定义：
反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$ 的定义是：
$$ int_{a}^{infty} f(x) , dx = lim_{b o infty} int_{a}^{b} f(x) , dx $$
我们来计算 $int_{1}^{b} frac{1}{x} , dx$：
$$ int_{1}^{b} frac{1}{x} , dx = [ln|x|]_{1}^{b} = ln(b) ln(1) = ln(b) $$
现在，我们看这个极限：
$$ lim_{b o infty} ln(b) $$
大家都知道，当 $b$ 越来越大时，$ln(b)$ 也会越来越大，并且会一直增大下去，它会趋向于无穷大。
$$ lim_{b o infty} ln(b) = infty $$
这就直接证明了 $int_{1}^{infty} frac{1}{x} , dx$ 是发散的。
为什么说它“慢悠悠”地接近零呢？
我们可以和另一个我们知道收敛的积分比一下，比如 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx$。
$$ int_{1}^{b} frac{1}{x^2} , dx = int_{1}^{b} x^{2} , dx = [x^{1}]_{1}^{b} = frac{1}{b} (frac{1}{1}) = 1 frac{1}{b} $$
当 $b o infty$ 时，$frac{1}{b} o 0$，所以 $lim_{b o infty} (1 frac{1}{b}) = 1$。这个积分是收敛的，收敛于 $1$。
你看，在 $x$ 很大的时候，$frac{1}{x}$ 比 $frac{1}{x^2}$ 要“大得多”。虽然它们都趋向于零，但 $frac{1}{x}$ 的“衰减速度”太慢了，以至于在无穷远处积累起来的面积仍然是无限大的。
总结一下证明一个反常积分（形式为 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$）发散的思路：
1. 理解定义： 反常积分是对应极限 $lim_{b o infty} int_{a}^{b} f(x) , dx$ 的存在与否。如果极限是有限的，则收敛；如果极限是 $infty$ 或 $infty$，或者极限不存在，则发散。
2. 直接计算极限： 如果被积函数 $f(x)$ 比较简单，可以直接计算定积分 $int_{a}^{b} f(x) , dx$，然后求当 $b o infty$ 时的极限。如果极限是无穷大（或不存在），则该反常积分发散。
3. 使用比较判别法：
找到一个在积分区域（比如 $[N, infty)$）内满足 $f(x) ge g(x)$ 的函数 $g(x)$。
证明 $int_{N}^{infty} g(x) , dx$ 是发散的（通常通过直接计算极限，或者再次使用比较判别法来证明 $g(x)$ 的发散）。
如果这两个条件都满足，那么 $int_{a}^{infty} f(x) , dx$ 也发散。
当我们说一个反常积分“发散”的时候，就像我们在试图测量一片无限延伸的土地的面积，而这片土地的“高度”虽然可能在下降，但下降得不够快，导致我们无论测量多远，总面积都在不断累积，永远也达不到一个固定的、有限的数值。它就像一个永远也填不满的杯子。
网友意见
由于积分号内恒正，且 ，所以只需要说明 发散即可。
再由于当 时 ，所以只需要说明 时积分 发散即可。
在 上， ，故
被积函数是非负的，所以
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