怎么求解这个反常积分？
好的，我们来聊聊怎么搞定这个反常积分。说到反常积分，其实就是积分区间要么是无限的，要么是积分函数在区间内有不连续点（也就是“出问题”的点）。我们今天要解的这个，我猜你指的是那种形式的：
$$ int_a^infty f(x) dx quad ext{或者} quad int_a^b f(x) dx ext{，其中 } f(c) ext{ 在 } c in (a, b) ext{ 不连续} $$
假设我们遇到的具体反常积分是这样的：
$$ int_1^infty frac{1}{x^2} dx $$
这是一个典型的“区间无限”的反常积分。咱们一步一步来拆解它。
第一步：看清楚“反常”在哪里
先得明确这个积分为什么是反常的。
积分上限是无穷大 ($infty$)：这直接告诉我们这是个反常积分。
被积函数是 $1/x^2$：在积分区间 $[1, infty)$ 内，这个函数是连续且有定义的，所以问题就出在积分区间的无限性上。
第二步：用极限来“驯服”无穷
反常积分的本质，就是用极限来“替换”掉那个无穷大的部分。我们不能直接把 $infty$ 代进去算，那样太“野”了。正确的做法是引入一个变量，比如 $b$，让它趋近于无穷大。
所以，我们可以把刚才那个积分写成：
$$ int_1^infty frac{1}{x^2} dx = lim_{b o infty} int_1^b frac{1}{x^2} dx $$
你看，这里我们就用一个带有极限的“正常”定积分代替了原来的反常积分。现在我们的任务就变成了计算 $int_1^b frac{1}{x^2} dx$ 这个定积分，然后看看当 $b$ 越来越大的时候，这个积分的值会怎么变化。
第三步：计算那个“正常”的定积分
现在我们要计算的是 $int_1^b frac{1}{x^2} dx$。
被积函数 $1/x^2$ 我们可以写成 $x^{2}$。计算不定积分是个基本功：
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C quad (n eq 1) $$
套用这个公式，当 $n = 2$ 的时候：
$$ int x^{2} dx = frac{x^{2+1}}{2+1} + C = frac{x^{1}}{1} + C = frac{1}{x} + C $$
所以，我们这个定积分的“原函数”就是 $1/x$。现在就可以用牛顿莱布尼茨公式来计算定积分了：
$$ int_1^b frac{1}{x^2} dx = left[ frac{1}{x} ight]_1^b $$
这个方括号里的东西，意思是把上限 $b$ 代入函数，再减去把下限 $1$ 代入函数：
$$ left[ frac{1}{x} ight]_1^b = left(frac{1}{b} ight) left(frac{1}{1} ight) = frac{1}{b} (1) = 1 frac{1}{b} $$
第四步：让变量趋近于极限，看结果如何
最后一步，就是把我们计算出的这个结果，放回到极限表达式里：
$$ lim_{b o infty} left( 1 frac{1}{b} ight) $$
现在我们来分析这个极限：
当 $b$ 越来越大，趋向于无穷大时，$1/b$ 这个值会越来越小，无限接近于 0。
所以，$lim_{b o infty} frac{1}{b} = 0$。
把这个结果代回去：
$$ lim_{b o infty} left( 1 frac{1}{b} ight) = 1 0 = 1 $$
结论
经过这一系列步骤，我们得到了 $int_1^infty frac{1}{x^2} dx = 1$。
总结一下关键点：
1. 识别反常性：判断是区间无限还是被积函数不连续。
2. 引入极限：用变量替换无限区间（如 $[a, infty)$ 变成 $[a, b]$ 并令 $b o infty$），或者在不连续点附近拆分区间并用极限处理（如 $int_a^c f(x) dx + int_c^b f(x) dx$，对 $int_c^b f(x) dx$ 用 $c+epsilon o c^+$ 的极限）。
3. 计算定积分：利用微积分基本定理计算由极限定义的定积分。
4. 求极限值：对定积分的结果进行求极限。如果极限存在且为有限值，则反常积分收敛；如果极限不存在或为无穷大，则反常积分发散。
再举个稍微复杂点的例子：$int_0^1 frac{1}{sqrt{x}} dx$
这个积分的反常之处在于积分区间的下限 $0$ 是被积函数 $1/sqrt{x}$ 的一个“奇点”（当 $x=0$ 时，函数值趋向于无穷大）。
1. 识别反常性：函数在 $x=0$ 处不连续。
2. 引入极限：用一个变量 $a$ 来替换下限 $0$，并让 $a$ 从右侧趋近于 $0$（即 $a o 0^+$）。
$$ int_0^1 frac{1}{sqrt{x}} dx = lim_{a o 0^+} int_a^1 frac{1}{sqrt{x}} dx $$
3. 计算定积分：被积函数是 $x^{1/2}$。
$$ int x^{1/2} dx = frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2sqrt{x} + C $$
计算定积分：
$$ int_a^1 frac{1}{sqrt{x}} dx = left[ 2sqrt{x} ight]_a^1 = 2sqrt{1} 2sqrt{a} = 2 2sqrt{a} $$
4. 求极限值：
$$ lim_{a o 0^+} (2 2sqrt{a}) $$
当 $a$ 从右侧趋近于 $0$ 时，$sqrt{a}$ 也趋近于 $0$。
$$ lim_{a o 0^+} (2 2sqrt{a}) = 2 2(0) = 2 $$
所以，$int_0^1 frac{1}{sqrt{x}} dx = 2$。这个反常积分是收敛的。
希望这样细致的讲解能帮助你彻底理解反常积分的计算过程。这就像是在处理一个“有陷阱”的问题，关键在于用数学工具（极限）小心翼翼地绕过或填补那个陷阱。
$$ int_a^infty f(x) dx quad ext{或者} quad int_a^b f(x) dx ext{，其中 } f(c) ext{ 在 } c in (a, b) ext{ 不连续} $$
假设我们遇到的具体反常积分是这样的：
$$ int_1^infty frac{1}{x^2} dx $$
这是一个典型的“区间无限”的反常积分。咱们一步一步来拆解它。
第一步：看清楚“反常”在哪里
先得明确这个积分为什么是反常的。
积分上限是无穷大 ($infty$)：这直接告诉我们这是个反常积分。
被积函数是 $1/x^2$：在积分区间 $[1, infty)$ 内，这个函数是连续且有定义的，所以问题就出在积分区间的无限性上。
第二步：用极限来“驯服”无穷
反常积分的本质，就是用极限来“替换”掉那个无穷大的部分。我们不能直接把 $infty$ 代进去算，那样太“野”了。正确的做法是引入一个变量，比如 $b$，让它趋近于无穷大。
所以，我们可以把刚才那个积分写成：
$$ int_1^infty frac{1}{x^2} dx = lim_{b o infty} int_1^b frac{1}{x^2} dx $$
你看，这里我们就用一个带有极限的“正常”定积分代替了原来的反常积分。现在我们的任务就变成了计算 $int_1^b frac{1}{x^2} dx$ 这个定积分，然后看看当 $b$ 越来越大的时候，这个积分的值会怎么变化。
第三步：计算那个“正常”的定积分
现在我们要计算的是 $int_1^b frac{1}{x^2} dx$。
被积函数 $1/x^2$ 我们可以写成 $x^{2}$。计算不定积分是个基本功：
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$$ int_1^b frac{1}{x^2} dx = left[ frac{1}{x} ight]_1^b $$
这个方括号里的东西，意思是把上限 $b$ 代入函数，再减去把下限 $1$ 代入函数：
$$ left[ frac{1}{x} ight]_1^b = left(frac{1}{b} ight) left(frac{1}{1} ight) = frac{1}{b} (1) = 1 frac{1}{b} $$
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$$ lim_{b o infty} left( 1 frac{1}{b} ight) $$
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把这个结果代回去：
$$ lim_{b o infty} left( 1 frac{1}{b} ight) = 1 0 = 1 $$
结论
经过这一系列步骤，我们得到了 $int_1^infty frac{1}{x^2} dx = 1$。
总结一下关键点：
1. 识别反常性：判断是区间无限还是被积函数不连续。
2. 引入极限：用变量替换无限区间（如 $[a, infty)$ 变成 $[a, b]$ 并令 $b o infty$），或者在不连续点附近拆分区间并用极限处理（如 $int_a^c f(x) dx + int_c^b f(x) dx$，对 $int_c^b f(x) dx$ 用 $c+epsilon o c^+$ 的极限）。
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所以，$int_0^1 frac{1}{sqrt{x}} dx = 2$。这个反常积分是收敛的。
希望这样细致的讲解能帮助你彻底理解反常积分的计算过程。这就像是在处理一个“有陷阱”的问题，关键在于用数学工具（极限）小心翼翼地绕过或填补那个陷阱。
网友意见
这种题目最好用留数定理了。
首先做代换 ，则原积分变为 。接下来就是计算这个积分。设 ，取积分围道：
其中圆的半径为 。由留数定理：
。
第二个积分用 代替 后用Jordan引理，得到在 时趋于零。另一方面，
，所以
。
从而原式等于 。
Jordan引理：设 在 上连续，且 。则对 和 有
。
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