这个极限怎么求？求大佬帮忙？
没问题，这题的极限确实挺有意思的。咱们一步一步来捋一捋，保证讲得清清楚楚，就像老师在你耳边细讲一样。
咱们要算的极限是：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x $$
乍一看，这可能有点蒙。 $x$ 趋向于无穷大，底数 $frac{x+2}{x+1}$ 是不是也趋向于 1 呢？ 然后指数是 $x$，还是无穷大。这就有意思了，我们遇到了一个经典的“1 的无穷次方”的不定式。
第一步：处理“1 的无穷次方”
遇到这种 $1^infty$ 的情况，最常用的一个技巧就是 取对数。咱们设这个极限值为 $L$：
$$ L = lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x $$
然后我们对两边取自然对数（$ln$）：
$$ ln L = ln left[ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x ight] $$
因为对数函数是连续的，我们可以把极限符号移到对数函数里面去：
$$ ln L = lim_{x o infty} left[ ln left( frac{x+2}{x+1} ight)^x ight] $$
利用对数的性质 $ln(a^b) = b ln a$，我们可以把指数 $x$ 提到前面：
$$ ln L = lim_{x o infty} left[ x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight) ight] $$
现在，我们来看这个新的极限：$ lim_{x o infty} left[ x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight) ight] $。
当 $x o infty$ 时，$frac{x+2}{x+1} o 1$，所以 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight) o ln(1) = 0$。
而前面的 $x$ 趋向于无穷大。所以，这个新的极限又是“$infty cdot 0$” 的不定式。
第二步：化为“0/0”或“$infty/infty$”形式，使用洛必达法则
“$infty cdot 0$” 这个不定式，我们可以通过把它变成“$frac{0}{0}$”或“$frac{infty}{infty}$” 的形式，然后使用 洛必达法则 来求解。
咱们把 $x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight)$ 写成 $frac{ln left( frac{x+2}{x+1} ight)}{frac{1}{x}}$ 的形式。
这样，当 $x o infty$ 时，分子 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight) o 0$，分母 $frac{1}{x} o 0$。这就变成了 “$frac{0}{0}$” 的不定式，我们可以用洛必达法则了。
洛必达法则就是对分子和分母分别求导，然后计算新的极限。
求分子导数：
我们先处理 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight)$ 的导数。
可以先对 $frac{x+2}{x+1}$ 进行一下变形，把它凑成更容易求导的形式：
$$ frac{x+2}{x+1} = frac{(x+1) + 1}{x+1} = 1 + frac{1}{x+1} $$
所以，我们要算的是 $ln left( 1 + frac{1}{x+1} ight)$ 的导数。
根据链式法则，$frac{d}{dx} ln(u) = frac{1}{u} cdot frac{du}{dx}$。
这里，$u = 1 + frac{1}{x+1}$。
$frac{du}{dx} = frac{d}{dx} left( 1 + (x+1)^{1} ight) = 0 + (1)(x+1)^{2} cdot 1 = frac{1}{(x+1)^2}$。
所以，分子导数是：
$$ frac{d}{dx} left[ ln left( 1 + frac{1}{x+1} ight) ight] = frac{1}{1 + frac{1}{x+1}} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) $$
$$ = frac{1}{frac{x+1+1}{x+1}} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) = frac{x+1}{x+2} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) $$
$$ = frac{1}{(x+2)(x+1)} $$
求分母导数：
分母是 $frac{1}{x} = x^{1}$。
它的导数是：
$$ frac{d}{dx} left( frac{1}{x} ight) = 1 cdot x^{2} = frac{1}{x^2} $$
第三步：应用洛必达法则计算极限
现在，我们用分子导数除以分母导数，然后计算极限：
$$ ln L = lim_{x o infty} frac{frac{1}{(x+2)(x+1)}}{frac{1}{x^2}} $$
$$ = lim_{x o infty} frac{1}{(x+2)(x+1)} cdot frac{x^2}{1} $$
$$ = lim_{x o infty} frac{x^2}{(x+2)(x+1)} $$
继续化简这个表达式：
$$ frac{x^2}{(x+2)(x+1)} = frac{x^2}{x^2 + x + 2x + 2} = frac{x^2}{x^2 + 3x + 2} $$
当 $x o infty$ 时，对于这种多项式比多项式的情况，我们通常看最高次项的系数比。或者我们可以同时除以 $x^2$：
$$ lim_{x o infty} frac{x^2/x^2}{(x^2 + 3x + 2)/x^2} = lim_{x o infty} frac{1}{1 + frac{3}{x} + frac{2}{x^2}} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{3}{x} o 0$，$frac{2}{x^2} o 0$。
所以：
$$ ln L = frac{1}{1 + 0 + 0} = 1 $$
第四步：求解原极限 $L$
我们算出来的是 $ln L = 1$。
要找原极限 $L$，我们只需要对两边取指数：
$$ L = e^{ln L} = e^1 = e $$
所以，这个极限的值就是 $e$。
回顾和另一种思路 (欧拉公式 $e^x$ 的定义)
其实，这道题的本质和 $e^x$ 的定义非常相关。我们知道，$e^a = lim_{n o infty} left( 1 + frac{a}{n} ight)^n$。
我们来瞧瞧我们的题目：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x = lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^x $$
为了凑成 $e^a$ 的形式，我们注意到底数是 $1 + frac{1}{x+1}$。这里的“1”与指数中的“1”是对应的。
如果指数是 $x+1$ 的话，那结果就直接是 $e^1 = e$ 了。
我们可以做个小小的“变戏法”：
$$ left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^x = left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} cdot left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} $$
然后我们看极限：
$$ lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} $$
令 $y = x+1$。当 $x o infty$ 时，$y o infty$。这个极限就变成了：
$$ lim_{y o infty} left( 1 + frac{1}{y} ight)^y $$
这正是 $e$ 的定义！所以这一部分的极限是 $e$。
再看另一部分：
$$ lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{1}{x+1} o 0$，所以 $1 + frac{1}{x+1} o 1$。
这个极限就是 $1^{1} = 1$。
将两部分极限相乘：
$$ L = lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} cdot lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} = e cdot 1 = e $$
两种方法都殊途同归，最终结果都是 $e$。
希望我讲得够详细，也够清楚了！如果还有什么不明白的地方，尽管提出来！
咱们要算的极限是：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x $$
乍一看，这可能有点蒙。 $x$ 趋向于无穷大，底数 $frac{x+2}{x+1}$ 是不是也趋向于 1 呢？ 然后指数是 $x$，还是无穷大。这就有意思了，我们遇到了一个经典的“1 的无穷次方”的不定式。
第一步：处理“1 的无穷次方”
遇到这种 $1^infty$ 的情况，最常用的一个技巧就是 取对数。咱们设这个极限值为 $L$：
$$ L = lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x $$
然后我们对两边取自然对数（$ln$）：
$$ ln L = ln left[ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x ight] $$
因为对数函数是连续的，我们可以把极限符号移到对数函数里面去：
$$ ln L = lim_{x o infty} left[ ln left( frac{x+2}{x+1} ight)^x ight] $$
利用对数的性质 $ln(a^b) = b ln a$，我们可以把指数 $x$ 提到前面：
$$ ln L = lim_{x o infty} left[ x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight) ight] $$
现在，我们来看这个新的极限：$ lim_{x o infty} left[ x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight) ight] $。
当 $x o infty$ 时，$frac{x+2}{x+1} o 1$，所以 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight) o ln(1) = 0$。
而前面的 $x$ 趋向于无穷大。所以，这个新的极限又是“$infty cdot 0$” 的不定式。
第二步：化为“0/0”或“$infty/infty$”形式，使用洛必达法则
“$infty cdot 0$” 这个不定式，我们可以通过把它变成“$frac{0}{0}$”或“$frac{infty}{infty}$” 的形式，然后使用 洛必达法则 来求解。
咱们把 $x cdot ln left( frac{x+2}{x+1} ight)$ 写成 $frac{ln left( frac{x+2}{x+1} ight)}{frac{1}{x}}$ 的形式。
这样，当 $x o infty$ 时，分子 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight) o 0$，分母 $frac{1}{x} o 0$。这就变成了 “$frac{0}{0}$” 的不定式，我们可以用洛必达法则了。
洛必达法则就是对分子和分母分别求导，然后计算新的极限。
求分子导数：
我们先处理 $ln left( frac{x+2}{x+1} ight)$ 的导数。
可以先对 $frac{x+2}{x+1}$ 进行一下变形，把它凑成更容易求导的形式：
$$ frac{x+2}{x+1} = frac{(x+1) + 1}{x+1} = 1 + frac{1}{x+1} $$
所以，我们要算的是 $ln left( 1 + frac{1}{x+1} ight)$ 的导数。
根据链式法则，$frac{d}{dx} ln(u) = frac{1}{u} cdot frac{du}{dx}$。
这里，$u = 1 + frac{1}{x+1}$。
$frac{du}{dx} = frac{d}{dx} left( 1 + (x+1)^{1} ight) = 0 + (1)(x+1)^{2} cdot 1 = frac{1}{(x+1)^2}$。
所以，分子导数是：
$$ frac{d}{dx} left[ ln left( 1 + frac{1}{x+1} ight) ight] = frac{1}{1 + frac{1}{x+1}} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) $$
$$ = frac{1}{frac{x+1+1}{x+1}} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) = frac{x+1}{x+2} cdot left( frac{1}{(x+1)^2} ight) $$
$$ = frac{1}{(x+2)(x+1)} $$
求分母导数：
分母是 $frac{1}{x} = x^{1}$。
它的导数是：
$$ frac{d}{dx} left( frac{1}{x} ight) = 1 cdot x^{2} = frac{1}{x^2} $$
第三步：应用洛必达法则计算极限
现在，我们用分子导数除以分母导数，然后计算极限：
$$ ln L = lim_{x o infty} frac{frac{1}{(x+2)(x+1)}}{frac{1}{x^2}} $$
$$ = lim_{x o infty} frac{1}{(x+2)(x+1)} cdot frac{x^2}{1} $$
$$ = lim_{x o infty} frac{x^2}{(x+2)(x+1)} $$
继续化简这个表达式：
$$ frac{x^2}{(x+2)(x+1)} = frac{x^2}{x^2 + x + 2x + 2} = frac{x^2}{x^2 + 3x + 2} $$
当 $x o infty$ 时，对于这种多项式比多项式的情况，我们通常看最高次项的系数比。或者我们可以同时除以 $x^2$：
$$ lim_{x o infty} frac{x^2/x^2}{(x^2 + 3x + 2)/x^2} = lim_{x o infty} frac{1}{1 + frac{3}{x} + frac{2}{x^2}} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{3}{x} o 0$，$frac{2}{x^2} o 0$。
所以：
$$ ln L = frac{1}{1 + 0 + 0} = 1 $$
第四步：求解原极限 $L$
我们算出来的是 $ln L = 1$。
要找原极限 $L$，我们只需要对两边取指数：
$$ L = e^{ln L} = e^1 = e $$
所以，这个极限的值就是 $e$。
回顾和另一种思路 (欧拉公式 $e^x$ 的定义)
其实，这道题的本质和 $e^x$ 的定义非常相关。我们知道，$e^a = lim_{n o infty} left( 1 + frac{a}{n} ight)^n$。
我们来瞧瞧我们的题目：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+2}{x+1} ight)^x = lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^x $$
为了凑成 $e^a$ 的形式，我们注意到底数是 $1 + frac{1}{x+1}$。这里的“1”与指数中的“1”是对应的。
如果指数是 $x+1$ 的话，那结果就直接是 $e^1 = e$ 了。
我们可以做个小小的“变戏法”：
$$ left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^x = left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} cdot left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} $$
然后我们看极限：
$$ lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} $$
令 $y = x+1$。当 $x o infty$ 时，$y o infty$。这个极限就变成了：
$$ lim_{y o infty} left( 1 + frac{1}{y} ight)^y $$
这正是 $e$ 的定义！所以这一部分的极限是 $e$。
再看另一部分：
$$ lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{1}{x+1} o 0$，所以 $1 + frac{1}{x+1} o 1$。
这个极限就是 $1^{1} = 1$。
将两部分极限相乘：
$$ L = lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{x+1} cdot lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x+1} ight)^{1} = e cdot 1 = e $$
两种方法都殊途同归，最终结果都是 $e$。
希望我讲得够详细，也够清楚了！如果还有什么不明白的地方，尽管提出来！
网友意见
有一大类极限可以用拉格朗日中值定理求解，这道题就可以。
由泰勒公式易知 。从而
之后用夹逼准则就好啦～
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