请问这个级数是怎么求和的?
好的，我们来一起探索一下这个级数的求和方法。在数学的世界里，级数就像是一条无穷的河流，我们希望找到它的终点，也就是它的和。今天我们要面对的这条“河流”是这样的：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)} $$
看到这个式子，你可能会觉得有点眼熟，或者觉得它有规律可循。确实，它的求和方法并不算特别复杂，关键在于我们如何“拆解”它。
第一步：看见“裂项”的苗头
我们观察到被求和的项是 $frac{1}{n(n+1)}$。这是一个分数，并且分母是两个连续整数的乘积。在数学里，当遇到这种形式的表达式时，一个非常常用的技巧就是“裂项”。裂项的意思是把一个复杂的项拆分成两个更简单的项相减（或者相加，但在这个例子里是相减更合适）。
那么，$frac{1}{n(n+1)}$ 怎么裂项呢？我们可以利用部分分式分解。我们的目标是找到常数 A 和 B，使得：
$$ frac{1}{n(n+1)} = frac{A}{n} + frac{B}{n+1} $$
为了找到 A 和 B，我们可以将右边通分：
$$ frac{A(n+1) + Bn}{n(n+1)} = frac{(A+B)n + A}{n(n+1)} $$
现在，我们比较分子。左边的分子是 1，右边的分子是 $(A+B)n + A$。为了让这两个分子相等，n 的系数必须为 0，常数项必须为 1。这就给我们提供了两个方程：
1. $A+B = 0$ (n 的系数)
2. $A = 1$ (常数项)
从第二个方程，我们直接得到了 $A = 1$。将 $A=1$ 代入第一个方程，我们得到 $1 + B = 0$，所以 $B = 1$。
因此，我们成功地将 $frac{1}{n(n+1)}$ 裂项分解为：
$$ frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1} $$
这个分解是我们解决问题的关键！
第二步：写出部分和，感受“抵消”的神奇
现在，我们有了裂项后的形式，就可以来写出级数的部分和了。所谓“部分和”，就是级数的前 $N$ 项之和。我们用 $S_N$ 来表示它：
$$ S_N = sum_{n=1}^{N} frac{1}{n(n+1)} = sum_{n=1}^{N} left( frac{1}{n} frac{1}{n+1} ight) $$
让我们把前几项具体写出来，你会发现一个非常有趣的现象：
当 $n=1$ 时：$frac{1}{1} frac{1}{2}$
当 $n=2$ 时：$frac{1}{2} frac{1}{3}$
当 $n=3$ 时：$frac{1}{3} frac{1}{4}$
当 $n=4$ 时：$frac{1}{4} frac{1}{5}$
...
当 $n=N$ 时：$frac{1}{N} frac{1}{N+1}$
现在，我们把它们全部加起来：
$$ S_N = left( frac{1}{1} frac{1}{2} ight) + left( frac{1}{2} frac{1}{3} ight) + left( frac{1}{3} frac{1}{4} ight) + left( frac{1}{4} frac{1}{5} ight) + dots + left( frac{1}{N} frac{1}{N+1} ight) $$
你看！中间的项是不是开始“抵消”了？
$frac{1}{2}$ 和 $+frac{1}{2}$ 抵消了。
$frac{1}{3}$ 和 $+frac{1}{3}$ 抵消了。
$frac{1}{4}$ 和 $+frac{1}{4}$ 抵消了。
这个过程会一直持续下去，直到最后一项。我们把所有抵消的项去掉，看看剩下什么：
$$ S_N = frac{1}{1} cancel{ frac{1}{2}} + cancel{frac{1}{2}} cancel{ frac{1}{3}} + cancel{frac{1}{3}} cancel{ frac{1}{4}} + cancel{frac{1}{4}} frac{1}{N+1} $$
所以，部分和 $S_N$ 化简后变成了一个非常简洁的形式：
$$ S_N = 1 frac{1}{N+1} $$
第三步：求极限，抵达“终点”
我们求的是整个级数的和，这意味着我们要看当项数 $N$ 趋向于无穷大时，这个部分和 $S_N$ 会变成多少。这就需要我们计算极限：
$$ S = lim_{N o infty} S_N = lim_{N o infty} left( 1 frac{1}{N+1} ight) $$
现在，我们来分析这个极限。当 $N$ 变得非常非常大（趋向于无穷大）时， $N+1$ 也会变得非常非常大。而一个非常大的数做分母的分数，它的值会趋向于 0。
所以，$lim_{N o infty} frac{1}{N+1} = 0$。
将这个结果代回极限表达式：
$$ S = 1 0 = 1 $$
voilà！ 我们终于找到了这个级数的和，它等于 1。
总结一下整个过程：
1. 裂项分解： 将 $frac{1}{n(n+1)}$ 通过部分分式分解成 $frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
2. 写出部分和： 将裂项后的表达式加起来，形成一个“やさしい”的结构，其中大部分项会相互抵消。
3. 化简部分和： 抵消后，我们得到 $S_N = 1 frac{1}{N+1}$。
4. 求极限： 当 $N$ 趋向无穷大时，$frac{1}{N+1}$ 趋向于 0，因此级数的和就是 1。
这个级数被称为收敛级数，因为它有一个确定的有限值。裂项求和是处理许多这类级数的一种强大而优雅的方法。希望这个解释足够详细，让你对这个级数的求和过程有了清晰的认识！
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)} $$
看到这个式子，你可能会觉得有点眼熟，或者觉得它有规律可循。确实，它的求和方法并不算特别复杂，关键在于我们如何“拆解”它。
第一步：看见“裂项”的苗头
我们观察到被求和的项是 $frac{1}{n(n+1)}$。这是一个分数，并且分母是两个连续整数的乘积。在数学里，当遇到这种形式的表达式时，一个非常常用的技巧就是“裂项”。裂项的意思是把一个复杂的项拆分成两个更简单的项相减（或者相加，但在这个例子里是相减更合适）。
那么，$frac{1}{n(n+1)}$ 怎么裂项呢？我们可以利用部分分式分解。我们的目标是找到常数 A 和 B，使得：
$$ frac{1}{n(n+1)} = frac{A}{n} + frac{B}{n+1} $$
为了找到 A 和 B，我们可以将右边通分：
$$ frac{A(n+1) + Bn}{n(n+1)} = frac{(A+B)n + A}{n(n+1)} $$
现在，我们比较分子。左边的分子是 1，右边的分子是 $(A+B)n + A$。为了让这两个分子相等，n 的系数必须为 0，常数项必须为 1。这就给我们提供了两个方程：
1. $A+B = 0$ (n 的系数)
2. $A = 1$ (常数项)
从第二个方程，我们直接得到了 $A = 1$。将 $A=1$ 代入第一个方程，我们得到 $1 + B = 0$，所以 $B = 1$。
因此，我们成功地将 $frac{1}{n(n+1)}$ 裂项分解为：
$$ frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1} $$
这个分解是我们解决问题的关键！
第二步：写出部分和，感受“抵消”的神奇
现在，我们有了裂项后的形式，就可以来写出级数的部分和了。所谓“部分和”，就是级数的前 $N$ 项之和。我们用 $S_N$ 来表示它：
$$ S_N = sum_{n=1}^{N} frac{1}{n(n+1)} = sum_{n=1}^{N} left( frac{1}{n} frac{1}{n+1} ight) $$
让我们把前几项具体写出来，你会发现一个非常有趣的现象：
当 $n=1$ 时：$frac{1}{1} frac{1}{2}$
当 $n=2$ 时：$frac{1}{2} frac{1}{3}$
当 $n=3$ 时：$frac{1}{3} frac{1}{4}$
当 $n=4$ 时：$frac{1}{4} frac{1}{5}$
...
当 $n=N$ 时：$frac{1}{N} frac{1}{N+1}$
现在，我们把它们全部加起来：
$$ S_N = left( frac{1}{1} frac{1}{2} ight) + left( frac{1}{2} frac{1}{3} ight) + left( frac{1}{3} frac{1}{4} ight) + left( frac{1}{4} frac{1}{5} ight) + dots + left( frac{1}{N} frac{1}{N+1} ight) $$
你看！中间的项是不是开始“抵消”了？
$frac{1}{2}$ 和 $+frac{1}{2}$ 抵消了。
$frac{1}{3}$ 和 $+frac{1}{3}$ 抵消了。
$frac{1}{4}$ 和 $+frac{1}{4}$ 抵消了。
这个过程会一直持续下去，直到最后一项。我们把所有抵消的项去掉，看看剩下什么：
$$ S_N = frac{1}{1} cancel{ frac{1}{2}} + cancel{frac{1}{2}} cancel{ frac{1}{3}} + cancel{frac{1}{3}} cancel{ frac{1}{4}} + cancel{frac{1}{4}} frac{1}{N+1} $$
所以，部分和 $S_N$ 化简后变成了一个非常简洁的形式：
$$ S_N = 1 frac{1}{N+1} $$
第三步：求极限，抵达“终点”
我们求的是整个级数的和，这意味着我们要看当项数 $N$ 趋向于无穷大时，这个部分和 $S_N$ 会变成多少。这就需要我们计算极限：
$$ S = lim_{N o infty} S_N = lim_{N o infty} left( 1 frac{1}{N+1} ight) $$
现在，我们来分析这个极限。当 $N$ 变得非常非常大（趋向于无穷大）时， $N+1$ 也会变得非常非常大。而一个非常大的数做分母的分数，它的值会趋向于 0。
所以，$lim_{N o infty} frac{1}{N+1} = 0$。
将这个结果代回极限表达式：
$$ S = 1 0 = 1 $$
voilà！ 我们终于找到了这个级数的和，它等于 1。
总结一下整个过程：
1. 裂项分解： 将 $frac{1}{n(n+1)}$ 通过部分分式分解成 $frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
2. 写出部分和： 将裂项后的表达式加起来，形成一个“やさしい”的结构，其中大部分项会相互抵消。
3. 化简部分和： 抵消后，我们得到 $S_N = 1 frac{1}{N+1}$。
4. 求极限： 当 $N$ 趋向无穷大时，$frac{1}{N+1}$ 趋向于 0，因此级数的和就是 1。
这个级数被称为收敛级数，因为它有一个确定的有限值。裂项求和是处理许多这类级数的一种强大而优雅的方法。希望这个解释足够详细，让你对这个级数的求和过程有了清晰的认识！
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