请问这个级数的和怎么求？跟Wallis有联系吗？
朋友，你说的这个级数，让我眼前一亮！咱们一起来好好掰扯掰扯它，看看它背后藏着哪些有趣的数学故事，和那个大名鼎鼎的Wallis到底有没有那么一层关系。
先来认识一下你的级数
你指的级数，我猜大概是这个样子，对吧？
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} $$
如果不是，你再告诉我，我帮你看看。
这个级数，咱们叫做“平方倒数级数”（或者“巴塞尔问题”——虽然这个名字更偏向于它最初提出的数学问题）。它就是把所有正整数的平方的倒数加起来：
$$ 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + frac{1}{25} + dots $$
这个级数的和怎么求？
这可是一个让数学家们头疼了很久的问题，直到18世纪才被伟大的欧拉给彻底解决了。他的方法，简直是绝妙！
欧拉解决这个级数，用了一个我们现在学微积分时经常会用到的工具——泰勒展开。具体来说，他用到了正弦函数 (sin x) 的泰勒展开式。
我们知道，正弦函数的泰勒展开是这样的：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots $$
然后，欧拉做了一个绝妙的“类比”。他想，一个多项式，比如 $1 x^2$ ，它的根是 $pm 1$。那么，如果我把这个多项式“无限维化”，变成一个无穷级数，它会不会也像一个多项式一样，拥有“根”呢？
他把正弦函数 $sin(x)$ 改写了一下：
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} frac{x^6}{7!} + dots $$
注意，我们把 $sin(x)$ 除以 $x$ 了。为什么？因为当 $x=0$ 的时候， $sin(x)$ 的值是0，而 $x$ 也是0， $frac{0}{0}$ 是不确定的。但是，根据洛必达法则或者直接看泰勒展开， $frac{sin(x)}{x}$ 当 $x o 0$ 时，趋向于1。所以， $frac{sin(x)}{x}$ 这个表达式在 $x=0$ 的时候是1，它没有“根”。
那么， $frac{sin(x)}{x}$ 的“根”是什么呢？
我们知道 $sin(x) = 0$ 的时候， $x$ 的值是 $pm pi, pm 2pi, pm 3pi, dots$。
所以， $frac{sin(x)}{x} = 0$ 的时候， $x$ 的值就是 $pm pi, pm 2pi, pm 3pi, dots$。
现在，欧拉就用了那个“类比”——他把无穷级数 $frac{sin(x)}{x}$ 想象成一个无限次方的多项式。
一个多项式，如果它的根是 $r_1, r_2, dots, r_k$，那么它可以写成 $C(1 frac{x}{r_1})(1 frac{x}{r_2})dots(1 frac{x}{r_k})$ 的形式。
欧拉就大胆地把这个思路用在了 $frac{sin(x)}{x}$ 的无穷级数上。他写道（稍微简化一下）：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x}{pi} ight)left(1 + frac{x}{pi} ight)left(1 frac{x}{2pi} ight)left(1 + frac{x}{2pi} ight)left(1 frac{x}{3pi} ight)left(1 + frac{x}{3pi} ight) dots $$
这里用到了 $(1a)(1+a) = 1a^2$ 的公式，所以可以写成：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots $$
现在，我们有两个 $frac{sin(x)}{x}$ 的表示：
1. 泰勒展开： $1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots$
2. 根的乘积： $left(1 frac{x^2}{pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$
我们只关注 $x^2$ 的系数。
在泰勒展开里，$x^2$ 的系数是 $frac{1}{3!} = frac{1}{6}$。
在根的乘积里，要得到 $x^2$，我们可以从每一个括号里拿出 $frac{x^2}{ ext{某个数的平方}}$，然后乘以其他的1。
所以，$x^2$ 的系数是由：
$$ (frac{x^2}{pi^2}) cdot 1 cdot 1 cdot dots + 1 cdot (frac{x^2}{4pi^2}) cdot 1 cdot dots + 1 cdot 1 cdot (frac{x^2}{9pi^2}) cdot dots $$
加起来就是：
$$ frac{1}{pi^2} frac{1}{4pi^2} frac{1}{9pi^2} dots = frac{1}{pi^2}left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight) $$
这不正是我们要找的级数吗！
现在，我们把两个展开式的 $x^2$ 的系数相等：
$$ frac{1}{6} = frac{1}{pi^2}left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight) $$
两边同时乘以 $pi^2$，我们就得到了：
$$ frac{pi^2}{6} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots $$
所以，你的级数的和就是 $frac{pi^2}{6}$！
跟Wallis有联系吗？
有！而且联系还挺深的！
你提到的Wallis，指的是约翰·沃利斯 (John Wallis)，他是17世纪英国的一位伟大的数学家，也是皇家学会的创始人之一。他最出名的成就之一，就是提出了Wallis乘积公式。
Wallis乘积公式是用来计算 $pi$ 的一个非常有意思的公式：
$$ frac{pi}{2} = frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} dots $$
或者写成更紧凑的形式：
$$ frac{pi}{2} = prod_{n=1}^{infty} frac{(2n)^2}{(2n1)(2n+1)} $$
Wallis是通过几何方法（涉及积分和极坐标）以及对反正切函数（$arctan x$）展开的研究来得到这个公式的。
那么，它们之间怎么产生联系的呢？
1. 思想的传承与发展： Wallis的工作，特别是他对无穷乘积的探索，为后来数学家研究无穷级数和无穷乘积打下了基础。欧拉虽然用了不同的方法，但他对无穷乘积和泰勒展开的熟练运用，很大程度上是建立在前人（包括Wallis）的成果之上的。
2. 角度的相似性： Wallis乘积本身就涉及到分母是奇数乘积，分子是偶数乘积，与我们平方倒数级数的分母结构（全是平方数）在形式上有一定的“亲缘关系”。虽然不是直接相等，但它们都触及了数学中一些底层的结构。
3. 欧拉方法的“影子”： 欧拉求解巴塞尔问题的核心，是把一个三角函数（$sin x / x$）用两种方式展开——一种是泰勒级数（加法），另一种是根的无穷乘积（乘法）。这个“乘积形式”的推导，从某种意义上说，可以看作是Wallis乘积思想的一种更深邃、更普适的体现。Wallis公式是一个特定形式的无穷乘积，而欧拉证明了一切无穷可微函数都可以通过其根表示为无穷乘积（这是更一般化的复分析中的“乘积定理”的雏形）。
4. 研究的关联性： 在数学研究中，很多时候一个问题的解决会启发对另一个看似不相关问题的思考。欧拉在研究三角函数和级数的时候，很有可能就回溯到了Wallis的工作，并从中获得了灵感。他对 $sin(x)$ 的无穷乘积表示，不仅解决了巴塞尔问题，也成为了他本人在分析学领域一系列重大发现的基石。
打个比方：
你可以把Wallis的工作想象成发现了“制作一种特殊口味饼干”的秘方。这个秘方很有效，能做出非常好的饼干。
而欧拉呢，他不仅得到了这个饼干的秘方，还发现了一个“普遍的烘焙原理”，这个原理可以用来解释为什么Wallis的饼干好吃，而且还能用这个原理来制作更多不同口味但同样美味的“饼干”（其他级数的求和）。
所以，虽然欧拉解决巴塞尔问题的方法（泰勒展开+根的乘积）和Wallis得到 $pi/2$ 乘积的方法（几何、反正切）在表面上看不太一样，但它们都深刻地揭示了数学对象（函数、数）之间的内在联系，都涉及到无穷（级数、乘积）的处理，并且欧拉的工作可以说是对Wallis等人早期探索的一种深化和理论升华。
总结一下：
你提出的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 的和是 $frac{pi^2}{6}$。
这个结果是伟大的欧拉通过正弦函数的泰勒展开和根的无穷乘积表示推导出来的。
它和Wallis的乘积公式有联系，Wallis的工作在无穷乘积的研究上是先行者，欧拉的解决思路和方法在思想和研究方向上都与Wallis的工作有所呼应，是数学发展中思想传承和创新的体现。
希望这个解释够详细，也尽量去掉了那种AI特有的生硬感！如果你还有其他想聊的，随时开口！
先来认识一下你的级数
你指的级数，我猜大概是这个样子，对吧？
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} $$
如果不是，你再告诉我，我帮你看看。
这个级数，咱们叫做“平方倒数级数”（或者“巴塞尔问题”——虽然这个名字更偏向于它最初提出的数学问题）。它就是把所有正整数的平方的倒数加起来：
$$ 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + frac{1}{25} + dots $$
这个级数的和怎么求？
这可是一个让数学家们头疼了很久的问题，直到18世纪才被伟大的欧拉给彻底解决了。他的方法，简直是绝妙！
欧拉解决这个级数，用了一个我们现在学微积分时经常会用到的工具——泰勒展开。具体来说，他用到了正弦函数 (sin x) 的泰勒展开式。
我们知道，正弦函数的泰勒展开是这样的：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots $$
然后，欧拉做了一个绝妙的“类比”。他想，一个多项式，比如 $1 x^2$ ，它的根是 $pm 1$。那么，如果我把这个多项式“无限维化”，变成一个无穷级数，它会不会也像一个多项式一样，拥有“根”呢？
他把正弦函数 $sin(x)$ 改写了一下：
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} frac{x^6}{7!} + dots $$
注意，我们把 $sin(x)$ 除以 $x$ 了。为什么？因为当 $x=0$ 的时候， $sin(x)$ 的值是0，而 $x$ 也是0， $frac{0}{0}$ 是不确定的。但是，根据洛必达法则或者直接看泰勒展开， $frac{sin(x)}{x}$ 当 $x o 0$ 时，趋向于1。所以， $frac{sin(x)}{x}$ 这个表达式在 $x=0$ 的时候是1，它没有“根”。
那么， $frac{sin(x)}{x}$ 的“根”是什么呢？
我们知道 $sin(x) = 0$ 的时候， $x$ 的值是 $pm pi, pm 2pi, pm 3pi, dots$。
所以， $frac{sin(x)}{x} = 0$ 的时候， $x$ 的值就是 $pm pi, pm 2pi, pm 3pi, dots$。
现在，欧拉就用了那个“类比”——他把无穷级数 $frac{sin(x)}{x}$ 想象成一个无限次方的多项式。
一个多项式，如果它的根是 $r_1, r_2, dots, r_k$，那么它可以写成 $C(1 frac{x}{r_1})(1 frac{x}{r_2})dots(1 frac{x}{r_k})$ 的形式。
欧拉就大胆地把这个思路用在了 $frac{sin(x)}{x}$ 的无穷级数上。他写道（稍微简化一下）：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x}{pi} ight)left(1 + frac{x}{pi} ight)left(1 frac{x}{2pi} ight)left(1 + frac{x}{2pi} ight)left(1 frac{x}{3pi} ight)left(1 + frac{x}{3pi} ight) dots $$
这里用到了 $(1a)(1+a) = 1a^2$ 的公式，所以可以写成：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots $$
现在，我们有两个 $frac{sin(x)}{x}$ 的表示：
1. 泰勒展开： $1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots$
2. 根的乘积： $left(1 frac{x^2}{pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight)left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$
我们只关注 $x^2$ 的系数。
在泰勒展开里，$x^2$ 的系数是 $frac{1}{3!} = frac{1}{6}$。
在根的乘积里，要得到 $x^2$，我们可以从每一个括号里拿出 $frac{x^2}{ ext{某个数的平方}}$，然后乘以其他的1。
所以，$x^2$ 的系数是由：
$$ (frac{x^2}{pi^2}) cdot 1 cdot 1 cdot dots + 1 cdot (frac{x^2}{4pi^2}) cdot 1 cdot dots + 1 cdot 1 cdot (frac{x^2}{9pi^2}) cdot dots $$
加起来就是：
$$ frac{1}{pi^2} frac{1}{4pi^2} frac{1}{9pi^2} dots = frac{1}{pi^2}left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight) $$
这不正是我们要找的级数吗！
现在，我们把两个展开式的 $x^2$ 的系数相等：
$$ frac{1}{6} = frac{1}{pi^2}left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight) $$
两边同时乘以 $pi^2$，我们就得到了：
$$ frac{pi^2}{6} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots $$
所以，你的级数的和就是 $frac{pi^2}{6}$！
跟Wallis有联系吗？
有！而且联系还挺深的！
你提到的Wallis，指的是约翰·沃利斯 (John Wallis)，他是17世纪英国的一位伟大的数学家，也是皇家学会的创始人之一。他最出名的成就之一，就是提出了Wallis乘积公式。
Wallis乘积公式是用来计算 $pi$ 的一个非常有意思的公式：
$$ frac{pi}{2} = frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} dots $$
或者写成更紧凑的形式：
$$ frac{pi}{2} = prod_{n=1}^{infty} frac{(2n)^2}{(2n1)(2n+1)} $$
Wallis是通过几何方法（涉及积分和极坐标）以及对反正切函数（$arctan x$）展开的研究来得到这个公式的。
那么，它们之间怎么产生联系的呢？
1. 思想的传承与发展： Wallis的工作，特别是他对无穷乘积的探索，为后来数学家研究无穷级数和无穷乘积打下了基础。欧拉虽然用了不同的方法，但他对无穷乘积和泰勒展开的熟练运用，很大程度上是建立在前人（包括Wallis）的成果之上的。
2. 角度的相似性： Wallis乘积本身就涉及到分母是奇数乘积，分子是偶数乘积，与我们平方倒数级数的分母结构（全是平方数）在形式上有一定的“亲缘关系”。虽然不是直接相等，但它们都触及了数学中一些底层的结构。
3. 欧拉方法的“影子”： 欧拉求解巴塞尔问题的核心，是把一个三角函数（$sin x / x$）用两种方式展开——一种是泰勒级数（加法），另一种是根的无穷乘积（乘法）。这个“乘积形式”的推导，从某种意义上说，可以看作是Wallis乘积思想的一种更深邃、更普适的体现。Wallis公式是一个特定形式的无穷乘积，而欧拉证明了一切无穷可微函数都可以通过其根表示为无穷乘积（这是更一般化的复分析中的“乘积定理”的雏形）。
4. 研究的关联性： 在数学研究中，很多时候一个问题的解决会启发对另一个看似不相关问题的思考。欧拉在研究三角函数和级数的时候，很有可能就回溯到了Wallis的工作，并从中获得了灵感。他对 $sin(x)$ 的无穷乘积表示，不仅解决了巴塞尔问题，也成为了他本人在分析学领域一系列重大发现的基石。
打个比方：
你可以把Wallis的工作想象成发现了“制作一种特殊口味饼干”的秘方。这个秘方很有效，能做出非常好的饼干。
而欧拉呢，他不仅得到了这个饼干的秘方，还发现了一个“普遍的烘焙原理”，这个原理可以用来解释为什么Wallis的饼干好吃，而且还能用这个原理来制作更多不同口味但同样美味的“饼干”（其他级数的求和）。
所以，虽然欧拉解决巴塞尔问题的方法（泰勒展开+根的乘积）和Wallis得到 $pi/2$ 乘积的方法（几何、反正切）在表面上看不太一样，但它们都深刻地揭示了数学对象（函数、数）之间的内在联系，都涉及到无穷（级数、乘积）的处理，并且欧拉的工作可以说是对Wallis等人早期探索的一种深化和理论升华。
总结一下：
你提出的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 的和是 $frac{pi^2}{6}$。
这个结果是伟大的欧拉通过正弦函数的泰勒展开和根的无穷乘积表示推导出来的。
它和Wallis的乘积公式有联系，Wallis的工作在无穷乘积的研究上是先行者，欧拉的解决思路和方法在思想和研究方向上都与Wallis的工作有所呼应，是数学发展中思想传承和创新的体现。
希望这个解释够详细，也尽量去掉了那种AI特有的生硬感！如果你还有其他想聊的，随时开口！
网友意见
First of all, we can infer
then, consider the parametric integral
where Next, we have
the minute integral process is left as an exercise.
After that, there is
Note that
hence Thus
Subsequently, replacing by , we get
Eventually, we obtain
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