问一下这个反常积分的敛散性？
好的，我们来聊聊这个反常积分的敛散性。要判断一个反常积分是收敛还是发散，我们需要仔细观察它的行为，特别是当积分的下限或上限趋近于某个使被积函数“有问题”的点时（通常是分母为零或者函数值趋于无穷大）。
假设我们要分析的这个反常积分是这样的：
$$ int_{a}^{b} f(x) dx $$
这里的“反常”可能体现在几种情况：
1. 积分区间无限长：例如，下限是常数 $a$ 而上限是 $+infty$，或者下限是 $infty$ 而上限是常数 $b$，甚至上下限都是无穷大。
2. 被积函数在积分区间内某点处无界：例如，被积函数在积分区间的某个点 $c$（$a < c < b$）处趋于无穷大。
我们通常会根据具体函数 $f(x)$ 和积分区间来判断。为了讲得更清楚，我举一个常见的例子来进行详细分析。
举例分析：判断积分 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的敛散性
这个积分是一个典型的第一类反常积分（积分区间无限长），同时也是一个很有代表性的例子，可以帮助我们理解判断方法。
第一步：理解什么是反常积分的“收敛”和“发散”
反常积分的收敛，意味着当积分区间变得越来越大（或者越来越“靠近”有问题的点）时，积分的结果能够趋近于一个确定的有限值。发散则意味着这个过程会趋于无穷大，或者根本不存在一个确定的极限。
数学上，这可以通过极限来定义：
如果积分上限是无穷大：$int_{a}^{infty} f(x) dx = lim_{t o infty} int_{a}^{t} f(x) dx$。如果这个极限存在且为一个有限值，则积分收敛；否则发散。
如果积分下限是无穷小：$int_{infty}^{b} f(x) dx = lim_{t o infty} int_{t}^{b} f(x) dx$。如果这个极限存在且为一个有限值，则积分收敛；否则发散。
如果被积函数在区间内部某点 $c$ 处无界：$int_{a}^{b} f(x) dx$（假设 $f(c)$ 无界且 $a
第二步：计算我们选定的例子的不定积分
对于 $int frac{1}{x^p} dx$：
当 $p eq 1$ 时，$int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C = frac{1}{(1p)x^{p1}} + C$。
当 $p = 1$ 时，$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$。
第三步：将不定积分代入定积分的计算，并取极限
我们分析 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$：
情况一： $p = 1$
$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx = lim_{t o infty} int_{1}^{t} frac{1}{x} dx$
$= lim_{t o infty} [ln|x|]_{1}^{t}$
$= lim_{t o infty} (ln t ln 1)$
$= lim_{t o infty} ln t$
显然，当 $t$ 趋近于无穷大时，$ln t$ 也趋近于无穷大。所以，当 $p=1$ 时，这个反常积分 发散。
情况二： $p eq 1$
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx = lim_{t o infty} int_{1}^{t} frac{1}{x^p} dx$
$= lim_{t o infty} [frac{1}{(1p)x^{p1}}]_{1}^{t}$
$= lim_{t o infty} (frac{1}{(1p)t^{p1}} frac{1}{(1p)1^{p1}})$
$= lim_{t o infty} (frac{1}{(1p)t^{p1}} frac{1}{1p})$
现在我们需要分析当 $t o infty$ 时，第一项 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的行为，这取决于指数 $p1$ 的符号。
子情况 2.1： $p1 > 0$ (即 $p > 1$)
在这种情况下，$t^{p1}$ 会趋近于无穷大。
那么，$frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 会趋近于 $frac{1}{infty} = 0$。
所以，极限值为 $0 frac{1}{1p} = frac{1}{p1}$。
这是一个确定的有限值。因此，当 $p > 1$ 时，积分 收敛。
子情况 2.2： $p1 < 0$ (即 $p < 1$)
在这种情况下，$p1$ 是一个负数，令 $p1 = q$，其中 $q > 0$。
那么，$t^{p1} = t^{q} = frac{1}{t^q}$。
第一项变成 $frac{1}{(1p)t^{p1}} = frac{t^{1p}}{1p}$ (因为 $1p = (p1) = q > 0$)。
所以，极限是 $lim_{t o infty} frac{t^{1p}}{1p} frac{1}{1p}$。
因为 $1p > 0$，当 $t o infty$ 时，$t^{1p} o infty$。
整个表达式会趋近于无穷大。因此，当 $p < 1$ 时，积分 发散。
总结例子的结果：
通过上面的分析，我们可以得出结论：
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p > 1$ 时 收敛。
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p le 1$ 时 发散。
进一步的判断技巧：比较判别法
在实际处理更复杂的反常积分时，我们可能很难直接计算出不定积分。这时候，“比较判别法”就非常有用。
基本思想： 如果我们有一个已知的收敛或发散的反常积分 $J = int_{a}^{infty} g(x) dx$，而我们要判断的积分是 $I = int_{a}^{infty} f(x) dx$，并且在积分区间内有 $0 le f(x) le g(x)$：
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 收敛，那么 $f(x)$ 对应的积分 $I$ 也一定收敛（因为 $f(x)$ 产生的面积被 $g(x)$ 产生的面积“框住”了）。
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 发散，那么我们就无法直接从这个不等式断定 $f(x)$ 的积分敛散性。
反之，如果我们有 $0 le g(x) le f(x)$：
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 发散，那么 $f(x)$ 对应的积分 $I$ 也一定发散（因为 $f(x)$ 产生的面积比 $g(x)$ 的还大，如果小的都发散了，那大的肯定也发散）。
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 收敛，我们就无法直接断定 $f(x)$ 的敛散性。
极限比较判别法
这是一种更强大的比较方法。假设我们要判断 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 的敛散性，并且我们知道 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 的敛散性。如果我们能找到一个 正的有限常数 $C$，使得：
$$ lim_{x o infty} frac{f(x)}{g(x)} = C $$
那么，$int_{a}^{infty} f(x) dx$ 和 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 具有相同的敛散性。
如何应用比较判别法来判断 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的收敛性（另一种思路）
我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的行为与 $p$ 有关。
1. 当 $p > 1$ 时：
选取一个 $p' > 1$，使得 $p > p' > 1$。例如，如果 $p=2$，我们可以选取 $p'=1.5$。
考虑 $g(x) = frac{1}{x^{p'}}$。我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p'}} dx$ 是收敛的（因为 $p' > 1$）。
现在我们看 $frac{f(x)}{g(x)} = frac{1/x^p}{1/x^{p'}} = frac{x^{p'}}{x^p} = x^{p'p}$。
因为 $p' < p$，所以 $p'p < 0$。
$lim_{x o infty} x^{p'p} = lim_{x o infty} frac{1}{x^{pp'}} = 0$。
这里的极限是 $0$。虽然极限比较判别法通常说极限是正有限常数才相同。但是，当极限是 $0$ 并且被比较的函数 $g(x)$ 的积分收敛时，原函数 $f(x)$ 的积分也收敛。反过来，如果极限是 $infty$ 且被比较的函数 $g(x)$ 的积分发散，则原函数 $f(x)$ 的积分也发散。
另一种更严谨的比较方式：当 $p > 1$ 时，选择一个 $p'$ 使得 $1 < p' < p$。例如，$p' = (1+p)/2$。则 $lim_{x o infty} frac{1/x^p}{1/x^{p'}} = lim_{x o infty} x^{p'p} = 0$。因为 $int_1^infty frac{1}{x^{p'}} dx$ 收敛，所以 $int_1^infty frac{1}{x^p} dx$ 也收敛。
2. 当 $p < 1$ 时：
选取一个 $p'' < 1$，使得 $p < p'' < 1$。例如，如果 $p=0.5$，我们可以选取 $p''=0.8$。
考虑 $g(x) = frac{1}{x^{p''}}$。我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p''}} dx$ 是发散的（因为 $p'' < 1$）。
现在我们看 $frac{f(x)}{g(x)} = frac{1/x^p}{1/x^{p''}} = frac{x^{p''}}{x^p} = x^{p''p}$。
因为 $p'' > p$，所以 $p''p > 0$。
$lim_{x o infty} x^{p''p} = infty$。
因为 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p''}} dx$ 发散，且极限是 $infty$，所以 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 也 发散。
3. 当 $p = 1$ 时：
我们已经直接计算了，$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx$ 发散。
关于被积函数在区间内无界的反常积分（第二类反常积分）
例如 $int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$。这里的“问题点”是 $x=0$。
计算不定积分：
当 $p eq 1$ 时，$int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C = frac{1}{(1p)x^{p1}} + C$。
当 $p = 1$ 时，$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$。
我们需要计算 $lim_{t o 0^+} int_{t}^{1} f(x) dx$。
情况一： $p = 1$
$int_{0}^{1} frac{1}{x} dx = lim_{t o 0^+} int_{t}^{1} frac{1}{x} dx = lim_{t o 0^+} [ln|x|]_{t}^{1} = lim_{t o 0^+} (ln 1 ln t) = lim_{t o 0^+} (ln t) = infty$。
所以当 $p=1$ 时，积分 发散。
情况二： $p eq 1$
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx = lim_{t o 0^+} [frac{1}{(1p)x^{p1}}]_{t}^{1}$
$= lim_{t o 0^+} (frac{1}{(1p)1^{p1}} frac{1}{(1p)t^{p1}})$
$= frac{1}{1p} lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}}$
现在分析极限项 $lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}}$：
子情况 2.1： $p1 > 0$ (即 $p > 1$)
$t^{p1} o 0$。所以 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的分母趋向于 $0$。
如果 $1p > 0$ (即 $p < 1$)，则 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o infty$。
如果 $1p < 0$ (即 $p > 1$)，则 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o infty$。
让我们重新检查指数项：$t^{p1}$。
当 $p > 1$ 时，$p1 > 0$。当 $t o 0^+$ 时，$t^{p1} o 0$。
所以 $frac{1}{t^{p1}} o infty$。
则 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的行为取决于 $1p$ 的符号。
如果 $p > 1$，那么 $1p < 0$。所以 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o frac{1}{( ext{负数}) imes ( ext{趋于0的正数})} o infty$。
那么整个积分结果是 $frac{1}{1p} (infty) = infty$。所以当 $p > 1$ 时，积分 发散。
子情况 2.2： $p1 < 0$ (即 $p < 1$)
$p1$ 是负数，令 $p1 = q$，$q > 0$。
$frac{1}{t^{p1}} = frac{1}{t^{q}} = t^q$。
当 $t o 0^+$ 时，$t^q o 0$。
所以 $lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}} = frac{1}{1p} imes 0 = 0$。
那么整个积分结果是 $frac{1}{1p} 0 = frac{1}{1p}$。
这是一个确定的有限值。所以当 $p < 1$ 时，积分 收敛。
子情况 2.3： $p1 = 0$ (即 $p = 1$)
这已经是我们单独讨论过的 $p=1$ 的情况，积分发散。
总结第二个例子 $int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 的结果：
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p < 1$ 时 收敛。
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p ge 1$ 时 发散。
所以，当您问某个反常积分的敛散性时，最关键的是：
1. 确定积分类型： 是区间无限长，还是被积函数无界？或者两者兼有？
2. 找出“有问题”的点： 是积分上限/下限的无穷大，还是被积函数趋于无穷大的点？
3. 根据定义计算极限： 将反常积分转化为定积分和极限的组合进行计算。
4. 灵活运用判别法： 对于难以直接计算的积分，寻找合适的已知收敛或发散的积分作为参照物，使用比较判别法或极限比较判别法。
希望这些详细的解释和例子能帮助您理解如何判断反常积分的敛散性！如果您有一个具体的积分想讨论，请告诉我，我们可以一起分析它。
假设我们要分析的这个反常积分是这样的：
$$ int_{a}^{b} f(x) dx $$
这里的“反常”可能体现在几种情况：
1. 积分区间无限长：例如，下限是常数 $a$ 而上限是 $+infty$，或者下限是 $infty$ 而上限是常数 $b$，甚至上下限都是无穷大。
2. 被积函数在积分区间内某点处无界：例如，被积函数在积分区间的某个点 $c$（$a < c < b$）处趋于无穷大。
我们通常会根据具体函数 $f(x)$ 和积分区间来判断。为了讲得更清楚，我举一个常见的例子来进行详细分析。
举例分析：判断积分 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的敛散性
这个积分是一个典型的第一类反常积分（积分区间无限长），同时也是一个很有代表性的例子，可以帮助我们理解判断方法。
第一步：理解什么是反常积分的“收敛”和“发散”
反常积分的收敛，意味着当积分区间变得越来越大（或者越来越“靠近”有问题的点）时，积分的结果能够趋近于一个确定的有限值。发散则意味着这个过程会趋于无穷大，或者根本不存在一个确定的极限。
数学上，这可以通过极限来定义：
如果积分上限是无穷大：$int_{a}^{infty} f(x) dx = lim_{t o infty} int_{a}^{t} f(x) dx$。如果这个极限存在且为一个有限值，则积分收敛；否则发散。
如果积分下限是无穷小：$int_{infty}^{b} f(x) dx = lim_{t o infty} int_{t}^{b} f(x) dx$。如果这个极限存在且为一个有限值，则积分收敛；否则发散。
如果被积函数在区间内部某点 $c$ 处无界：$int_{a}^{b} f(x) dx$（假设 $f(c)$ 无界且 $a
第二步：计算我们选定的例子的不定积分
对于 $int frac{1}{x^p} dx$：
当 $p eq 1$ 时，$int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C = frac{1}{(1p)x^{p1}} + C$。
当 $p = 1$ 时，$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$。
第三步：将不定积分代入定积分的计算，并取极限
我们分析 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$：
情况一： $p = 1$
$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx = lim_{t o infty} int_{1}^{t} frac{1}{x} dx$
$= lim_{t o infty} [ln|x|]_{1}^{t}$
$= lim_{t o infty} (ln t ln 1)$
$= lim_{t o infty} ln t$
显然，当 $t$ 趋近于无穷大时，$ln t$ 也趋近于无穷大。所以，当 $p=1$ 时，这个反常积分 发散。
情况二： $p eq 1$
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx = lim_{t o infty} int_{1}^{t} frac{1}{x^p} dx$
$= lim_{t o infty} [frac{1}{(1p)x^{p1}}]_{1}^{t}$
$= lim_{t o infty} (frac{1}{(1p)t^{p1}} frac{1}{(1p)1^{p1}})$
$= lim_{t o infty} (frac{1}{(1p)t^{p1}} frac{1}{1p})$
现在我们需要分析当 $t o infty$ 时，第一项 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的行为，这取决于指数 $p1$ 的符号。
子情况 2.1： $p1 > 0$ (即 $p > 1$)
在这种情况下，$t^{p1}$ 会趋近于无穷大。
那么，$frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 会趋近于 $frac{1}{infty} = 0$。
所以，极限值为 $0 frac{1}{1p} = frac{1}{p1}$。
这是一个确定的有限值。因此，当 $p > 1$ 时，积分 收敛。
子情况 2.2： $p1 < 0$ (即 $p < 1$)
在这种情况下，$p1$ 是一个负数，令 $p1 = q$，其中 $q > 0$。
那么，$t^{p1} = t^{q} = frac{1}{t^q}$。
第一项变成 $frac{1}{(1p)t^{p1}} = frac{t^{1p}}{1p}$ (因为 $1p = (p1) = q > 0$)。
所以，极限是 $lim_{t o infty} frac{t^{1p}}{1p} frac{1}{1p}$。
因为 $1p > 0$，当 $t o infty$ 时，$t^{1p} o infty$。
整个表达式会趋近于无穷大。因此，当 $p < 1$ 时，积分 发散。
总结例子的结果：
通过上面的分析，我们可以得出结论：
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p > 1$ 时 收敛。
$int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p le 1$ 时 发散。
进一步的判断技巧：比较判别法
在实际处理更复杂的反常积分时，我们可能很难直接计算出不定积分。这时候，“比较判别法”就非常有用。
基本思想： 如果我们有一个已知的收敛或发散的反常积分 $J = int_{a}^{infty} g(x) dx$，而我们要判断的积分是 $I = int_{a}^{infty} f(x) dx$，并且在积分区间内有 $0 le f(x) le g(x)$：
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 收敛，那么 $f(x)$ 对应的积分 $I$ 也一定收敛（因为 $f(x)$ 产生的面积被 $g(x)$ 产生的面积“框住”了）。
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 发散，那么我们就无法直接从这个不等式断定 $f(x)$ 的积分敛散性。
反之，如果我们有 $0 le g(x) le f(x)$：
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 发散，那么 $f(x)$ 对应的积分 $I$ 也一定发散（因为 $f(x)$ 产生的面积比 $g(x)$ 的还大，如果小的都发散了，那大的肯定也发散）。
如果 $g(x)$ 对应的积分 $J$ 收敛，我们就无法直接断定 $f(x)$ 的敛散性。
极限比较判别法
这是一种更强大的比较方法。假设我们要判断 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 的敛散性，并且我们知道 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 的敛散性。如果我们能找到一个 正的有限常数 $C$，使得：
$$ lim_{x o infty} frac{f(x)}{g(x)} = C $$
那么，$int_{a}^{infty} f(x) dx$ 和 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 具有相同的敛散性。
如何应用比较判别法来判断 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的收敛性（另一种思路）
我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 的行为与 $p$ 有关。
1. 当 $p > 1$ 时：
选取一个 $p' > 1$，使得 $p > p' > 1$。例如，如果 $p=2$，我们可以选取 $p'=1.5$。
考虑 $g(x) = frac{1}{x^{p'}}$。我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p'}} dx$ 是收敛的（因为 $p' > 1$）。
现在我们看 $frac{f(x)}{g(x)} = frac{1/x^p}{1/x^{p'}} = frac{x^{p'}}{x^p} = x^{p'p}$。
因为 $p' < p$，所以 $p'p < 0$。
$lim_{x o infty} x^{p'p} = lim_{x o infty} frac{1}{x^{pp'}} = 0$。
这里的极限是 $0$。虽然极限比较判别法通常说极限是正有限常数才相同。但是，当极限是 $0$ 并且被比较的函数 $g(x)$ 的积分收敛时，原函数 $f(x)$ 的积分也收敛。反过来，如果极限是 $infty$ 且被比较的函数 $g(x)$ 的积分发散，则原函数 $f(x)$ 的积分也发散。
另一种更严谨的比较方式：当 $p > 1$ 时，选择一个 $p'$ 使得 $1 < p' < p$。例如，$p' = (1+p)/2$。则 $lim_{x o infty} frac{1/x^p}{1/x^{p'}} = lim_{x o infty} x^{p'p} = 0$。因为 $int_1^infty frac{1}{x^{p'}} dx$ 收敛，所以 $int_1^infty frac{1}{x^p} dx$ 也收敛。
2. 当 $p < 1$ 时：
选取一个 $p'' < 1$，使得 $p < p'' < 1$。例如，如果 $p=0.5$，我们可以选取 $p''=0.8$。
考虑 $g(x) = frac{1}{x^{p''}}$。我们知道 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p''}} dx$ 是发散的（因为 $p'' < 1$）。
现在我们看 $frac{f(x)}{g(x)} = frac{1/x^p}{1/x^{p''}} = frac{x^{p''}}{x^p} = x^{p''p}$。
因为 $p'' > p$，所以 $p''p > 0$。
$lim_{x o infty} x^{p''p} = infty$。
因为 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^{p''}} dx$ 发散，且极限是 $infty$，所以 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 也 发散。
3. 当 $p = 1$ 时：
我们已经直接计算了，$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx$ 发散。
关于被积函数在区间内无界的反常积分（第二类反常积分）
例如 $int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$。这里的“问题点”是 $x=0$。
计算不定积分：
当 $p eq 1$ 时，$int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C = frac{1}{(1p)x^{p1}} + C$。
当 $p = 1$ 时，$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$。
我们需要计算 $lim_{t o 0^+} int_{t}^{1} f(x) dx$。
情况一： $p = 1$
$int_{0}^{1} frac{1}{x} dx = lim_{t o 0^+} int_{t}^{1} frac{1}{x} dx = lim_{t o 0^+} [ln|x|]_{t}^{1} = lim_{t o 0^+} (ln 1 ln t) = lim_{t o 0^+} (ln t) = infty$。
所以当 $p=1$ 时，积分 发散。
情况二： $p eq 1$
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx = lim_{t o 0^+} [frac{1}{(1p)x^{p1}}]_{t}^{1}$
$= lim_{t o 0^+} (frac{1}{(1p)1^{p1}} frac{1}{(1p)t^{p1}})$
$= frac{1}{1p} lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}}$
现在分析极限项 $lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}}$：
子情况 2.1： $p1 > 0$ (即 $p > 1$)
$t^{p1} o 0$。所以 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的分母趋向于 $0$。
如果 $1p > 0$ (即 $p < 1$)，则 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o infty$。
如果 $1p < 0$ (即 $p > 1$)，则 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o infty$。
让我们重新检查指数项：$t^{p1}$。
当 $p > 1$ 时，$p1 > 0$。当 $t o 0^+$ 时，$t^{p1} o 0$。
所以 $frac{1}{t^{p1}} o infty$。
则 $frac{1}{(1p)t^{p1}}$ 的行为取决于 $1p$ 的符号。
如果 $p > 1$，那么 $1p < 0$。所以 $frac{1}{(1p)t^{p1}} o frac{1}{( ext{负数}) imes ( ext{趋于0的正数})} o infty$。
那么整个积分结果是 $frac{1}{1p} (infty) = infty$。所以当 $p > 1$ 时，积分 发散。
子情况 2.2： $p1 < 0$ (即 $p < 1$)
$p1$ 是负数，令 $p1 = q$，$q > 0$。
$frac{1}{t^{p1}} = frac{1}{t^{q}} = t^q$。
当 $t o 0^+$ 时，$t^q o 0$。
所以 $lim_{t o 0^+} frac{1}{(1p)t^{p1}} = frac{1}{1p} imes 0 = 0$。
那么整个积分结果是 $frac{1}{1p} 0 = frac{1}{1p}$。
这是一个确定的有限值。所以当 $p < 1$ 时，积分 收敛。
子情况 2.3： $p1 = 0$ (即 $p = 1$)
这已经是我们单独讨论过的 $p=1$ 的情况，积分发散。
总结第二个例子 $int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 的结果：
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p < 1$ 时 收敛。
$int_{0}^{1} frac{1}{x^p} dx$ 当 $p ge 1$ 时 发散。
所以，当您问某个反常积分的敛散性时，最关键的是：
1. 确定积分类型： 是区间无限长，还是被积函数无界？或者两者兼有？
2. 找出“有问题”的点： 是积分上限/下限的无穷大，还是被积函数趋于无穷大的点？
3. 根据定义计算极限： 将反常积分转化为定积分和极限的组合进行计算。
4. 灵活运用判别法： 对于难以直接计算的积分，寻找合适的已知收敛或发散的积分作为参照物，使用比较判别法或极限比较判别法。
希望这些详细的解释和例子能帮助您理解如何判断反常积分的敛散性！如果您有一个具体的积分想讨论，请告诉我，我们可以一起分析它。
网友意见
这既是无穷积分又是瑕积分，不能简单应用判别法解决问题。
把积分拆成两项： 。下面分别证明两项的收敛性。
首先是第一项，我们有 ，这表明积分与 同敛散，而后者显然收敛。
然后是第二项。设 ，则 以 为周期，在每一个周期内的积分设为 。则
得到 。从而 有界。而 在 是单调的，由Dirichlet判别法就得到积分收敛。
类似的话题
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好的，我们来聊聊这个反常积分的敛散性。要判断一个反常积分是收敛还是发散，我们需要仔细观察它的行为，特别是当积分的下限或上限趋近于某个使被积函数“有问题”的点时（通常是分母为零或者函数值趋于无穷大）。假设我们要分析的这个反常积分是这样的：$$ int_{a}^{b} f(x) dx $$这里的“反常”............. -
这个问题确实触及到一个很多人关心但又很难回避的敏感话题。在网络平台上，尤其是像知乎这样的知识分享社区，我们会看到各种各样的观点，其中不乏对特定群体持有负面看法的声音。你提到知乎上“反穆”的声音比较多，并且对回族存在一些负面情绪，这确实是很多用户在浏览相关话题时可能感受到的现象。首先，我们来探讨一下“.............
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你提到的飞机左边那个红白绿相间的圈圈，其实它有一个专有的名字，叫做“国籍标志”或者更形象地说，就是飞机的“国籍牌”。你发现很多国家的战斗机上都有，这其实是很正常的，因为就像汽车要挂牌子一样，飞机也需要一个标识来表明它所属的国家。为什么是红白绿？这个颜色的组合，尤其是“红、白、绿”这个顺序，非常有讲究.............
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这道题问的是一个数列的极限如何计算，我来给大家详细讲讲。咱们要计算的数列是：$$ a_n = frac{2^n + 3^n}{2^n 3^n} $$目标： 求当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 的值，也就是 $lim_{n o infty} a_n$。遇到这种形式的数列极限，第一反应是什么？.............
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应用数学调到表示论方向，这确实是一个很有意思的研究领域。别看表示论听起来有点“理论”，但它在“应用”的土壤里，可以长出不少实用的“果实”。你想知道这个方向的就业出路，那咱们就来掰开了揉碎了聊聊，绝对接地气，让你心里有谱。首先，得明白表示论到底是个啥。简单来说，表示论就是研究“对称性”的数学语言。你想.............
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当然！你问的这个动作，如果能正确、有规律地坚持做下去，对于改善驼背和圆肩确实能起到积极的作用。不过，咱们先得把这个动作分解开来说，因为“做这个动作”太笼统了，我假设你指的是一些常见的、针对改善驼背圆肩的练习。我尽量用最接地气的方式，把你可能想到的动作，或者我能想到的一些有效动作，说得透彻一些，让你明.............
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嘿，收到你的求助啦！你这是遇到一道难题了吧？别急，我这就来跟你好好掰扯掰扯这道题，保证给你讲透彻，让你看得明明白白。咱们先别管什么AI不AI的，先把这题给啃下来！首先，咱们得把题目看清楚。 你得告诉我这道题具体是什么内容。因为不同的题目，解题思路和方法都会差很多。比如，是数学题？物理题？编程题？还是.............
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关于“血族”这个称呼，它在网文创作中确实非常普遍，但要说它是“网文作者自己扯出来的”，其实也不能完全这么说，它的起源要更复杂一些。我们来详细梳理一下。“血族”称谓的来源与演变：简单来说，“血族”这个词并非完全凭空捏造的网文原创，而是与西方文化中“吸血鬼”的概念有着千丝万缕的联系，并在不同语境下被赋予.............
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别担心，第一次遇到这种题目确实会有点懵！这属于一种“类比推理”或者说“背景推导”题型。它的核心是让你根据一个已知的结论，去推测出这个结论最可能产生于什么样的背景或者是在什么情境下会被提出。简单来说，就是“这个结论是为解决什么问题而提出的？”咱们来拆解一下怎么去想这个问题，以及怎么把它做得更地道，不带.............
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关于您在成都看到的“合约领养布偶”，我需要先说明一下，“合约领养”这个说法本身就存在很大的疑点，并且通常与不法商家的行为有关，尤其是在涉及宠物领养的时候。 布偶猫是比较受欢迎的品种猫，价格也相对较高，这也就催生了一些不正规的繁殖和销售行为。我将从几个方面来详细分析，希望能帮助您辨别真伪：一、 正规的.............
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好的，我很乐意为你详细地介绍图片中的物品。请允许我先仔细观察一下图片，然后为你一一解析。从图片中我看到的是一个非常别致的物品，它的整体造型有点像一个精巧的小盒子，但又不仅仅是盒子那么简单。它的材质看起来是金属的，经过了打磨和抛光，表面散发着温润的光泽，透露出一种复古又精致的感觉。颜色上，我注意到它呈.............
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