问一下这个数列极限怎么计算？
这道题问的是一个数列的极限如何计算，我来给大家详细讲讲。
咱们要计算的数列是：
$$ a_n = frac{2^n + 3^n}{2^n 3^n} $$
目标： 求当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 的值，也就是 $lim_{n o infty} a_n$。
遇到这种形式的数列极限，第一反应是什么？
直接代入 $n o infty$ 会怎么样？
分子：$2^n o infty$, $3^n o infty$。$2^n + 3^n$ 也是 $infty$。
分母：$2^n o infty$, $3^n o infty$。$2^n 3^n$ 也是 $infty$。
我们得到的是一个 $frac{infty}{infty}$ 的不定式。这种情况下，我们不能直接得出结果，需要对表达式进行变形。
变形策略：提取最高次项（或者说增长最快的项）
在很多指数或多项式构成的数列极限中，我们经常采用这种方法。观察分子和分母中的指数项，$2^n$ 和 $3^n$，很明显，$3^n$ 的增长速度远快于 $2^n$。
所以，我们可以在分子和分母 同时 提取出 $3^n$ 这个增长最快的项。
具体操作：
1. 分子变形：
$2^n + 3^n = 3^n left( frac{2^n}{3^n} + frac{3^n}{3^n} ight)$
$ = 3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n + 1 ight)$
这里用到一个性质：$frac{a^n}{b^n} = left(frac{a}{b} ight)^n$。
2. 分母变形：
$2^n 3^n = 3^n left( frac{2^n}{3^n} frac{3^n}{3^n} ight)$
$ = 3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n 1 ight)$
现在，我们将变形后的分子和分母代回原式：
$$ a_n = frac{3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n + 1 ight)}{3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n 1 ight)} $$
约分！
分子和分母都有 $3^n$，我们可以将它约掉：
$$ a_n = frac{left(frac{2}{3} ight)^n + 1}{left(frac{2}{3} ight)^n 1} $$
现在，我们再来考虑极限：
当 $n o infty$ 时，对于一个分数 $r$，如果 $|r| < 1$，那么 $r^n o 0$。
在我们的式子里，$frac{2}{3}$ 这个数，它的绝对值 $|frac{2}{3}| = frac{2}{3}$，显然小于 1。
所以，当 $n o infty$ 时：
$left(frac{2}{3} ight)^n o 0$
将这个结果代入变形后的 $a_n$：
$$ lim_{n o infty} a_n = lim_{n o infty} frac{left(frac{2}{3} ight)^n + 1}{left(frac{2}{3} ight)^n 1} $$
$$ = frac{0 + 1}{0 1} $$
$$ = frac{1}{1} $$
$$ = 1 $$
所以，这个数列的极限是 1。
总结一下计算思路：
1. 识别不定式： 当直接代入 $n o infty$ 出现 $frac{infty}{infty}$ 或 $frac{0}{0}$ 时，需要变形。
2. 提取增长最快的项： 通常是指数函数中底数绝对值最大的项，或者是多项式中次数最高的项。
3. 化简表达式： 通过提取公因式，将原式转化为可以处理的形式。
4. 利用重要极限性质： 关键在于认识到当 $|r| < 1$ 时，$r^n o 0$。
5. 计算极限： 将趋向于 0 的项代入，得到最终结果。
希望这样详细的解释能帮助大家理解这类数列极限的计算方法。多做几道题，掌握这种提取公因式的方法，就会觉得很熟练了。
咱们要计算的数列是：
$$ a_n = frac{2^n + 3^n}{2^n 3^n} $$
目标： 求当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 的值，也就是 $lim_{n o infty} a_n$。
遇到这种形式的数列极限，第一反应是什么？
直接代入 $n o infty$ 会怎么样？
分子：$2^n o infty$, $3^n o infty$。$2^n + 3^n$ 也是 $infty$。
分母：$2^n o infty$, $3^n o infty$。$2^n 3^n$ 也是 $infty$。
我们得到的是一个 $frac{infty}{infty}$ 的不定式。这种情况下，我们不能直接得出结果，需要对表达式进行变形。
变形策略：提取最高次项（或者说增长最快的项）
在很多指数或多项式构成的数列极限中，我们经常采用这种方法。观察分子和分母中的指数项，$2^n$ 和 $3^n$，很明显，$3^n$ 的增长速度远快于 $2^n$。
所以，我们可以在分子和分母 同时 提取出 $3^n$ 这个增长最快的项。
具体操作：
1. 分子变形：
$2^n + 3^n = 3^n left( frac{2^n}{3^n} + frac{3^n}{3^n} ight)$
$ = 3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n + 1 ight)$
这里用到一个性质：$frac{a^n}{b^n} = left(frac{a}{b} ight)^n$。
2. 分母变形：
$2^n 3^n = 3^n left( frac{2^n}{3^n} frac{3^n}{3^n} ight)$
$ = 3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n 1 ight)$
现在，我们将变形后的分子和分母代回原式：
$$ a_n = frac{3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n + 1 ight)}{3^n left( left(frac{2}{3} ight)^n 1 ight)} $$
约分！
分子和分母都有 $3^n$，我们可以将它约掉：
$$ a_n = frac{left(frac{2}{3} ight)^n + 1}{left(frac{2}{3} ight)^n 1} $$
现在，我们再来考虑极限：
当 $n o infty$ 时，对于一个分数 $r$，如果 $|r| < 1$，那么 $r^n o 0$。
在我们的式子里，$frac{2}{3}$ 这个数，它的绝对值 $|frac{2}{3}| = frac{2}{3}$，显然小于 1。
所以，当 $n o infty$ 时：
$left(frac{2}{3} ight)^n o 0$
将这个结果代入变形后的 $a_n$：
$$ lim_{n o infty} a_n = lim_{n o infty} frac{left(frac{2}{3} ight)^n + 1}{left(frac{2}{3} ight)^n 1} $$
$$ = frac{0 + 1}{0 1} $$
$$ = frac{1}{1} $$
$$ = 1 $$
所以，这个数列的极限是 1。
总结一下计算思路：
1. 识别不定式： 当直接代入 $n o infty$ 出现 $frac{infty}{infty}$ 或 $frac{0}{0}$ 时，需要变形。
2. 提取增长最快的项： 通常是指数函数中底数绝对值最大的项，或者是多项式中次数最高的项。
3. 化简表达式： 通过提取公因式，将原式转化为可以处理的形式。
4. 利用重要极限性质： 关键在于认识到当 $|r| < 1$ 时，$r^n o 0$。
5. 计算极限： 将趋向于 0 的项代入，得到最终结果。
希望这样详细的解释能帮助大家理解这类数列极限的计算方法。多做几道题，掌握这种提取公因式的方法，就会觉得很熟练了。
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