如何求两个不可视为质点的球之间的引力？可以等效为质点计算吗？
当然，咱们就来好好聊聊，怎么算两个大个儿——也就是你说的“不可视为质点的球”——之间的引力，以及能不能把它们当成小不点儿（质点）来对待。
首先，别把它想得太复杂，万有引力这事儿说到底，是万物皆有亲的，任何有点质量的东西，都会互相拉扯。咱们平时说引力公式 F = G (m1 m2) / r²，这玩意儿是在俩东西都没啥个头儿，或者说它俩的体积比它们之间的距离来说，小到可以忽略不计的时候才好使。想象一下，你扔个小石头出去，石头跟地球之间的引力，这时候把石头看成个质点，地球也看成个质点，那公式用起来就非常顺溜。
但是，一旦你说的“球”不是那么小，它们之间的距离也不是那么远，比方说你拿两个大铁球，离得又不算太远，这时候你再想用那个简单的质点公式去算，那就不太靠谱了。为啥呢？因为这俩球体不是均匀的，它们内部的物质分布可能不一样，而且它们相互之间的吸引力也不是来自一个点，而是来自球体表面的无数个小点。
那具体怎么算呢？
说白了，这就得把每个球体都想象成无数个微小的、可以当成质点的“小零件”，然后计算这些小零件之间互相施加的引力，最后再把这些所有微小的引力加起来。这个过程，用数学的语言来说，就是“积分”。
咱们可以这样想：
1. 分解球体： 把其中一个球体（比如球1）想象成无数个非常非常小的质量块，每个质量块都可以当成一个质点。咱们给它取个名字，叫 dm1。同样地，把另一个球体（球2）也分解成无数个更小的质量块，叫 dm2。
2. 计算微小引力： 咱们知道这两个质量块之间的距离是 r，那么根据万有引力公式，它们之间的微小引力 dF 就是：
dF = G (dm1 dm2) / r²
3. 积分求和： 现在，咱们要做的就是，把球1上的每一个 dm1 和球2上的每一个 dm2 之间的 dF 都算出来，然后把所有这些 dF 加起来。这个“加起来”的过程，就是通过积分来实现的。你需要对球1的体积进行积分，同时对球2的体积也进行积分。
这个积分过程会比较复杂，涉及到球坐标系、角度积分等等。如果两个球体都是均匀实心球，而且它们之间的距离是以球心距来计算的话，数学上会有一个非常巧妙的简化。
神奇的简化：均匀实心球的情况
德国大数学家高斯（Gauss）曾经证明过一个非常重要的结论，对于一个均匀的实心球体来说，它对球体外部任何一点的引力，效果完全等同于把这个球体的全部质量都集中在它的球心上，当作一个质点来计算。
换句话说，如果你的两个球都是均匀的实心球，那么：
情况一：球体不重叠
如果两个球的距离，我们指的是它们最近的两个表面点之间的距离，远远大于球体本身的半径（也就是它们没有重叠，而且它们之间的距离比它们的直径还要大不少），那么我们可以很放心地把它们当成质点。计算它们之间的引力时，就用它们各自的球心作为质点的位置，用它们球心之间的距离作为 r。
F = G (M1 M2) / R²
其中 M1 和 M2 是球体的总质量，R 是它们球心之间的距离。
情况二：球体有重叠
如果两个球体有部分重叠，或者它们之间的距离非常近，近到不能忽略它们的大小和内部的质量分布时，上面提到的高斯定理依然适用，但是要小心使用。
如果两个球体依然是均匀的实心球，那么我们仍然可以把它们各自的总质量 M1 和 M2 看作集中在各自的球心。但是，你需要计算的是它们球心之间的距离。
F = G (M1 M2) / R²
这里的 R，指的是两个球心之间的直线距离。
但是！ 这里有一个关键点需要注意：当两个球体发生重叠时，简单地用球心距来计算，虽然在理论上是成立的（基于高斯定理，每个球的引力效果仍然可以等效为质点），但实际计算中会涉及到一些细节。例如，如果你的问题是要计算球体内部的某个点受到的引力，那就更复杂了，需要用到对球体内部的引力定理。但对于两个球体之间的总引力，只要它们是均匀的实心球，并且我们计算的是它们质心之间的合力，那么无论是否重叠，都可以等效为质点计算，只要用质心之间的距离作为 r。
非均匀球体或空心球体怎么办？
如果你的球体不是均匀的，或者它是空心的，那么情况就复杂得多了。这时候，我们就不能简单地把整个球体的质量都看作集中在球心了。高斯定理在这种情况下就不适用了，或者说应用起来非常困难。
此时，我们就必须回到最原始的积分方法：
非均匀球体： 你需要知道球体内部质量是如何分布的（也就是质量密度随半径的变化规律）。然后，根据这个分布规律，再去进行前面提到的微元法积分计算。这会非常棘手。
空心球体： 对于一个均匀分布质量的空心球体，它对球体外部任何一点的引力，同样可以等效为一个质量集中在球心的质点。但是，对球体内部任何一点的引力则为零（这是一个很奇妙的结果）。
所以，总结一下：
1. 质点模型何时适用？
当两个球体相对于它们之间的距离来说非常小的时候。
当两个球体是均匀实心球，或者质量分布均匀的空心球，并且我们计算的是它们之间的总引力时，我们可以把它们等效为质点。
2. 如何等效为质点计算？
找到每个球体的质心（对于均匀球体，质心就是球心）。
将两个球体的全部质量 M1 和 M2 分别集中在它们的质心上。
计算两个质心之间的距离 R。
使用万有引力公式：F = G (M1 M2) / R²
3. 什么时候不能等效为质点？
当球体不是均匀的，或者质量分布非常不规则时，你必须通过积分来计算。
当你想计算球体内部某个特定点受到的引力，并且球体本身也不是一个简单的均匀球体时，也需要复杂的积分计算。
在实际应用中，如果你处理的是 astronomically large objects 比如行星、恒星，它们因为体积巨大且相互距离遥远，并且在很多情况下可以近似看作均匀球体，所以通常我们会用质点模型来计算它们之间的引力。但如果你是在实验室里玩两个大铁球，想要非常精确的计算，并且它们离得很近，那么就需要考虑它们体积带来的影响，甚至是用积分的方法来处理。
希望这么说，你能更清楚了。说白了，质点模型是一种简化，它在很多情况下都非常管用，但前提是得满足一定的条件。一旦条件不允许了，就得回到更根本的原理上去，也就是那个无数微小粒子互相作用的积分过程。
首先，别把它想得太复杂，万有引力这事儿说到底，是万物皆有亲的，任何有点质量的东西，都会互相拉扯。咱们平时说引力公式 F = G (m1 m2) / r²，这玩意儿是在俩东西都没啥个头儿，或者说它俩的体积比它们之间的距离来说，小到可以忽略不计的时候才好使。想象一下，你扔个小石头出去，石头跟地球之间的引力，这时候把石头看成个质点，地球也看成个质点，那公式用起来就非常顺溜。
但是，一旦你说的“球”不是那么小，它们之间的距离也不是那么远，比方说你拿两个大铁球，离得又不算太远，这时候你再想用那个简单的质点公式去算，那就不太靠谱了。为啥呢？因为这俩球体不是均匀的，它们内部的物质分布可能不一样，而且它们相互之间的吸引力也不是来自一个点，而是来自球体表面的无数个小点。
那具体怎么算呢？
说白了，这就得把每个球体都想象成无数个微小的、可以当成质点的“小零件”，然后计算这些小零件之间互相施加的引力，最后再把这些所有微小的引力加起来。这个过程，用数学的语言来说，就是“积分”。
咱们可以这样想：
1. 分解球体： 把其中一个球体（比如球1）想象成无数个非常非常小的质量块，每个质量块都可以当成一个质点。咱们给它取个名字，叫 dm1。同样地，把另一个球体（球2）也分解成无数个更小的质量块，叫 dm2。
2. 计算微小引力： 咱们知道这两个质量块之间的距离是 r，那么根据万有引力公式，它们之间的微小引力 dF 就是：
dF = G (dm1 dm2) / r²
3. 积分求和： 现在，咱们要做的就是，把球1上的每一个 dm1 和球2上的每一个 dm2 之间的 dF 都算出来，然后把所有这些 dF 加起来。这个“加起来”的过程，就是通过积分来实现的。你需要对球1的体积进行积分，同时对球2的体积也进行积分。
这个积分过程会比较复杂，涉及到球坐标系、角度积分等等。如果两个球体都是均匀实心球，而且它们之间的距离是以球心距来计算的话，数学上会有一个非常巧妙的简化。
神奇的简化：均匀实心球的情况
德国大数学家高斯（Gauss）曾经证明过一个非常重要的结论，对于一个均匀的实心球体来说，它对球体外部任何一点的引力，效果完全等同于把这个球体的全部质量都集中在它的球心上，当作一个质点来计算。
换句话说，如果你的两个球都是均匀的实心球，那么：
情况一：球体不重叠
如果两个球的距离，我们指的是它们最近的两个表面点之间的距离，远远大于球体本身的半径（也就是它们没有重叠，而且它们之间的距离比它们的直径还要大不少），那么我们可以很放心地把它们当成质点。计算它们之间的引力时，就用它们各自的球心作为质点的位置，用它们球心之间的距离作为 r。
F = G (M1 M2) / R²
其中 M1 和 M2 是球体的总质量，R 是它们球心之间的距离。
情况二：球体有重叠
如果两个球体有部分重叠，或者它们之间的距离非常近，近到不能忽略它们的大小和内部的质量分布时，上面提到的高斯定理依然适用，但是要小心使用。
如果两个球体依然是均匀的实心球，那么我们仍然可以把它们各自的总质量 M1 和 M2 看作集中在各自的球心。但是，你需要计算的是它们球心之间的距离。
F = G (M1 M2) / R²
这里的 R，指的是两个球心之间的直线距离。
但是！ 这里有一个关键点需要注意：当两个球体发生重叠时，简单地用球心距来计算，虽然在理论上是成立的（基于高斯定理，每个球的引力效果仍然可以等效为质点），但实际计算中会涉及到一些细节。例如，如果你的问题是要计算球体内部的某个点受到的引力，那就更复杂了，需要用到对球体内部的引力定理。但对于两个球体之间的总引力，只要它们是均匀的实心球，并且我们计算的是它们质心之间的合力，那么无论是否重叠，都可以等效为质点计算，只要用质心之间的距离作为 r。
非均匀球体或空心球体怎么办？
如果你的球体不是均匀的，或者它是空心的，那么情况就复杂得多了。这时候，我们就不能简单地把整个球体的质量都看作集中在球心了。高斯定理在这种情况下就不适用了，或者说应用起来非常困难。
此时，我们就必须回到最原始的积分方法：
非均匀球体： 你需要知道球体内部质量是如何分布的（也就是质量密度随半径的变化规律）。然后，根据这个分布规律，再去进行前面提到的微元法积分计算。这会非常棘手。
空心球体： 对于一个均匀分布质量的空心球体，它对球体外部任何一点的引力，同样可以等效为一个质量集中在球心的质点。但是，对球体内部任何一点的引力则为零（这是一个很奇妙的结果）。
所以，总结一下：
1. 质点模型何时适用？
当两个球体相对于它们之间的距离来说非常小的时候。
当两个球体是均匀实心球，或者质量分布均匀的空心球，并且我们计算的是它们之间的总引力时，我们可以把它们等效为质点。
2. 如何等效为质点计算？
找到每个球体的质心（对于均匀球体，质心就是球心）。
将两个球体的全部质量 M1 和 M2 分别集中在它们的质心上。
计算两个质心之间的距离 R。
使用万有引力公式：F = G (M1 M2) / R²
3. 什么时候不能等效为质点？
当球体不是均匀的，或者质量分布非常不规则时，你必须通过积分来计算。
当你想计算球体内部某个特定点受到的引力，并且球体本身也不是一个简单的均匀球体时，也需要复杂的积分计算。
在实际应用中，如果你处理的是 astronomically large objects 比如行星、恒星，它们因为体积巨大且相互距离遥远，并且在很多情况下可以近似看作均匀球体，所以通常我们会用质点模型来计算它们之间的引力。但如果你是在实验室里玩两个大铁球，想要非常精确的计算，并且它们离得很近，那么就需要考虑它们体积带来的影响，甚至是用积分的方法来处理。
希望这么说，你能更清楚了。说白了，质点模型是一种简化，它在很多情况下都非常管用，但前提是得满足一定的条件。一旦条件不允许了，就得回到更根本的原理上去，也就是那个无数微小粒子互相作用的积分过程。
网友意见
可以。
前提是两个球距离各自球心相等距离的壳层上密度均匀。通俗点说就是这两个球可以有密度不同的地核地幔地壳，但是地壳的不同位置要均匀。
数学上积分略麻烦，知乎上有很多相关的答案。另外也可以通过高斯定理加上球的对称性也推导出来。
还可以更粗暴，有限元计算VS万有引力定律计算（假设质量集中于球心）。两个密度为1kg/L的球，半径分别为1米和1.49米，球心距离从5米拉近到2.5米（最近处0.01米），可以看到两种计算方式得到的结果仍然很好吻合，误差并没有因为半径不可忽略而增大。
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