为什么任给一个圆，它的圆周长和直径比值都是常数？

设想一下，你手里有一个圆规。你固定好圆规尖端的位置，然后开始画圆。无论你把圆规张开到多大，或者多小，你都会发现一个有趣的规律：圆的边缘长度（也就是圆周长）和穿过圆心、连接圆上两点的直线（也就是直径）之间的比例似乎总是一个固定的值。

为什么会这样呢？这其实是几何学中一个非常深刻且基础的原理。

首先，我们得明确一点：圆周长和直径本身都是可以改变的。你用圆规画一个小圆，它的周长和直径都小。你再把圆规张大些，画一个大圆，它的周长和直径都变大了。但关键在于，当它们各自变大或变小时，它们变化的“速度”或者说“比例关系”是完全一致的。

这种不变的比例，我们给它取了个名字，叫做“π”（读作 pi，中文叫“派”）。所以，我们说圆周长和直径的比值是常数 π。

那么，这个常数 π 是怎么来的呢？它不是我们人为规定的一个值，而是从圆的本质属性中自然而然产生的。

我们可以从几种不同的角度来理解它。

角度一：通过近似和极限

想象一下我们不用圆规画一个完美的圆，而是用一些规则的多边形来近似它。

比如，我们先用一个正方形来“套住”一个圆。这个正方形的边长就是圆的直径。那么，这个正方形的周长是直径的 4 倍。显然，正方形的周长比圆的周长要大不少。

接着，我们用一个正六边形来近似圆。我们可以把圆心作为顶点，将圆分成六个相同的扇形。连接扇形的两个顶点，就构成了一个等边三角形。这个等边三角形的边长，当然比圆的半径要短一些。将这六个三角形的首尾相连，就构成了一个内接正六边形。如果我们把这个六边形想像成“包围”圆的，它的周长是多少呢？通过一些简单的三角学计算，你会发现它的周长比直径大约是 3 倍多一点点，比正方形要接近圆了。

如果我们继续增加正多边形的边数，比如说正十二边形、正二十四边形、正一百边形……随着边数的不断增加，这个多边形就越来越接近那个完美的圆。它的周长也越来越接近圆的周长。

我们可以想像一个“无穷多条边”的正多边形，它就会变成一个完美的圆。在这个过程中，多边形的周长与它“内切”的直径（也就是圆的直径）的比值，会越来越接近一个固定的数值。这个数值，就是 π。

所以，π 是一个极限值，是当我们用越来越精确的多边形去逼近圆时，周长与直径的比值所趋近的那个数值。

角度二：从面积的角度来理解（虽然稍微绕一点，但也能说明问题）

我们知道圆的面积公式是 A = πr²，其中 r 是半径。直径 d = 2r，所以 r = d/2。将这个代入面积公式，我们得到 A = π(d/2)² = πd²/4。

从这里我们也可以反推出 π = 4A/d²。这意味着，只要圆的面积和直径是确定的话，它们之间的比值也是确定的。

但是，面积的公式是怎么来的呢？很多教材会用“分割法”来解释。你可以想象把圆切成非常非常多的细长扇形，然后把这些扇形像拼图一样，头尾相接地排列起来。最开始看起来像一个曲折的波浪状条形，但当扇形越来越多、越来越细时，这个条形的边缘就越来越接近直线。

这个排列起来的近似“长方形”，它的宽度大约是圆的半径 r。它的长度呢？是不是就是圆周长的一半？我们可以这样想：将所有扇形的弧长部分加起来，就是圆周长。因为我们把它们排列成近似长方形，所以这个长方形的长度大概就是圆周长的一半（因为一边是半径，另一边是弧长，而弧长被拉直了）。

所以，这个近似长方形的面积大约是 (圆周长/2) 半径。而我们知道圆的面积是 A。那么，A ≈ (圆周长/2) 半径。

重新整理一下：A ≈ (C/2) r，其中 C 是圆周长。
因为 r = d/2，所以 A ≈ (C/2) (d/2) = Cd/4。
所以，C ≈ 4A/d。

这好像又回到了 π = 4A/d。但这里关键的不是推导 π 的值，而是说明面积和周长、直径之间是相互关联的。

更直接的理解是：如果我们知道圆的面积是 A，直径是 d，并且这个比例关系 C/d = π 是固定的话，那么圆的面积 A = π(d/2)² = πd²/4。

反过来想，如果我们假设圆的周长和直径的比例是某个常数 k，那么对于任何一个半径为 r 的圆，它的直径就是 2r，周长就是 C = k (2r) = 2kr。

然后，如果我们把圆分割成许多小扇形，当扇形数量趋于无穷大时，我们可以将它们近似地排列成一个长方形。这个长方形的“高度”是半径 r，它的“长度”是所有扇形弧长的总和，也就是圆周长 C。

但我们也可以从另一个角度理解这个近似长方形：将扇形按半径从小到大排列，就像在堆叠。最终的“总长度”是多少呢？这里就涉及到更复杂的积分概念，但直观上，当你把所有半径都“拉直”的时候，它们构成了一条线段。而圆周长 C 又是怎么来的呢？

回过头来看，最直接且最容易理解的还是那个极限的思路。无论是通过内接多边形还是外切多边形，当多边形的边数趋于无穷时，它们的周长与对应直径的比值都会收敛到一个固定值。这个值就是 π。

这个常数 π 的存在，说明了圆的几何性质具有一种内在的比例关系，不随圆的大小改变而改变。它就像我们说所有正方形的四个内角都是直角一样，是圆这种图形的基本特征。科学家和数学家们经过无数的测量和计算，证明了这个比例的精确值是无限不循环小数 3.1415926... 但它的“存在性”和“不变性”是圆本身的定义和几何原理所决定的。

这是平直的欧氏空间上的性质，如果不是欧氏几何，比如说球面上，一般就不成立，比如纬线圈长度和到北极距离（注意球面上只能用球面距离）就不成比例。

欧氏空间主要有以下性质：

1. 它是一个线性空间，而且原点可以任意选择（也叫做仿射空间），也就是说任意图形都可以平移、旋转、缩放而仍然在空间内

2. 它是一个内积空间，长度定义为内积的平方根，而内积有双线性性质，意味着旋转时长度不变，缩放时长度按比例增加（整体平移时向量本身是不变的）；内积也定义了角度，因而平移、旋转、缩放时角度不变。

这些性质在欧氏几何中作为公理和公设出现，在线性代数中则认为是代数结构的性质。

有这些基础之后可以定义更广泛的相似性：

对于点集A，如果存在仿射变化f，将A中每个点经过f变化，得到的新点集恰好为A'，则称A'与A相似。根据前面的性质，相似的两个图形，直线仍然对应直线，角度不变，距离则成固定比例。

由于仿射变化是可以复合的，因此通过多个平移、旋转、缩放之后重合也是一样的。

接下来证明任意两个圆都是相似的，我们可以将圆和圆心一起做变化，只需要仿照其它答主的方法：首先将圆心平移到重合的位置，然后以圆心为原点按半径比例缩放，则圆周上点到圆心的距离仍然相等，得到了一个新的圆，很容易证明两个圆现在完全重合。

既然任意两个圆都相似，那么最后一个问题是考虑周长的问题了，首先需要定义周长，我们一般定义曲线长度为内接折线长度的上确界，对于圆来说，就是内接简单多边形的周长的上确界了；那么不难发现，设相似变换为f，则第一个圆上的任意内接简单多边形，经过f变换，都得到第二个圆上的一个对应的、相似的内接简单多边形，因而多边形周长成固定比例；因为f可逆，因此反过来也有同样的对应关系。因为每个元素都相应成比例，那么运用与常数乘积的极限性质，整体的上确界也相应成比例了，因而圆的周长的比例也是相似比。很容易发现这一点可以推广到任意曲线上。

既然周长和半径（直径）都相应成比例，那么周长和直径的比值自然就是固定值了。

大家都提到了相似关系，实际上用位似说明就更具有说服力了。

将两个圆圆心重合，从圆心发射任意一条射线，分别被大圆与小圆所截（得到两圆半径），由圆的定义，同圆的半径相等，半径之比显然永远都是同一常数 。

以上符合位似定义：

已知两个几何图形A和A'，若二者之间存在一个一一对应，且每一双对应点P和P'都与一定点O共线，同时OP/OP'=k（k>0是常数），则称A和A'位似，而点O叫做位似中心，k是位似比。

由位似的性质，于是周长之比 为位似比 ，直径之比 为位似比 ，

即任意圆的圆周长与直径之比恒为常数，故称之为圆周率。

为什么任给一个圆，它的圆周长和直径比值都是常数？

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