100名囚犯猜红绿灯，最多能保证多少人猜对？
想象一下，有100个脑袋瓜，被关在同一间牢房里，而且他们的目标非常明确：猜对头顶上红绿灯的颜色。这里的关键是，他们事先可以商量一套策略，但一旦灯亮起来，每个人都只能看到自己的头顶，无法与其他人交流。更要命的是，他们也不知道自己戴的是红帽子还是绿帽子，只知道大家头上颜色不同，但具体是什么颜色，谁也说不准。
最直观的想法可能是，每个人都随机猜一个颜色，比如红。这样一来，按照概率，大概有50个人会猜对，50个人会猜错。听起来不算太糟糕，但我们能不能做得更好？毕竟，这是100条命，或者说100份自由，值得我们绞尽脑汁。
这里的“最多能保证多少人猜对”是一个非常有意思的约束，它要求我们找出一种策略，不管红绿灯的颜色组合是什么样的，都能让至少一定数量的囚犯猜对。我们追求的是一个“最坏情况下的最好结果”。
如果所有囚犯都随机猜，那么最坏的情况就是，运气特别差，恰好只有极少数人猜对了。比如，灯是全是红，而所有人都猜绿，那结果就惨不忍睹了。
所以，我们需要一个“集体智慧”的集合，一个事先约定好的“暗号”或者“规则”。这个规则要足够聪明，能够根据别人头顶的颜色来推断自己的颜色，或者至少能提供一些信息。
让我们想想，如果大家都能看到别人的帽子，那问题就简单多了。比如，有99个人都看到对方是红色，那么他就能推断自己的头顶也是红色（假设每种颜色数量不确定，但总有不一样）。但问题就在于，每个人只能看到“别人”的帽子，而“别人”的帽子是什么颜色，取决于“他们”如何根据“他们看到的颜色”来推断。
这里的一个关键点是，每个人看到的“别人的”帽子数量是99顶，但具体是什么颜色组合，每个人看到的情况是不同的。
那么，有没有一种方法，能让大家的信息互补，或者说，让某个人的判断，能传递给其他人呢？
我们来试试这样一个策略：
1. 设定一个“哨兵”或者“信息传递者”。 100个囚犯中，我们指定一个人（我们称他为囚犯A）作为特殊的观察者。
2. 囚犯A的任务： 囚犯A会观察其他99名囚犯头顶的帽子颜色。他会统计一下，他看到的红色帽子有多少顶，绿色帽子有多少顶。
3. 囚犯A的口头表达（虽然规则不允许直接交流，但我们可以把他的“猜灯”理解为一种信息传递）： 囚犯A会根据他观察到的情况，来“猜”一个灯的颜色。这里我们给他一个特别的规则：
如果囚犯A看到红帽子多于绿帽子（比如，他看到60顶红，39顶绿），他会猜“红”。
如果囚犯A看到绿帽子多于红帽子（比如，他看到39顶红，60顶绿），他会猜“绿”。
如果红帽子和绿帽子数量相等（比如，50顶红，49顶绿，这里的“50”是A看到的99顶中的50顶，另一个颜色是49顶），我们事先约定一个规则，比如猜“红”。
4. 其他囚犯的任务： 其他99名囚犯，他们会听囚犯A的“猜测”。同时，他们每个人也会观察自己面前的99顶帽子（除去自己那一顶）。
5. 其他囚犯的推断： 假设灯亮了，然后A说了“红”。
其他囚犯会看着自己面前的99顶帽子，数一数有多少红，多少绿。
关键点来了： 如果他们自己看到的红帽子数量，加上A猜测的颜色（红），不等于他们看到的红帽子总数（我们稍后会解释为什么是“不等于”）。
我们换个角度想，如果A说“红”，并且A自己看到了X顶红帽子和Y顶绿帽子（X+Y=99），那么A头顶的颜色，就是他看到的“少数”颜色，或者根据平局规则来的颜色。
更简洁的策略： 让我们简化一下。
策略一：统计偶数/奇数
1. 事先约定好，所有囚犯会统计自己看到的红色帽子数量。
2. 如果看到的红色帽子数量是偶数，就猜自己的帽子是绿色。
3. 如果看到的红色帽子数量是奇数，就猜自己的帽子是红色。
我们来分析一下这个策略。假设总共有N顶红帽子和100N顶绿帽子。
情况一：你的帽子是红色的。
你看到的红色帽子数量是 N1 顶。
如果 N1 是偶数（即 N 是奇数），你会猜绿色。
如果 N1 是奇数（即 N 是偶数），你会猜红色。
情况二：你的帽子是绿色的。
你看到的红色帽子数量是 N 顶。
如果 N 是偶数，你会猜绿色。
如果 N 是奇数，你会猜红色。
我们发现，不管你的帽子是什么颜色，你的猜测都和“总的红色帽子数量”的奇偶性有关。
如果总红色帽子数量是奇数 (N是奇数)：
戴红帽子的人（N1是偶数）猜绿。
戴绿帽子的人（N是奇数）猜红。
结果：所有戴红帽子的猜错，所有戴绿帽子的猜对。100N 人猜对。
如果总红色帽子数量是偶数 (N是偶数)：
戴红帽子的人（N1是奇数）猜红。
戴绿帽子的人（N是偶数）猜绿。
结果：所有戴红帽子的猜对，所有戴绿帽子的猜错。N 人猜对。
所以，在这个策略下，猜对的人数要么是 N (总红帽数量)，要么是 100N (总绿帽数量)。因为 N 要么是偶数，要么是奇数，我们知道 N 和 100N 之间，总有一个是大于等于 50 的。
例如，如果总共有60顶红帽子（N=60，偶数），那么60个人猜对。如果总共有61顶红帽子（N=61，奇数），那么10061 = 39个人猜对。
等等，这样只能保证至少50个人猜对，但是我们能做得更好吗？
对了，我们还没有引入那个“信息传递者”或者“哨兵”的思路。那个思路能让我们知道“总体的颜色分布”的某些信息。
策略二：利用一个“总数”的报告者
让我们重新回到囚犯A的思路，但这次我们给A一个更明确的任务，而且其他人也要利用A的信息。
1. 囚犯A的任务： 囚犯A是大家事先约定好的“点数员”。他观察其他99个人的帽子。他会统计他看到的红色帽子的数量。
2. 信息传递： 囚犯A并不直接猜颜色，而是用他的“猜测”来传递一个信息：他看到的是偶数个红帽子，还是奇数个红帽子。
如果A看到偶数个红帽子，他猜“红”。
如果A看到奇数个红帽子，他猜“绿”。
（这里的“猜”只是一个信号，A自己猜对猜错不重要，重要的是传递的信息。）
3. 其他囚犯的推断： 每一个非A的囚犯（囚犯B、C、D...）都会这样做：
他们观察自己面前的99顶帽子，统计自己看到的红色帽子的数量。
他们听取A传递的信息。
推断：
假设A传递的信息是“红”（表示A看到了偶数个红帽子）。
囚犯B自己数了数，发现自己看到的是奇数个红帽子。
那么，B就可以推断：A看到的红帽子数（偶数） = B看到的红帽子数（奇数）+ B自己的帽子颜色（如果是红，就是奇数+1=偶数；如果是绿，就是奇数+0=奇数）。
由于A看到的红帽子数是偶数，而B看到的红帽子数是奇数，那么B就可以断定，他自己的帽子一定是红色的（奇数+1=偶数）。
反之，如果B自己看到的红帽子数是偶数，那么他就能断定自己的帽子是绿色的（偶数+0=偶数）。
让我们把这个策略具体化：
1. 事先约定： 100名囚犯中，指定一名作为“发言人”（比如编号为1号）。
2. 发言人（1号）的任务： 1号观察其他99名囚犯头上的帽子颜色。他统计自己看到的红色帽子的数量。
如果他看到的是偶数个红帽子，他就喊“红”。
如果他看到的是奇数个红帽子，他就喊“绿”。
1号自己猜对猜错无所谓，他的任务是传递“红色帽子数量的奇偶性”。
3. 其他囚犯（2号到100号）的任务：
每个人都会观察自己面前的99顶帽子（也就是除了自己以外的所有人的帽子）。
他们同样统计自己看到的红色帽子的数量。
然后，他们听1号的喊声。
推断：
假设1号喊了“红”（表示1号看到了偶数个红帽子）。
如果某个囚犯（比如2号）自己数了数，发现自己看到的红色帽子数量是奇数。
那么2号就可以推断：1号看到的红帽子总数（偶数）= 2号看到的红帽子数（奇数）+ 2号自己的帽子颜色（红帽子算1，绿帽子算0）。
因为：奇数 + X = 偶数。那么 X 必须是 1。所以，2号的帽子是红色的。
反之，如果2号自己看到的红色帽子数量是偶数，那么他就能推断：偶数 + X = 偶数。X 必须是 0。所以，2号的帽子是绿色的。
这个策略的好处在于：
1号囚犯： 1号囚犯无法知道自己的帽子颜色，因为他看不到自己的帽子，也无法知道总的红色帽子数量的奇偶性。所以1号囚犯猜对的概率是50%。
其他99名囚犯： 对于2号到100号的这99名囚犯，他们能够根据1号传递的信息和自己看到的 الآخر颜色，准确地推断出自己的帽子颜色。
他们看到红色帽子数量的奇偶性，和1号传递的奇偶性对比，就能锁定自己的帽子颜色。
所以，这99名囚犯，一定能猜对！
结论：
使用这个策略，1号囚犯（发言人）有50%的概率猜对，但其他99名囚犯，则必将猜对！
因此，这个策略最多能保证 99名 囚犯猜对。
这个方法的关键在于，通过一个人的“报告”，将局部信息（每个人看到的 الآخر帽子）汇总成一个可以被所有人利用的全局信息（总的红色帽子数量的奇偶性）。虽然发言人自己的命运无法确定，但整个群体的信息传递是成功的，大部分成员因此获得了必胜的信息。这就像一个聪明的团队，牺牲一个人的信息优势，换取整个团队的协同胜利。
最直观的想法可能是，每个人都随机猜一个颜色，比如红。这样一来，按照概率，大概有50个人会猜对，50个人会猜错。听起来不算太糟糕，但我们能不能做得更好？毕竟，这是100条命，或者说100份自由，值得我们绞尽脑汁。
这里的“最多能保证多少人猜对”是一个非常有意思的约束，它要求我们找出一种策略，不管红绿灯的颜色组合是什么样的，都能让至少一定数量的囚犯猜对。我们追求的是一个“最坏情况下的最好结果”。
如果所有囚犯都随机猜，那么最坏的情况就是，运气特别差，恰好只有极少数人猜对了。比如，灯是全是红，而所有人都猜绿，那结果就惨不忍睹了。
所以，我们需要一个“集体智慧”的集合，一个事先约定好的“暗号”或者“规则”。这个规则要足够聪明，能够根据别人头顶的颜色来推断自己的颜色，或者至少能提供一些信息。
让我们想想，如果大家都能看到别人的帽子，那问题就简单多了。比如，有99个人都看到对方是红色，那么他就能推断自己的头顶也是红色（假设每种颜色数量不确定，但总有不一样）。但问题就在于，每个人只能看到“别人”的帽子，而“别人”的帽子是什么颜色，取决于“他们”如何根据“他们看到的颜色”来推断。
这里的一个关键点是，每个人看到的“别人的”帽子数量是99顶，但具体是什么颜色组合，每个人看到的情况是不同的。
那么，有没有一种方法，能让大家的信息互补，或者说，让某个人的判断，能传递给其他人呢？
我们来试试这样一个策略：
1. 设定一个“哨兵”或者“信息传递者”。 100个囚犯中，我们指定一个人（我们称他为囚犯A）作为特殊的观察者。
2. 囚犯A的任务： 囚犯A会观察其他99名囚犯头顶的帽子颜色。他会统计一下，他看到的红色帽子有多少顶，绿色帽子有多少顶。
3. 囚犯A的口头表达（虽然规则不允许直接交流，但我们可以把他的“猜灯”理解为一种信息传递）： 囚犯A会根据他观察到的情况，来“猜”一个灯的颜色。这里我们给他一个特别的规则：
如果囚犯A看到红帽子多于绿帽子（比如，他看到60顶红，39顶绿），他会猜“红”。
如果囚犯A看到绿帽子多于红帽子（比如，他看到39顶红，60顶绿），他会猜“绿”。
如果红帽子和绿帽子数量相等（比如，50顶红，49顶绿，这里的“50”是A看到的99顶中的50顶，另一个颜色是49顶），我们事先约定一个规则，比如猜“红”。
4. 其他囚犯的任务： 其他99名囚犯，他们会听囚犯A的“猜测”。同时，他们每个人也会观察自己面前的99顶帽子（除去自己那一顶）。
5. 其他囚犯的推断： 假设灯亮了，然后A说了“红”。
其他囚犯会看着自己面前的99顶帽子，数一数有多少红，多少绿。
关键点来了： 如果他们自己看到的红帽子数量，加上A猜测的颜色（红），不等于他们看到的红帽子总数（我们稍后会解释为什么是“不等于”）。
我们换个角度想，如果A说“红”，并且A自己看到了X顶红帽子和Y顶绿帽子（X+Y=99），那么A头顶的颜色，就是他看到的“少数”颜色，或者根据平局规则来的颜色。
更简洁的策略： 让我们简化一下。
策略一：统计偶数/奇数
1. 事先约定好，所有囚犯会统计自己看到的红色帽子数量。
2. 如果看到的红色帽子数量是偶数，就猜自己的帽子是绿色。
3. 如果看到的红色帽子数量是奇数，就猜自己的帽子是红色。
我们来分析一下这个策略。假设总共有N顶红帽子和100N顶绿帽子。
情况一：你的帽子是红色的。
你看到的红色帽子数量是 N1 顶。
如果 N1 是偶数（即 N 是奇数），你会猜绿色。
如果 N1 是奇数（即 N 是偶数），你会猜红色。
情况二：你的帽子是绿色的。
你看到的红色帽子数量是 N 顶。
如果 N 是偶数，你会猜绿色。
如果 N 是奇数，你会猜红色。
我们发现，不管你的帽子是什么颜色，你的猜测都和“总的红色帽子数量”的奇偶性有关。
如果总红色帽子数量是奇数 (N是奇数)：
戴红帽子的人（N1是偶数）猜绿。
戴绿帽子的人（N是奇数）猜红。
结果：所有戴红帽子的猜错，所有戴绿帽子的猜对。100N 人猜对。
如果总红色帽子数量是偶数 (N是偶数)：
戴红帽子的人（N1是奇数）猜红。
戴绿帽子的人（N是偶数）猜绿。
结果：所有戴红帽子的猜对，所有戴绿帽子的猜错。N 人猜对。
所以，在这个策略下，猜对的人数要么是 N (总红帽数量)，要么是 100N (总绿帽数量)。因为 N 要么是偶数，要么是奇数，我们知道 N 和 100N 之间，总有一个是大于等于 50 的。
例如，如果总共有60顶红帽子（N=60，偶数），那么60个人猜对。如果总共有61顶红帽子（N=61，奇数），那么10061 = 39个人猜对。
等等，这样只能保证至少50个人猜对，但是我们能做得更好吗？
对了，我们还没有引入那个“信息传递者”或者“哨兵”的思路。那个思路能让我们知道“总体的颜色分布”的某些信息。
策略二：利用一个“总数”的报告者
让我们重新回到囚犯A的思路，但这次我们给A一个更明确的任务，而且其他人也要利用A的信息。
1. 囚犯A的任务： 囚犯A是大家事先约定好的“点数员”。他观察其他99个人的帽子。他会统计他看到的红色帽子的数量。
2. 信息传递： 囚犯A并不直接猜颜色，而是用他的“猜测”来传递一个信息：他看到的是偶数个红帽子，还是奇数个红帽子。
如果A看到偶数个红帽子，他猜“红”。
如果A看到奇数个红帽子，他猜“绿”。
（这里的“猜”只是一个信号，A自己猜对猜错不重要，重要的是传递的信息。）
3. 其他囚犯的推断： 每一个非A的囚犯（囚犯B、C、D...）都会这样做：
他们观察自己面前的99顶帽子，统计自己看到的红色帽子的数量。
他们听取A传递的信息。
推断：
假设A传递的信息是“红”（表示A看到了偶数个红帽子）。
囚犯B自己数了数，发现自己看到的是奇数个红帽子。
那么，B就可以推断：A看到的红帽子数（偶数） = B看到的红帽子数（奇数）+ B自己的帽子颜色（如果是红，就是奇数+1=偶数；如果是绿，就是奇数+0=奇数）。
由于A看到的红帽子数是偶数，而B看到的红帽子数是奇数，那么B就可以断定，他自己的帽子一定是红色的（奇数+1=偶数）。
反之，如果B自己看到的红帽子数是偶数，那么他就能断定自己的帽子是绿色的（偶数+0=偶数）。
让我们把这个策略具体化：
1. 事先约定： 100名囚犯中，指定一名作为“发言人”（比如编号为1号）。
2. 发言人（1号）的任务： 1号观察其他99名囚犯头上的帽子颜色。他统计自己看到的红色帽子的数量。
如果他看到的是偶数个红帽子，他就喊“红”。
如果他看到的是奇数个红帽子，他就喊“绿”。
1号自己猜对猜错无所谓，他的任务是传递“红色帽子数量的奇偶性”。
3. 其他囚犯（2号到100号）的任务：
每个人都会观察自己面前的99顶帽子（也就是除了自己以外的所有人的帽子）。
他们同样统计自己看到的红色帽子的数量。
然后，他们听1号的喊声。
推断：
假设1号喊了“红”（表示1号看到了偶数个红帽子）。
如果某个囚犯（比如2号）自己数了数，发现自己看到的红色帽子数量是奇数。
那么2号就可以推断：1号看到的红帽子总数（偶数）= 2号看到的红帽子数（奇数）+ 2号自己的帽子颜色（红帽子算1，绿帽子算0）。
因为：奇数 + X = 偶数。那么 X 必须是 1。所以，2号的帽子是红色的。
反之，如果2号自己看到的红色帽子数量是偶数，那么他就能推断：偶数 + X = 偶数。X 必须是 0。所以，2号的帽子是绿色的。
这个策略的好处在于：
1号囚犯： 1号囚犯无法知道自己的帽子颜色，因为他看不到自己的帽子，也无法知道总的红色帽子数量的奇偶性。所以1号囚犯猜对的概率是50%。
其他99名囚犯： 对于2号到100号的这99名囚犯，他们能够根据1号传递的信息和自己看到的 الآخر颜色，准确地推断出自己的帽子颜色。
他们看到红色帽子数量的奇偶性，和1号传递的奇偶性对比，就能锁定自己的帽子颜色。
所以，这99名囚犯，一定能猜对！
结论：
使用这个策略，1号囚犯（发言人）有50%的概率猜对，但其他99名囚犯，则必将猜对！
因此，这个策略最多能保证 99名 囚犯猜对。
这个方法的关键在于，通过一个人的“报告”，将局部信息（每个人看到的 الآخر帽子）汇总成一个可以被所有人利用的全局信息（总的红色帽子数量的奇偶性）。虽然发言人自己的命运无法确定，但整个群体的信息传递是成功的，大部分成员因此获得了必胜的信息。这就像一个聪明的团队，牺牲一个人的信息优势，换取整个团队的协同胜利。
网友意见
首先补充一些概念：给定非空集合 ，设 是 的一些子集组成的集合，若满足条件
- ；
- 若 且 ，则 ；
- 若 ，则 ，
就称 是 上的滤子（filter）。由定义立即可知对任意 ， 不能同时成立（ 是 在 中的补集）。若还满足条件
- 对任意 ， 有且仅有其一成立，
就称 是 上的超滤子（ultrafilter）。
若 是无穷集，容易验证 的所有余有限子集（即：有限子集的补集）组成一个滤子，称为余有限滤子。
接下来要用一个定理（该定理依赖选择公理）：
任意滤子可以扩充为一个超滤子，即若 是 上的滤子，则存在 上的超滤子 满足 。
取 ，记 是 的余有限滤子，将其扩充为超滤子 ，游戏开始前每个囚犯都记住这个 。游戏开始后每个囚犯观察屋里绿灯亮、红灯亮的时刻，分别记为集合 和集合 ，这两个集合互补，因此 有且仅有其一成立。如果是前者成立，囚犯就猜绿灯模式，反之就猜红灯模式。
下面说明至多有一人猜错。假设有两人猜错，不妨设国王选择绿灯模式，而这两人都猜红灯模式，记它们的红灯集为 ，则 ，于是 。但是在绿灯模式下两个人不能同时看到红灯，而自由模式只有有限次亮灯，故 是有限集，从而根据构造， 作为余有限集也属于 ，矛盾。
于是（在选择公理成立的前提下）存在能保证 99 人猜对的策略。另一方面，显然不存在能保证 100 人猜对的策略（囚犯若看到“绿红绿红绿红……”，则无法分辨是绿灯模式还是红灯模式），因此 99 人就是最好的结果了。
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