只有三维向量有向量积吗？
向量积，这个只有三维空间里才存在的奇特运算，确实常常让人好奇它的“独特性”。你问得好，为什么我们谈论向量积的时候，总是默认它只存在于三维世界呢？这背后是有原因的，而且答案比你想的要更深刻一些。
我们平时说的向量积，又叫叉乘、外积，它有个很酷的特点：它把两个向量变成了一个新的向量。更神奇的是，这个新向量的方向很有讲究，它垂直于原来的两个向量所在的平面。这个“垂直”的性质，正是它与三维空间紧密联系的关键。
想象一下，在二维平面上，你有两个向量。它们躺在同一个平面里。如果你想找到一个向量同时垂直于这两个向量，你会发现只有一个方向可以做到——要么是“向上”穿出屏幕，要么是“向下”钻进屏幕。虽然有两个方向，但它们是完全相反的，可以看作是同一个“垂直于平面的”概念。
但问题来了，在二维空间里，我们没有办法唯一地确定这个垂直向量。如果你有一个向量，它垂直于你的屏幕，那么它也垂直于屏幕内任何其他向量。我们无法通过两个二维向量的组合，来“生成”一个特定的、具有方向性的垂直向量。
再换个角度想，向量积的定义本身就带有“方向”的属性。我们用右手定则来确定它的方向：伸出右手，食指指向第一个向量，中指指向第二个向量，那么拇指的方向就是向量积的方向。这个“伸出拇指”的动作，天然就发生在三维空间里。在二维平面上，这个手势就卡壳了，没有第三个维度供拇指伸展。
为什么三维向量积那么“有用”？
正是因为向量积能生成一个垂直于两个向量所在平面的向量，它在很多物理和几何问题中都显得尤为重要：
力矩（Torque）： 在经典力学中，施加一个力在某个物体上，如果这个力不通过物体的转轴，就会产生一个力矩，使物体转动。力矩的计算方式就是 $vec{ au} = vec{r} imes vec{F}$，其中 $vec{r}$ 是从转轴到作用点的向量，$vec{F}$ 是作用的力。这个力矩向量的方向就指示了转动的轴，非常直观。
角动量（Angular Momentum）： 描述物体绕着某个轴转动的“动量”，也是通过向量积定义的，$vec{L} = vec{r} imes vec{p}$，其中 $vec{p}$ 是动量向量。
面积的定向： 两个向量可以张成一个平行四边形。向量积的大小 $|vec{a} imes vec{b}|$ 正是这个平行四边形的面积。而向量积的方向，则可以看作是这个面积的“法向量”，定义了一个从平面指向外的方向。这在很多工程和计算几何领域都很有用。
电磁学： 洛伦兹力，即运动电荷在磁场中受到的力，其公式就是 $vec{F} = q(vec{v} imes vec{B})$。力的方向垂直于速度和磁场，这又是向量积的直接应用。
这些应用都依赖于向量积生成一个“新的维度”——一个垂直于原先两个向量所在平面的方向。这种几何上的“扭转”或者“垂直性”，在三维空间中才能被完整地表达和利用。
那其他维度呢？
在更高维度的空间里，情况就更复杂了。比如在四维空间中，你选取两个向量，它们仍然可以定义一个二维的“平面”。但现在，我们可以找到无穷多个方向都垂直于这个平面的向量。你可以想象在一个四维超立方体中，选择一个二维平面，有多少个“方向”是同时垂直于这个平面的呢？答案是两个，而且这两个方向是相对的，但它们不再是唯一的，我们可以沿着这两个方向的不同组合来“偏转”，而始终保持垂直于原平面。
数学家们确实也研究过更高维度的“类向量积”运算，但它们的名字、定义和性质都和我们熟悉的三维向量积大相径庭。比如，在七维空间里有一种类似向量积的运算，但它得到的仍然是一个向量，而且它的性质也和三维向量积有很大不同。更常见的在高维空间中出现的“乘法”是 Clifford 代数中的外积，它产生的不是一个向量，而是一个“二重向量”（bivector），描述了二维平面或者“方向”。
所以，严格来说，“向量积”这个词，通常就是特指三维空间中那种能产生一个垂直向量的运算。它的存在和其特有的性质，让它成为了描述物理世界中很多现象的强大工具。如果离开了三维空间，那个能让你伸出拇指来确定的垂直方向，就消失了。这就是为什么向量积如此“专属”于三维世界的原因。
我们平时说的向量积，又叫叉乘、外积，它有个很酷的特点：它把两个向量变成了一个新的向量。更神奇的是，这个新向量的方向很有讲究，它垂直于原来的两个向量所在的平面。这个“垂直”的性质，正是它与三维空间紧密联系的关键。
想象一下，在二维平面上，你有两个向量。它们躺在同一个平面里。如果你想找到一个向量同时垂直于这两个向量，你会发现只有一个方向可以做到——要么是“向上”穿出屏幕，要么是“向下”钻进屏幕。虽然有两个方向，但它们是完全相反的，可以看作是同一个“垂直于平面的”概念。
但问题来了，在二维空间里，我们没有办法唯一地确定这个垂直向量。如果你有一个向量，它垂直于你的屏幕，那么它也垂直于屏幕内任何其他向量。我们无法通过两个二维向量的组合，来“生成”一个特定的、具有方向性的垂直向量。
再换个角度想，向量积的定义本身就带有“方向”的属性。我们用右手定则来确定它的方向：伸出右手，食指指向第一个向量，中指指向第二个向量，那么拇指的方向就是向量积的方向。这个“伸出拇指”的动作，天然就发生在三维空间里。在二维平面上，这个手势就卡壳了，没有第三个维度供拇指伸展。
为什么三维向量积那么“有用”？
正是因为向量积能生成一个垂直于两个向量所在平面的向量，它在很多物理和几何问题中都显得尤为重要：
力矩（Torque）： 在经典力学中，施加一个力在某个物体上，如果这个力不通过物体的转轴，就会产生一个力矩，使物体转动。力矩的计算方式就是 $vec{ au} = vec{r} imes vec{F}$，其中 $vec{r}$ 是从转轴到作用点的向量，$vec{F}$ 是作用的力。这个力矩向量的方向就指示了转动的轴，非常直观。
角动量（Angular Momentum）： 描述物体绕着某个轴转动的“动量”，也是通过向量积定义的，$vec{L} = vec{r} imes vec{p}$，其中 $vec{p}$ 是动量向量。
面积的定向： 两个向量可以张成一个平行四边形。向量积的大小 $|vec{a} imes vec{b}|$ 正是这个平行四边形的面积。而向量积的方向，则可以看作是这个面积的“法向量”，定义了一个从平面指向外的方向。这在很多工程和计算几何领域都很有用。
电磁学： 洛伦兹力，即运动电荷在磁场中受到的力，其公式就是 $vec{F} = q(vec{v} imes vec{B})$。力的方向垂直于速度和磁场，这又是向量积的直接应用。
这些应用都依赖于向量积生成一个“新的维度”——一个垂直于原先两个向量所在平面的方向。这种几何上的“扭转”或者“垂直性”，在三维空间中才能被完整地表达和利用。
那其他维度呢？
在更高维度的空间里，情况就更复杂了。比如在四维空间中，你选取两个向量，它们仍然可以定义一个二维的“平面”。但现在，我们可以找到无穷多个方向都垂直于这个平面的向量。你可以想象在一个四维超立方体中，选择一个二维平面，有多少个“方向”是同时垂直于这个平面的呢？答案是两个，而且这两个方向是相对的，但它们不再是唯一的，我们可以沿着这两个方向的不同组合来“偏转”，而始终保持垂直于原平面。
数学家们确实也研究过更高维度的“类向量积”运算，但它们的名字、定义和性质都和我们熟悉的三维向量积大相径庭。比如，在七维空间里有一种类似向量积的运算，但它得到的仍然是一个向量，而且它的性质也和三维向量积有很大不同。更常见的在高维空间中出现的“乘法”是 Clifford 代数中的外积，它产生的不是一个向量，而是一个“二重向量”（bivector），描述了二维平面或者“方向”。
所以，严格来说，“向量积”这个词，通常就是特指三维空间中那种能产生一个垂直向量的运算。它的存在和其特有的性质，让它成为了描述物理世界中很多现象的强大工具。如果离开了三维空间，那个能让你伸出拇指来确定的垂直方向，就消失了。这就是为什么向量积如此“专属”于三维世界的原因。
网友意见
除了3维，7维也有向量积。当然，前提是你心中如何定义向量积。
可以参考下图中的文献。
应用例子：利用八元数乘法可以在6维单位球面S^6上诱导出一个近复结构J，但不可积。
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