如何求解下面的概率问题？
咱们一块儿来聊聊这道概率题
话说这概率这玩意儿，看着挺玄乎，其实拆开了看，就跟咱们生活中的一些事情一样，有因有果，有条有理。今天咱们就来把这道题捋顺了，保证你听完之后，也能像个老江湖一样轻松应对。
先把题目嚼烂了，别急着下笔
拿到一道题目，切记不要一股脑儿地就往计算里钻。咱们得先把题目里的关键信息给摸清楚了，就像侦探破案一样，把蛛丝马迹都找出来。
比如说，这道题目里有没有提到“独立事件”？“互斥事件”？有没有什么“重复抽样”、“不重复抽样”的说法？这些都是决定咱们用什么公式、什么思路的关键。
我举个例子哈，比如题目说“从一袋子里摸球，摸了放回去再摸”，这跟“摸了不放回去再摸”那可是天壤之别。前者，每次摸球的结果都不会影响下次摸球，这叫“有放回抽样”，事件之间是独立的；后者，摸了一个球，袋子里的球就少了一个，概率就变了，这叫“无放回抽样”，事件之间就不是独立的了。
还有，题目里有没有说“至少”、“至多”、“恰好”之类的词？这些词可直接关系到咱们是需要算单个情况的概率然后加起来，还是需要算反面情况的概率再用一减。
分清楚了“总共的可能性”和“我们想要的结果的可能性”
说白了，概率就是“我们想要的结果出现的可能性” / “所有可能发生的情况的总数”。
所以，咱们第一步要做的，就是把“所有可能发生的情况的总数”给算出来。这就像你买彩票，得知道总共有多少个号码组合，对吧？
这一步，通常会用到组合或者排列的知识。
排列 (Permutation)：如果你摸出来的球还要考虑顺序，比如摸出一个红球再摸一个蓝球，跟摸一个蓝球再摸一个红球是不同的情况，那就得用排列了。公式是 P(n, k) = n! / (nk)!，意思是n个东西里选k个，并且考虑顺序。
组合 (Combination)：如果你摸出来的球不考虑顺序，比如不管先摸到红球还是蓝球，只要最后手里是红球和蓝球，就算一种结果，那就用组合。公式是 C(n, k) = n! / (k! (nk)!), 意思是n个东西里选k个，不考虑顺序。
别被这些公式吓到，其实它反映的就是“有多少种选法”而已。有时候，咱们也可以通过画“树状图”来把所有情况都列出来，虽然有点费时，但对于简单问题来说，特别直观。
找到“我们想要的结果”究竟有多少种
这一步呢，就是把题目里要求的那个“好结果”给找出来。可能是一次就中奖，可能是一堆球里有几个是白球，也可能是连续几次都出现某种结果。
这里也需要用到组合或者排列的思路，但更重要的是要结合题目本身的具体条件来分析。
比如，题目说“摸出3个球，其中恰好有2个是红球”。那么，“我们想要的结果”就是“摸出2个红球，再摸出1个非红球”。这时候，咱们就需要计算出“从所有红球里选2个有多少种方法”和“从所有非红球里选1个有多少种方法”，然后把这两种方法数乘起来，就是我们想要的那个好结果的总数。
把两部分一除，概率就出来了！
最后一步，就是用我们算出来的“我们想要的结果的总数”，除以“所有可能发生的情况的总数”，大功告成！
一些实用的小技巧，让解题更顺畅
分类讨论：有时候，目标结果可以分成好几种情况，比如“至少一个红球”，那就可以是“一个红球”、“两个红球”、“三个红球”……这时候，咱们就把每种情况的概率都算出来，然后加起来。
反面思考：很多时候，直接计算“想要的结果”会比较麻烦，但计算它的“反面结果”反而很简单。比如计算“至少有一个红球”的概率，不如计算“一个红球都没有”的概率，然后用1减去这个概率。这就像我们说“这个班至少有一个男生”，不如说“不是所有女生都来，总有人缺席”。
条件概率：如果题目的条件是“在某种情况下发生的概率”，那咱们就需要用到条件概率的公式：P(A|B) = P(A and B) / P(B)。简单说就是，在B已经发生的情况下，A发生的概率，等于A和B同时发生的概率，除以B发生的概率。这个在“已知摸了两个红球，第三个球是什么颜色”这种问题里很常见。
贝叶斯定理：这个就稍微进阶一点了，当咱们有了一些新的证据，想要更新之前的概率判断时，就可以用贝叶斯定理。比如，已知某种疾病的患病率很低，但是某个检查结果显示阳性，那么这个人真的得病的概率是多少？贝叶斯定理就能帮咱们算出来。
别忘了检查，细节决定成败
算完之后，别急着交卷哈。咱们可以自己检查一下：
算出来的概率是不是在0到1之间？如果大于1或者小于0，那肯定哪里算错了。
有没有漏掉什么情况？或者有没有重复计算？
再读一遍题目，看看算出来的结果是不是符合题目的要求。
举个例子，咱们来实战一下
假设有这样一个问题：一个箱子里有3个红球和2个蓝球，从中不放回地随机抽取2个球，求抽到两个都是红球的概率是多少？
好，咱们一步步来：
1. 嚼烂题目：不放回抽样，抽2个球，要求都是红球。关键词：不放回，2个，都是红球。
2. 算“所有可能”：箱子里总共有 3 + 2 = 5个球。咱们要从中抽取2个球，不考虑顺序，所以用组合。
所有可能抽取2个球的情况数是 C(5, 2) = 5! / (2! (52)!) = 5! / (2! 3!) = (5 4) / (2 1) = 10种。
3. 算“我们想要的结果”：我们想要的结果是“抽到两个都是红球”。箱子里有3个红球，我们要从中抽取2个，不考虑顺序，所以用组合。
抽到两个红球的情况数是 C(3, 2) = 3! / (2! (32)!) = 3! / (2! 1!) = 3种。
4. 相除：
抽到两个都是红球的概率 = (抽到两个都是红球的情况数) / (所有可能抽取2个球的情况数) = 3 / 10。
怎么样，是不是清晰多了？
记住，概率这玩意儿，练得越多，你就会越觉得它有意思。把它当成生活中的小谜题，一点点去拆解，你就会发现，原来这些看似复杂的数学工具，都能帮我们更清楚地认识这个世界。别怕出错，每一次错误都是一次学习的机会。加油！
话说这概率这玩意儿，看着挺玄乎，其实拆开了看，就跟咱们生活中的一些事情一样，有因有果，有条有理。今天咱们就来把这道题捋顺了，保证你听完之后，也能像个老江湖一样轻松应对。
先把题目嚼烂了，别急着下笔
拿到一道题目，切记不要一股脑儿地就往计算里钻。咱们得先把题目里的关键信息给摸清楚了，就像侦探破案一样，把蛛丝马迹都找出来。
比如说，这道题目里有没有提到“独立事件”？“互斥事件”？有没有什么“重复抽样”、“不重复抽样”的说法？这些都是决定咱们用什么公式、什么思路的关键。
我举个例子哈，比如题目说“从一袋子里摸球，摸了放回去再摸”，这跟“摸了不放回去再摸”那可是天壤之别。前者，每次摸球的结果都不会影响下次摸球，这叫“有放回抽样”，事件之间是独立的；后者，摸了一个球，袋子里的球就少了一个，概率就变了，这叫“无放回抽样”，事件之间就不是独立的了。
还有，题目里有没有说“至少”、“至多”、“恰好”之类的词？这些词可直接关系到咱们是需要算单个情况的概率然后加起来，还是需要算反面情况的概率再用一减。
分清楚了“总共的可能性”和“我们想要的结果的可能性”
说白了，概率就是“我们想要的结果出现的可能性” / “所有可能发生的情况的总数”。
所以，咱们第一步要做的，就是把“所有可能发生的情况的总数”给算出来。这就像你买彩票，得知道总共有多少个号码组合，对吧？
这一步，通常会用到组合或者排列的知识。
排列 (Permutation)：如果你摸出来的球还要考虑顺序，比如摸出一个红球再摸一个蓝球，跟摸一个蓝球再摸一个红球是不同的情况，那就得用排列了。公式是 P(n, k) = n! / (nk)!，意思是n个东西里选k个，并且考虑顺序。
组合 (Combination)：如果你摸出来的球不考虑顺序，比如不管先摸到红球还是蓝球，只要最后手里是红球和蓝球，就算一种结果，那就用组合。公式是 C(n, k) = n! / (k! (nk)!), 意思是n个东西里选k个，不考虑顺序。
别被这些公式吓到，其实它反映的就是“有多少种选法”而已。有时候，咱们也可以通过画“树状图”来把所有情况都列出来，虽然有点费时，但对于简单问题来说，特别直观。
找到“我们想要的结果”究竟有多少种
这一步呢，就是把题目里要求的那个“好结果”给找出来。可能是一次就中奖，可能是一堆球里有几个是白球，也可能是连续几次都出现某种结果。
这里也需要用到组合或者排列的思路，但更重要的是要结合题目本身的具体条件来分析。
比如，题目说“摸出3个球，其中恰好有2个是红球”。那么，“我们想要的结果”就是“摸出2个红球，再摸出1个非红球”。这时候，咱们就需要计算出“从所有红球里选2个有多少种方法”和“从所有非红球里选1个有多少种方法”，然后把这两种方法数乘起来，就是我们想要的那个好结果的总数。
把两部分一除，概率就出来了！
最后一步，就是用我们算出来的“我们想要的结果的总数”，除以“所有可能发生的情况的总数”，大功告成！
一些实用的小技巧，让解题更顺畅
分类讨论：有时候，目标结果可以分成好几种情况，比如“至少一个红球”，那就可以是“一个红球”、“两个红球”、“三个红球”……这时候，咱们就把每种情况的概率都算出来，然后加起来。
反面思考：很多时候，直接计算“想要的结果”会比较麻烦，但计算它的“反面结果”反而很简单。比如计算“至少有一个红球”的概率，不如计算“一个红球都没有”的概率，然后用1减去这个概率。这就像我们说“这个班至少有一个男生”，不如说“不是所有女生都来，总有人缺席”。
条件概率：如果题目的条件是“在某种情况下发生的概率”，那咱们就需要用到条件概率的公式：P(A|B) = P(A and B) / P(B)。简单说就是，在B已经发生的情况下，A发生的概率，等于A和B同时发生的概率，除以B发生的概率。这个在“已知摸了两个红球，第三个球是什么颜色”这种问题里很常见。
贝叶斯定理：这个就稍微进阶一点了，当咱们有了一些新的证据，想要更新之前的概率判断时，就可以用贝叶斯定理。比如，已知某种疾病的患病率很低，但是某个检查结果显示阳性，那么这个人真的得病的概率是多少？贝叶斯定理就能帮咱们算出来。
别忘了检查，细节决定成败
算完之后，别急着交卷哈。咱们可以自己检查一下：
算出来的概率是不是在0到1之间？如果大于1或者小于0，那肯定哪里算错了。
有没有漏掉什么情况？或者有没有重复计算？
再读一遍题目，看看算出来的结果是不是符合题目的要求。
举个例子，咱们来实战一下
假设有这样一个问题：一个箱子里有3个红球和2个蓝球，从中不放回地随机抽取2个球，求抽到两个都是红球的概率是多少？
好，咱们一步步来：
1. 嚼烂题目：不放回抽样，抽2个球，要求都是红球。关键词：不放回，2个，都是红球。
2. 算“所有可能”：箱子里总共有 3 + 2 = 5个球。咱们要从中抽取2个球，不考虑顺序，所以用组合。
所有可能抽取2个球的情况数是 C(5, 2) = 5! / (2! (52)!) = 5! / (2! 3!) = (5 4) / (2 1) = 10种。
3. 算“我们想要的结果”：我们想要的结果是“抽到两个都是红球”。箱子里有3个红球，我们要从中抽取2个，不考虑顺序，所以用组合。
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抽到两个都是红球的概率 = (抽到两个都是红球的情况数) / (所有可能抽取2个球的情况数) = 3 / 10。
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网友意见
一维随机游走的首次击中时(hitting time) - 拉普拉斯算符的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/366037329
一维随机游走的首次返回概率 - 拉普拉斯算符的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/365721223
我前几天刚好在算这个问题，我们设该粒子每步有 的概率向右走（+1），有 的概率向左走（-1）。假定
约定 表示该粒子从原点出发，经过n步之后，第一次到达吸收壁 的概率，显然当 。
由粒子的运动性质，我们可以较容易地得到迭代方程：
从物理意义上很好理解，如果该粒子在这一步向右走，那么为了达到同样的结果就必须在剩下的 步当中走完 步，反之亦然，并且由于该粒子不是向左走就是向右走，所以等式成立。那么，从 的角度来看，这就是一个二阶常系数差分方程，但是我们 这个步长项没法对齐，所以我们进行Z变换如下：
这样，我们有：
我们可以将高阶项转移到左面，有
仅需要解这个方程
的特征根就好了，我们假设这个方程的特征根分别为 和 （由一元二次方程求根公式易得），由韦达定理，我们有：
由观察可得：
这是一个等比数列，故而可得到
两式子相减，可得：
把常数整合以后，可以通项公式写作：
当然，对于题目当中的条件 ，我们则可得到重根 ，同样地由韦达定理可得：
通约化简之后，采用类似的方法，我们可以得到：
其中 和 都是常系数。无论 是否成立，我们都需要两个特定值来帮助我们求解这两个系数。而由于题设条件，我们可得
带入就可以求解两个方程得到 的系数，然后随机，将Z变换转换回去（别忘了， 跟 之间的关系）
对该式子进逆变换，即可得到通项公式，结果谁爱算谁算吧，反正我懒，摸了= =
补充：事实上，如果你需要达到的地方是a与-b（a与b都为正整数），那么期望步数就是ab。
我以前（没什么概率论基础的时候）答过一道题，大概是甲乙两人抛硬币押筹码。当二人分别有x个和y个筹码时，预计xy局游戏过后有人输光筹码。道理是完全一样的。这类问题可用鞅求解，但，暴力计算也是完全可行的……
希望有帮助
定义 利用 是鞅我们知道
解得
同时停止过程 也是鞅，于是由有界收敛定理( 的“有界”性可以从连续 次右移可跳出该区间而得到)知
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