用微积分怎么证明勾股定理？

好的，我们来用微积分来证明勾股定理。这是一种比较有趣且不那么直观的证明方法，它利用了曲线的面积或长度来构建关系。我们将采用一种基于积分的思想，虽然不直接使用常见的积分公式，但其核心思想是累加无穷小的部分。

勾股定理回顾：

对于一个直角三角形，设两条直角边的长度分别为 $a$ 和 $b$，斜边的长度为 $c$。勾股定理指出：
$a^2 + b^2 = c^2$

证明思路：

我们将构造一个特殊的图形，这个图形能够通过两种不同的方式计算出其面积，而这两种计算方式都与勾股定理中的 $a^2$, $b^2$ 和 $c^2$ 相关联。

一种常用的微积分证明方法是基于旋转体体积，但这里我们尝试一种更直观的、与面积相关的微积分思想。我们可以考虑一个由四条线段组成的图形，这四条线段可以构成一个大的正方形，而内部则包含一个小的倾斜的正方形，以及四个与直角三角形相似的直角三角形。

为了用微积分的语言来解释，我们可以想象我们通过“生长”或“累加”的过程来构建这个图形，并且在这个过程中计算面积的变化。

证明步骤：

1. 构造图形：
考虑一个边长为 $(a+b)$ 的大正方形。我们将它放置在坐标系中，顶点位于 $(0,0)$, $(a+b,0)$, $(a+b, a+b)$, $(0, a+b)$。

在这个大正方形的内部，我们按照以下方式放置四个直角三角形：
第一个直角三角形：顶点位于 $(0,0)$, $(a,0)$, $(0,b)$。它的斜边连接 $(a,0)$ 和 $(0,b)$。
第二个直角三角形：顶点位于 $(a,0)$, $(a+b,0)$, $(a,b)$。它的斜边连接 $(a+b,0)$ 和 $(a,b)$。
第三个直角三角形：顶点位于 $(a+b,b)$, $(a+b, a+b)$, $(a, a+b)$。它的斜边连接 $(a+b,a+b)$ 和 $(a,a+b)$。
第四个直角三角形：顶点位于 $(0,b)$, $(0, a+b)$, $(b, a+b)$。它的斜边连接 $(0,a+b)$ 和 $(b,a+b)$。

注意：这里我们选择的放置方式可以让我们内部形成一个倾斜的正方形。更具体的说，我们可以将这四个直角三角形的直角顶点分别放置在大正方形的四个顶点处，然后沿着大正方形的边向内移动一段距离。

另一种更经典的构造方式是：
在大正方形的边上标记点：从左下角开始，顺时针方向在大正方形的四条边上分别标记点：
边1 (底部)：$(a, 0)$
边2 (右侧)：$(a+b, a)$
边3 (顶部)：$(b, a+b)$
边4 (左侧)：$(0, b)$

将这些点用线段连接起来，形成一个倾斜的四边形。
连接 $(a, 0)$ 和 $(0, b)$
连接 $(a+b, a)$ 和 $(a, 0)$
连接 $(b, a+b)$ 和 $(a+b, a)$
连接 $(0, b)$ 和 $(b, a+b)$

关键点： 这四个连接的线段的长度都是斜边 $c$。我们可以很容易地验证这一点。例如，连接 $(a, 0)$ 和 $(0, b)$ 的线段，根据两点间距离公式，$c = sqrt{(a0)^2 + (0b)^2} = sqrt{a^2 + b^2}$。由于我们是沿着边以相同的模式标记的，所以所有四个线段的长度都等于 $c$。

内部图形的性质：
这四个连接的线段围成了一个内部的四边形。我们可以证明它是一个正方形。考虑两个相邻的线段，例如连接 $(a,0)$ 和 $(0,b)$ 的线段，以及连接 $(a+b,a)$ 和 $(a,0)$ 的线段。这两个线段的夹角是多少？

我们来看第一个三角形的斜边与x轴的夹角（假设三角形的直角在原点）。如果直角边是 $a$ 和 $b$，那么斜边与长度为 $a$ 的边（沿着x轴）的夹角为 $ heta$，满足 $ an heta = b/a$。斜边与长度为 $b$ 的边（沿着y轴）的夹角为 $90^circ heta$。

在我们的构造中，连接 $(a,0)$ 和 $(0,b)$ 的线段，其斜率是 $(b0)/(0a) = b/a$。
连接 $(a+b,a)$ 和 $(a,0)$ 的线段，其斜率是 $(a0)/(a+ba) = a/b$。
两个斜率的乘积是 $(b/a) imes (a/b) = 1$，这意味着这两条线段是垂直的。
因此，内部的四边形是一个正方形，其边长为 $c$。

2. 面积计算方式一：大正方形减去四个直角三角形
大正方形的边长是 $(a+b)$，所以面积是 $(a+b)^2$。
每个直角三角形的直角边是 $a$ 和 $b$，所以每个直角三角形的面积是 $frac{1}{2}ab$。
四个直角三角形的总面积是 $4 imes frac{1}{2}ab = 2ab$。

内部倾斜的正方形的面积是 $c^2$。
所以，我们可以得到方程：
$(a+b)^2 = c^2 + 4 imes frac{1}{2}ab$
$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$
$a^2 + b^2 = c^2$

这是一种代数证明，虽然很简洁，但还没有引入微积分的“感觉”。

3. 引入微积分思想（面积的累加）：

我们可以想象这个大正方形是由一系列“无穷小”的区域累加而成的。

考虑在边长为 $(a+b)$ 的大正方形内部，我们不是直接放置四个直角三角形，而是从一个点开始，然后逐渐“生长”这个图形。

假设的微积分视角：

我们可以将大正方形的面积视为一个函数 $A(x)$，它代表了某个随变量 $x$ 变化的区域的面积。

一种更贴切的微积分证明是利用曲线积分来计算面积，但这会比较复杂。我们尝试另一种思路，将面积看作是某种“速率”的累加。

让我们回到构造的图形：一个边长为 $a+b$ 的大正方形，内部有四个与原直角三角形相似的直角三角形（直角边为 $a$ 和 $b$），以及一个边长为 $c$ 的倾斜正方形。

现在，我们尝试用微积分的语言来描述这个过程。

考虑一个面积函数 $S(t)$：

我们可以想象一个过程，比如从一个面积为 0 的小点开始，然后这个区域逐渐“生长”。

更接近微积分的证明思路（基于曲线的面积）：

我们可以考虑一个参数化的曲线，它的面积与勾股定理有关。但是，最常用的与微积分相关的证明是基于“微分几何”的思想，或者说，将面积看作是某种函数的积分。

一种稍微抽象的微积分证明：

考虑一个边长为 $a+b$ 的大正方形。我们可以把它看作是由一系列“面积元” $dA$ 累加而成。
$Area_{大正方形} = int_0^{a+b} int_0^{a+b} dx dy = (a+b)^2$

现在，我们把这个大正方形看作是由四个直角三角形和一个内部的正方形组成的。
我们可以将这四个直角三角形想象成“填充”了边角的部分。

让我们尝试用一个关于面积的变化率的思路来 acercamiento (靠近)：

考虑一个图形的面积，这个图形的边界在某个过程中发生变化。

让我们换一个角度，使用另一种广为人知的微积分证明方法：

这个证明利用了面积的两种不同表示方式，并将它们联系起来。

1. 构建图形：
考虑一个边长为 $c$ 的正方形。在这个正方形的每一条边上，都向外延展出一个直角三角形，其直角边分别为 $a$ 和 $b$（其中 $a$ 和 $b$ 是同一个直角三角形的两条直角边）。确保这些三角形的斜边是正方形的边。

让我们更具体地描述：
取一个边长为 $c$ 的正方形。
在正方形的每条边上，都接上一个直角三角形。具体来说，假设正方形的顶点为 $P_1, P_2, P_3, P_4$。
在边 $P_1P_2$ 上，连接 $P_1$ 和 $P_2$ 的线段是斜边。我们需要构建一个直角三角形，其直角顶点 $Q_1$ 使得 $Q_1P_1 = a$ 且 $Q_1P_2 = b$（或者反过来），并且 $Q_1$ 的位置使得 $Q_1$ 和正方形的另一侧不重叠。

更易于理解的构造：
在一个边长为 $(a+b)$ 的大正方形内，放置一个边长为 $c$ 的倾斜的正方形。这个倾斜的正方形的四个顶点分别位于大正方形的四条边上，且将每条边分成了长度为 $a$ 和 $b$ 的两段。

这样，大正方形的面积可以分解为：
$Area_{大正方形} = Area_{内部正方形} + 4 imes Area_{直角三角形}$
$(a+b)^2 = c^2 + 4 imes (frac{1}{2}ab)$
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$
$a^2 + b^2 = c^2$

这个仍然是代数方法。我们如何让它更“微积分”？

关键在于将面积看作是某个连续变化量的累加。

一种利用积分思想的证明：

想象我们有一个变量 $t$ 从 0 变化到 $c$。我们可以构建一个图形，它的面积随着 $t$ 的变化而变化。

考虑一个特殊的积分：

设想一个直角三角形，直角边为 $a$ 和 $b$。我们可以将其放在坐标系中，顶点为 $(0,0)$, $(a,0)$, $(0,b)$。斜边是连接 $(a,0)$ 和 $(0,b)$ 的线段。

考虑一个半径为 $r$ 的圆。它的面积是 $pi r^2$。微积分告诉我们，圆的周长是 $2pi r$，面积是周长的一半乘以半径的积分：
$A = int_0^r (2pi x) dx = pi x^2 Big|_0^r = pi r^2$

这个例子展示了如何通过积分累加“薄环”的面积来获得总面积。

将这个思想应用到勾股定理：

我们尝试构建一个“由直角三角形累加而成的图形”，其面积与勾股定理相关。

一种更接近微积分证明的思路（基于面积的参数化）：

考虑一个边长为 $a$ 的正方形，面积为 $a^2$。
考虑一个边长为 $b$ 的正方形，面积为 $b^2$。
考虑一个边长为 $c$ 的正方形，面积为 $c^2$。

我们可以想象，如何通过某种“面积生成过程”，使得 $a^2$ 和 $b^2$ 的累加恰好等于 $c^2$ 的累加。

证明思路：相似三角形和面积的平方关系

我们知道，相似三角形的面积比等于相似比的平方。

考虑一个直角三角形 ABC，直角在 B。斜边 AC 的长度为 $c$，直角边 AB 的长度为 $a$，BC 的长度为 $b$。
从直角顶点 B 向斜边 AC 作垂线，垂足为 D。
这样，我们得到了两个小的直角三角形 ABD 和 BCD，它们都与原来的三角形 ABC 相似。

三角形 ABD 与三角形 ABC 相似。
三角形 BCD 与三角形 ABC 相似。

设 AD 的长度为 $x$，DC 的长度为 $y$。则斜边 $c = x+y$。

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方：

三角形 ABD 的面积 $Area_{ABD}$ 与三角形 ABC 的面积 $Area_{ABC}$ 的比：
$frac{Area_{ABD}}{Area_{ABC}} = left(frac{AB}{AC} ight)^2 = left(frac{a}{c} ight)^2 = frac{a^2}{c^2}$
$Area_{ABD} = Area_{ABC} imes frac{a^2}{c^2}$

三角形 BCD 的面积 $Area_{BCD}$ 与三角形 ABC 的面积 $Area_{ABC}$ 的比：
$frac{Area_{BCD}}{Area_{ABC}} = left(frac{BC}{AC} ight)^2 = left(frac{b}{c} ight)^2 = frac{b^2}{c^2}$
$Area_{BCD} = Area_{ABC} imes frac{b^2}{c^2}$

现在，我们知道三角形 ABC 的面积是 $Area_{ABC} = frac{1}{2}ab$。
同时，我们也可以将三角形 ABC 的面积看作是两个小三角形面积的和：
$Area_{ABC} = Area_{ABD} + Area_{BCD}$

将上面得到的 $Area_{ABD}$ 和 $Area_{BCD}$ 的表达式代入：
$Area_{ABC} = Area_{ABC} imes frac{a^2}{c^2} + Area_{ABC} imes frac{b^2}{c^2}$

由于 $Area_{ABC} eq 0$，我们可以将 $Area_{ABC}$ 从等式两边约去：
$1 = frac{a^2}{c^2} + frac{b^2}{c^2}$

将 $c^2$ 乘到等式左边：
$c^2 = a^2 + b^2$

这个证明是基于相似三角形的性质，但它还没有直接使用积分的符号 $int$ 或者“求导”的思想。那么，如何让它显得更像微积分证明呢？

我们可以将“面积”看作是一种“累积量”。

微积分解释这个相似三角形证明：

想象我们有一个“面积生长率”的函数。

考虑一个直角三角形 ABC，直角在 B。斜边 AC 的长度为 $c$。
我们可以在斜边 AC 上定义一个“位置” $s$，从 A 点开始，$0 le s le c$。
我们想定义一个函数 $A(s)$，表示以斜边上从 A 到点 $s$ 为斜边的相似三角形的面积。

当 $s=c$ 时，$A(c) = Area_{ABC} = frac{1}{2}ab$。
当 $s=a$ 时，这个相似三角形的面积应该与边长为 $a$ 的正方形面积有关联。

更明确的微积分证明尝试：

考虑一个直角三角形，直角边为 $a$ 和 $b$。
我们将直角边沿x轴和y轴放置，顶点在 $(0,0), (a,0), (0,b)$。

我们可以考虑一个“动态”的三角形，它的斜边在变化。

让我们尝试另一种更加纯粹的微积分证明，例如使用积分来计算面积：

考虑一个函数 $f(x) = frac{b}{a}x + b$。这条直线连接了点 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，这就是直角三角形的斜边。
这个直角三角形的面积可以通过积分计算：
$Area = int_0^a left(frac{b}{a}x + b ight) dx$
$Area = left[frac{b}{a}frac{x^2}{2} + bx ight]_0^a$
$Area = left(frac{b}{a}frac{a^2}{2} + ba ight) (0)$
$Area = frac{ab}{2} + ab = frac{1}{2}ab$

这个证明是计算三角形的面积，但它并没有直接利用勾股定理来证明勾股定理本身。

一个经典的微积分证明是利用“面积的微分”：

考虑一个边长为 $x$ 的正方形，其面积为 $A(x) = x^2$。
$A'(x) = 2x$。这是面积对边长的变化率。

现在，让我们回到之前构造的图形：边长为 $(a+b)$ 的大正方形，内部有四个直角三角形和边长为 $c$ 的倾斜正方形。

考虑一个“面积膨胀”的过程：

想象我们有一个面积为 $A$ 的图形。如果我们沿着边界以一个恒定的速度“扩张”它，那么面积的变化率是多少？这会涉及到曲率等概念，可能过于复杂。

最符合微积分精神且相对容易理解的证明之一，是利用相似三角形的面积比与边长平方成正比这一事实。我们可以将其解释为面积的“累积”或“生长”：

设想我们有一个直角三角形，直角边为 $a$ 和 $b$。
我们可以在斜边上取一个点，将斜边分成长度为 $c_1$ 和 $c_2$ 的两段，使得 $c_1 + c_2 = c$。
过这个点作垂直于直角边的平行线，将原三角形分成两个小直角三角形，它们的斜边分别为 $c_1$ 和 $c_2$。

由于这两个小三角形都与原三角形相似，它们的面积与它们斜边长度的平方成正比。
令 $Area(x)$ 表示斜边长度为 $x$ 的相似三角形的面积。
那么，$Area(x) = k cdot x^2$ ，其中 $k$ 是一个常数，取决于三角形的形状（即 $a/b$ 的比例）。

对于长度为 $c$ 的原三角形，面积是 $Area(c) = k cdot c^2$。
对于斜边为 $c_1$ 的小三角形，面积是 $Area(c_1) = k cdot c_1^2$。
对于斜边为 $c_2$ 的小三角形，面积是 $Area(c_2) = k cdot c_2^2$。

根据面积的叠加性：
$Area(c) = Area(c_1) + Area(c_2)$
$k cdot c^2 = k cdot c_1^2 + k cdot c_2^2$

由于 $k eq 0$ (除非三角形面积为0)，我们可以消去 $k$：
$c^2 = c_1^2 + c_2^2$

这个证明，虽然没有直接出现积分符号，但它隐含了微积分的思想：面积的增长是与某个长度的平方成正比的。这种关系正是积分的结果。

如何将其更明确地与积分联系起来？

我们可以考虑一个“面积流”的概念。

假设我们有一个直角三角形，直角边是 $a$ 和 $b$。
我们可以考虑一个参数 $t$，使得 $t$ 控制着三角形的“大小”或“比例”。
例如，我们可以考虑一个由相似三角形组成的“扇形”区域。

一个更有趣的微积分证明（涉及积分）：

考虑一个直角三角形 ABC，直角在 B。AB 长为 $a$，BC 长为 $b$，AC 长为 $c$。
我们可以在直角边 AB 上取一点 P，距离 B 为 $x$ ($0 le x le a$)。
从 P 点作一条平行于 BC 的线段，交 AC 于点 Q，交 AB 于点 P。
这段线段 PQ 的长度是多少？
由于三角形 PBQ 与三角形 ABC 相似，$frac{PB}{AB} = frac{PQ}{BC}$
$frac{x}{a} = frac{PQ}{b} implies PQ = frac{b}{a}x$

现在，我们考虑以 AB 为轴，将直角三角形旋转，形成一个圆锥。
直角三角形的面积是 $frac{1}{2}ab$。
圆锥的体积可以通过积分来计算：将圆锥体切成无穷小的圆盘，每个圆盘的半径是 $y$ (对应于 $f(x) = frac{b}{a}x$)，厚度是 $dx$。
$V = int_0^a pi (y)^2 dx = int_0^a pi left(frac{b}{a}x ight)^2 dx = int_0^a pi frac{b^2}{a^2} x^2 dx$
$V = pi frac{b^2}{a^2} left[frac{x^3}{3} ight]_0^a = pi frac{b^2}{a^2} frac{a^3}{3} = frac{1}{3}pi b^2 a$
这只是圆锥体积公式的推导，与勾股定理的证明没有直接联系。

回到最经典的微积分证明思路：面积的累加与平方关系。

核心思想：将面积看作是某种变化的累加。

设我们有一个直角三角形，直角边是 $a$ 和 $b$。
我们可以考虑以斜边为“时间轴”，在斜边上从一端到另一端扫描。

在斜边 AC 上，从 A 点到 C 点，我们在斜边上定义一个参数 $t$，从 $0$ 到 $c$。
对于斜边上的每一个点，我们可以想象构造一个“面积片段”。

考虑一个点 P 在斜边 AC 上，它距离 A 的长度为 $t$。
我们可以构造一个与原三角形相似的直角三角形，其斜边长度为 $t$。
这个小三角形的面积 $A(t)$，与原三角形面积 $A(c)$ 的关系是：
$frac{A(t)}{A(c)} = left(frac{t}{c} ight)^2$
$A(t) = A(c) cdot frac{t^2}{c^2}$

现在，我们可以将这个面积函数 $A(t)$ 对 $t$ 进行积分，从 $0$ 到 $c$。
$int_0^c A(t) dt = int_0^c left(A(c) cdot frac{t^2}{c^2} ight) dt$
$int_0^c A(t) dt = frac{A(c)}{c^2} int_0^c t^2 dt$
$int_0^c A(t) dt = frac{A(c)}{c^2} left[frac{t^3}{3} ight]_0^c$
$int_0^c A(t) dt = frac{A(c)}{c^2} left(frac{c^3}{3} ight) = frac{1}{3}A(c)c$

另一方面，我们也可以从直角边来考虑面积的累加。
考虑以直角边 $a$ 为“时间轴”，累加面积。
设直角边 AB 的长度为 $a$。在 AB 上取一点 Q，距离 B 为 $x$ ($0 le x le a$)。
从 Q 点作垂直于 AB 的线段 PQ，交 AC 于点 P。
则三角形 PBQ 与 ABC 相似。
设 PB 的长度为 $x$。则 PQ 的长度为 $frac{b}{a}x$。
三角形 PBQ 的面积 $Area(x) = frac{1}{2} imes PB imes PQ = frac{1}{2} imes x imes frac{b}{a}x = frac{1}{2}frac{b}{a}x^2$。

我们也可以将直角三角形 ABC 的面积看作是由无数个以直角边为基底，无穷小高度的三角形累加而成。

最简洁但依然包含微积分思想的证明：

想象我们有一个边长为 $(a+b)$ 的大正方形。
将其内部划分为一个边长为 $c$ 的倾斜正方形和四个直角三角形。

我们可以从“面积密度”的角度来理解。
假设我们在大正方形内部填充“某种物质”，这些物质按照特定的方式分布。

总结一下微积分证明的核心思想：

微积分的证明往往涉及将一个量（如面积）表示为另一个量的积分，或者利用导数来描述变化率。在勾股定理的微积分证明中，最常见的思路是：
1. 面积的累加与平方关系： 相似图形的面积与其线性尺寸的平方成正比。通过将一个大图形分解成相似的小图形，并利用面积的累加性质，可以推导出勾股定理。这种累加的思想就是积分的本质。
2. 动态过程的面积变化： 想象一个图形在某种参数（例如长度）变化下，其面积如何变化。通过对这个面积变化率进行积分，可以得到总面积，并建立方程。

回到最初的、最易于理解的微积分证明（尽管它有时被归类为几何证明，但其“相似三角形面积比=边长比的平方”是微积分中面积与尺寸关系的核心体现）：

1. 构造：
取一个直角三角形 ABC，直角在 B。AB=a, BC=b, AC=c。
从 B 向 AC 作垂线 BD，D 在 AC 上。
BD 将 AC 分为 AD 和 DC。

2. 相似性：
△ABD ~ △ABC (AA相似)
△BCD ~ △ABC (AA相似)

3. 面积关系 (微积分核心思想)：
由于相似，面积比等于相似比的平方。
$frac{Area(△ABD)}{Area(△ABC)} = left(frac{AB}{AC} ight)^2 = frac{a^2}{c^2}$
$frac{Area(△BCD)}{Area(△ABC)} = left(frac{BC}{AC} ight)^2 = frac{b^2}{c^2}$

这是关键！ $Area(△ABD)$ 和 $Area(△BCD)$ 是“由相似关系决定的面积”，它们的“大小”与其对应边长的平方成正比。这种平方关系是积分（累加）的结果。如果我们将面积看作是沿着斜边长度的函数 $f(x)$，那么 $f(x) propto x^2$。

4. 面积叠加：
$Area(△ABC) = Area(△ABD) + Area(△BCD)$

5. 代入并推导：
$Area(△ABC) = Area(△ABC) cdot frac{a^2}{c^2} + Area(△ABC) cdot frac{b^2}{c^2}$
$1 = frac{a^2}{c^2} + frac{b^2}{c^2}$
$c^2 = a^2 + b^2$

这个证明，虽然没有显式的 $int$ 符号，但它体现了微积分中“面积与尺寸的平方关系”的核心思想，这种关系本身就是通过积分推导出来的。你可以将其理解为：当我们“累加”或“测量”面积时，它会以尺寸的平方速度增长。

希望这个详细的解释能帮助你理解如何用微积分的思想来证明勾股定理。核心在于将面积与长度建立起平方关系的联系，这种联系正是微积分的力量所在。

记得一个用微分方程的方法，当时看到都惊了

评论中 @寨森Lambda-CDM 补充

这需要交代一个事实：当图中的dx与dy趋于0时，那个角趋近于直角，所以才会相似，即dy/dx=x/y

谢邀。

微积分中的确有求任意曲线长度公式（前提是这个曲线可求长）：

这公式看着眼熟吗？中间的被积函数不就是

勾股定理的形式吗？！

没错，它是勾股定理的微分版本，此公式本身就是勾股定理的推论。

循环论证，这样不好。

勾股定理，是一个很基础但又很深刻的定理，它描述的是“欧氏空间”里的一个性质，这货如果搁别的空间里，估计只能喝西北风了。所以要想理解它，必须从空间入手；只有明确在怎样的环境中，谈论勾股定理才有意义。

在现代数学中，我们要首先要引入欧氏空间的概念。

欧氏空间

欧氏空间就是在向量空间中定义了内积 ，它是从向量空间到实数域上的二元函数，满足以下条件:

• 对称性：

•（双）线性：

•正定性：

, 等号成立当且仅当 为零向量

以上系数皆属实数域。

顺便我们将的向量 的模长 定义为:

正交

有了内积的定义，我们就可以定义何为两个向量的夹角、正交的概念。

两向量夹角余弦:

特别的，当两向量正交(垂直)时，有

此两者互为充要条件。

注意，此处的余弦不再是我们熟知的余弦，而是在内积定义下对余弦的一个推广。如果定义 ， 为转置运算，即 与 对应元素的乘积再求和，于是就退化为我们所熟知的内积。

勾股定理的证明

命题（勾股定理）

已知：欧氏空间中两向量 正交，命

求证:

证明：由模长定义、以及双线性，

因为 正交，即 ，

故

在无穷维空间——希尔伯特空间中的讨论与此相仿，就不再赘述。

各位童鞋，我讲的通俗易懂吗？