用积分中值定理，中值的极限怎么证明？
您好！很高兴为您解答关于利用积分中值定理证明中值极限的问题。这是一个非常经典且重要的数学问题。我们将一步一步地详细解释。
核心概念回顾：积分中值定理
在深入证明之前，我们先简要回顾一下积分中值定理。
积分中值定理 (Integral Mean Value Theorem)：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么存在一点 $c in [a, b]$，使得：
$$ int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba) $$
这个定理告诉我们，在给定区间上，函数的定积分的值等于函数在区间内某个点的值乘以区间的长度。这个 $f(c)$ 被称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“平均值”或“中值”。
我们要证明什么？中值的极限
我们通常要证明的是，当区间变小的时候，这个中值 $f(c)$ 会趋向于函数在该区间端点（通常是左端点或右端点）的值。例如，我们可能想证明：
$$ lim_{h o 0} f(a+h) = f(a) $$
或者，如果积分是从 $a$ 到 $a+h$，那么中值 $f(c)$ 会趋向于 $f(a)$ 当 $h o 0$ 时。
证明的思路
证明中值的极限的关键在于利用积分中值定理的性质以及函数的连续性。我们的核心思想是：
1. 利用积分中值定理表示中值: 首先，我们用积分中值定理将积分表示为 $f(c) Delta x$ 的形式。
2. 分析中值 $c$ 的位置: 确定 $c$ 与积分区间端点的关系。
3. 利用连续性建立联系: 利用函数 $f$ 的连续性，将 $c$ 的变化与区间的变化联系起来，最终通过极限的性质得到结论。
具体证明示例：证明当区间长度趋于零时，中值趋向于左端点的值
我们来证明一个常见的命题：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $a < b$。考虑区间 $[a, a+h]$（其中 $h > 0$ 且 $a+h le b$）。设 $c_h$ 是满足 $int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)(a+ha) = f(c_h)h$ 的点。我们要证明：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a) $$
证明步骤：
第一步：应用积分中值定理
根据积分中值定理，对于区间 $[a, a+h]$（假设 $h > 0$ 且 $a+h le b$），存在一点 $c_h in [a, a+h]$ 使得：
$$ int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h) cdot ((a+h) a) = f(c_h)h $$
第二步：分析中值 $c_h$ 的位置
由于 $c_h in [a, a+h]$，我们可以确定 $c_h$ 的范围：
$$ a le c_h le a+h $$
第三步：利用函数的连续性建立不等式
因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $f$ 在 $[a, a+h]$ 上有最小值 $m_h$ 和最大值 $M_h$。根据积分中值定理的另一种形式，我们有：
$$ m_h le f(c_h) le M_h $$
其中 $m_h = min_{x in [a, a+h]} f(x)$ 且 $M_h = max_{x in [a, a+h]} f(x)$。
另外，我们可以更直接地从 $a le c_h le a+h$ 和 $f$ 的连续性来推导。
因为 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $f$ 在 $[a, a+h]$ 上也连续。根据最大值和最小值定理，$f$ 在 $[a, a+h]$ 上一定能取到最小值和最大值。
根据 $f$ 的连续性，我们知道：
当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 的长度趋于零，并且区间“收缩”到点 $a$。
因此，当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 上的任何一点 $x$ 都会趋向于 $a$。
特别地，中值 $c_h$ 位于 $[a, a+h]$ 区间内。当 $h o 0^+$ 时，$c_h$ 也会趋向于 $a$。也就是说：
$$ lim_{h o 0^+} c_h = a $$
第四步：利用极限的保序性（或夹逼定理）
现在我们知道 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $lim_{h o 0^+} c_h = a$。根据连续函数的性质，如果一个点序列收敛到一个点，那么函数作用在该点序列上的结果会收敛到函数作用在该极限点上的结果。因此：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = fleft(lim_{h o 0^+} c_h ight) = f(a) $$
另一种使用夹逼定理的思路（如果直接用极限保序性感觉不直接）：
我们知道 $a le c_h le a+h$。
由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，因此在 $[a, a+h]$ 上是单调的（不一定，这不对）。
让我们回到 $m_h le f(c_h) le M_h$ 这个不等式。
当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 趋于点 $a$。
根据连续性，当 $h o 0^+$ 时，$m_h o f(a)$ 并且 $M_h o f(a)$。
因此，我们有：
$lim_{h o 0^+} m_h = f(a)$
$lim_{h o 0^+} M_h = f(a)$
由于 $m_h le f(c_h) le M_h$，根据夹逼定理，当 $h o 0^+$ 时，我们有：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a) $$
这个证明更加严谨，因为它没有直接假设 $lim_{h o 0^+} c_h = a$（尽管这是正确的），而是通过不等式和夹逼定理完成的。
总结一下证明的核心逻辑：
1. 积分中值定理 允许我们将积分 $int_a^{a+h} f(x) , dx$ 表示为 $f(c_h)h$。
2. 区间收缩 ($h o 0^+$) 意味着中值 $c_h$ 被“夹”在越来越小的区间 $[a, a+h]$ 中，这“暗示”了 $c_h$ 会趋向于 $a$。
3. 函数的连续性 是关键。它保证了当我们“挤压”区间时，函数在这个区间上的值也会趋于函数在极限点（这里是 $a$）的值。
更一般的情况：考虑从 $a$ 到 $b$ 的积分
如果我们考虑的是任意区间 $[a, b]$，那么中值 $c in [a, b]$ 满足 $int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba)$。
如果我们想证明当区间变小时（例如，$b o a$），中值 $f(c)$ 如何表现，可以使用同样的思路。
设 $b = a+h$，当 $h o 0$ 时，$b o a$。
则 $int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)h$，其中 $c_h in [a, a+h]$。
我们已经证明了 $lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a)$。
如果考虑 $h < 0$，即区间是 $[a+h, a]$，那么 $ba = a (a+h) = h$。
$int_{a+h}^a f(x) , dx = f(c'_h)(a (a+h)) = f(c'_h)(h)$
其中 $c'_h in [a+h, a]$。
由于 $int_{a+h}^a f(x) , dx = int_a^{a+h} f(x) , dx$，所以：
$int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c'_h)(h)$
$int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c'_h)h$
这意味着 $f(c'_h) = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx$。
而且 $a+h le c'_h le a$。
当 $h o 0^$ 时，$c'_h$ 同样趋向于 $a$。
由于 $f$ 的连续性， $lim_{h o 0^} f(c'_h) = f(a)$。
所以，无论区间是从左边收缩（$b o a^+$）还是从右边收缩（$a o b^+$），中值都趋向于函数在该收缩点的值。
更广泛的应用：利用导数定义
这个结果与导数的定义紧密相关。导数的定义是：
$$ f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h} $$
将积分中值定理的结果代入：
$frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)$ (当 $h>0$)
如果我们考虑 $frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx$ 的极限，它就是 $f(a)$。
这并不直接等同于导数，但它是证明导数的一些性质的基础。
例如，考虑函数 $F(x) = int_a^x f(t) , dt$。根据微积分基本定理，如果 $f$ 是连续的，那么 $F'(x) = f(x)$。
那么 $F(a+h) F(a) = int_a^{a+h} f(t) , dt$。
所以 $frac{F(a+h) F(a)}{h} = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(t) , dt$。
根据微积分基本定理，当 $h o 0$ 时，这个比值的极限就是 $F'(a)$，也就是 $f(a)$。
结合积分中值定理，我们有 $f(c_h) = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(t) , dt$。
所以 $lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a)$ 与微积分基本定理的结果是相符的。
关键点总结
1. 积分中值定理是桥梁：它将定积分与函数在该点的值联系起来。
2. 区间的收缩是动力：当积分区间趋于零时，中值的位置也趋于一个固定点。
3. 函数的连续性是基础：它保证了函数值在“收缩”过程中行为的规律性，使得中值能够准确地“锁定”到极限点。
4. 夹逼定理 (或极限的保序性) 是推导最终结论的数学工具。
希望这个详细的解释能够帮助您理解如何利用积分中值定理证明中值的极限。如果您有任何更具体的问题或需要进一步的阐述，请随时提出！
核心概念回顾：积分中值定理
在深入证明之前，我们先简要回顾一下积分中值定理。
积分中值定理 (Integral Mean Value Theorem)：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么存在一点 $c in [a, b]$，使得：
$$ int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba) $$
这个定理告诉我们，在给定区间上，函数的定积分的值等于函数在区间内某个点的值乘以区间的长度。这个 $f(c)$ 被称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“平均值”或“中值”。
我们要证明什么？中值的极限
我们通常要证明的是，当区间变小的时候，这个中值 $f(c)$ 会趋向于函数在该区间端点（通常是左端点或右端点）的值。例如，我们可能想证明：
$$ lim_{h o 0} f(a+h) = f(a) $$
或者，如果积分是从 $a$ 到 $a+h$，那么中值 $f(c)$ 会趋向于 $f(a)$ 当 $h o 0$ 时。
证明的思路
证明中值的极限的关键在于利用积分中值定理的性质以及函数的连续性。我们的核心思想是：
1. 利用积分中值定理表示中值: 首先，我们用积分中值定理将积分表示为 $f(c) Delta x$ 的形式。
2. 分析中值 $c$ 的位置: 确定 $c$ 与积分区间端点的关系。
3. 利用连续性建立联系: 利用函数 $f$ 的连续性，将 $c$ 的变化与区间的变化联系起来，最终通过极限的性质得到结论。
具体证明示例：证明当区间长度趋于零时，中值趋向于左端点的值
我们来证明一个常见的命题：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $a < b$。考虑区间 $[a, a+h]$（其中 $h > 0$ 且 $a+h le b$）。设 $c_h$ 是满足 $int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)(a+ha) = f(c_h)h$ 的点。我们要证明：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a) $$
证明步骤：
第一步：应用积分中值定理
根据积分中值定理，对于区间 $[a, a+h]$（假设 $h > 0$ 且 $a+h le b$），存在一点 $c_h in [a, a+h]$ 使得：
$$ int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h) cdot ((a+h) a) = f(c_h)h $$
第二步：分析中值 $c_h$ 的位置
由于 $c_h in [a, a+h]$，我们可以确定 $c_h$ 的范围：
$$ a le c_h le a+h $$
第三步：利用函数的连续性建立不等式
因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $f$ 在 $[a, a+h]$ 上有最小值 $m_h$ 和最大值 $M_h$。根据积分中值定理的另一种形式，我们有：
$$ m_h le f(c_h) le M_h $$
其中 $m_h = min_{x in [a, a+h]} f(x)$ 且 $M_h = max_{x in [a, a+h]} f(x)$。
另外，我们可以更直接地从 $a le c_h le a+h$ 和 $f$ 的连续性来推导。
因为 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $f$ 在 $[a, a+h]$ 上也连续。根据最大值和最小值定理，$f$ 在 $[a, a+h]$ 上一定能取到最小值和最大值。
根据 $f$ 的连续性，我们知道：
当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 的长度趋于零，并且区间“收缩”到点 $a$。
因此，当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 上的任何一点 $x$ 都会趋向于 $a$。
特别地，中值 $c_h$ 位于 $[a, a+h]$ 区间内。当 $h o 0^+$ 时，$c_h$ 也会趋向于 $a$。也就是说：
$$ lim_{h o 0^+} c_h = a $$
第四步：利用极限的保序性（或夹逼定理）
现在我们知道 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $lim_{h o 0^+} c_h = a$。根据连续函数的性质，如果一个点序列收敛到一个点，那么函数作用在该点序列上的结果会收敛到函数作用在该极限点上的结果。因此：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = fleft(lim_{h o 0^+} c_h ight) = f(a) $$
另一种使用夹逼定理的思路（如果直接用极限保序性感觉不直接）：
我们知道 $a le c_h le a+h$。
由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，因此在 $[a, a+h]$ 上是单调的（不一定，这不对）。
让我们回到 $m_h le f(c_h) le M_h$ 这个不等式。
当 $h o 0^+$ 时，区间 $[a, a+h]$ 趋于点 $a$。
根据连续性，当 $h o 0^+$ 时，$m_h o f(a)$ 并且 $M_h o f(a)$。
因此，我们有：
$lim_{h o 0^+} m_h = f(a)$
$lim_{h o 0^+} M_h = f(a)$
由于 $m_h le f(c_h) le M_h$，根据夹逼定理，当 $h o 0^+$ 时，我们有：
$$ lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a) $$
这个证明更加严谨，因为它没有直接假设 $lim_{h o 0^+} c_h = a$（尽管这是正确的），而是通过不等式和夹逼定理完成的。
总结一下证明的核心逻辑：
1. 积分中值定理 允许我们将积分 $int_a^{a+h} f(x) , dx$ 表示为 $f(c_h)h$。
2. 区间收缩 ($h o 0^+$) 意味着中值 $c_h$ 被“夹”在越来越小的区间 $[a, a+h]$ 中，这“暗示”了 $c_h$ 会趋向于 $a$。
3. 函数的连续性 是关键。它保证了当我们“挤压”区间时，函数在这个区间上的值也会趋于函数在极限点（这里是 $a$）的值。
更一般的情况：考虑从 $a$ 到 $b$ 的积分
如果我们考虑的是任意区间 $[a, b]$，那么中值 $c in [a, b]$ 满足 $int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba)$。
如果我们想证明当区间变小时（例如，$b o a$），中值 $f(c)$ 如何表现，可以使用同样的思路。
设 $b = a+h$，当 $h o 0$ 时，$b o a$。
则 $int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)h$，其中 $c_h in [a, a+h]$。
我们已经证明了 $lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a)$。
如果考虑 $h < 0$，即区间是 $[a+h, a]$，那么 $ba = a (a+h) = h$。
$int_{a+h}^a f(x) , dx = f(c'_h)(a (a+h)) = f(c'_h)(h)$
其中 $c'_h in [a+h, a]$。
由于 $int_{a+h}^a f(x) , dx = int_a^{a+h} f(x) , dx$，所以：
$int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c'_h)(h)$
$int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c'_h)h$
这意味着 $f(c'_h) = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx$。
而且 $a+h le c'_h le a$。
当 $h o 0^$ 时，$c'_h$ 同样趋向于 $a$。
由于 $f$ 的连续性， $lim_{h o 0^} f(c'_h) = f(a)$。
所以，无论区间是从左边收缩（$b o a^+$）还是从右边收缩（$a o b^+$），中值都趋向于函数在该收缩点的值。
更广泛的应用：利用导数定义
这个结果与导数的定义紧密相关。导数的定义是：
$$ f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h} $$
将积分中值定理的结果代入：
$frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx = f(c_h)$ (当 $h>0$)
如果我们考虑 $frac{1}{h}int_a^{a+h} f(x) , dx$ 的极限，它就是 $f(a)$。
这并不直接等同于导数，但它是证明导数的一些性质的基础。
例如，考虑函数 $F(x) = int_a^x f(t) , dt$。根据微积分基本定理，如果 $f$ 是连续的，那么 $F'(x) = f(x)$。
那么 $F(a+h) F(a) = int_a^{a+h} f(t) , dt$。
所以 $frac{F(a+h) F(a)}{h} = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(t) , dt$。
根据微积分基本定理，当 $h o 0$ 时，这个比值的极限就是 $F'(a)$，也就是 $f(a)$。
结合积分中值定理，我们有 $f(c_h) = frac{1}{h}int_a^{a+h} f(t) , dt$。
所以 $lim_{h o 0^+} f(c_h) = f(a)$ 与微积分基本定理的结果是相符的。
关键点总结
1. 积分中值定理是桥梁：它将定积分与函数在该点的值联系起来。
2. 区间的收缩是动力：当积分区间趋于零时，中值的位置也趋于一个固定点。
3. 函数的连续性是基础：它保证了函数值在“收缩”过程中行为的规律性，使得中值能够准确地“锁定”到极限点。
4. 夹逼定理 (或极限的保序性) 是推导最终结论的数学工具。
希望这个详细的解释能够帮助您理解如何利用积分中值定理证明中值的极限。如果您有任何更具体的问题或需要进一步的阐述，请随时提出！
网友意见
有通项公式。
由于 (在定义域上)是连续函数，只需证明根号部分 。用Stirling公式可知
所以 证毕
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