为什么大学物理要用积分和微分？
1. 为什么需要“变化”的描述？物理的本质就是运动和变化
你想啊，物理学是研究自然界最基本规律的学科。那自然界里什么最常见？就是“变化”！
运动： 物体的位置在变，速度在变，加速度也在变。
力： 力的大小和方向可能随着位置、时间而变化。
能量： 能量有各种形式，它们之间会互相转化，这个转化过程就是一种变化。
电磁场： 电场和磁场本身就是在空间和时间中变化的。
我们日常生活中，很多东西变化起来是“平滑”的，不是一下子就跳到另一个状态。比如你开车，速度不是瞬间从0到100，而是慢慢加速的。你扔一个球，它的速度和方向也是连续变化的。
微分：捕捉“瞬时”的那个瞬间
这时候，微分就派上用场了。你想知道一个东西在“某个特定时刻”的变化有多快？比如，你开车，在红灯亮起前一秒，你的速度是多少？或者，一个弹簧在被压缩到某个位置时，它受到的力是多少？
微分，就是一种“放大”和“聚焦”的技巧。它允许我们把一个变化的过程，在某个极小的、几乎无限小的区间内来看。
速度与位移： 位移 $s(t)$ 是一个随时间 $t$ 变化的量。我们想知道在 $t$ 时刻，物体的速度 $v(t)$ 是多少。如果速度是恒定的，那很简单，$v = Delta s / Delta t$。但如果速度在变化呢？比如，你开的车，速度不是恒定的。这时候，我们就得看“极短时间间隔 $Delta t$ 内”的位移变化 $Delta s$。当 $Delta t$ 趋向于零的时候，这个比值 $Delta s / Delta t$ 就成为了“瞬时速度”，这就是位移函数 $s(t)$ 对时间 $t$ 的导数，$v(t) = ds/dt$。
加速度与速度： 同样，加速度 $a(t)$ 就是速度 $v(t)$ 随时间的变化率，也就是速度函数对时间求导，$a(t) = dv/dt$。
力与位移（势能）： 很多力，比如弹簧力，是跟位移有关的。比如弹簧的恢复力 $F = kx$（负号表示方向）。我们有时会讨论“势能”，势能 $U(x)$ 的变化跟力有关。你可能在某些课本上见过 $F = dU/dx$。这个意思就是，在某个位置 $x$，力的大小就等于该位置附近势能变化率的负值。如果我们想知道在某个精确的位置上的力，就需要看那个位置附近势能的变化。
简而言之，微分就是告诉我们“在那个瞬间，它变化得有多快”。 它是描述“瞬时变化率”的语言。
2. 为什么需要“累积”？从瞬时到整体的描绘
有了微分来描述“瞬时变化”，我们还需要一种方式来把这些“瞬时的变化”累积起来，从而得到“整体”的变化或者某个量。
位移 from 速度： 如果我们知道了一个物体在每一时刻的速度 $v(t)$，我们怎么知道它在一段时间（比如从 $t_1$ 到 $t_2$）内总共移动了多远？如果我们知道速度是恒定的，那很简单，位移 = 速度 × 时间。但如果速度是变化的呢？我们只能把这个时间段分成很多很多个极小的 $Delta t$，在每个小时间段内，速度近似看作是恒定的 $v(t_i)$，那么这个小时间段内的位移 $Delta s_i approx v(t_i) Delta t$。总的位移就是把所有这些小位移加起来：$sum v(t_i) Delta t$。当 $Delta t$ 趋向于零，这个求和就变成了“积分”，我们得到总位移 $s = int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$。
功 from 力： 功的定义是力在位移方向上的积累。如果力是恒定的，功 $W = F cdot s$（点乘，代表力在位移方向上的分量）。但如果力 $F(x)$ 随位移 $x$ 变化呢？比如，你拉着一个有弹性的绳子，你拉的力越来越大。那么，从位置 $x_1$ 移动到 $x_2$，做的功就是把在每个小位移 $Delta x$ 上做的功（近似为 $F(x_i) Delta x$）加起来。这就是功的积分：$W = int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$。
能量 from 功率： 功率是能量随时间的变化率，$P(t) = dE/dt$。如果你知道了一个设备在每一时刻的功率输出，要计算它在一段时间内总共输出了多少能量，就需要对功率进行积分：$E = int_{t_1}^{t_2} P(t) dt$。
积分，就是一种“累加”或者“求和”的数学工具。它把无穷小的部分，按照一定的规律，一点点地“拼凑”起来，形成一个整体。
3. 微积分的“互逆”关系：物理定律的完美语言
最妙的是，微分和积分之间存在一种非常奇妙的“互逆”关系，这使得它们成为描述物理规律的完美工具。
牛顿第二定律 $F=ma$： 这是最经典的例子。我们知道加速度是速度的二阶导数，$a = dv/dt$，而速度又是位移的一阶导数，$v = ds/dt$。所以，$F = m frac{d^2s}{dt^2}$。这是一个微分方程，描述了力如何影响物体的运动。
从加速度求速度和位移： 如果我们知道了力 $F(t)$，通过牛顿第二定律，我们可以得到加速度 $a(t) = F(t)/m$。然后，我们就可以利用积分，通过对加速度积分得到速度，$v(t) = int a(t) dt$，再对速度积分得到位移，$s(t) = int v(t) dt$。
这种“微分描述变化，积分描述累积”的互逆性，让我们可以：
从微观规律推导宏观现象： 知道物体在每个瞬间的运动规律（比如力），就能推算出它在一段时间后的位置和速度。
从宏观现象反推微观规律： 观察到物体的运动轨迹，反过来可以推断出作用在它身上的力是什么样的。
4. 为什么非用不可？更精确、更普遍的描述
有些人可能会想，能不能用更简单的方法呢？比如，用平均速度、平均加速度来代替？
近似 vs. 精确： 在很多情况下，如果变化非常缓慢，用平均值来近似是可以的。比如，你匀速开车，速度很稳定，用平均速度没问题。但如果路况复杂，需要频繁刹车加速，或者研究火箭升空，速度变化非常剧烈，那平均值就完全不够用了。微积分提供的是精确的描述，它能处理任何复杂、非线性的变化。
普遍性： 物理定律往往是用微积分的形式表达的，因为这是最普遍、最简洁的表达方式。一旦你用微积分写出了一个定律（比如麦克斯韦方程组描述电磁场），它就适用于所有情况，不论是缓慢变化还是快速变化，不论是简单系统还是复杂系统。
举几个更具体的例子，让你感受一下：
圆周运动： 物体做圆周运动时，速度方向一直在变，速度大小可能不变，也可能变化。如果速度大小不变，我们知道它有一个指向圆心的向心加速度 $a_c = v^2/r$。但这个加速度是如何产生的？是由一个“向心力”提供的，$F_c = m a_c = m v^2/r$。这个力是恒定的吗？不一定，如果速度在变化，力的大小也要变。而且，力的方向始终沿着半径指向圆心。用微积分，我们可以很精确地描述出任何时刻的速度和受力。
万有引力： 两个质点间的引力大小是 $F = G m_1 m_2 / r^2$。但如果不是质点，而是两个有体积的物体，它们的每个微小部分的质量都在互相施加引力。计算总的引力，就需要把所有这些“微小部分”之间的引力都“积分”起来。
电场和磁场： 电场和磁场在空间中是连续分布的，并且会随时间变化。描述它们的是一套非常优美的微分方程——麦克斯韦方程组。这些方程描述了电场和磁场如何相互产生、如何传播，以及它们如何与电荷和电流相互作用。没有微积分，这些方程根本没法写出来。
总结一下，为什么大学物理离不开积分和微分：
1. 物理世界充满变化： 运动、力、能量、场，无一不是变化的。
2. 微分描述“瞬间”： 它是捕捉瞬时变化率的工具，比如速度、加速度、力的瞬时值。
3. 积分描述“累积”： 它是将无穷小的部分累加起来，得到整体效应的工具，比如从速度算位移，从力算功。
4. 互逆关系提供统一框架： 微积分的对偶性使得我们能够建立描述自然规律的微分方程，并能从已知推导未知。
5. 提供精确和普遍的语言： 它们能够精确描述各种复杂变化，是普适的物理规律的表达形式。
所以，当你看到大学物理课本里出现积分和微分时，别怕。它们不是为了“刁难”你，而是为了让你能更深入、更准确地理解这个充满变化和运动的美妙世界。掌握了它们，你就能“看懂”物理定律背后的逻辑，甚至能够预测和解释更复杂的物理现象。这是一种能力的飞跃，也是对物理学深刻理解的起点。
网友意见
因为路子走偏了。
国外的大学物理一般分为College Physics和University Physics两种，虽然名字都是大学物理，但是前者使用初等代数，后者使用微积分。
因此，从内容和难度来说，College Physics更像是一个高中物理的升级加强版，教给学生更全面、更系统的物理知识，主要锻炼物理学思维、科学思维，着眼点在于结论与应用。而University Physics则更专业，利用微积分全面深入地理解物理、计算物理，着眼点在于真正吃透物理，能够解决更加复杂的物理变化。
College Physics通常适用于专业性不那么强的理工科（尤其是应用性较强的工科），也可作为文科的通识教育。而University Physics则适用于专业较强、将来有志于从事于物理方面研究的学生，比如本科就是物理学相关专业。
有的学校因为默认学生已经有高中物理基础，然后在教授微积分等课程时大量运用物理学案例、物理学公式，这种情况下，虽然学的是College Physics，但实际上也算是学了不少University Physics。不过综合来说，但凡理工科都是必学微积分和线性代数的，所以当物理学作为通识教育的时候（也就是并不把物理学当成必修的专业课），多少会带上微积分，有点像是以College Physics为基础，再顺带讲一些微积分在物理学中的经典应用。这种混合型也是颇受欢迎的，不会太难，也不会太简单。
国外很多学校还流行把大学物理拆分成N个模块，学生通常学习两到三个模块就能达到毕业要求（当然是对于非物理相关专业的学生来说），而这些模块基本上只讲最有用的部分，其他部分学生是学不到的，除非课后自己另外找书看。这样做的好处就是实用性较强，针对性强，反正毕业以后能用到的物理知识基本就那么几个。
比如某学校的大学物理模块一课程主要包含经典物理学当中的运动、常见力学作用、能量等（Classical Mechanics，国内译作“经典力学”），计算方法为初等代数。大学物理模块二课程则主要讲解电磁学，使用微积分，但并不难。学生学完这两个模块就已经达到毕业要求。其他大学物理知识在模块三、四、五、六中，而且很多知识难度非常大，微积分的运算要求更高，但是选择这些课程的学生并不多，主要还是集中在模块一和模块二。像前面提到的模块一课程主要讲解Classical Mechanics，在整个大学物理体系中只是其中一个大章节（通常是第一章）。
所以，如果不是有志于专业从事物理学或者物理学相关的研究，实际上不必刻苦学习University Physics，College Physics就完全够用了。当然，要是真正掌握了University Physics，无论是数学还是物理，都已经远超常人，对自己的人生发展、思维发展也非常有好处。
真学不会University Physics也不用勉强自己，反正毕了业你还真的用不到什么物理知识（但最好熟练掌握微积分、线性代数，这个是用得到的）。当然，你要是本身就是物理相关专业却始终学不明白University Physics，可以考虑劝退改行了。
在熟练掌握微积分后再学习University Physics就简单很多，如果在没学过微积分的情况下直接学University Physics，确实很难。非常抽象不说，书上几乎每页都有微积分算式和符号，使人头昏眼花，望而生畏。
从实践来说，学过微积分之后，应该自己就会主动把微积分知识运用到物理计算中。比如初等代数求解瞬间速度的方法是截取三角形求tan，而用微积分就是求导，加速度就是求二次导数。所以，在大的College Physics的框架下，自己再运用另外掌握的微积分知识，从结果来看其实也非常不错了，虽然离专业性还差得远。
这就好比普通理工科学的数学和数学专业学的数学不一样，数学专业学的数学更专业。但是如果毕业后不从事数学研究，其实都一样，毕竟用来用去也就是微积分、线性代数这些东西，没必要死磕高深的数学理论，太费脑而且没什么用，性价比太低。
从大框架来说，College Physics和University Physics的内容是差不多的，但是College Physics会选择性忽略、精简一些问题。同样一个章节，College Physics会删掉一些内容，毕竟有些问题初等代数确实没办法给出答案。但正如我前面所说，其实对于大多数专业、大多数人来说，College Physics的内容完全够用，所以即便精简了也没什么问题。如果你想大而全，而且够专业，当然还是要去啃University Physics，但不应该觉得University Physics才是天下第一，才是高智商的证明，充满优越感，这是不对的。
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