做学术需要搞清楚高级计量经济学里全部的数学原理吗？
让我详细解释一下这个观点：
1. 计量经济学中的数学“量”有多大？
高级计量经济学涉及的数学领域非常广泛，而且是层层递进的。大致可以分为以下几个层次：
基础数学工具：
微积分： 导数、积分、优化（拉格朗日乘数法等）。这是理解回归模型、极大似然估计、动态模型等的基础。
线性代数： 矩阵、向量、矩阵运算、特征值/特征向量、线性空间、矩阵求导。这是理解OLS、广义最小二乘法（GLS）、主成分分析（PCA）等的基础。
概率论： 随机变量、概率分布（正态分布、卡方分布、t分布、F分布等）、期望、方差、协方差、条件期望、独立性、大数定律、中心极限定理。这是理解计量经济模型中的随机性、统计推断（假设检验、置信区间）的基础。
数理统计： 参数估计方法（矩估计法、极大似然估计法）、统计推断的原理（假设检验、p值、显著性水平）、估计量的性质（无偏性、一致性、有效性）、置信区间的构造。
进阶数学工具（高级计量经济学核心）：
实变函数论/测度论（部分内容）： 虽然不一定需要完全掌握，但对一些更严谨的证明（如一致性、渐近性质的证明）非常有帮助。理解可测空间、可测函数、积分的定义等可以帮助理解一些高级理论。
泛函分析（部分内容）： 特别是与优化和函数空间相关的部分，对于理解一些高级估计方法（如半参数模型、函数型数据分析）有帮助。
多元统计分析： 判别分析、聚类分析、因子分析等，有时在应用中会用到。
优化理论/凸优化： 对于理解许多估计方法（如最大化目标函数、最小化损失函数）以及算法设计至关重要。
时间序列分析的数学基础： 马尔可夫链、平稳性、自相关、谱分析等。
动态模型和最优控制的数学基础： 微分方程、差分方程、动态规划、贝尔曼方程。
机器学习的数学基础： 凸优化、概率论、线性代数、信息论。
2. 为什么不必追求“全部”？
研究的专门性： 经济学研究是一个高度专业化的领域。即使在计量经济学内部，不同分支的研究者也可能专注于不同的方法论。例如，时间序列的专家可能不需要像面板数据或因果推断的专家那样深入了解某些特定领域的数学。
效率和时间成本： 要完全掌握高级计量经济学所有涉及的数学分支，需要花费大量的时间和精力。如果你的研究目标不直接要求掌握这些全部知识，那么花费过多时间在非核心数学上可能会延误你的研究进度。
理解“为什么”和“如何用”比“完全推导”更重要： 对于大多数应用计量经济学研究者而言，更重要的是理解一个模型或一个估计方法背后的核心数学思想，知道它是如何工作的，为什么是正确的，以及在什么条件下成立，然后能够正确地应用它来分析数据、解释结果。你不需要能够从零开始推导出所有定理，但你需要知道定理的条件和结论，并能判断你的数据是否满足这些条件。
工具的可用性： 很多高级的计量经济学方法和模型已经有成熟的软件实现（如Stata, R, Python中的库）。你需要知道如何调用这些工具，如何正确设置参数，以及如何解读输出结果，而不是必须自己去编写这些算法的底层代码。
3. 那么，你需要掌握到什么程度？
你需要掌握的是那些能够支撑你的研究思路、指导你选择合适的方法、帮助你理解结果的局限性、以及让你能够对现有文献进行批判性评估的数学知识。
具体来说，你需要：
熟练掌握基础数学工具： 线性代数、微积分、概率论和数理统计是计量经济学的基石。没有这些，你甚至无法理解最基础的OLS回归。
深刻理解核心模型和估计方法的数学原理：
线性回归模型： OLS的推导和性质（高斯马尔可夫定理）、模型设定、异方差、自相关、多重共线性等。
最大似然估计（MLE）： 极大似然估计量的性质（一致性、渐近正态性、渐近有效性）、似然比检验、Wald检验、LM检验。
工具变量（IV）和两阶段最小二乘法（2SLS）： 理解内生性问题，以及IV和2SLS如何解决它。
广义矩估计（GMM）： 理解GMM的灵活性，以及如何处理序列相关和异方差。
面板数据模型： 固定效应（FE）、随机效应（RE）模型，以及它们的数学基础。
概率模型（如Logit/Probit）： 理解非线性模型中的估计方法。
时间序列模型（如ARIMA）： 理解平稳性、自相关和模型形式。
因果推断： 理解潜在结果框架（Rubin Causal Model）、条件独立性、匹配、倾向得分匹配（PSM）、断点回归（RDD）、双重差分（DID）等方法背后的数学逻辑。
具备一定的证明能力或理解证明的能力： 当你需要对一个方法进行改进，或者需要证明一个新模型的性质时，你可能需要深入到证明的细节。至少，你应该能够理解一篇论文中关于估计量性质（如一致性、渐近有效性）的证明逻辑，这样你才能判断其结论的可靠性。
理解模型诊断和检验的数学原理： 如何进行异方差检验、自相关检验、异质性检验、模型拟合度检验（如R²、Adjusted R²、AIC、BIC）等，它们的数学含义是什么。
根据研究问题选择和调整模型的数学依据： 当你的研究数据或问题不符合标准模型时，你需要知道如何根据数学原理来调整模型设定或选择更合适的方法。
4. 如何衡量“足够”？
一个好的衡量标准是：
你能否独立完成你的研究项目？ 从理论框架、模型选择、方法应用到结果解释，你是否能够自信地走完整个流程？
你能否清晰地解释你所使用的计量方法的原理和假设？ 当别人提问时，你是否能够用数学语言解释清楚？
你能否批判性地评估你阅读的文献中使用的计量方法？ 你是否能发现其潜在的数学假设问题或局限性？
当你遇到问题时，你是否能够通过查阅数学文献找到解决思路，而不是仅仅依赖于软件的默认设置？
总结：
学术研究是一个不断学习和探索的过程。对于高级计量经济学，目标不是成为一个纯粹的数学家，而是成为一个能够深刻理解并有效运用计量经济学工具来回答经济学问题的研究者。
你需要的是“够用且够深”的数学知识，这取决于你的研究领域和具体的研究问题。如果你是理论计量经济学家，那自然需要掌握更广泛、更深入的数学原理。但如果你是应用经济学家，你的重点应该放在理解和运用那些与你的研究问题直接相关的数学思想和方法。
建议的学习路径：
1. 巩固基础： 确保线性代数、微积分、概率论和数理统计的基础扎实。
2. 循序渐进： 从经典的计量经济学教材（如Wooldridge的《Introductory Econometrics》和《Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data》）开始，理解核心模型和方法。
3. 针对性学习： 随着你研究方向的确定，再去深入学习该领域特有的数学工具。例如，研究金融时间序列可能需要更多地学习随机过程和鞅论；研究宏观动态模型可能需要更多地学习微分方程和动态规划。
4. 多读文献： 阅读顶尖期刊上的论文，看作者是如何应用和推导这些方法的，注意他们使用的数学符号和逻辑。
5. 动手实践： 理论结合实践，自己动手在软件中实现模型，理解参数的意义。
最终的目标是让数学成为你研究的强大工具，而不是一个难以逾越的障碍。
网友意见
这个问题可能很多博士在做研究的时候都想问而不敢问的。
原因是来自于课本上的内容和现实中读到的paper，和自己做的研究中的巨大落差。
学的时候，发现高级计量经济学挺难的，各种统计的数学推导，做一个回归又是要检验正态性，又是要讨论估计的无偏性和一致性，又要搞渐进正态性质，总之看上去非常的复杂。
然后做研究的时候，发现大多数文章都是Imbens-Angrist的因果推断，也看不到什么统计推导，就是回归，回归，两阶段回归，发表了。数据处理上也经常就取个log完事，没有那么多复杂的正态化的过程。
再然后，发现即便是非常复杂而前沿的计量方法，在R里面也就是调用一个包完事了。
这个时候心态往往会出现一定的波动，默默的感觉自己「白学」了。有一部分人会以「打基础要打牢」来安慰自己，有一部分则会彻底的开始怀疑经济学的教学理念。
其实类似的问题在机器学习领域也经常出现，很多人也觉得只要会调用包里面现成的算法就可以了，为什么还要去了解具体的算法实现？这一点在工作过后一段时间也特别明显，如果把工作等同于做研究，那么其实经济学博士们的困惑，也就是机器学习工作者/数据工程师们的困惑——到底我们学习的时候学那么多复杂的原理，结果上手工作发现用不到，有没有必要当时学这个？
其实我觉得这个问题的回答，在经济学和机器学习这两个领域也都是一致的。
先说一个真的小事：
有次一个博士生来和我讨论一篇论文，这篇论文比较经典，文章里面用了工具变量。
我说：这个工具变量回归出来的结果可能是有偏的。
对方说：我对工具变量的理解是，工具变量回归出来的参数应该就是真实的，为什么会有偏呢？
这个反应，就说明对工具变量的原理，和回归的统计处理不熟悉。而只是通过记住『工具变量排除内生性』的这个教科书上的结论。
事实上，根据Lal et al. （2021）[1]，这篇文章检验了很多很多发表在很好的杂志上文章，在第一步辅助回归的时候，就错误的计算了F统计量——比如说没有调整标准误，没有尊重数据的异质性等等，然后这就导致了在这一步，工具变量的强度就被高估了。
而因为工具变量强度被高估，在主回归的时候，工具变量的系数往往是偏大的——事实上，大部分的工具变量回归之后的结果，都是比标准OLS回归偏大的。这其实暗示了工具变量的排他性要求可能并没有得到满足——因为工具变量经常是从非实验的环境得到的，有其他的微妙的路径影响其他控制变量和残差都是可能的。
有兴趣以后看paper的时候可以注意一下，是不是加了工具变量之后，基本上回归的结果比OLS的结果更大了。这个时候作者往往挺高兴的解释，因为某个理论上的权衡，把真实的值给抵消了一部分，然后他们英明神武的工具变量把这个效应给排除掉了，理论得到了数据的支持。
试想，如果不了解工具变量的原理，不了解回归的过程中各种对残差的处理，对异质性的处理，如何能够好好的做研究呢？
当我们决定做研究的时候，其实是在选择一个职业生涯，而不是选择「眼前看到是不是能用」的。我们读到的文章本身就是一个均衡的结果，而不是全部。
什么意思呢？
当你看到发表的论文里面有七八个回归表格的时候，其实作者可能做了七八十次乃至于上百次的回归，自己写初稿的时候就运行了很多次；而和审稿人、编辑互动的过程中又是很多次，最后呈现出来的，是经过各种内部和外部的讨论，以及结合了审稿人意见的最终结果。
这个最终结果可能是很简单的，在stata上面就是几十行命令。但是问题在于，如果真的不了解背后的数学原理，往往很难在这个互动的过程中真的运行恰当的回归，并且能够有效的回应审稿人的质疑。
用功利的说法来说：如果想要在职业生涯上不断的进步，那对高级计量的很多背后的过程就不能不求甚解，不然积累到一定时候，如果不想低水平的重复，那还是要补课——与其后来补课，那为什么不在更年轻，接受能力更强，杂事更少的时候，先把这些原理都熟悉了呢？
倒也不需要手算回归的地步，像具体的矩阵变换过程，如果不是做理论计量的，那么基本上考过了博士资格考试之后，就和这些说再见了。但是各种计量方法背后的数学和统计原理，还是要知其然，也知其所以然。
参考
- ^ Lal, A., Lockhart, M. W., Xu, Y., & Zu, Z. (2021). How Much Should We Trust Instrumental Variable Estimates in Political Science? Practical Advice based on Over 60 Replicated Studies. Practical Advice based on Over, 60.
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