数学分析究竟在讲些什么？
核心在于“精确”和“严谨”
如果你接触过一点点微积分，比如知道导数是变化率，积分是面积，那么数学分析就是在告诉你，这些“知道”背后的“为什么”和“如何”。它不会满足于直观的理解，而是要用一套严密的逻辑体系，把这些概念基石般地搭建起来。
一、 实数系的构建：一切的基础
在我们开始分析函数、研究变化之前，得先搞清楚我们处理的是什么数。数学分析的第一步，往往是对“实数集”的构建。你可能觉得，实数不就是分数、小数这些吗？有什么好构建的？
但事情没那么简单。数学分析要回答的问题是：
为什么我们能确定任意两个实数之间一定还有一个实数？ （稠密性）
为什么实数数轴上“没有空隙”？ （完备性，这是最重要的！）
想想看，有理数（分数）虽然可以任意接近一个数，但它“跳跃”的地方太多了，比如无理数 $sqrt{2}$ 就不是有理数。数学分析通过一些构造方法（比如戴德金分割或者柯西序列），来确保我们使用的实数集是“完整”的，没有留下任何“洞”，这才为后续的连续性分析打下坚实的基础。这部分可以说是相当枯燥但又极其重要的基石工作。
二、 极限：数字的“趋近”艺术
极限，是数学分析的灵魂。一切的连续性、导数、积分，都建立在极限这个概念之上。
数列的极限： 当一个数列的项越来越多，越来越趋向于某个值时，这个值就是它的极限。数学分析会精确地定义这个“趋近”是怎么一回事，比如那个经典的 $epsilonN$ 定义：对于任何一个你指定的极小的正数 $epsilon$，总能找到一个整数 $N$，使得当数列的项的序号大于 $N$ 后，这些项与极限的差距都小于 $epsilon$。这听起来绕口，但它规避了“靠近”这种模糊的说法，用一个“终究会比你指定的任何距离都近”的确定性来描述极限。
函数的极限： 函数在某个点的值是否“接近”某个值，即使这个点本身函数没有定义，或者函数值就是那个值。同样，这里也有 $epsilondelta$ 定义，来精确描述当自变量 $x$ 趋近于某个值时，函数值 $f(x)$ 会趋近于哪个值。
三、 连续性：平滑无中断的旅程
有了极限的概念，我们就能定义“连续性”了。一个函数在某一点是连续的，意味着：
1. 函数在该点有定义。
2. 该点的函数极限存在。
3. 函数在该点的值等于该点的函数极限。
数学分析会深入探讨连续函数的性质，比如 介值定理（如果你从山脚走到山顶，中间一定会经过所有高度值）和 最值定理（闭区间上的连续函数一定能取到最大值和最小值）。这些看似显而易见的事实，都需要通过严密的极限理论来证明。
四、 导数：变化的瞬时速度
导数，是我们测量事物“变化快慢”的工具。它定义为函数增量与自变量增量之比的极限。
导数的定义： $f'(x) = lim_{h o 0} frac{f(x+h) f(x)}{h}$。这里的关键还是那个极限。数学分析会详细讨论导数存在的条件，以及导数本身作为函数具有的性质。
导数的几何意义和物理意义： 切线的斜率、瞬时速度、加速度等，这些都是导数在现实世界中的体现。数学分析会通过严谨的定义和证明，将这些直观的理解建立在坚实的数学基础之上。
微分中值定理： 这是导数领域里非常重要的一组定理，比如 拉格朗日中值定理（如果函数在区间上连续可导，那么区间内至少存在一点，使得该点的导数等于区间端点连线的斜率）。这像是说，如果你平均速度是100公里/小时，那么在旅程中一定有那么一瞬间你的瞬时速度也是100公里/小时。
五、 积分：累加的智慧
积分，是用来计算“量”的累积，比如面积、体积、总位移等。
定积分的定义： 它实际上是将一个区间分成无数个小段，然后在每个小段上取一个值乘以小段的长度，最后将这些乘积加起来，再取极限。这个过程就是积分。同样，积分的严谨定义也是基于极限的。
牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 这个定理是连接微分和积分的桥梁，它告诉我们，求一个函数的定积分，本质上就是求它的一个原函数，然后在积分区间上取差值。这极大地简化了积分的计算，但也需要严格的证明。
积分的应用： 数学分析会探讨各种类型的积分（黎曼积分、勒贝格积分），以及积分在几何、物理、概率等众多领域的应用。
数学分析到底在讲什么？
用更通俗的话来说，数学分析是在教你：
如何把模糊的概念变成精确的定义： 比如“趋近”、“连续”这样的词汇，在日常生活中可以理解，但在数学上，需要用 $epsilondelta$ 这样的语言来精确描述，不留一丝模糊。
如何证明看似理所当然的定理： 很多我们在高中微积分中学到的结论，比如“连续函数有最大最小值”，在数学分析里需要一步步、严谨地推导出来。
如何理解变化和无穷： 导数和积分是研究变化的工具，而极限是理解无穷过程的钥匙。数学分析让我们能“驯服”无穷大和无穷小，让它们成为可以被精确计算和描述的对象。
如何构建严密的数学体系： 它提供了一套逻辑框架，让你理解数学的内在联系，以及各个分支是如何建立在共同的基础之上的。
总而言之，数学分析不仅仅是学习一些新的计算方法，它更像是一种思维方式的训练。它教会你如何去思考问题，如何去构建论证，如何去追求数学真理的精确和严谨。它是一种将直觉转化为严谨逻辑的过程，也是打开更高级数学大门的必经之路。 学习它可能会有些挑战，但一旦你掌握了它的思维方式，你会发现数学的世界会变得更加清晰、深刻和迷人。
网友意见
题主往错误的方向上努力了。
数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
John von Neumann 就是对“一位想要理解抽象数学“的物理学生说出以上那句的。
的确，导数，积分都有物理几何上的意义（切空间，体积），可以部分的直观化。但是数分的核心思维是抽象而不是直观，你不能往错误的方向上去努力！理解抽象观念最好的方法在于两点。
1.不断的使用这个抽象的概念，建立第二本能。
2.记住一个个特例和反例，培养某种对直觉。
你首先放弃“哲学式”的理解数学分析的方式，通过图像甚至玄学理解数学分析是很危险的。你首先要学会用“严格的数学逻辑说服自己和别人”。不要觉得这个直观上对的就是对的，对每个细节都要做到逻辑上和计算上的自洽。你要做到希尔伯特说的下面的要求。
等你把这个变成本能后，你才进入下个阶段，这个阶段，你可以寥寥数笔就能证明和精确理解命题，你可以跳跃式的知道对与错，并且很快就知道如何证明和构造反例。你的草稿纸即使不严格，也不会出错，你随时也可以把结论翻译成严格的结果。这个时候你写一本书也不是难事。
说到直观,我就举一个大家都熟悉的例子吧，极限
（多图，长文预警！以下内容都是我准备写的系列文章<从零开始的数学>中的一部分,介绍极限的部分。所谓从零开始就是一问题为核心,从高中三年级的水准出发直奔一些近现代的数学问题，过程中补充需要学习的数学理论。）
很多人觉得这个概念非常抽象,不好理解,特别是对于非数学专业的人来讲。因为数学分析或者高等数学上教的极限是这样子的:
可是如果我说极限的概念是符合人的直觉的呢?比如极限的几何直观如这个样子
并且直观未必会牺牲抽象性,甚至可以非常抽象,但同时和直觉却是一致的。一起来看看怎么定义。
1.极限定义之:几何直观
不严格的讲所谓序列的极限：
复平面上存在一个点A,以A为圆心任意做出的原盘 的外部都只包含序列的有限项。
什么意思呢？
说到平面,我们不妨考虑复平面。这样考虑的好处是,既可以讨论复序列,也可以讨论实序列。因为实序列全部分布在复平面的实轴上。
例子1:序列 的极限
这显然是一个实数列，所以如果放在复平面上讲,它分布在实轴上。然后这个例子的主要目的是给出一个几何直观,所以这里并不花篇幅证明。一张图就能看出来,因为很直观。
从这张图就能看出,复平面上0这个点,满足的条件:
复平面上存在一个点0,以0为圆心任意做出的原盘 的外部都只包含序列 的有限项。
所以例1的图片所表达的意思用大家熟悉的极限符号抽象的写出来就是：
或者
这里再补充一个概念所谓序列的聚点
复平面上以A为圆心,任意圆盘 始终包含序列的无限个点。或者说 这个集合是无限的。
这也很直观，因为据点周围有无数个序列的点，所以看起来像序列聚拢在这个点周围。就像上面的那个图一样。
然后我们再会过头来看一看极限的直观定义：
复平面上存在一个点A,以A为圆心任意做出的圆盘 的外部都只包含序列的有限项。
这两个概念是有区别的，也有一些联系。
首先如果存在极限，那么极限肯定是唯一的。（Hausdorff Space）并且这个点是序列的聚点(只要序列在复平面上不是有限个点的情况)。
因为A是序列的极限，所以任意做圆盘 ,圆盘外部只有序列的有限项.这意味着圆盘内部至少包含剩下的所有点，也就是无限个序列的点。
所以只要 不是有限集合，那么序列存在极限说明，极限必然是聚点。但是聚点未必是序列的极限，因为序列的聚点可以有很多个，其次即便聚点唯一也不能保证极限点为圆心的任意圆外部只包含序列的有限项。
举例说明：
例子2：序列存在两个聚点（极限不存在）
复平面上的序列: ,存在有两个聚点.所以这个序列在复平面上没有极限.
因为极限是唯一的，极限所在的点必然是聚点，所以一旦存在多个聚点，极限肯定不存在。
分别以1,-1两个点为圆心画圆,无论半径多小,始终包含序列元素。所以两个点都是序列的聚点。
例子3：存在四个聚点,极限不存在。
复平面上的序列: ,存在有四个个聚点.所以这个序列在复平面上也没有极限.
在复平面上分别以:-1,1,-i,i四个点为圆心任意半径做圆。做出来的圆盘始终包含至少一个序列的点。所以四个点都是该序列的聚点。
为什么强调如果以这个点为圆心,圆的外部只有有限个序列元素？
例子4：
比如序列
https://www.zhihu.com/video/1140395342108446720这个序列在 只有一个聚点,但是如果以聚点0为圆心做圆,却发现如果圆足够的小,这样的圆外部始终都有无限项。
所以这样的序列同样也是没有极限的。
明白了直观地概念后就应该抽象了。
这种直观的定义能否放到三维的空间中成立？当然能！
只需要把聚点中的定义用到的圆心改为球心即可。
例子5:考虑 中的序列
它存在唯一的一个聚点:(0,0,0),并且以这个聚点为圆心做圆圆的外部是始终只有有限项。
三维空间中一个序列的聚点 https://www.zhihu.com/video/1139617803245080576如果我一定要定义在一维的实数轴上,那么怎么理解？
同样的只需要修改关于什么是圆或者球这个概念即可。一维的圆可以理解为一个区间即可。
2.极限定义之:拓扑定义
之前图片在复平面以及 上展示了极限直观的定义，也就是
复平面/ 上存在一个点A,以A为圆(球)心任意做出的圆（球） 的外部都只包含序列的有限项。
但是数学毕竟需要严密性以及抽象性。严密性是为了每一步都有理有据，不出错误。
而抽象性是为了能够灵活的运用到更广泛的情形中,比如不在复平面上定义极限可以吗?
在 的序列可以定义极限吗？
可以定义函数列 的极限吗？
可以定义泛函 的极限吗？
如何从之前的几何直观中抽象化,并且做到很自然，让人很好理解的过渡呢？
把之前在平面上玩的概念抽象成拓扑空间中的概念就行了。
一个一个的处理概念。
再重复的看一下聚点的定义：
一个定义在平面上的序列 ,如果存在这样一个点A:
以点A为圆心,任意做圆，这个圆始终能包含除A以外序列的至少一个元素。
那么我们称这个点A为序列 的聚点。
根据之前的例子，我们知道可以在一维的实数轴上定义聚点，可以在复平面上定义聚点,还可以在 中定义聚点。所以只要用一个更抽象的,范围更广的概念描述这些空间即可。因此
然后我们还知道,在二维的空间中定义的球实际上就是圆盘。在一维空间中定义的球,就是区间。我们甚至还可以在更高维度中定义球的概念。甚至是无穷维。（这里先甭管没有定义度量怎么定义球的问题,其实只要同胚于n-维欧式空间的球就行了。）
所以为了抽象性,为了一个定义涵盖更多情形，我们需要把圆盘修改为球，拓扑空间中抽象的球。
2.
其中符号B(A)表示以拓扑空间中点A为球心的球。
有了以上两点以后,聚点一般的定义可以定义为:
是定义在拓扑空间 中的序列，如果存在点 , 满足:
任意以A为球心的球 中至少包含这个序列的无限项。
则称这个点 为序列 的聚点。
那么极限就可以抽象的定义为：
被定义为 ,其中 就是以A为球心的球
这句话翻译一下就是在说，如果序列存在极限A，那么存在一个N，使得以A为球心，任意做球。球里面包含了N以后的序列的所有项。那么这意味着，球外面只有有限个序列的元素。
对比最开始的直观感受：
复平面上存在一个点A,以A为圆心任意做出的原盘 的外部都只包含序列的有限项。
会发现按照这种理解，实际上再抽象的过程中并不需要改动多少，思想基本是一致的，只是改动对“球”的理
把以上抽象的定义中抽象的概念重新套用具体的概念，可以完美还原上面所有图片的情形。所以这个抽象的定义是满足我们的直觉的，但同时，这个抽象的定义的意义并不仅仅在于归纳了以上的情形，它还能作用于更多新的情况。
也就是说在其他的一些具体的空间中(比如Banach空间),只要定义一个具体的球,我们就可以从抽象的极限定义当中导出具体的极限定义。
这也是一种很自然的构建数学理论的方式，从直观的具体例子中出发,提出要素转化为抽象概念，然后再把抽象概念运用到具体的情况中。
3.序列极限定义之：度量空间
现在有两个问题:
- 之前的拓扑的定义符合几何直觉,又满足了抽象性固然不错，但是我们需要计算极限，所以怎么算极限？
- 说了这么多,教科书上直接呈现出来的 语言的极限究竟是什么东西?
为了解决这两个问题,现在要来看一类具体的极限:定义在度量空间中的序列极限。
之前拓扑空间中极限的定义给了一个抽象的球,现在要给一个具体的球。并且是通过半径来定义的非常自然的定义出来的球。
通过半径来定义球？也就是：
空间中一个点到球心的距离小于一个实数r的集合,我们称之为一个(开)球。
既然提到了距离这个概念，那么什么叫做距离？用具体的例子来考虑。比如最常见的一维的距离，实数轴上两个点的距离：
例子6：用半径来定义实轴上的球。
以上式子表达的就是,以实数A为球心, 为半径的球（ 或者 代表的意思都是半径,所以没什么特别的）。我们这里关心的是,距离的定义。
在 当中两点之间的距离,这里是用绝对值定义的。
如果
例子7:复平面上定义的球。
这里距离被定义为,两个复数差的模长。
例子8:在 中用半径定义的球
这里的距离是用勾股定理中的欧氏距离定义的。
既然有了具体的球,我们看看上面抽象的拓扑定义可以写成具体的什么形式，并且这样的形式还要体现球的半径 。
例子9： 上序列极限的度量定义
回顾一下抽象版本
被定义为 ,其中 就是以A为球心的球。
现在照着上面的抽象版本写出具体的极限定义：
任意以A为球心得球,意味着半径是任意的。所以应该被翻译为：
所以翻译为具体的写法就是：
把前面的任意球省掉,与后面的N项以后的所有序列都包含在球里面合并在一块儿写就是:
这就是一般的数学分析书里面关于极限的定义。
例子10： 上序列极限的度量定义
同样的根据抽象定义写出具体的球即可得到：
例子11： 上序列极限的度量定义
如果 , ，并且定义 那么极限的定义可以写为
合并简写为:
如果把例子11这一种极限的定义再做一点点抽象,也就是把空间中两点之间的距离写成映射：
并且满足一些特定的性质（ ）：
这样便是一个度量空间,而就被称之为定义在度量空间中的度量。直白的讲,d定义了我们怎么计算两个元素之间的距离。
所以给出具体的d也就给出了具体的度量空间，也就可以用这个具体的距离来定义一个具体的球。有了球就可以在这个度量空间上定义极限。
4.序列极限定义之:度量空间中定义的极限有什么好处？
回顾前面的例子
会发现给出具体的度量之后的极限有一个好处
正如前面提到的那样,度量空间中的极限可以算。可以用来推出极限的运算律,以及求解具体的极限。
我们知道导出这些具体的度量空间中的极限的过程是完全符合我们的几何直觉的，并且这样的定义只需要给出一个 之间的一个对应关系就能保证,序列的极限一定是A。这样我们求极限的时候就有一定的套路和技巧可循，反正只要任意 能找到一个 满足上述的形式化的逻辑就可以了。
举例说明
例子12：证明下列序列存在极限并给出极限值
1.
2.
3.
例子13:推导极限的运算律
令 是复数域上极限为 的序列, 是复数域上极限为 的序列。那么有:
1.
2.
3.
这里仅证明第一个加法运算律。
令 因此我们有
因为 那么对于任意的 必定存在一个 使得在此之后的所有项到极限的距离不超过 ,也就是:
同样的,对于 对于任意的，必定存在一个 使得在此之后的所有项到极限的距离不超过 ,也就是:
那么对于任意的 必定存在一个 使得对 有
于是这样就找到了一个关于 之间的对应关系,保证对于任意的 都存在一个$N$满足极限的度量定义,因此极限存在并且等于 。(满足形式逻辑)
按照序列极限的定义,我们还可以非常轻松的证明Banach不动点原理（并且也非常好理解），这里因为篇幅过长就算了。
个人觉得所有的数学都只是在追求极致的效率，换个说法就是追求极限，换个说法就是追求最短路径。包括数学被广泛用于其他学科，同样也是因为它的效率可观，经济性强。
所以套用哲学终极三问，数学也可以拟合成：这个空间是怎么描述的？这个空间是如何完备的？这个空间的极限在哪里？
带着这样的想法再去看数学或许更好，从而知道自己要做什么，这才是关键。知道要做什么了后，才晓得要走什么路。
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