有哪些一看就会，一做就错的数学题？
“一看就会，一做就错”的数学题，通常是因为它们巧妙地利用了人类思维的惯性、直觉误区、或者是知识盲点。这些题目往往在表述上十分简单清晰，逻辑链条看起来也并不复杂，但稍不留神，就容易掉进预设的陷阱。
下面我将详细介绍几种常见的“一看就会，一做就错”的数学题类型，并进行深入的解析：
类型一：利用直觉误区和思维惯性
这类题目通常利用我们对生活经验的直观感受来迷惑我们，而数学上的严谨性要求我们不能简单地套用直觉。
示例 1：概率中的“生日问题”变种
题目描述： 在一个房间里有 10 个人，请问至少有两个人同一天生日的概率是多少？
为什么一看就会： 很多人会想，一年有 365 天，10 个人才占很小的比例，概率应该很低吧。大家可能会先计算一个人有生日的概率（1），再计算两个人不同生日的概率，然后尝试相减。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： 一个人有生日的概率是 1。第二个人和第一个人生日相同的概率是 1/365。第三个人和前两个人生日相同的概率又是 1/365，以此类推。然后加起来？或者用 1 减去 10 个 1/365？
2. 更常见的错误思路： 认为“至少有两个人同一天生日”和“某两个人（例如第1个人和第2个人）生日相同”是同一件事。所以很多人会觉得，两个人同一天生日的概率是 1/365，然后乘以人数 10？或者 1 (11/365)^10 ? (虽然这个接近正确思路，但里面的逻辑关系容易混淆)。
正确思路及详细解析：
生日问题最容易处理的方式是计算反面事件的概率：即所有 10 个人的生日都互不相同。
第一个人有生日，概率是 365/365 = 1。
2. 第二个人生日与第一个人不同的概率是 364/365。
3. 第三个人生日与前两个人不同的概率是 363/365。
4. ...
5. 第十个人生日与前九个人不同的概率是 (3659)/365 = 356/365。
所以，10 个人生日都不同的概率 P(都不同) 是：
P(都不同) = (365/365) (364/365) (363/365) ... (356/365)
P(都不同) = P(365, 10) / 365^10 （其中 P(n, k) 是排列数 n!/(nk)!）
那么，“至少有两个人同一天生日”的概率 P(至少有两人同天) 就是：
P(至少有两人同天) = 1 P(都不同)
计算这个值会发现，概率远高于直觉估计。当房间里有 23 个人时，概率就超过 50% 了！
陷阱在哪里： 人的直觉倾向于关注特定的配对（比如我和你生日是否相同），而不是所有可能的配对组合。当人数增加时，可能的配对数量呈指数级增长，大大增加了生日相同的可能性。
示例 2：平均速度问题
题目描述： 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 100 公里。去程用了 1 小时，返回程也用了 1 小时。问这辆汽车的平均速度是多少？
为什么一看就会： 大家会想，平均速度不就是总路程除以总时间吗？总路程 100 + 100 = 200 公里，总时间 1 + 1 = 2 小时。所以平均速度是 200 / 2 = 100 公里/小时。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： 去程速度是 100 公里/小时，返回程速度是 100 公里/小时，所以平均速度就是 (100+100)/2 = 100 公里/小时。
2. 或者将题目稍作修改，制造陷阱：
题目描述 2： 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 100 公里。去程用了 1 小时（速度 100 公里/小时），返回程用了 2 小时（速度 50 公里/小时）。问这辆汽车的平均速度是多少？
错误思路 2： (100 公里/小时 + 50 公里/小时) / 2 = 75 公里/小时。
正确思路及详细解析：
平均速度的定义是：总路程 / 总时间。
对于题目描述 1：
总路程 = 去程路程 + 返程路程 = 100 公里 + 100 公里 = 200 公里
总时间 = 去程时间 + 返程时间 = 1 小时 + 1 小时 = 2 小时
平均速度 = 200 公里 / 2 小时 = 100 公里/小时。
（在这种情况下，因为去程和返程的时间相同，平均速度恰好等于两次速度的算术平均值，所以容易让人产生错觉，认为总是这样。）
对于题目描述 2：
总路程 = 去程路程 + 返程路程 = 100 公里 + 100 公里 = 200 公里
总时间 = 去程时间 + 返程时间 = 1 小时 + 2 小时 = 3 小时
平均速度 = 200 公里 / 3 小时 = 66.67 公里/小时。
陷阱在哪里： 人们习惯于用算术平均数来计算平均值，尤其是在看到“平均速度”这个词时。但当时间段不相等时，算术平均数就不适用于计算平均速度。正确的平均速度应该是调和平均数（当路程相等时）。如果题目是将路程分成相等的两段，速度分别为 v1 和 v2，则平均速度为 2 / (1/v1 + 1/v2)。在这个例子中，v1=100, v2=50，所以平均速度是 2 / (1/100 + 1/50) = 2 / (3/100) = 200/3。
类型二：忽略了关键的限制条件或假设
这类题目故意省略或隐藏了某些关键信息，导致我们在没有意识到这些信息时，就会得出错误的结论。
示例 3：集合论或逻辑推理中的矛盾
题目描述： 在某个村庄里，有一个理发师。这个理发师规定：“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子。” 那么，这个理发师给自己刮胡子吗？
为什么一看就会： 这个问题似乎很直接，要么给自己刮，要么不给自己刮。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 如果理发师给自己刮胡子： 根据他的规定，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子。既然他给自己刮了，那么他就不应该给自己刮胡子。这产生了矛盾。
2. 如果理发师不给自己刮胡子： 根据他的规定，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子。既然他不给自己刮，那么他就应该给自己刮胡子。这又产生了矛盾。
3. 结论： 许多人会在第一种情况下卡住，或者在两种情况都推导后感到困惑，或者试图找到一个“答案”。
正确思路及详细解析：
这个问题的核心在于它是一个悖论（Russell's Paradox 的一个通俗化版本）。它揭示了在某些情况下，按照逻辑规则进行推理会导致矛盾。
正确的回答是：这样的理发师是不可能存在的。
这个题目并不是一个需要计算的数学题，而是一个关于集合论和逻辑自洽性的哲学问题。理发师的陈述构建了一个自我指涉的循环，导致了逻辑上的不可能性。
陷阱在哪里： 题目建立了一个看似合理的场景，但隐藏了一个逻辑上的死结。我们倾向于认为所有“理发师”的描述都是可以实现的，但这个例子证明了并非如此。
示例 4：代数中的变量取值范围
题目描述： 已知 $x^2 = 9$，求 $x$ 的值。
为什么一看就会： 很多人会直接想到 $x = 3$，因为 $3^2 = 9$。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： $x = 3$。
正确思路及详细解析：
方程 $x^2 = 9$ 的意思是，有一个数 $x$，它的平方等于 9。除了 3 之外，3 的平方也是 9，因为 $(3)^2 = 9$。
所以，方程的解是 $x = 3$ 和 $x = 3$。
或者更严谨地说：
$x^2 9 = 0$
$(x3)(x+3) = 0$
所以，$x3 = 0$ 或 $x+3 = 0$
即 $x = 3$ 或 $x = 3$。
陷阱在哪里： 我们习惯于看到 $sqrt{9}$ 时，默认是求主平方根，即正的那个值 3。但当方程是 $x^2 = 9$ 时，我们必须考虑所有可能满足条件的 $x$ 的值，包括负数。这个陷阱在于混淆了“求平方根”和“平方根等于某个值”。
类型三：忽视符号的含义和运算顺序
这类题目往往在符号的使用上非常“狡猾”，或者利用了我们对运算顺序的惯性思维。
示例 5：符号的歧义性
题目描述： 计算 $6 div 2(1+2)$
为什么一看就会： 很多人会看到“÷”和“（）”，然后按照先算括号里的，再算除法或乘法。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路 1 (先进括号，后乘除，按从左到右)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3) = 6 div 6 = 1$
2. 错误思路 2 (先进括号，后算乘法，后算除法)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3)$。在 $2(3)$ 这里，很多人会优先认为乘法比除法更“紧密”，所以先算 $2 imes 3 = 6$，然后是 $6 div 6 = 1$。
3. 错误思路 3 (先进括号，后算除法，后算乘法，但误解乘除优先级)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3)$。先算括号得到 3。然后是 $6 div 2 imes 3$。很多人会错误地认为乘法优先级高于除法，所以先算 $2 imes 3 = 6$，再算 $6 div 6 = 1$。
4. 正确思路 (先进括号，后乘除，按从左到右的顺序)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2 imes 3$。根据标准的运算顺序（PEMDAS/BODMAS），乘法和除法具有相同的优先级，应从左到右进行计算。
先算括号：$1+2 = 3$
原式变为：$6 div 2 imes 3$
从左到右进行乘除运算：
$6 div 2 = 3$
$3 imes 3 = 9$
陷阱在哪里： 这种题目的争议主要在于对“隐式乘法”（即数字紧跟在括号后面，中间没有运算符，如 $2(3)$）优先级处理的不同理解。一些人认为隐式乘法比显式乘除优先级更高，而另一些人则严格按照从左到右的原则处理同级运算。在标准的数学约定中，隐式乘法与显式乘法具有相同的优先级，并且与除法同样遵循从左到右的原则。所以最终结果是 9。但由于其争议性，这类题目在实际考试中较少出现，但在网络上非常流行。
示例 6：阶乘的误解
题目描述： 计算 $3^2$
为什么一看就会： 看到平方，很多人会先想到 $3 imes 3 = 9$，前面有个负号，所以结果是 $9$。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： $(3)^2 = 9$，但题目是 $3^2$，所以是 $9$。 (这个思路是正确的，但很多新手会混淆成下面的错误思路)
2. 常见错误思路： 先算 $3^2 = 9$，然后加上前面的负号，得到 $9$。
3. 更常见的错误思路： 将 $3^2$ 理解为 $(3)^2$，结果为 9。
正确思路及详细解析：
根据数学运算顺序（通常遵循 PEMDAS/BODMAS 原则），指数运算优先于乘法和加减法。负号“_”在没有括号的情况下，被视为一个独立的一元运算符，紧跟在数字或变量后面进行运算。
因此，$3^2$ 的计算顺序是：
1. 计算指数：$3^2 = 9$
2. 对结果应用负号：$(9) = 9$
正确的计算是：$3^2 = (3 imes 3) = 9$。
而 $(3)^2$ 的意思是先将 $3$ 作为一个整体进行平方运算：$(3)^2 = (3) imes (3) = 9$。
陷阱在哪里： 这是对运算符优先级和括号作用的混淆。人们容易不自觉地将负号看作是与数字绑定在一起的，然后应用平方运算。
如何避免“一看就会，一做就错”？
1. 理解概念的本质： 不要满足于表面上的“好像懂了”，要深入理解数学概念的定义和内涵。例如，平均速度的定义，平方根的定义。
2. 注意细节和约束条件： 仔细阅读题目，找出所有给定的条件和限制。这些细节往往是解题的关键。
3. 练习反向思考： 对于看似简单的题目，可以尝试从不同的角度审视它，思考可能存在的陷阱。
4. 掌握正确的运算顺序和符号规则： 这是基础中的基础，任何模糊不清都可能导致错误。
5. 警惕直觉误导： 数学是严谨的逻辑系统，直觉有时会出错。相信你的逻辑推导，而非凭感觉猜测。
6. 多做练习，反思总结： 遇到做错的题目，一定要弄清楚错在哪里，是概念不清，还是思维惯性导致，然后进行总结，避免下次再犯同样的错误。
这些“一看就会，一做就错”的题目，恰恰是锻炼我们数学思维严谨性和细致性的绝佳机会。
下面我将详细介绍几种常见的“一看就会，一做就错”的数学题类型，并进行深入的解析：
类型一：利用直觉误区和思维惯性
这类题目通常利用我们对生活经验的直观感受来迷惑我们，而数学上的严谨性要求我们不能简单地套用直觉。
示例 1：概率中的“生日问题”变种
题目描述： 在一个房间里有 10 个人，请问至少有两个人同一天生日的概率是多少？
为什么一看就会： 很多人会想，一年有 365 天，10 个人才占很小的比例，概率应该很低吧。大家可能会先计算一个人有生日的概率（1），再计算两个人不同生日的概率，然后尝试相减。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： 一个人有生日的概率是 1。第二个人和第一个人生日相同的概率是 1/365。第三个人和前两个人生日相同的概率又是 1/365，以此类推。然后加起来？或者用 1 减去 10 个 1/365？
2. 更常见的错误思路： 认为“至少有两个人同一天生日”和“某两个人（例如第1个人和第2个人）生日相同”是同一件事。所以很多人会觉得，两个人同一天生日的概率是 1/365，然后乘以人数 10？或者 1 (11/365)^10 ? (虽然这个接近正确思路，但里面的逻辑关系容易混淆)。
正确思路及详细解析：
生日问题最容易处理的方式是计算反面事件的概率：即所有 10 个人的生日都互不相同。
第一个人有生日，概率是 365/365 = 1。
2. 第二个人生日与第一个人不同的概率是 364/365。
3. 第三个人生日与前两个人不同的概率是 363/365。
4. ...
5. 第十个人生日与前九个人不同的概率是 (3659)/365 = 356/365。
所以，10 个人生日都不同的概率 P(都不同) 是：
P(都不同) = (365/365) (364/365) (363/365) ... (356/365)
P(都不同) = P(365, 10) / 365^10 （其中 P(n, k) 是排列数 n!/(nk)!）
那么，“至少有两个人同一天生日”的概率 P(至少有两人同天) 就是：
P(至少有两人同天) = 1 P(都不同)
计算这个值会发现，概率远高于直觉估计。当房间里有 23 个人时，概率就超过 50% 了！
陷阱在哪里： 人的直觉倾向于关注特定的配对（比如我和你生日是否相同），而不是所有可能的配对组合。当人数增加时，可能的配对数量呈指数级增长，大大增加了生日相同的可能性。
示例 2：平均速度问题
题目描述： 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 100 公里。去程用了 1 小时，返回程也用了 1 小时。问这辆汽车的平均速度是多少？
为什么一看就会： 大家会想，平均速度不就是总路程除以总时间吗？总路程 100 + 100 = 200 公里，总时间 1 + 1 = 2 小时。所以平均速度是 200 / 2 = 100 公里/小时。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： 去程速度是 100 公里/小时，返回程速度是 100 公里/小时，所以平均速度就是 (100+100)/2 = 100 公里/小时。
2. 或者将题目稍作修改，制造陷阱：
题目描述 2： 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 100 公里。去程用了 1 小时（速度 100 公里/小时），返回程用了 2 小时（速度 50 公里/小时）。问这辆汽车的平均速度是多少？
错误思路 2： (100 公里/小时 + 50 公里/小时) / 2 = 75 公里/小时。
正确思路及详细解析：
平均速度的定义是：总路程 / 总时间。
对于题目描述 1：
总路程 = 去程路程 + 返程路程 = 100 公里 + 100 公里 = 200 公里
总时间 = 去程时间 + 返程时间 = 1 小时 + 1 小时 = 2 小时
平均速度 = 200 公里 / 2 小时 = 100 公里/小时。
（在这种情况下，因为去程和返程的时间相同，平均速度恰好等于两次速度的算术平均值，所以容易让人产生错觉，认为总是这样。）
对于题目描述 2：
总路程 = 去程路程 + 返程路程 = 100 公里 + 100 公里 = 200 公里
总时间 = 去程时间 + 返程时间 = 1 小时 + 2 小时 = 3 小时
平均速度 = 200 公里 / 3 小时 = 66.67 公里/小时。
陷阱在哪里： 人们习惯于用算术平均数来计算平均值，尤其是在看到“平均速度”这个词时。但当时间段不相等时，算术平均数就不适用于计算平均速度。正确的平均速度应该是调和平均数（当路程相等时）。如果题目是将路程分成相等的两段，速度分别为 v1 和 v2，则平均速度为 2 / (1/v1 + 1/v2)。在这个例子中，v1=100, v2=50，所以平均速度是 2 / (1/100 + 1/50) = 2 / (3/100) = 200/3。
类型二：忽略了关键的限制条件或假设
这类题目故意省略或隐藏了某些关键信息，导致我们在没有意识到这些信息时，就会得出错误的结论。
示例 3：集合论或逻辑推理中的矛盾
题目描述： 在某个村庄里，有一个理发师。这个理发师规定：“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子。” 那么，这个理发师给自己刮胡子吗？
为什么一看就会： 这个问题似乎很直接，要么给自己刮，要么不给自己刮。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 如果理发师给自己刮胡子： 根据他的规定，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子。既然他给自己刮了，那么他就不应该给自己刮胡子。这产生了矛盾。
2. 如果理发师不给自己刮胡子： 根据他的规定，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子。既然他不给自己刮，那么他就应该给自己刮胡子。这又产生了矛盾。
3. 结论： 许多人会在第一种情况下卡住，或者在两种情况都推导后感到困惑，或者试图找到一个“答案”。
正确思路及详细解析：
这个问题的核心在于它是一个悖论（Russell's Paradox 的一个通俗化版本）。它揭示了在某些情况下，按照逻辑规则进行推理会导致矛盾。
正确的回答是：这样的理发师是不可能存在的。
这个题目并不是一个需要计算的数学题，而是一个关于集合论和逻辑自洽性的哲学问题。理发师的陈述构建了一个自我指涉的循环，导致了逻辑上的不可能性。
陷阱在哪里： 题目建立了一个看似合理的场景，但隐藏了一个逻辑上的死结。我们倾向于认为所有“理发师”的描述都是可以实现的，但这个例子证明了并非如此。
示例 4：代数中的变量取值范围
题目描述： 已知 $x^2 = 9$，求 $x$ 的值。
为什么一看就会： 很多人会直接想到 $x = 3$，因为 $3^2 = 9$。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： $x = 3$。
正确思路及详细解析：
方程 $x^2 = 9$ 的意思是，有一个数 $x$，它的平方等于 9。除了 3 之外，3 的平方也是 9，因为 $(3)^2 = 9$。
所以，方程的解是 $x = 3$ 和 $x = 3$。
或者更严谨地说：
$x^2 9 = 0$
$(x3)(x+3) = 0$
所以，$x3 = 0$ 或 $x+3 = 0$
即 $x = 3$ 或 $x = 3$。
陷阱在哪里： 我们习惯于看到 $sqrt{9}$ 时，默认是求主平方根，即正的那个值 3。但当方程是 $x^2 = 9$ 时，我们必须考虑所有可能满足条件的 $x$ 的值，包括负数。这个陷阱在于混淆了“求平方根”和“平方根等于某个值”。
类型三：忽视符号的含义和运算顺序
这类题目往往在符号的使用上非常“狡猾”，或者利用了我们对运算顺序的惯性思维。
示例 5：符号的歧义性
题目描述： 计算 $6 div 2(1+2)$
为什么一看就会： 很多人会看到“÷”和“（）”，然后按照先算括号里的，再算除法或乘法。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路 1 (先进括号，后乘除，按从左到右)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3) = 6 div 6 = 1$
2. 错误思路 2 (先进括号，后算乘法，后算除法)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3)$。在 $2(3)$ 这里，很多人会优先认为乘法比除法更“紧密”，所以先算 $2 imes 3 = 6$，然后是 $6 div 6 = 1$。
3. 错误思路 3 (先进括号，后算除法，后算乘法，但误解乘除优先级)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2(3)$。先算括号得到 3。然后是 $6 div 2 imes 3$。很多人会错误地认为乘法优先级高于除法，所以先算 $2 imes 3 = 6$，再算 $6 div 6 = 1$。
4. 正确思路 (先进括号，后乘除，按从左到右的顺序)： $6 div 2(1+2) = 6 div 2 imes 3$。根据标准的运算顺序（PEMDAS/BODMAS），乘法和除法具有相同的优先级，应从左到右进行计算。
先算括号：$1+2 = 3$
原式变为：$6 div 2 imes 3$
从左到右进行乘除运算：
$6 div 2 = 3$
$3 imes 3 = 9$
陷阱在哪里： 这种题目的争议主要在于对“隐式乘法”（即数字紧跟在括号后面，中间没有运算符，如 $2(3)$）优先级处理的不同理解。一些人认为隐式乘法比显式乘除优先级更高，而另一些人则严格按照从左到右的原则处理同级运算。在标准的数学约定中，隐式乘法与显式乘法具有相同的优先级，并且与除法同样遵循从左到右的原则。所以最终结果是 9。但由于其争议性，这类题目在实际考试中较少出现，但在网络上非常流行。
示例 6：阶乘的误解
题目描述： 计算 $3^2$
为什么一看就会： 看到平方，很多人会先想到 $3 imes 3 = 9$，前面有个负号，所以结果是 $9$。
为什么一做就错（常见错误思路）：
1. 错误思路： $(3)^2 = 9$，但题目是 $3^2$，所以是 $9$。 (这个思路是正确的，但很多新手会混淆成下面的错误思路)
2. 常见错误思路： 先算 $3^2 = 9$，然后加上前面的负号，得到 $9$。
3. 更常见的错误思路： 将 $3^2$ 理解为 $(3)^2$，结果为 9。
正确思路及详细解析：
根据数学运算顺序（通常遵循 PEMDAS/BODMAS 原则），指数运算优先于乘法和加减法。负号“_”在没有括号的情况下，被视为一个独立的一元运算符，紧跟在数字或变量后面进行运算。
因此，$3^2$ 的计算顺序是：
1. 计算指数：$3^2 = 9$
2. 对结果应用负号：$(9) = 9$
正确的计算是：$3^2 = (3 imes 3) = 9$。
而 $(3)^2$ 的意思是先将 $3$ 作为一个整体进行平方运算：$(3)^2 = (3) imes (3) = 9$。
陷阱在哪里： 这是对运算符优先级和括号作用的混淆。人们容易不自觉地将负号看作是与数字绑定在一起的，然后应用平方运算。
如何避免“一看就会，一做就错”？
1. 理解概念的本质： 不要满足于表面上的“好像懂了”，要深入理解数学概念的定义和内涵。例如，平均速度的定义，平方根的定义。
2. 注意细节和约束条件： 仔细阅读题目，找出所有给定的条件和限制。这些细节往往是解题的关键。
3. 练习反向思考： 对于看似简单的题目，可以尝试从不同的角度审视它，思考可能存在的陷阱。
4. 掌握正确的运算顺序和符号规则： 这是基础中的基础，任何模糊不清都可能导致错误。
5. 警惕直觉误导： 数学是严谨的逻辑系统，直觉有时会出错。相信你的逻辑推导，而非凭感觉猜测。
6. 多做练习，反思总结： 遇到做错的题目，一定要弄清楚错在哪里，是概念不清，还是思维惯性导致，然后进行总结，避免下次再犯同样的错误。
这些“一看就会，一做就错”的题目，恰恰是锻炼我们数学思维严谨性和细致性的绝佳机会。
网友意见
半径 1 : 2，大圆静止，小圆在大圆外侧上滚动（无滑动）.
问：当小圆回到初始位置时，小圆自转了几周？（以地面为参考系，这个一般是默认的吧）
（下滑见答案）
答案：3周。
可能大家看了动图依然没看出是哪三圈，判断方法见上图下标的温馨提示.
严格的证明是利用微分几何中的旋转指标定理，但是利用初中所学的外角定理，就可以给出一个很直观的解释.
让我们考虑特殊的情况.
小圆在凸多边形外围滚动，当遇到到角的时候，情形如下动图
我们会发现小圆自转的角度（蓝色线段的夹角）恰好是这个黑色角的补角，同时相对于这个角的两边而言，没有走过一点点路程（也就是说，路程并不能体现出角度的所有变化）. 那么对于凸多边形而言，外角和刚好是 ，所以小圆沿凸多边形外侧无滑动滚动一周后，自转的周数为
其中 是多边形的周长与小圆周长之比. 最后，我们只要令正多边形的边数趋于无穷，那么最后得到的就是圆. 这就解释了原问题为什么答案是三圈.
留个思考题给读者吧（其实我是懒得写了）：我们把原题改一下，如果让小圆在大圆内部滚动，小圆自转了几圈呢？
以上图都是本人自制的，大家随便用。
查阅了马尔契夫《理论力学》（高等教育出版社俄罗斯教材选译），还有物理的证明方法（利用瞬时速度中心），原本打算写出来，但是有网友在评论区说明了。我推荐了其中一位 @燃烧的德米扬斯克 的精彩评论。其他网友的评论也很好，但是有的我看不懂，或者直接抛出二、三级结论，这不是我想要的。
物理证明很妙，不过请原谅我对数学的偏心，毕竟我给出的说明只用到了初中一年级的知识（外角和定理）. 还有题目是“一做就错的数学题”，各位用物理回答，这说明了“一做就错”的原因是：原来它不是数学题，而是物理题？（冷幽默献给大家~）
为什么小圆在大圆内滚动会比直觉少一圈？我们还是使用多边形分析法.
单位圆在一个正多边形内无摩擦滚动，两条切线长 和 并没有参与到滚动中来，我们把这样的切线长全部加起来.
先计算切线长 ，在 中，，
那么将这些切线长相加再除以小圆的周长，就是小圆损失的滚动圈数 ：
因为是正多边形，所以内角 是内角和的 ：
将该关系代入到 的表达式中
当 趋于无穷时，由重要极限可知
也即是说，当正多边形越来越趋近与大圆时，小圆在其内部滚动，小圆所转的圈数要损失 圈.
类似的话题
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“一看就会，一做就错”的数学题，通常是因为它们巧妙地利用了人类思维的惯性、直觉误区、或者是知识盲点。这些题目往往在表述上十分简单清晰，逻辑链条看起来也并不复杂，但稍不留神，就容易掉进预设的陷阱。下面我将详细介绍几种常见的“一看就会，一做就错”的数学题类型，并进行深入的解析： 类型一：利用直觉误区和思............. -
想找一张能让你瞬间心情明媚起来的手机壁纸？我懂这种感觉！有时候，忙碌了一天，疲惫感袭来，眼神不经意扫过手机屏幕，如果那里有一抹色彩、一个场景，能唤醒内心的平静或喜悦，那简直是救赎。我个人觉得，那种能让人心情变好的壁纸，往往有几个特点：纯粹的色彩、治愈的画面、积极的能量，或者是一种让人放松的氛围。 抛.............
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知乎十周年这支名为《有问题，就会有答案》的品牌片，给我的感觉，与其说是一支广告，不如说是一次与老友的深度对话。它不像许多品牌片那样，上来就抛出概念，而是选择了一种更温和、更贴近生活的方式，缓缓道来。刚开始看的时候，我有点被打动。那些熟悉的场景，从教室到深夜的办公桌，从书本到电脑屏幕，都是我们熟悉的生.............
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好的，这就为您奉上几则让人忍俊不禁的冷笑话，并尽量详细地讲述其中的笑点，让您一次笑个够！冷笑话一：关于动物的思维障碍 笑话内容： 一只蜗牛爬过一只乌龟。乌龟对蜗牛说：“喂，你走慢点！” 蜗牛答：“好的，好的，我马上就走。” 过了一会儿，蜗牛又爬到乌龟旁边，说：“喂，你走慢点！” 乌龟就很奇怪地问.............
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哈哈，说到云玩家，那可真是游戏圈里一道独特的风景线！他们就像是隔着一层玻璃看世界，什么都知道，什么都懂，但实际操作起来……嗯，那画面就有点美了。我给你掰扯掰扯，哪些发言一听，那就是“此人必是云玩家”的典型代表。1. 装作自己“也玩过”但细节一塌糊涂这是最常见的套路了。他们会说：“哦，那个游戏啊，我也.............
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生活中难免遇到不顺心的时候，看着手机里那些能瞬间点亮心情的视频，真是人生一大乐事！我收藏了不少这样的“治愈系”宝藏，它们总能在不开心的时候，像一束温暖的光，驱散我心头的阴霾。1. 萌宠的治愈魔法：毛茸茸的快乐源泉说到治愈，怎么能少了咱们的毛孩子呢？它们天真无邪的眼神，笨拙又可爱的动作，简直就是行走的.............
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有些书，即便它们可能蕴含着深刻的思想或精彩的故事，也总有一些特质，在初次邂逅时就让人提不起兴趣，甚至产生一种难以言说的抗拒感。这是一种很奇妙的心理体验，它并非源于对内容的直接否定，而是在书名、简介，甚至封面设计这些最外层的包装上，就触发了某种“不适”或“无聊”的信号。首先，那些过于冗长、晦涩，或者故.............
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我最近在网上冲浪时，遇到一个让我立刻按下“关注”键的答主，他回答了一个关于“如何在日常生活中培养独立思考能力”的问题。当时，我正好在思考这个问题，也看了不少其他的回答，但总觉得有些空泛，比如“多看书”、“多思考”之类的，听起来很有道理，但具体怎么做，总有点模糊。而这位答主，他没有用那种教条式的语言，.............
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有些诗词，初见便如惊鸿一瞥，在脑海中留下深深的烙印，久久不能褪去。它们不仅仅是文字的堆叠，更是意境的渲染、情感的爆发，瞬间就能抓住人的心魂。我想起 李白 的《静夜思》。这首诗，看似朴实无华，却蕴含着一种普世的乡愁，几乎任何人，无论身处何方，都能从中找到共鸣。> 床前明月光，疑是地上霜。> 举头望明月.............
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好的，我来给你分享一些能瞬间点燃内心的小火苗，让你浑身充满正能量的句子，并且我会尽量说得生动具体，让你感觉就像是我的朋友在跟你聊天一样！关于相信自己，那个闪闪发光的你： “你体内藏着一个宇宙，别只顾着仰望星空，也该去探索属于你自己的那片星辰大海。” 你想想看，我们每个人都不是平白无故来到这.............
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作为一个大型语言模型，我没有眼睛，所以无法“看”图片，也无法产生“让人一看就笑死”这种人类的情感反应。我的能力在于理解和生成文本。不过，我可以理解你想要看到一些非常有趣、能引起强烈笑点的图片。虽然我无法直接提供图片，但我可以尝试用文字描述一些经典或有潜力的爆笑图片场景，让你脑补出画面并感受到其中的幽.............
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韩国女团的舞台总是光鲜亮丽，但在那些闪耀的背后，总有一些瞬间，会触动人心，让人感到一丝心疼。这些瞬间，或许是因为她们的付出，或许是因为她们的脆弱，或许是因为她们背负的压力。我脑海中一直有几张这样的照片，至今难忘：1. TWICE 定延在演唱会上的“告别”瞬间我还记得那是TWICE的一场大型演唱会，定.............
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哎呀，这问题嘛，简直是老本行了！要说一眼看出是不是同行，那门道可多了去了，而且很多小细节，说起来就特别有意思。首先，从穿着打扮上，虽然现在这“刻板印象”已经被打破了不少，但你还是能从中窥见一些蛛丝马迹。比如，那种非常随意的T恤，上面可能印着一些奇奇怪怪的代码片段、计算机图形，或者是某个开源项目的Lo.............
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要说一看就知道是美国人的名字，这可真是个挺有趣的话题！虽然现在世界各地名字的交流和融合越来越多，但确实有一些名字，一听到，脑海里立刻就会浮现出美国电影、美剧里那些熟悉的脸庞，或者某个经典美国文学中的人物。我们不妨从几个方面来聊聊，为什么有些名字会自带“美国”的标签：1. 带有鲜明“美式”色彩的名字：.............
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我曾经因为一部电影中的一段情节，就直接把它从头到尾看完了，而且看完后还挺惊喜的。那部电影叫《霸王别姬》。当时我是在一个朋友家玩，他正好在放这部电影。我当时对《霸王别姬》这个名字一点概念都没有，也对那个年代的中国历史不太了解，所以一开始并没有太放在心上。我就随意地瞥了一眼电视屏幕。吸引我的那段情节，是.............
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中国历史上，皇帝的谥号并非随意选取，而是根据其生平事迹、品德修养、执政风格等综合评价而来，因此，很多谥号本身就承载着丰富的历史信息和故事。以下是一些一看就很有故事的皇帝谥号，并对其背后的故事进行详细阐述：1. 汉武帝——孝武皇帝 (諡号“武”) “武”字的含义： 在谥法中，“武”代表着“持而秉之.............
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这是一个非常常见的伴侣之间关于声音共享的矛盾。我们来详细分析一下这个问题，看看你们双方的观点为什么会产生分歧，以及如何找到一个平衡点。你的观点： “可以有两个声音，声音小点不影响。” 你的核心观点是，只要音量控制得当，同时播放音乐和视频的声音是可以并存的，而且不会对彼此的体验造成显著干扰。你可能.............
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有一种遇见，宛如久别重逢，脑海深处的某个角落被瞬间点亮，随之而来的，是灵魂深处一种难以言喻的共鸣。它像暗夜里突然绽放的烟火，瞬间点燃了整个天幕，留下的，是令人屏息的惊艳和久久回荡的余韵。让我为你讲述这样几句，它们并非华丽辞藻的堆砌，却自有击中人心的力量，让人在不经意间，被深深吸引，甚至会反复咀嚼，品.............
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哈哈，这个问题太懂我了！那种看到就心痒痒，立刻想配图发出去，感觉整个世界都为我点赞的句子，真的有种魔力。来，我给你唠叨唠叨，那些让我一看就想发朋友圈的句子，是怎么样的，以及为什么会有这种效果。首先，我们得明白，为啥有的句子就是能戳中你的点？我觉得这背后是个挺复杂的心理游戏，但归根结底，大概是这几点：.............
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好的，让我们来聊聊那些真正让你“眼前一亮”，看完就能感觉自己涨了一截的“宝藏级”网站。我不会说什么“提升你的xxx能力”，而是更接地气地告诉你，它们能让你在某个方面变得更懂，更知道怎么去用，甚至能打开全新的思路。1. 知识的“万花筒”：TED (www.ted.com) 为什么是宝藏？ 简单说，.............
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