在机器学习中，L2正则化为什么能够缓过拟合？
在机器学习领域，尤其是在构建模型时，我们都希望能找到一个既能很好地拟合训练数据，又能对未见过的新数据表现出良好泛化能力的模型。然而，在实践中，我们常常会遇到一个令人头疼的问题——过拟合 (Overfitting)。当一个模型对训练数据“过度”学习，以至于记住了训练数据中的噪声和细节，导致在新的、未见过的数据上表现很差时，我们就称之为过拟合。
这时候，L2正则化 (L2 Regularization) 就成为了我们对抗过拟合的得力助手。那么，L2正则化究竟是怎么做到的呢？让我们来好好梳理一下。
L2正则化的本质：限制模型“复杂性”
要理解L2正则化如何防止过拟合，我们首先要明白什么是“模型复杂性”。在很多机器学习模型中，尤其是线性模型（比如线性回归、逻辑回归）和神经网络，模型的复杂性很大程度上体现在其权重 (weights) 的大小上。
试想一下，一个模型如果拥有非常大的权重，那么输入数据的微小变化就可能导致输出的巨大波动。这就像一个对外界信号反应过于敏感的系统，很容易捕捉到训练数据中的细微“噪音”，从而导致模型变得“过于特立独行”，不具备良好的泛化能力。
L2正则化的核心思想，就是通过在模型的损失函数 (loss function) 中加入一个惩罚项，来限制模型权重的大小。它并不是直接说“你的权重不能超过某个值”，而是通过增加一个“代价”，让模型在追求最小化原始损失的同时，也尽量保持权重的小巧。
L2正则化的数学表达
让我们来看一下L2正则化的具体形式。假设我们有一个模型，它的原始损失函数是 $J_0( heta)$，其中 $ heta$ 代表模型的参数向量（也就是所有的权重和偏置）。
L2正则化会给这个损失函数增加一个惩罚项：
$$J( heta) = J_0( heta) + lambda sum_{i=1}^n heta_i^2$$
这里：
$J( heta)$ 是带有L2正则化的总损失函数。
$J_0( heta)$ 是模型的原始损失函数，比如均方误差 (MSE) 或交叉熵 (CrossEntropy)。
$lambda$ (lambda) 是一个正则化系数 (regularization parameter)，这是一个超参数 (hyperparameter)，需要我们手动调整。它的作用是控制正则化项对总损失函数的影响程度。
如果 $lambda$ 很小，那么正则化项的惩罚作用就比较弱，模型更倾向于拟合原始损失。
如果 $lambda$ 很大，那么正则化项的惩罚作用就非常强，模型会被迫将权重推向零，这可能会导致欠拟合 (Underfitting)，即模型连训练数据都拟合不好。
$sum_{i=1}^n heta_i^2$ 是模型所有权重（这里我们假设 $ heta_0$ 是偏置项，通常不加入正则化，或者根据具体情况决定是否包含）的平方和。有时候也称为“L2范数 (L2 norm)”的平方。
L2正则化如何“拽住”权重不让它们“飞”？
有了这个数学表达，我们就能更清晰地理解L2正则化的作用了。
1. 优化过程中的“心理博弈”: 在训练模型时，我们的目标是找到一组参数 $ heta$ 来最小化总损失函数 $J( heta)$。L2正则化通过在损失函数中加入了 $lambda sum heta_i^2$ 这一项，就引入了一种“权衡”。
如果模型想通过增大某个权重 $ heta_i$ 来大幅度降低原始损失 $J_0( heta)$（例如，去拟合训练数据中的一个特定的、可能是噪声的点），那么它就需要付出“代价”—— $ heta_i^2$ 也会随之增大，从而增加总损失 $J( heta)$。
为了最小化总损失，优化器（比如梯度下降）在更新权重时，就会同时考虑降低 $J_0( heta)$ 和降低 $sum heta_i^2$。这就形成了一种“拉扯”：一方面要减少预测误差，另一方面又要防止权重变得过大。
2. “权重衰减” (Weight Decay): 很多人也把L2正则化称为“权重衰减”。这是因为在很多优化算法（如梯度下降）的更新步骤中，L2正则化会以一种比例的方式减小权重。
让我们看看梯度下降更新权重的过程（简化版，忽略学习率）：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J( heta)$$
将 $J( heta) = J_0( heta) + lambda sum heta_i^2$ 代入：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J_0( heta) abla_{ heta} (lambda sum heta_i^2)$$
计算正则化项的梯度：
$$ abla_{ heta} (lambda sum heta_i^2) = lambda cdot (2 heta_1, 2 heta_2, ..., 2 heta_n)$$
所以，更新规则会变成：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J_0( heta) 2lambda heta_{old}$$
我们可以把这项 $2lambda heta_{old}$ 看作是在更新时，将权重 $ heta_{old}$ “乘以”一个小于1的系数 $(1 2lambda)$（如果学习率也考虑进去，效果会更明显）。也就是说，在每次更新时，权重都会被按比例缩小，直到它足够小，以至于减小它带来的损失增加，比减小它带来的正则化损失减少要更“划算”。
这个“衰减”的过程，就是L2正则化“拽住”权重，不让它们随意“膨胀”的关键机制。
3. 使模型“平滑”: 拥有大权重的模型，其决策边界往往会非常“陡峭”和“曲折”，对输入的细微变化非常敏感。而L2正则化通过限制权重的大小，促使模型学习到更平滑的决策边界。
想象一下，如果一个模型拥有许多小的权重，那么即使输入变化很大，输出的变化也会相对平缓。这种“平滑性”使得模型不会因为训练数据中的偶然波动而产生剧烈的行为，从而提高了它在新数据上的预测稳定性。
可以这样理解：L2正则化鼓励模型将“预测能力”分散到更多的特征上，而不是过度依赖少数几个特征（通常是由大权重所代表的）。如果某个特征确实很重要，它的权重可能仍然会相对较大，但不会像没有正则化时那样“支配”整个模型。
为什么是平方和？
你可能会好奇，为什么L2正则化用的是权重的平方和，而不是其他形式，比如绝对值和（那是L1正则化）？
数学上的便利性: 权重的平方和在数学上是可微的，这意味着我们可以方便地计算其梯度，并将其应用于各种基于梯度的优化算法。如果使用绝对值和（L1），它在权重为零的时候不可微，需要特殊处理。
对大权重惩罚更大: 平方运算会放大较大的值。这意味着L2正则化对大的权重惩罚得更为厉害。它“不喜欢”有少数几个非常大的权重，而更倾向于多个适中甚至小的权重。这有助于将模型的能力“分散”开。
结果的平滑性: 如前所述，平方项使得模型倾向于学习更平滑的函数，这与防止过拟合的目标是一致的。
L2正则化和过拟合的关系总结
概括来说，L2正则化之所以能缓解过拟合，是因为它：
引入了权衡: 在优化过程中，模型需要在“拟合训练数据”和“保持权重较小”之间找到一个平衡点。
实施“权重衰减”: 在模型训练的每一步，权重都会被按比例缩小，防止它们变得过大。
鼓励模型“平滑”: 限制大权重使得模型的决策边界更平滑，对输入噪声的鲁棒性更强。
分散模型“注意力”: 促使模型利用更多的特征，而不是过度依赖少数几个特征。
通过这些机制，L2正则化有效地“驯服”了那些容易变得过于“个性化”的模型，使其在面对新的、未知的挑战时，能够展现出更稳定、更可靠的表现。
当然，选择合适的 $lambda$ 值至关重要。过大或过小的 $lambda$ 都可能导致模型性能下降，所以通常需要通过交叉验证等方法来寻找最佳的正则化强度。
这时候，L2正则化 (L2 Regularization) 就成为了我们对抗过拟合的得力助手。那么，L2正则化究竟是怎么做到的呢？让我们来好好梳理一下。
L2正则化的本质：限制模型“复杂性”
要理解L2正则化如何防止过拟合，我们首先要明白什么是“模型复杂性”。在很多机器学习模型中，尤其是线性模型（比如线性回归、逻辑回归）和神经网络，模型的复杂性很大程度上体现在其权重 (weights) 的大小上。
试想一下，一个模型如果拥有非常大的权重，那么输入数据的微小变化就可能导致输出的巨大波动。这就像一个对外界信号反应过于敏感的系统，很容易捕捉到训练数据中的细微“噪音”，从而导致模型变得“过于特立独行”，不具备良好的泛化能力。
L2正则化的核心思想，就是通过在模型的损失函数 (loss function) 中加入一个惩罚项，来限制模型权重的大小。它并不是直接说“你的权重不能超过某个值”，而是通过增加一个“代价”，让模型在追求最小化原始损失的同时，也尽量保持权重的小巧。
L2正则化的数学表达
让我们来看一下L2正则化的具体形式。假设我们有一个模型，它的原始损失函数是 $J_0( heta)$，其中 $ heta$ 代表模型的参数向量（也就是所有的权重和偏置）。
L2正则化会给这个损失函数增加一个惩罚项：
$$J( heta) = J_0( heta) + lambda sum_{i=1}^n heta_i^2$$
这里：
$J( heta)$ 是带有L2正则化的总损失函数。
$J_0( heta)$ 是模型的原始损失函数，比如均方误差 (MSE) 或交叉熵 (CrossEntropy)。
$lambda$ (lambda) 是一个正则化系数 (regularization parameter)，这是一个超参数 (hyperparameter)，需要我们手动调整。它的作用是控制正则化项对总损失函数的影响程度。
如果 $lambda$ 很小，那么正则化项的惩罚作用就比较弱，模型更倾向于拟合原始损失。
如果 $lambda$ 很大，那么正则化项的惩罚作用就非常强，模型会被迫将权重推向零，这可能会导致欠拟合 (Underfitting)，即模型连训练数据都拟合不好。
$sum_{i=1}^n heta_i^2$ 是模型所有权重（这里我们假设 $ heta_0$ 是偏置项，通常不加入正则化，或者根据具体情况决定是否包含）的平方和。有时候也称为“L2范数 (L2 norm)”的平方。
L2正则化如何“拽住”权重不让它们“飞”？
有了这个数学表达，我们就能更清晰地理解L2正则化的作用了。
1. 优化过程中的“心理博弈”: 在训练模型时，我们的目标是找到一组参数 $ heta$ 来最小化总损失函数 $J( heta)$。L2正则化通过在损失函数中加入了 $lambda sum heta_i^2$ 这一项，就引入了一种“权衡”。
如果模型想通过增大某个权重 $ heta_i$ 来大幅度降低原始损失 $J_0( heta)$（例如，去拟合训练数据中的一个特定的、可能是噪声的点），那么它就需要付出“代价”—— $ heta_i^2$ 也会随之增大，从而增加总损失 $J( heta)$。
为了最小化总损失，优化器（比如梯度下降）在更新权重时，就会同时考虑降低 $J_0( heta)$ 和降低 $sum heta_i^2$。这就形成了一种“拉扯”：一方面要减少预测误差，另一方面又要防止权重变得过大。
2. “权重衰减” (Weight Decay): 很多人也把L2正则化称为“权重衰减”。这是因为在很多优化算法（如梯度下降）的更新步骤中，L2正则化会以一种比例的方式减小权重。
让我们看看梯度下降更新权重的过程（简化版，忽略学习率）：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J( heta)$$
将 $J( heta) = J_0( heta) + lambda sum heta_i^2$ 代入：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J_0( heta) abla_{ heta} (lambda sum heta_i^2)$$
计算正则化项的梯度：
$$ abla_{ heta} (lambda sum heta_i^2) = lambda cdot (2 heta_1, 2 heta_2, ..., 2 heta_n)$$
所以，更新规则会变成：
$$ heta_{new} = heta_{old} abla_{ heta} J_0( heta) 2lambda heta_{old}$$
我们可以把这项 $2lambda heta_{old}$ 看作是在更新时，将权重 $ heta_{old}$ “乘以”一个小于1的系数 $(1 2lambda)$（如果学习率也考虑进去，效果会更明显）。也就是说，在每次更新时，权重都会被按比例缩小，直到它足够小，以至于减小它带来的损失增加，比减小它带来的正则化损失减少要更“划算”。
这个“衰减”的过程，就是L2正则化“拽住”权重，不让它们随意“膨胀”的关键机制。
3. 使模型“平滑”: 拥有大权重的模型，其决策边界往往会非常“陡峭”和“曲折”，对输入的细微变化非常敏感。而L2正则化通过限制权重的大小，促使模型学习到更平滑的决策边界。
想象一下，如果一个模型拥有许多小的权重，那么即使输入变化很大，输出的变化也会相对平缓。这种“平滑性”使得模型不会因为训练数据中的偶然波动而产生剧烈的行为，从而提高了它在新数据上的预测稳定性。
可以这样理解：L2正则化鼓励模型将“预测能力”分散到更多的特征上，而不是过度依赖少数几个特征（通常是由大权重所代表的）。如果某个特征确实很重要，它的权重可能仍然会相对较大，但不会像没有正则化时那样“支配”整个模型。
为什么是平方和？
你可能会好奇，为什么L2正则化用的是权重的平方和，而不是其他形式，比如绝对值和（那是L1正则化）？
数学上的便利性: 权重的平方和在数学上是可微的，这意味着我们可以方便地计算其梯度，并将其应用于各种基于梯度的优化算法。如果使用绝对值和（L1），它在权重为零的时候不可微，需要特殊处理。
对大权重惩罚更大: 平方运算会放大较大的值。这意味着L2正则化对大的权重惩罚得更为厉害。它“不喜欢”有少数几个非常大的权重，而更倾向于多个适中甚至小的权重。这有助于将模型的能力“分散”开。
结果的平滑性: 如前所述，平方项使得模型倾向于学习更平滑的函数，这与防止过拟合的目标是一致的。
L2正则化和过拟合的关系总结
概括来说，L2正则化之所以能缓解过拟合，是因为它：
引入了权衡: 在优化过程中，模型需要在“拟合训练数据”和“保持权重较小”之间找到一个平衡点。
实施“权重衰减”: 在模型训练的每一步，权重都会被按比例缩小，防止它们变得过大。
鼓励模型“平滑”: 限制大权重使得模型的决策边界更平滑，对输入噪声的鲁棒性更强。
分散模型“注意力”: 促使模型利用更多的特征，而不是过度依赖少数几个特征。
通过这些机制，L2正则化有效地“驯服”了那些容易变得过于“个性化”的模型，使其在面对新的、未知的挑战时，能够展现出更稳定、更可靠的表现。
当然，选择合适的 $lambda$ 值至关重要。过大或过小的 $lambda$ 都可能导致模型性能下降，所以通常需要通过交叉验证等方法来寻找最佳的正则化强度。
网友意见
这是个挺有意思的问题，这里给几个常见的不同角度的解释。
1. 直观解释
看一下下面两张图像，分别是
和 的图像，
有什么发现？它们拟合了相同的零点，而我们仅仅对所有的参数进行了缩放，图像变得更光滑了！
所以说，我们在目标函数加入一个正则项，其实做了一个Penalty，能够防止参数在数值上过大，使得函数非常尖锐，造成过拟合。
2. 从优化角度：
岭回归：
可以改写成：
下面这个形式是凸优化问题，可以找到拉格朗日乘子 变成第一种形式。
所以说，我们优化岭回归的目标函数，可以找到对应的约束线性回归优化问题，我们对 假设空间直接做了约束，使它仅仅在一个以原点为圆心的球内取值，它的假设空间显然缩小了，因此模型的复杂度也降低了。
3. 从贝叶斯估计的角度：
考虑带高斯先验分布 的极大似然估计：
其中 是对应的一个常数。考虑一个线性回归问题，我们可以把 换成 ，代入去掉常数项，我们又得到了一个岭回归问题。（LASSO可以通过Laplacian分布得到，也能从侧面反应稀疏性。）
这里其实没有解释为什么能够缓解过拟合，但是因为我们人工引入了Prior，其实体现了一种Inductive Bias，也就是参数的分布应该是集中在数值较小的均值附近。也就是说，更接近均值0的参数应该可以得到更好的泛化能力。不过，跟贝叶斯学派长久以来的问题一样，为什么高斯先验好？经验告诉我们的…
4. 正则项作为稳定剂：
《Understanding ML》给了另一个视角，我们可以证明，在加入正则项后，当目标函数是凸且Lipschitz的时候，我们替换数据集的一个样本不会造成泛化性能变化过大，泛化性能优良就是防止过拟合的目标。当目标函数平滑非负的时候也有类似的结论。有这样严谨的理论结果，我们就更能确定正则可以防止过拟合。
当然，跟另一个哥们儿的答案对应起来了，我也套用一下：模型对于微小扰动的反馈差异大实际就是一个过拟合的表现。
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