怎样证明根号 3 是无理数？
证明 $sqrt{3}$ 是无理数，我们可以采用反证法。反证法的基本思路是：先假设我们要证明的结论是错误的，然后一步步推导，如果最终得出了一个逻辑上的矛盾，那么我们最初的假设就是错的，原结论自然就是正确的。
那么，我们开始反证。
第一步：提出假设
假设 $sqrt{3}$ 是有理数。
第二步：根据有理数的定义进行推导
根据有理数的定义，任何有理数都可以表示成两个整数的比值，即分数的形式。所以，如果 $sqrt{3}$ 是有理数，那么存在两个整数 $p$ 和 $q$（其中 $q eq 0$），使得：
$sqrt{3} = frac{p}{q}$
同时，我们可以进一步要求这个分数是最简分数，也就是说，$p$ 和 $q$ 没有除 1 以外的公约数。这一点很重要，因为任何一个分数都可以化简到最简形式。
第三步：对等式进行处理，寻找矛盾
现在我们将等式两边平方：
$(sqrt{3})^2 = (frac{p}{q})^2$
$3 = frac{p^2}{q^2}$
将 $q^2$ 乘到等式左边：
$3q^2 = p^2$
第四步：分析等式，得出关键推论
仔细观察这个等式：$3q^2 = p^2$。
这个等式告诉我们，$p^2$ 是 3 的倍数。也就是说，$p^2$ 可以被 3 整除。
如果一个整数的平方可以被 3 整除，那么这个整数本身也一定可以被 3 整除。这是一个重要的性质。我们可以简单地思考一下：
如果一个数不能被 3 整除，它要么是 $3k+1$ 的形式，要么是 $3k+2$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。
$(3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$。这个结果除以 3 余 1，不能被 3 整除。
$(3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$。这个结果除以 3 余 1，也不能被 3 整除。
只有当这个数是 $3k$ 的形式时，它的平方 $(3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ 才能被 3 整除。
因此，从 $p^2$ 是 3 的倍数，我们可以得出结论：$p$ 也是 3 的倍数。
第五步：利用推论继续推导
既然 $p$ 是 3 的倍数，那么我们可以将 $p$ 写成 $3m$ 的形式，其中 $m$ 是某个整数。
$p = 3m$
现在，我们将这个表达式代回我们之前得到的等式 $3q^2 = p^2$ 中：
$3q^2 = (3m)^2$
$3q^2 = 9m^2$
现在，我们将等式两边同时除以 3：
$q^2 = 3m^2$
第六步：发现矛盾
我们再次观察这个新的等式：$q^2 = 3m^2$。
这个等式告诉我们，$q^2$ 是 3 的倍数。按照我们在第四步得出的同样逻辑：如果一个整数的平方可以被 3 整除，那么这个整数本身也一定可以被 3 整除。
所以，从 $q^2$ 是 3 的倍数，我们可以得出结论：$q$ 也是 3 的倍数。
第七步：得出最终结论
我们回过头看看我们最初的假设和推导过程。
我们最初假设 $sqrt{3} = frac{p}{q}$，并且 $p$ 和 $q$ 是最简分数，也就是说，它们没有除 1 以外的公约数。
然而，我们的推导过程得出：
$p$ 是 3 的倍数。
$q$ 也是 3 的倍数。
这意味着 $p$ 和 $q$ 都有一个公约数 3。这与我们最初设定的“最简分数”的条件产生了矛盾。
因为我们从一个错误的假设（$sqrt{3}$ 是有理数）出发，推导出了一个逻辑上的矛盾，那么这个假设本身就一定是错误的。
因此，我们可以得出最终的结论：$sqrt{3}$ 不是有理数，即 $sqrt{3}$ 是无理数。
那么，我们开始反证。
第一步：提出假设
假设 $sqrt{3}$ 是有理数。
第二步：根据有理数的定义进行推导
根据有理数的定义，任何有理数都可以表示成两个整数的比值，即分数的形式。所以，如果 $sqrt{3}$ 是有理数，那么存在两个整数 $p$ 和 $q$（其中 $q eq 0$），使得：
$sqrt{3} = frac{p}{q}$
同时，我们可以进一步要求这个分数是最简分数，也就是说，$p$ 和 $q$ 没有除 1 以外的公约数。这一点很重要，因为任何一个分数都可以化简到最简形式。
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现在我们将等式两边平方：
$(sqrt{3})^2 = (frac{p}{q})^2$
$3 = frac{p^2}{q^2}$
将 $q^2$ 乘到等式左边：
$3q^2 = p^2$
第四步：分析等式，得出关键推论
仔细观察这个等式：$3q^2 = p^2$。
这个等式告诉我们，$p^2$ 是 3 的倍数。也就是说，$p^2$ 可以被 3 整除。
如果一个整数的平方可以被 3 整除，那么这个整数本身也一定可以被 3 整除。这是一个重要的性质。我们可以简单地思考一下：
如果一个数不能被 3 整除，它要么是 $3k+1$ 的形式，要么是 $3k+2$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。
$(3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$。这个结果除以 3 余 1，不能被 3 整除。
$(3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$。这个结果除以 3 余 1，也不能被 3 整除。
只有当这个数是 $3k$ 的形式时，它的平方 $(3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ 才能被 3 整除。
因此，从 $p^2$ 是 3 的倍数，我们可以得出结论：$p$ 也是 3 的倍数。
第五步：利用推论继续推导
既然 $p$ 是 3 的倍数，那么我们可以将 $p$ 写成 $3m$ 的形式，其中 $m$ 是某个整数。
$p = 3m$
现在，我们将这个表达式代回我们之前得到的等式 $3q^2 = p^2$ 中：
$3q^2 = (3m)^2$
$3q^2 = 9m^2$
现在，我们将等式两边同时除以 3：
$q^2 = 3m^2$
第六步：发现矛盾
我们再次观察这个新的等式：$q^2 = 3m^2$。
这个等式告诉我们，$q^2$ 是 3 的倍数。按照我们在第四步得出的同样逻辑：如果一个整数的平方可以被 3 整除，那么这个整数本身也一定可以被 3 整除。
所以，从 $q^2$ 是 3 的倍数，我们可以得出结论：$q$ 也是 3 的倍数。
第七步：得出最终结论
我们回过头看看我们最初的假设和推导过程。
我们最初假设 $sqrt{3} = frac{p}{q}$，并且 $p$ 和 $q$ 是最简分数，也就是说，它们没有除 1 以外的公约数。
然而，我们的推导过程得出：
$p$ 是 3 的倍数。
$q$ 也是 3 的倍数。
这意味着 $p$ 和 $q$ 都有一个公约数 3。这与我们最初设定的“最简分数”的条件产生了矛盾。
因为我们从一个错误的假设（$sqrt{3}$ 是有理数）出发，推导出了一个逻辑上的矛盾，那么这个假设本身就一定是错误的。
因此，我们可以得出最终的结论：$sqrt{3}$ 不是有理数，即 $sqrt{3}$ 是无理数。
网友意见
渔：设 sqrt(3) = p / q（最简），试证明 p 和 q 都是 3 的倍数，矛盾。
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