怎样用一个普通人能看懂的方法证明 π 是无理数？
好了，今天咱们就来聊聊那个小数点后面永远写不完的数字——π。你想知道它为什么是个“怪咖”，永远不能用分数来准确表示它吗？我给你掰开了揉碎了讲，保证你听懂，而且听着就跟身边朋友聊天一样。
什么是“无理数”？
在咱们开始证明π之前，先得明白啥叫“无理数”。你想啊，咱们平时用的数，比如1、2、3，或者1/2、3/4，这些都能写成两个整数的比，就像分数一样。比如3/4，上面是个3，下面是个4，都是整数，对吧？这种能写成两个整数比的数，咱们叫它有理数。
而“无理数”，顾名思义，就是不能写成两个整数比的数。它的特点是，小数点后边的数字是无穷无尽地，而且没有规律地一直延伸下去，永远不会重复，也不会出现一个循环的数字序列。
π，这位“不守规矩”的家伙
π，这个圆周率，它的值大概是3.1415926535……后面还有无穷无尽的数字，而且据数学家们研究，这些数字的排列确实是杂乱无章，没有丝毫规律可循。所以，它很有可能就是个无理数。
那有没有办法证明它真的是无理数呢？要说彻底的、最严谨的数学证明，那得用到高等数学里的积分、函数那些东西，对普通人来说确实有点难度。不过，今天我给你讲一个思路，这个思路是通过反证法，就像侦探破案一样，我们先假设π是有理数，然后看看能不能找出矛盾来。
反证法：假设π是“乖乖女”
咱们先来个大胆的假设：假设π是一个有理数。
如果π是一个有理数，那它一定能写成一个分数的形式，比如：
π = a / b
这里，a和b都是整数，而且b不等于0。为了简单起见，咱们可以把a和b想象成最简分数，也就是说，a和b没有公约数（除了1）。
现在，请你想象一个“神奇的函数”
这是一个关键的地方，也是理解这个证明思路的关键。咱们需要构造一个特殊的函数，这个函数跟π有点关系，但它又很“干净”，在很多地方都等于零。
我们先定义一个函数，叫做 f(x)。这个函数有点长，别怕，我们一步一步来看：
f(x) = (x^n (a bx)^n) / n!
这里面：
x 是咱们的变量。
a 和 b 是刚才假设的，π = a / b 里的那两个整数。
n 是一个非常非常大的正整数。你想想，咱们要证明π是无理数，那么一个很小的、普通的n可能看不出什么，所以咱们得用一个“放大镜”，用一个足够大的n。
n! (读作n的阶乘) 是指 1 × 2 × 3 × ... × n。这是一个增长非常快的数。
()^n 是指括号里的东西自己乘自己n次。
这个函数长得有点吓人，但咱们主要看它的一些“特性”。
特性一：f(x)的“干净”之处
我们先看看 f(x) 这个函数，它有没有什么特别的地方？
1. 当 x = 0 的时候： f(0) = (0^n (a b0)^n) / n! = (0 a^n) / n! = 0。
2. 当 x = π 的时候： 因为咱们假设了 π = a / b，所以 bπ = a。那么：
f(π) = (π^n (a bπ)^n) / n! = (π^n (a a)^n) / n! = (π^n 0^n) / n! = 0。
所以，f(0) = 0， f(π) = 0。
特性二：f(x)的“样子”
虽然 f(x) 里面有 n! 这么大的数，但我们可以把 (x^n (a bx)^n) 这一部分展开。展开之后，它会变成一个关于 x 的多项式，比如：
c_k x^k + c_{k1} x^{k1} + ... + c_1 x + c_0
其中，c_i 是一些系数。我们仔细看看这些系数，会发现它们都是 整数！
为什么是整数呢？因为 (a bx)^n 展开后，每一项都是 (a 乘以 bx) 的某种组合，里面的系数都是整数。然后我们再乘以 x^n，以及除以 n!。
现在，我们来做一些“微调”——求导
这是另一个关键的步骤。咱们要对 f(x) 进行 求导，而且要导很多次。
求导一次，就是找函数的变化率。求导两次，就是找变化率的变化率，以此类推。
比如，如果 g(x) = x^3，那么 g'(x) = 3x^2，g''(x) = 6x，g'''(x) = 6，g''''(x) = 0。
咱们的 f(x) 是一个多项式，如果多项式的最高次数是 m，那么它导到 m+1 次就变成 0 了。
我们那个 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n! 展开后，最高次是 x^n 乘上 (bx)^n，所以最高次是 x^(2n)。
导数的“整数”特性
一个很重要的数学事实是：一个整数系数多项式，经过有限次求导后，再代入整数值，得到的结果仍然是整数。
我们来简单想想：
如果一个多项式是 2x^3 + 5x 1，它的系数都是整数。
导一次是 6x^2 + 5，系数还是整数。
再导一次是 12x，系数还是整数。
再导一次是 12，还是整数。
所以，无论咱们对 f(x) 求导多少次，只要代入整数值（比如 0），得到的结果都会是整数。
导数的“零”特性
咱们的 f(x) 函数有一个特殊的结构：x^n 和 (a bx)^n。
x^n 里面有一个 x，所以它导一次，或者导几次，只要导的次数不是特别高（低于 n），结果里面总是会带着 x，代入 x=0 结果就是 0。
(a bx)^n 里面，咱们可以对它进行导数。当 x=0 的时候，它里面是 a^n。但是，当咱们对 (a bx)^n 连着求导 n 次的时候，会发生一件有趣的事情。
让我换个角度描述，这样更清楚：
咱们把 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n! 里的 x^n (a bx)^n 展开，它就是一个关于 x 的多项式 P(x)。
P(x) = c_{2n}x^{2n} + c_{2n1}x^{2n1} + ... + c_1x + c_0
而 f(x) = P(x) / n!
现在，关键来了：n! 的存在。
咱们知道，(a bx)^n 展开后，每一项都是由 a 和 bx 组合而成的，系数是二项式系数。
考虑 f(x) 的第 k 次导数，记为 f^(k)(x)。
根据这个函数的结构，我们可以发现，f^(k)(0) 和 f^(k)(π) 必定是整数。
（这一步是证明的难点，如果想深入理解，需要一些微积分的知识，但核心思想是，因为函数结构里有 x^n 和 (abx)^n，并且咱们除以了 n!，使得在 x=0 和 x=π 处，导数的值会变成一些整数的组合。简单来说，就是n!这个分母“抵消”了可能出现的非整数部分，使得最终导数在 x=0 或 x=π 处的值都是整数。）
构建一个“积分”
现在，我们用一个“积分”来把这些导数的值联系起来。积分，可以想象成把很多很多小的变化加起来。
咱们定义一个数，叫做 S：
S = f(x) + f''(x) f''''(x) + f'''''(x) ...
这个 S 并不是直接求和，而是一个有技巧的组合。
咱们再利用微积分的一个重要工具——微积分基本定理。这个定理告诉我们，一个函数的导数做积分，就能回到原函数。
现在，咱们来看看这个 S，它有什么神奇的性质：
1. S(0) 和 S(π) 的关系：
通过一系列求导和积分的计算（这里省略了大量的推导细节），我们可以证明：
S(π) S(0) = 2 (f'(0) f'''(0) + f'''''(0) ...)
因为我们知道 f(x) 的任何次数导数在 x=0 和 x=π 处的值都是整数，所以 S(0) 和 S(π) 也必须是整数。
但是，S(π) S(0) 的结果，却等于一个和 π 有关的量。
更具体的说，通过对 f(x) 的多次求导和代入，可以推导出：
∫[0, π] f(x) sin(x) dx = [ f(x)cos(x) + f''(x)cos(x) f''''(x)cos(x) + ... ] |_[0, π]
这个等式表明，积分的值等于 S(π) S(0) 的一个形式。
而 S(π) 和 S(0) 都是由 f(x) 的导数在 π 和 0 处的值组成的，这些值都是整数，所以 S(π) 和 S(0) 都是整数。
那么，S(π) S(0) 肯定也是一个整数。
2. 积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的大小：
我们知道 x 在 [0, π] 的范围内，sin(x) 的值在 0 到 1 之间。
而 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n!
当 x 在 [0, π] 这个区间内时，x 是正的，a bx 呢？因为 π = a/b，所以 bπ = a。在 x 从 0 变化到 π 的过程中，a bx 从 a 变化到 0。所以 a bx 也是非负的。
因此，f(x) 在 [0, π] 这个区间内，是非负的。
f(x) 的最大值在哪里呢？可以通过求导找到。大概在 x = π/2 的时候。
f(π/2) = ( (π/2)^n (a bπ/2)^n ) / n! = ( (π/2)^n (a a/2)^n ) / n! = ( (π/2)^n (a/2)^n ) / n! = ( (aπ/2)^n ) / n!
当 n 变得非常非常大时，n! 的增长速度比 (aπ/2)^n 快得多。所以，f(x) 的值虽然可能很大，但除以 n! 后，会变得非常非常小。
换句话说，当 n 足够大时，f(x) 在 [0, π] 区间内的值会非常接近于 0。
那么，积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值，它肯定是一个正数（因为 f(x) 和 sin(x) 在 [0, π] 大部分区间都是正的）。
但是，由于 f(x) 除以了 n!，当 n 趋向于无穷大的时候，f(x) 的值会趋向于 0。
所以， ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 这个积分的值，也会趋向于 0。
矛盾出现了！
好了，咱们把刚才的结论放在一起看：
我们假设 π = a/b，其中 a, b 是整数。
我们构造了一个函数 f(x)，并且计算了 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx。
我们发现 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值，等于 S(π) S(0)。
S(π) 和 S(0) 都是由 f(x) 的导数在 π 和 0 处的值组成的，而这些导数值都必须是整数。
所以，S(π) S(0) 必须是一个整数。
但是，我们又发现，当 n 变得足够大时，∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值会趋向于 0。
现在，这里就产生了一个巨大的矛盾！
一个整数，当 n 变得足够大时，它又趋向于 0。
唯一的可能是什么？
那就是这个整数只能是 0。
但是，咱们刚才说，f(x) 和 sin(x) 在 [0, π] 区间内大部分是正的，所以积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 应该是正的，它不可能等于 0。
（实际上，f(x) 只有在 x=0 和 x=π 时才等于0，在其他地方都是正的。sin(x) 在 (0, π) 区间内也都是正的。所以它们的乘积在 (0, π) 区间内始终是正的，积分肯定大于0。）
结论：我们的假设是错的！
既然我们基于“π 是有理数”这个假设，推导出了一个不可能的结论（一个必须大于0的数，最后又趋向于0，而且还被强制等于一个整数），那就说明我们的最初的假设是错误的！
所以，π 不是一个有理数。它是一个无理数。
总结一下思路：
1. 假设π是有理数，即 π = a/b。
2. 构造一个特殊的函数 f(x)，这个函数在 x=0 和 x=π 处及其导数的值，可以通过巧妙的计算，被证明都是整数。
3. 利用微积分，我们计算了 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx。
4. 我们发现这个积分的值，一方面必须是一个整数（因为它等于一堆导数的整数差），另一方面，当 n 足够大时，这个积分的值又会趋向于 0，但又不等于 0（因为它在 (0, π) 区间内是正数）。
5. 一个大于0且趋向于0的整数是不存在的，这导致了矛盾。
6. 因此，最初的假设“π是有理数”是错误的，所以π是无理数。
这个证明方法，虽然里面涉及一些高深的数学概念，但核心的逻辑就是通过“反证法”，一步步逼近，最终找到那个不可能的点。怎么样，是不是挺有意思的？数学就是这么一步步探索出来的。
什么是“无理数”？
在咱们开始证明π之前，先得明白啥叫“无理数”。你想啊，咱们平时用的数，比如1、2、3，或者1/2、3/4，这些都能写成两个整数的比，就像分数一样。比如3/4，上面是个3，下面是个4，都是整数，对吧？这种能写成两个整数比的数，咱们叫它有理数。
而“无理数”，顾名思义，就是不能写成两个整数比的数。它的特点是，小数点后边的数字是无穷无尽地，而且没有规律地一直延伸下去，永远不会重复，也不会出现一个循环的数字序列。
π，这位“不守规矩”的家伙
π，这个圆周率，它的值大概是3.1415926535……后面还有无穷无尽的数字，而且据数学家们研究，这些数字的排列确实是杂乱无章，没有丝毫规律可循。所以，它很有可能就是个无理数。
那有没有办法证明它真的是无理数呢？要说彻底的、最严谨的数学证明，那得用到高等数学里的积分、函数那些东西，对普通人来说确实有点难度。不过，今天我给你讲一个思路，这个思路是通过反证法，就像侦探破案一样，我们先假设π是有理数，然后看看能不能找出矛盾来。
反证法：假设π是“乖乖女”
咱们先来个大胆的假设：假设π是一个有理数。
如果π是一个有理数，那它一定能写成一个分数的形式，比如：
π = a / b
这里，a和b都是整数，而且b不等于0。为了简单起见，咱们可以把a和b想象成最简分数，也就是说，a和b没有公约数（除了1）。
现在，请你想象一个“神奇的函数”
这是一个关键的地方，也是理解这个证明思路的关键。咱们需要构造一个特殊的函数，这个函数跟π有点关系，但它又很“干净”，在很多地方都等于零。
我们先定义一个函数，叫做 f(x)。这个函数有点长，别怕，我们一步一步来看：
f(x) = (x^n (a bx)^n) / n!
这里面：
x 是咱们的变量。
a 和 b 是刚才假设的，π = a / b 里的那两个整数。
n 是一个非常非常大的正整数。你想想，咱们要证明π是无理数，那么一个很小的、普通的n可能看不出什么，所以咱们得用一个“放大镜”，用一个足够大的n。
n! (读作n的阶乘) 是指 1 × 2 × 3 × ... × n。这是一个增长非常快的数。
()^n 是指括号里的东西自己乘自己n次。
这个函数长得有点吓人，但咱们主要看它的一些“特性”。
特性一：f(x)的“干净”之处
我们先看看 f(x) 这个函数，它有没有什么特别的地方？
1. 当 x = 0 的时候： f(0) = (0^n (a b0)^n) / n! = (0 a^n) / n! = 0。
2. 当 x = π 的时候： 因为咱们假设了 π = a / b，所以 bπ = a。那么：
f(π) = (π^n (a bπ)^n) / n! = (π^n (a a)^n) / n! = (π^n 0^n) / n! = 0。
所以，f(0) = 0， f(π) = 0。
特性二：f(x)的“样子”
虽然 f(x) 里面有 n! 这么大的数，但我们可以把 (x^n (a bx)^n) 这一部分展开。展开之后，它会变成一个关于 x 的多项式，比如：
c_k x^k + c_{k1} x^{k1} + ... + c_1 x + c_0
其中，c_i 是一些系数。我们仔细看看这些系数，会发现它们都是 整数！
为什么是整数呢？因为 (a bx)^n 展开后，每一项都是 (a 乘以 bx) 的某种组合，里面的系数都是整数。然后我们再乘以 x^n，以及除以 n!。
现在，我们来做一些“微调”——求导
这是另一个关键的步骤。咱们要对 f(x) 进行 求导，而且要导很多次。
求导一次，就是找函数的变化率。求导两次，就是找变化率的变化率，以此类推。
比如，如果 g(x) = x^3，那么 g'(x) = 3x^2，g''(x) = 6x，g'''(x) = 6，g''''(x) = 0。
咱们的 f(x) 是一个多项式，如果多项式的最高次数是 m，那么它导到 m+1 次就变成 0 了。
我们那个 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n! 展开后，最高次是 x^n 乘上 (bx)^n，所以最高次是 x^(2n)。
导数的“整数”特性
一个很重要的数学事实是：一个整数系数多项式，经过有限次求导后，再代入整数值，得到的结果仍然是整数。
我们来简单想想：
如果一个多项式是 2x^3 + 5x 1，它的系数都是整数。
导一次是 6x^2 + 5，系数还是整数。
再导一次是 12x，系数还是整数。
再导一次是 12，还是整数。
所以，无论咱们对 f(x) 求导多少次，只要代入整数值（比如 0），得到的结果都会是整数。
导数的“零”特性
咱们的 f(x) 函数有一个特殊的结构：x^n 和 (a bx)^n。
x^n 里面有一个 x，所以它导一次，或者导几次，只要导的次数不是特别高（低于 n），结果里面总是会带着 x，代入 x=0 结果就是 0。
(a bx)^n 里面，咱们可以对它进行导数。当 x=0 的时候，它里面是 a^n。但是，当咱们对 (a bx)^n 连着求导 n 次的时候，会发生一件有趣的事情。
让我换个角度描述，这样更清楚：
咱们把 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n! 里的 x^n (a bx)^n 展开，它就是一个关于 x 的多项式 P(x)。
P(x) = c_{2n}x^{2n} + c_{2n1}x^{2n1} + ... + c_1x + c_0
而 f(x) = P(x) / n!
现在，关键来了：n! 的存在。
咱们知道，(a bx)^n 展开后，每一项都是由 a 和 bx 组合而成的，系数是二项式系数。
考虑 f(x) 的第 k 次导数，记为 f^(k)(x)。
根据这个函数的结构，我们可以发现，f^(k)(0) 和 f^(k)(π) 必定是整数。
（这一步是证明的难点，如果想深入理解，需要一些微积分的知识，但核心思想是，因为函数结构里有 x^n 和 (abx)^n，并且咱们除以了 n!，使得在 x=0 和 x=π 处，导数的值会变成一些整数的组合。简单来说，就是n!这个分母“抵消”了可能出现的非整数部分，使得最终导数在 x=0 或 x=π 处的值都是整数。）
构建一个“积分”
现在，我们用一个“积分”来把这些导数的值联系起来。积分，可以想象成把很多很多小的变化加起来。
咱们定义一个数，叫做 S：
S = f(x) + f''(x) f''''(x) + f'''''(x) ...
这个 S 并不是直接求和，而是一个有技巧的组合。
咱们再利用微积分的一个重要工具——微积分基本定理。这个定理告诉我们，一个函数的导数做积分，就能回到原函数。
现在，咱们来看看这个 S，它有什么神奇的性质：
1. S(0) 和 S(π) 的关系：
通过一系列求导和积分的计算（这里省略了大量的推导细节），我们可以证明：
S(π) S(0) = 2 (f'(0) f'''(0) + f'''''(0) ...)
因为我们知道 f(x) 的任何次数导数在 x=0 和 x=π 处的值都是整数，所以 S(0) 和 S(π) 也必须是整数。
但是，S(π) S(0) 的结果，却等于一个和 π 有关的量。
更具体的说，通过对 f(x) 的多次求导和代入，可以推导出：
∫[0, π] f(x) sin(x) dx = [ f(x)cos(x) + f''(x)cos(x) f''''(x)cos(x) + ... ] |_[0, π]
这个等式表明，积分的值等于 S(π) S(0) 的一个形式。
而 S(π) 和 S(0) 都是由 f(x) 的导数在 π 和 0 处的值组成的，这些值都是整数，所以 S(π) 和 S(0) 都是整数。
那么，S(π) S(0) 肯定也是一个整数。
2. 积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的大小：
我们知道 x 在 [0, π] 的范围内，sin(x) 的值在 0 到 1 之间。
而 f(x) = (x^n (a bx)^n) / n!
当 x 在 [0, π] 这个区间内时，x 是正的，a bx 呢？因为 π = a/b，所以 bπ = a。在 x 从 0 变化到 π 的过程中，a bx 从 a 变化到 0。所以 a bx 也是非负的。
因此，f(x) 在 [0, π] 这个区间内，是非负的。
f(x) 的最大值在哪里呢？可以通过求导找到。大概在 x = π/2 的时候。
f(π/2) = ( (π/2)^n (a bπ/2)^n ) / n! = ( (π/2)^n (a a/2)^n ) / n! = ( (π/2)^n (a/2)^n ) / n! = ( (aπ/2)^n ) / n!
当 n 变得非常非常大时，n! 的增长速度比 (aπ/2)^n 快得多。所以，f(x) 的值虽然可能很大，但除以 n! 后，会变得非常非常小。
换句话说，当 n 足够大时，f(x) 在 [0, π] 区间内的值会非常接近于 0。
那么，积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值，它肯定是一个正数（因为 f(x) 和 sin(x) 在 [0, π] 大部分区间都是正的）。
但是，由于 f(x) 除以了 n!，当 n 趋向于无穷大的时候，f(x) 的值会趋向于 0。
所以， ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 这个积分的值，也会趋向于 0。
矛盾出现了！
好了，咱们把刚才的结论放在一起看：
我们假设 π = a/b，其中 a, b 是整数。
我们构造了一个函数 f(x)，并且计算了 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx。
我们发现 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值，等于 S(π) S(0)。
S(π) 和 S(0) 都是由 f(x) 的导数在 π 和 0 处的值组成的，而这些导数值都必须是整数。
所以，S(π) S(0) 必须是一个整数。
但是，我们又发现，当 n 变得足够大时，∫[0, π] f(x) sin(x) dx 的值会趋向于 0。
现在，这里就产生了一个巨大的矛盾！
一个整数，当 n 变得足够大时，它又趋向于 0。
唯一的可能是什么？
那就是这个整数只能是 0。
但是，咱们刚才说，f(x) 和 sin(x) 在 [0, π] 区间内大部分是正的，所以积分 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx 应该是正的，它不可能等于 0。
（实际上，f(x) 只有在 x=0 和 x=π 时才等于0，在其他地方都是正的。sin(x) 在 (0, π) 区间内也都是正的。所以它们的乘积在 (0, π) 区间内始终是正的，积分肯定大于0。）
结论：我们的假设是错的！
既然我们基于“π 是有理数”这个假设，推导出了一个不可能的结论（一个必须大于0的数，最后又趋向于0，而且还被强制等于一个整数），那就说明我们的最初的假设是错误的！
所以，π 不是一个有理数。它是一个无理数。
总结一下思路：
1. 假设π是有理数，即 π = a/b。
2. 构造一个特殊的函数 f(x)，这个函数在 x=0 和 x=π 处及其导数的值，可以通过巧妙的计算，被证明都是整数。
3. 利用微积分，我们计算了 ∫[0, π] f(x) sin(x) dx。
4. 我们发现这个积分的值，一方面必须是一个整数（因为它等于一堆导数的整数差），另一方面，当 n 足够大时，这个积分的值又会趋向于 0，但又不等于 0（因为它在 (0, π) 区间内是正数）。
5. 一个大于0且趋向于0的整数是不存在的，这导致了矛盾。
6. 因此，最初的假设“π是有理数”是错误的，所以π是无理数。
这个证明方法，虽然里面涉及一些高深的数学概念，但核心的逻辑就是通过“反证法”，一步步逼近，最终找到那个不可能的点。怎么样，是不是挺有意思的？数学就是这么一步步探索出来的。
网友意见
各位不必再说第一种方法错了，直接看精选评论，我没删除是因为第一种方法犯了一个错误，是不对的，希望大家引以为戒。
莫在评论关于第一个证明的正误了
高一学生都能看懂的证明方法：
一、无理数和反证法
无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。
例如问题所言，如何证明 是无理数？可以先设 是有理数，a和b是整数，于是令
= =
两边同取b次幂
=
这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边显然不是偶数，得到了矛盾的结果，因此 是有理数的假设不成立。
题主所说的是普通人能看懂的证明方法，虽然上述证明方法有纰漏之处，但是普通人能看懂，既然我国本科率不足4%，那么想必普通人的下线不能仅仅局限在大学及以上吧。
上述证明方法其实已经比较大众化了。
二、连分数法
连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。欧拉利用连分数这一无理性质证明了自然底数 e 是无理数，而且得到了 e 的无限连分数形式。
兰伯特受到启发，把tanx写成连分数形式（我们这里只用结论，具体的表示自行百度，一个套娃循环，看起来很有美感），他之后证明了当 x 是除0之外的有理数时，tanx是无理数，即形如 等都是无理数。
但是呢，高中数学必修四，学了弧度制，下边这个高中生也看得懂。
= 1，1显然不是无理数，所以 不能写成分数形式，所以 是无理数。（中间省略了不少证明过程，但还应该看的懂）
三、铤而走险法
在纸上直接写：
∵1+1=2
∴易知 是无理数
然后把dao架“普通人”脖子上，问听懂了吗？
上述方法有不足之处，甚至较大的漏洞，但是，普通人看得懂，高中考试用这方法不扣分，至于追根溯源，那是数学家的事，我们普通人把它作为一种兴趣去了解，已经很厉害了。
@AlphaBetaQuant 给出的方法确实比较简单，毕竟只用到了微积分.
而考虑到微积分（高等数学）是绝大部分大学生的必修课程，因此说这种方法普通人能看懂我觉得没毛病.
尽管如此，我觉得部分地方需要补充一下细节和解释说明：
假设 是有理数（其中 ）
定义函数
这显然是一个关于 的多项式函数，次数为 次到 次（ ）
显然 一定是整系数多项式
对 其中每一项求任意阶导数后，再代入 ，只能得到0或整数
实际上，只有三种情况：
1）该项求导后仍含有 ，那么很显然，代入 为0
2）该项求导后是0
3）该项求导后为非零常数
由于多项式 的最低项为 次，所以在求 阶导（ ）时，必然还含有因子 ，只有求 阶导（ ）时，才有可能会形成非零常数
那么这一项在求 阶导之前，显然具有形式 ， 为非零常数
而求 阶导之后，变成了
由于这个非零常数 是整数除以 得到的结果，而 ，所以 当然是整数
这样，对任意的 ， 均为整数
又由对称性可知，
所以对任意的 ， 也是整数
对于定积分
由分部积分
同理可得
这样反复使用分部积分，最终可得
所以定积分 是整数
在区间 上，有
所以
所以
由于
所以只要 充分大，
这与定积分 是整数矛盾
这表明 只能是无理数
顺便说一下，这个证法的最早提出者，应该是美国数学家Ivan Morton Niven（1915——1999）
类似的话题
-
好了，今天咱们就来聊聊那个小数点后面永远写不完的数字——π。你想知道它为什么是个“怪咖”，永远不能用分数来准确表示它吗？我给你掰开了揉碎了讲，保证你听懂，而且听着就跟身边朋友聊天一样。什么是“无理数”？在咱们开始证明π之前，先得明白啥叫“无理数”。你想啊，咱们平时用的数，比如1、2、3，或者1/2、............. -
这事儿说起来，咱们可都是受过教育的，知道地球绕着太阳转。但要是真让咱拿手里头最常见的玩意儿，比如一根棍儿，一块儿石头，再加点儿土，就能把这道理给掰扯明白了，倒也挺有意思。你想啊，最简单的工具，无非就是能让你观察、测量点儿啥。咱们就拿那根棍儿来说，找个平坦点儿的地儿，把它直直地插到土里。这根棍儿，它就.............
-
想去南极，还得带一只企鹅回家？这可不是件容易事，更不是一般人能轻易实现的。不过，既然你想知道“怎么做”，那我就给你掰开了揉碎了说说。首先，咱得明确一点：普通人想去南极，不是随便买张机票就能去的。这地方特殊，规矩也多。第一步：准备“进场券”——去南极的途径绝大多数普通人去南极，是通过参加旅行团或者搭乘.............
-
对普通人来说，如果想用一句话说明白“裸体绘画是艺术”，可以这样说：裸体绘画是艺术，因为它能通过描绘人体，表达创作者对生命、美、情感或社会议题的独特见解和深刻感受。让我更详细地展开说说，就像跟一位对艺术不太了解但很有好奇心的朋友聊天一样：你想啊，咱们平时画画，可能画花花草草，画山川风景，或者画咱们家的.............
-
你说的这种现象很常见，花生瓜子放久了会“不脆”，这个“不脆”的口感，在咱们的日常交流中，有几种说法，都挺贴切的。最直接的，就是说它“发潮了”。这个词最能抓住问题的根本，就是受潮了。潮气会让原本酥脆的食物变得软塌塌的，一点也不爽口了。比如你会说：“这袋花生放了多久了？怎么吃起来发潮了，一点都不脆了。”.............
-
1870年到1920年，这五十年，对于我们这些生活在欧洲的普通人来说，日子啊，那真是说起来话长，也充满了变化，有些好，有些嘛，也真是让人忧心。早年：风平浪静，但也藏着暗流如果我是在1870年左右生的，那时候，欧洲还在一个相对“太平”的时期，至少和后面比起来是这样。我的童年，大概是在乡村度过的。家里的.............
-
名人总说“如果有机会，我宁愿做一个普通人”，这句话背后，他们心中描绘的“普通人”究竟是什么样的？这可不是一句空洞的感叹，而是对一种他们或许拥有过，或许从未真正拥有过的生活的向往。在我看来，他们眼中的普通人，拥有着一套与他们如今光鲜亮丽但充满束缚的生活截然不同的特质，具体可以从以下几个方面来细说：一、.............
-
设想一下，我们选定一位平凡但智力绝对正常的普通人——不妨称他为小明——然后将他送入世界顶尖的学府，比如清华、北大、哈佛、剑桥之一，并投入巨大的资源去精心培养。小明会变成什么样？这可不是一个简单的“聪明人会被教得更聪明”就能概括的。这其中会牵扯到太多复杂的因素，足以写成一本引人入胜的书。首先，我们得明.............
-
.......
-
想成为日本天皇？这可不是个寻常的愿望，更别说普通人实现了。这就像一个普通人想成为埃及法老一样，背后牵扯着一整套根深蒂固的传统、血脉和神话。不过，既然您好奇，咱们就来好好掰扯掰扯，看看一个“普通日本人”要披荆斩棘，达成这个近乎不可能的目标，得规划出一条怎样匪夷所思的路。当然，这更多的是一种思想实验，因.............
-
李明，这个名字听起来再普通不过，如同北京大学燕园里成千上万的学生一样，他也曾怀揣着对知识的无限渴望和对未来的憧憬，走进了这座象牙塔。然而，北大这个名字，在许多人眼中是光环，在李明这里，却也像是一枚硬币的两面，一面闪耀着荣誉，另一面却藏匿着无声的压力和潜在的创伤。李明从小就被寄予厚望。他的父母，是朴实.............
-
很多人觉得国画高深莫测，摸不着边际，但其实，用一颗平常心去感受，国画的艺术价值其实就在我们身边，甚至是触手可及的。与其把它当作一件必须“研究”的东西，不如把它当成一个老朋友，静下心来，和它聊聊天。第一步：放下“标准答案”，用眼睛和心去“看”咱们平时看风景，看人，都是凭感觉，对吧？国画也一样。 别.............
-
在北京、上海、深圳这样的城市，想靠自己攒够一套房的首付，对于普通人来说，绝对是一场漫长而艰辛的“战役”。别指望一夜暴富，这更像是一场考验耐心、毅力和智慧的马拉松。一、 认清现实：高昂的门槛首先，你得明白，想在北上深买房，光靠死工资，那难度系数简直爆表。 房价： 别看网上总有那些“学区房”、“稀缺.............
-
想象一下，时间倒流，回到19世纪末的奥斯曼帝国。苏丹的权力依然如日中天，但他并非固守旧制，而是锐意改革，以一种前所未有的魄力拥抱现代化。他没有被内部高涨的民族主义浪潮分崩离析，反而以一种巧妙而强有力的方式将其吸纳、转化，甚至驾驭。列强们也因各种原因，未能找到合力分割这头“西亚病夫”的契机，甚至在某些.............
-
纠正口音，从不标准的方言到标准的一甲普通话，这个过程如同雕琢一块璞玉，需要耐心、技巧，更需要持续不断的努力。它不是一蹴而就的魔法，而是日积月累的精细打磨。第一步：认识“不标准”——解码你的发音习惯首先，我们需要坦诚地面对自己的“不标准”。这并非贬低，而是找出问题的根源。 听力辨别是关键： 很多时.............
-
如果一个波长接近普朗克长度的光子出现在人身上，那场景可不是简单的“闪一下”或者“感觉不到”。这已经远远超出了我们日常经验的范畴，甚至可以说是触及了物理学最前沿的未知领域。要详细描述，我们得从几个层面去理解，并且要明白，这其中的很多推测都基于理论而非直接观测。首先，我们得明确“普朗克长度”。这个长度大.............
-
一战前的法国普通平民，其精神面貌是一个复杂而多元的混合体，受到当时的社会、经济、政治以及文化环境的深刻影响。要详细描述他们的“精气神”，需要从多个层面去理解：1. 根深蒂固的国民认同与共和理想： “法兰西”的骄傲与自豪： 经历了漫长的历史沉淀，法国在文化、艺术、科学上都享有盛誉。这种历史遗产铸就.............
-
.......
-
川普大厦，这座坐落在纽约市曼哈顿第五大道核心地带的建筑，绝不仅仅是一栋办公或住宅楼，它更像是唐纳德·特朗普本人人生轨迹的一个具象化缩影——高调、奢华、充满争议，同时又极具辨识度。外观上的张扬与标志性：从远处望去，川普大厦就像一颗镶嵌在纽约天际线上的璀璨明珠，尤其是在阳光照射下，那标志性的深色玻璃幕墙.............
-
关于米哈游吧的一些用户（常被称为“米黑”）对一名玩原神的卡普空公司员工进行人肉搜索、网络暴力并寄送邮件到公司的行为，我们可以从多个角度来评价其性质和可能涉及的法律责任。首先，我们必须明确一点：任何形式的“人肉搜索”、“网络暴力”以及利用这些手段骚扰他人，都是极其不道德且在大多数国家和地区都是违法的。.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有