为什么麦克斯韦的电磁理论在玻尔的原子模型里不成立？
要理解为什么麦克斯韦的电磁理论在玻尔的原子模型里“不成立”，我们需要回顾一下麦克斯韦理论的核心内容以及玻尔模型想要解决的问题。
麦克斯韦电磁理论的“辉煌”与宏观视角
麦克斯韦方程组，可以被视为宏观电磁学的“圣经”。它告诉我们：
电荷是电场和磁场的源泉： 电荷产生电场，变化的磁场产生电场。
变化的电场产生磁场： 磁场的产生不再仅仅依赖于运动的电荷（电流），变化的电场也能产生磁场。
磁场是相互关联的： 磁荷的概念（虽然未被发现）可以对称地引入，但更重要的是，磁场的性质是由变化的电场决定的。
电磁波的存在： 麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，并且其传播速度正是光速，从而将光也归入了电磁波的范畴。
这个理论在描述各种宏观电磁现象上取得了巨大的成功，例如电磁感应、电磁波的产生与传播、光学现象等等。它构建了一个连续的、能量可以任意分割的场论。在宏观尺度上，电子和原子核就像是点状的电荷源，它们的运动和相互作用都可以被麦克斯韦方程组描述。
玻尔原子模型的“困境”与微观现实
然而，进入二十世纪初，一系列实验现象，特别是原子光谱的离散性，对经典的物理学理论提出了严峻挑战。经典理论认为，原子中的电子围绕原子核运动，就像行星围绕太阳运动一样。如果电子是带电粒子，按照经典电磁理论，它在绕核运动时会不断地辐射电磁波，从而损失能量。能量的持续损失意味着电子的轨道会不断收缩，最终螺旋式地坠入原子核。如果真是这样，原子就不可能稳定存在，更不可能发出稳定、单一频率的光。
但实验告诉我们，原子是稳定的，并且它们发出的光并不是连续光谱，而是由一系列离散的特定频率组成的谱线。原子吸收和发射的光的频率是固定的，就像一个独特的“指纹”。
为了解释这些矛盾，尼尔斯·玻尔提出了他的原子模型。玻尔模型的核心思想是：
1. 轨道量子化： 电子只能在一些特定的、不辐射电磁波的轨道上运动。这些轨道对应于特定的能量状态。
2. 能量跃迁： 电子只有在从一个允许的轨道跃迁到另一个轨道时，才会吸收或辐射出能量。吸收的能量等于两个轨道能级之差，辐射出的光子的能量也等于这个能级差。
麦克斯韦理论在玻尔模型中的“失效”之处
正是玻尔提出的这两个“革命性”的假设，直接冲击了麦克斯韦电磁理论的根基，使得经典电磁理论在解释原子行为时显得力不从心：
稳定性问题： 麦克斯韦理论预言，任何加速运动的电荷（包括绕核运动的电子）都会连续地辐射电磁波。这意味着电子在轨道上运动是不稳定的，一定会损失能量并坠入原子核。玻尔模型引入的“不辐射”轨道，是完全与麦克斯韦理论相悖的。麦克斯韦理论无法解释为什么电子在这些特定轨道上可以“安然无恙”。
能量的离散性： 麦克斯韦理论描述的是连续变化的能量和场。它无法解释为什么原子发出的光只包含特定频率的谱线。在经典理论看来，电子在轨道上运动，其辐射的电磁波频率应该与电子绕核运动的频率有关，并且可以连续变化。然而，玻尔模型解释了这一现象：电子在不同能级轨道之间跃迁时，吸收或辐射的光子的能量是量子化的（E = hν），这个能量差恰好对应了不同轨道能级之差。这表明，能量的交换是以离散的“包裹”（光子）进行的，而不是连续的波。
能量辐射机制的根本不同： 麦克斯韦理论认为，电荷的加速运动直接导致了电磁波的连续辐射。但在玻尔模型中，能量的辐射并非源于电子在轨道上的连续运动，而是源于电子从一个高能态“跳跃”到低能态。这个“跳跃”本身以及由此产生的辐射，其机制在经典电磁理论中是找不到对应解释的。麦克斯韦理论描述的是一种“平滑”的场变化过程，而原子光谱的离散性揭示的是一种“量子跃迁”的非经典过程。
量子化的概念： 玻尔模型的核心是“量子化”——能量、角动量等物理量不再是连续可变的，而是只能取一系列分立的值。这是对经典物理学连续性的彻底颠覆。麦克斯韦电磁理论建立在一个连续的场论基础上，它没有引入任何关于能量或动量必须是离散的“量子”概念。
总结：微观的“不和谐”
可以说，麦克斯韦的电磁理论在原子模型中的“不成立”，并非说麦克斯韦理论本身是错误的。它在宏观世界依然是普适的真理。问题在于，当我们将一个描述宏观世界运作规律的理论，强行套用在微观世界的原子内部时，就会发现其局限性。
玻尔模型之所以能取得巨大的成功，是因为它大胆地引入了量子化这一全新的概念，并且对电子的运动和能量交换机制提出了全新的解释。这些解释直接违背了经典电磁理论的一些基本原则，例如能量的连续性和加速电荷的连续辐射。
玻尔模型可以说是连接经典物理和量子力学的桥梁。它看到了经典理论的不足，并尝试用“量子”的思路去填补这些空白，虽然其本身仍然是半经典半量子的模型，但它为后来更成熟的量子力学（如薛定谔方程）的建立奠定了基础。而麦克斯韦的电磁理论，则继续在它的宏观领域里发光发热，为我们理解电、磁、光在宇宙中的运行提供了坚实的基础。两者是不同尺度下的不同规律，并不存在谁否定谁，而是存在适用的领域不同。
网友意见
写一个简单的估算吧。[1]详细的经典电子运动轨迹咱也不会算，后边仅给出简单的讨论，期待电动力学学的好的小伙伴更精密的计算。我小时候第一次感兴趣这个问题，是在读杨福家的《原子物理学》的时候。当时也没在别的地方看到过类似讨论，觉得十分有意思。不过现在看来，杨福家写的这个讨论是过于简陋了。所以后边还有进一步讨论。
正文之前还要说一下，基态氢原子中，电子的de Broglie波长为
所以本质上是不能用经典电动力学+牛顿力学讨论电子的运动的。
好消息是，氢原子基态能标下，与氢原子中的电子相互作用的电磁场仍然可按经典电磁场处理。
坏消息是，氢原子中的电子必须用量子力学处理。而对于重原子中的电子，需要用Dirac方程处理，至少也需要使用基于相对论量子力学开发的赝势。
一 杨福家的讨论
因为半径改变的计算涉及到求解Maxwell方程组，我是不熟悉的（2020年总算会了一点）。只能先假设电子确实绕着原子核做匀速圆周运动，半径先给他定住，算是初始半径，然后再估算电子从一开始到跌落进原子核的一个平均时间这样子而已。
本段内容使用平均时间、平均速度等高中生喜闻乐见的物理量，避免了求解微分方程。但是不好想到的内容是引入了氢原子中电子的角动量来辅助计算，先把速度、加速度和绕转半径都换成角动量来表示，推导出最终结果，最后再把这个量消去。
先考虑电子绕原子核匀速圆周运动，向心力和库伦吸引力平衡，各常数意义自明，电子绕核运动半径为 ：
常数太多，改成Gauss单位制，
考虑角动量（这里使用了角动量就是为了简化公式，最后还是要回到距离 ）：
改写一下上边圆周运动公式：
再简单变换得到一个 的表达式：
匀速圆周运动的加速度：
根据经典电动力学，[2]非相对论情况下，单位时间内辐射的能量，即功率为坡印廷矢量大小的球面积分（这部分内容也是超出高中知识的，好在只需要一个公式即Lamor公式，高中生当成基本假设就好了。详细讨论见附录）。
好了，对于高中生来说，只需要知道Lamor公式：
假定电子动能耗尽所需要的时间为 ，则根据能量守恒（这里忽略了势能，是高估掉落时间的一个误差来源。具体请看下边进阶内容的计算）：
又根据
引入电子经典半径（讨论见附录2）：
氢原子大小为
则对于氢原子 ，可以估算出电子做螺旋式运动落入核内所需时间：
所以按照卢瑟福模型，原子的寿命十分之短，不可能稳定存在。
二 稍微定量一点的进阶讨论
进阶内容[3]：已知Lamor公式、电子经典半径公式，仍然以匀速圆周运动讨论，即角向加速度远小于径向加速度：
而Lamor公式说的实际上是单位时间能量减少：
代入
和
可以得到：
再考虑能量的表达式（这里严格考虑了动能和势能。也能发现Virial定理）：
把(2)式中动能对时间求微分，再跟Lamor公式(1)联立：
得到电子运动半径随时间变化的常微分方程：
即
因为假设初始时是一个氢原子，初始半径就是玻尔半径。解得：
可见电子会加速下落，离原子核越近下落越快。
已知 最终会变为零，所以可以求得这个电子掉落进原子核的总时间，比刚才估算的小了三倍：
这个稍微精确一点的计算显示，氢原子寿命比估算的更短。估算值数量级是正确的。
进一步讨论可以考虑角向加速度的影响、相对论效应的影响，[4]特别是对于重原子，其核电荷数较大，电子在核周围受到的库仑力可将其加速到接近光速，此时一定要考虑相对论效应。
可能有的读者对相对论修正感兴趣，抄一下结论（注意正经的相对论讨论，质量是指静质量，相对论效应用 显式表示）：
经讨论，相对论效应带来加速度的修正：
但是功率不变，因为分子分母都包含相对论修正，微分后抵消：
代入各项，得到修正后的Lamor公式：
然后可以得到新的描述电子绕转半径的随时间变化的微分方程：
可见考虑相对论修正后，用Taylor展开取到主要部分，比非相对论极限结果多出一个修正因子 ，对应掉落时间减小。下图展示了数值计算的结果，确实如此。时间只需
三 附录：
- 坡印廷矢量的讲解[2]
称为Lamor formula。
在一个方向上坡印廷矢量的模为：
考虑电子的辐射功率，以电子为中心，距离电子 处球面的积分值（此值有特定名称Lamor公式）为：
感谢 @卢健龙 指出，详细讨论这个能量密度的话， 跟两个角度 都有关。有进一步兴趣还是需要查阅J. D. Jackson的Classical Electrodynamics。
2. 电子经典半径（高斯单位制）：[5]
根据库仑定律，假设电子具有一定体积，则其拥有自能：
假设这个自能来自爱因斯坦质能关系
上边两式相等，则可得到经典半径：
进一步的推导可以参考John Baez, Length Scales in Physics：
参考
- ^ 杨福家，原子物理学，第三版，2000，pp. 26
- ^ a b Melvin Schwartz, Classical Electrodynamics, Dover 1987, pp. 221
- ^Online Course of Classical Electrodynamics http://physics.usask.ca/~xiaoc/phys463/notes/n19extra.pdf
- ^Kirk McDonald's online course http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/orbitdecay.pdf
- ^ David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics 3rd ed. (2018), Problem 4.28
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