麦克斯韦方程组在数学和物理上揭示了什么联系？为什么它也不是完全对称的？
从数学上讲，麦克斯韦方程组是一组偏微分方程，它们以简洁而强大的形式，描述了在时空中电场和磁场如何随着电荷和电流的变化而演化，以及它们又如何反过来影响电荷和电流的分布。
首先，我们来看高斯定律（电场）。它告诉我们，一个封闭曲面上的电场通量，正比于其内部包含的净电荷。这在数学上意味着电场总是从正电荷发散，向负电荷汇聚，就好比水流从水源涌出，最终流入水槽。电场的“源”就是电荷。
紧随其后的是高斯定律（磁场）。它断言，在任何封闭曲面上的磁场通量处处为零。这意味着磁单极子——也就是只有N极或S极的独立磁荷——是不存在的。磁场线总是形成封闭的环路，就像无数条无始无终的丝线在空间中游走。在数学上，这意味着磁场的散度始终为零，它没有“源”也没有“汇”。
接着是法拉第感应定律。这条定律揭示了一个激动人心的动态联系：变化的磁场能够产生电场。具体来说，穿过一个闭合回路的磁通量随时间的变化，会在回路中感应出电动势，而这个电动势就是电场的积分。这就像一个被搅动的湖水，涟漪（电场）会沿着湖岸（闭合回路）传播开来。它告诉我们，磁场的“变化”是电场产生的“根源”。
最后，安培麦克斯韦定律，可以说是麦克斯韦方程组中最具革命性的一环。它在安培定律的基础上，加入了“位移电流”的概念。安培定律本身描述了电流会产生磁场，就像水流（电流）会带动周围的物质（磁场）旋转一样。而麦克斯韦的伟大之处在于，他意识到，变化的电场同样能够产生磁场，就像一个不断变化的“虚幻电流”（位移电流）也能产生磁场一样。这就像一个正在膨胀或收缩的肥皂泡，它的表面电荷密度变化，也会在周围产生磁场。
这些定律结合在一起，就如同揭示了电磁场的“语言”。电荷是电场的源头，而电流和变化的电场是磁场的源头。更关键的是，变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场，形成了一个自我维持、螺旋上升的循环。这就解释了电磁波的本质——变化的电磁场在空间中以光速传播，就像涟漪在水面上一样，不需要介质，本身就携带能量和信息。
然而，尽管麦克斯韦方程组在数学和物理上揭示了电磁现象之间的深刻统一，但从严格意义上说，它并非“完全对称”。这里的“对称”指的是一种内在的结构上的完美对应。
这种不对称性主要体现在磁单极子的缺失上。正如前面提到的，高斯定律（磁场）明确指出磁场的散度处处为零，这意味着磁场线永远是闭合的，没有起点也没有终点。这是因为自然界至今尚未观测到任何形式的磁单极子。对比之下，高斯定律（电场）则允许电场的散度不为零，因为存在电荷，电场线可以从正电荷发出，到负电荷汇聚。
如果自然界存在磁单极子，那么方程组的形式将会更加“对称”。具体来说，高斯定律（磁场）的形式会变成类似高斯定律（电场）那样，磁场的散度会与磁荷的密度相关。同样，法拉第感应定律描述了变化的磁场产生电场，而安培麦克斯韦定律描述了电流和变化的电场产生磁场。如果有了磁单极子，那么理论上就会存在“变化的磁单极子”产生“磁场”的类比，从而使整个方程组在描述电和磁的产生与传播机制上，达到一种更完美的数学对称性。
这种不对称性，反而成为了物理学探索的宝贵线索。它暗示着自然界在电磁学领域可能还隐藏着我们尚未发现的秘密，比如磁单极子是否真的不存在，或者它们的存在形式远超我们目前的认知。正是因为这种“不完全对称”，才激励着一代又一代的物理学家去深入探索，去寻找那隐藏在更深层面的统一规律。它就像一个未解之谜，牵引着我们不断前进。
网友意见
谢邀。
之所以我对这个问题感兴趣，主要是因为问题的后半部分可能也是很多人想过的：“为什么它也不是完全对称的？”
其实很多人也意识到了，这种“不对称”的根源是自然界不存在磁荷；假设真的存在磁荷 与磁流 的话，那么麦克斯韦方程组形式上就会变成更为对称的样子（选用自然单位制略掉一些无关紧要的常数）：
自然，这个时候粒子受的总电磁力也就变成
在这种形式下，将 、 ， 、 ， 、 对换后方程的形式是完全不改变的，这叫做电磁对偶性。
于是问题也就变成了：“为什么自然界不存在磁荷？”
先上结论：
对于单独的粒子，即便我们假设它真的既存在电荷 又存在磁荷 ，但总是在实际物理意义上完全等价为只有大小为 的电荷，而磁荷为零；换句话说，很大意义上，“粒子只有电荷而没有磁荷”可以看成是一种习惯上方便的说法而已。这种说法只是数学上不同的描述手段，并不会产生任何实际应用上的区别或误差，更不致影响到实际的物理效应。
反过来说，即便是现在的情况，也可以通过对定义稍加修改而得到无穷多种电荷磁荷共存的理论框架，只不过它们的比值对任何粒子都是一个常数。
下面为了方便讨论，我们采取形式更为紧凑的四维表述。虽然讲清楚微分形式不是几句话的事情，其实严格来讲不该这么草率，不过无伤大雅的情况下我们总可以这样理解：
定义一个矩阵 称为电磁形式；
定义一个矢量（4*1矩阵） 称为电流形式；
以及矢量（4*1矩阵） 称为磁流形式；
名字不重要，其实说这么多只是为了说明，原来有关电磁的一系列物理量的全部信息现在都包含在 、 、 这三个符号之中。在四维的语境中， 表示的就是电磁场， 表示一切由电荷电流构成的源， 表示一切由磁荷磁流构成的源。它们还都可以定义各自的对偶，用星号标明。其中 （虽然不是但）相当于直接在矩阵中做替换 、 而已；其他两个的对偶 、 虽没这么简单，但也是与电荷电流、磁荷磁流有关的。
利用一个特殊的运算“ ”（外微分），我们可以把原来不含磁荷的四个方程，变换一下写法，写成这样的形式：
这就是麦克斯韦方程组的外微分形式。而假设存在磁荷的形式则是：
这里没必要看懂，只需要从形式上粗略来看看即可。相较而言，方程组的对称与否在这里体现地更加明显。虽然对偶形式之间的关系不是一两句话的事情，但是粗略来看， 与 的区别无非是 、 的位置对换而已。很明显，互为对偶的这两者，若是在无磁荷的情况下，则会在同一运算“ ”下表现出截然不同的性质：术语一点来讲， 表明 是“闭”的，而 显然不是。而若是存在磁荷，那么两者性质就显得非常相似了：一个由电荷电流产生，另一个由磁荷磁流产生；两者又互为对偶，体现了电磁一体的本质。
那么下面我们试着对二元组 和 做一个有趣的事情：
若我们对 用熟悉的 角旋转矩阵 做变换得到新的二元组 ，即：
同时，我们也对 做 的变换得到 ：
注意到，上面两组联合变换其实已经给出了：
如果你会这些运算的话，不难验证，我们会发现，新的量仍然满足
这说明麦克斯韦方程组在上述这一类与 有关的变换下保持成立。这一类由 决定的变换，我们称之为参数为 的对偶变换。还记得上面提到的电磁对偶吗？显然，它正是这里的对偶变换在 时候的特例，或者说这里的对偶变换可看作是上面电磁对偶的一种推广。
上面毫无理由的变换看起来很莫名其妙，暂且放下。我们关心的不仅仅是这些形式上的trick；真正重要的是，上面的这种变换，会对于我们的物理观测结果产生影响吗？换句话说，若称 和 组成的物理系统为系统1， 和 为系统2，两者对于人类来说，或者对于物理定律来说，是可以分辨的吗？
答案是不能。我们可以不妨尝试计算一下人类测量得到粒子受的总电磁力、电磁场的能量动量张量，以及任何人类可以直接测量的物理量，结果是完全相等的——变换前后既不能产生不同的动力学效应，也不能使时空具有不同的度规，更不能改变物理定律的形式，换句话说任何物理手段无法区分它们；而这其实说明了两个系统根本就是一样的、完全等价的，只是不同的数学描述手段而已。这说明，上面的对偶变换并不产生可观测的效应，仅仅是数学上描述方式的trick，并非是造成实际物理变化的操作。
这个看起来很无聊的结论有什么用呢？关键就在于：对于任何给定的、假设电荷磁荷均存在的场源 来说，总存在着一个确定的参数 （不明白的话就想想它的几何意义——平面旋转）使得变换后的场源成为 ——于是系统就完全等价于只存在电荷与电流，而无磁荷与磁流了！
事实上，通过选取 的不同，原则上我们能够得到对同一个系统的无穷多种描述，在这些框架下，完全相同的一个系统被描述为具有不同的电荷与磁荷，甚至包括只有磁荷没有电荷的说法。然而它们之间并无实质的区别——这种不改变物理实质的人为选择的自由度，在物理上叫做规范性质。
这个故事告诉我们，对于单独的粒子，即便我们假设它真的既存在电荷 又存在磁荷 ，但总是在实际物理意义上完全等价为只有大小为 的电荷，而磁荷为零；换句话说，很大意义上，“粒子只有电荷而没有磁荷”可以看成是一种习惯上方便的说法。这种说法只是数学上不同的描述手段，并不会产生任何实际应用上的区别或误差，更不致影响到实际的物理效应。
然而其实有一个实际问题在这里：若对于不同种类的粒子组成的体系来说，假若它们的电荷磁荷比 不同，则无法找到一个统一的 来消除掉磁荷；换句话说，只有所有粒子都具有相同的 值，才会宏观等价为只有电荷而无磁荷的情况。所谓寻找磁荷存在的实验，其实不如说是寻找是否存在不同 值的粒子。
那么，所有粒子有相同的 值，这可能吗？尽管这种要求听起来好像有点过于强硬，但就目前的实验情况来看，至少我们常见的基本粒子，它们的 值在很高精度下都是相等的。其实这种事情我们并不陌生：想想在关于引力问题的世纪思辨之中，我们也曾经考虑过“是否所有物体的惯性质量和引力质量都具有相同的比值”。就目前而言，这已经是一个精度很高的结论了，并且成为了一个类似于原理一般的存在——等效原理，来支撑着目前我们关于引力理论的考量。它与我们今天的主题这两者是十分相似的：所有粒子的电荷和磁荷都具有相同的比值，正是基于这样的观念，支撑着我们如今对于电磁理论的考量。
最后简单说一下，所谓的参数为 的对偶变换，就几何意义而言无非是一个旋转；然而它到底是在哪个空间旋转？
用线性代数的语言通俗来讲，其实我们在数学上，可以认为任何粒子都对应于某个抽象的线性空间中的一个矢量，电荷和磁荷的数值分别是它们在某个正交坐标基下的不同分量坐标；“ 值相等”意味着这些矢量是互相平行的，而电荷量不同意味着这些矢量的长度不同。而不同的 角就意味着我们选取不同的正交基来测量这些分量，自然就会得到不同的坐标数值——也就是说，这个旋转，是抽象空间中正交基的旋转。选取什么基是不影响矢量本身的，也就是不影响粒子本身性质的，那么为了方便，我们总可以选取一个基使得它只有某一分量而另一分量为零，这就是我们已经用了几个世纪的视角：只有电荷而没有磁荷。
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