多元高斯分布的协方差矩阵为什么是可逆的？
多元高斯分布的协方差矩阵之所以是可逆的，并且必须是可逆的（或者更准确地说，是正定的）才能定义一个严格的多元高斯分布，这背后涉及几个关键的数学概念和直观理解。
下面我将从多个角度详细解释这个问题：
1. 数学定义角度：
多元高斯分布的概率密度函数（PDF）定义如下：
$$ P(mathbf{x}; oldsymbol{mu}, oldsymbol{Sigma}) = frac{1}{sqrt{(2pi)^k |oldsymbol{Sigma}|}} expleft(frac{1}{2}(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) ight) $$
其中：
$mathbf{x}$ 是 $k$ 维随机向量。
$oldsymbol{mu}$ 是 $k$ 维均值向量。
$oldsymbol{Sigma}$ 是 $k imes k$ 的协方差矩阵。
$|oldsymbol{Sigma}|$ 是协方差矩阵的行列式。
$oldsymbol{Sigma}^{1}$ 是协方差矩阵的逆。
从这个公式中，我们可以直接看到：
需要 $|oldsymbol{Sigma}|$： 行列式 $|oldsymbol{Sigma}|$ 出现在分母中，表示需要计算其值。如果协方差矩阵不可逆，其行列式为零，那么整个分母将是零，PDF将无定义。
需要 $oldsymbol{Sigma}^{1}$： 协方差矩阵的逆 $oldsymbol{Sigma}^{1}$ 出现在指数项中，用于计算二次型 $(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu})$。如果协方差矩阵不可逆，其逆不存在，则这个二次型也无法计算。
因此，从数学定义上，协方差矩阵必须是可逆的。
2. 几何解释角度：
多元高斯分布的等高线（等概率密度面）在 $k$ 维空间中是椭球体。协方差矩阵 $oldsymbol{Sigma}$ 决定了这些椭球体的形状、方向和大小。
协方差矩阵的特征值和特征向量：
协方差矩阵 $oldsymbol{Sigma}$ 是一个对称的半正定矩阵。根据谱定理，任何对称矩阵都可以被正交对角化：
$$ oldsymbol{Sigma} = mathbf{P} oldsymbol{Lambda} mathbf{P}^T $$
其中：
$mathbf{P}$ 是一个正交矩阵，其列向量是 $oldsymbol{Sigma}$ 的特征向量，它们构成了新的坐标系的方向。
$oldsymbol{Lambda}$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素是 $oldsymbol{Sigma}$ 的特征值 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_k$。
特征值与椭球的伸缩：
多元高斯分布的等高线可以看作是单位球（当 $oldsymbol{Sigma} = mathbf{I}$ 时）经过线性变换得到的。这个线性变换由协方差矩阵的特征向量和特征值决定。
具体来说，如果令 $mathbf{y} = mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu})$，那么 $(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu})$ 可以改写为：
$$ (mathbf{x} oldsymbol{mu})^T (mathbf{P} oldsymbol{Lambda} mathbf{P}^T)^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) = (mathbf{x} oldsymbol{mu})^T mathbf{P} oldsymbol{Lambda}^{1} mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu}) $$
令 $mathbf{z} = mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu})$，由于 $mathbf{P}$ 是正交矩阵，$mathbf{P}^T = mathbf{P}^{1}$。那么：
$$ mathbf{z}^T oldsymbol{Lambda}^{1} mathbf{z} = sum_{i=1}^k frac{z_i^2}{lambda_i} $$
这里的 $z_i$ 是在由特征向量构成的基下的坐标。
如果 $oldsymbol{Sigma}$ 可逆（即所有特征值 $lambda_i > 0$）：
此时 $oldsymbol{Lambda}$ 是对角矩阵且其对角线元素都是正数。$oldsymbol{Lambda}^{1}$ 也存在，其对角线元素为 $1/lambda_i$。
方程 $sum_{i=1}^k frac{z_i^2}{lambda_i} = C$ （常数）定义了一个椭球。特征值 $lambda_i$ 控制着在对应特征向量方向上的“拉伸”或“压缩”。如果 $lambda_i > 0$，则在对应方向上分布是有限的，形成了一个“闭合”的椭球。
如果 $oldsymbol{Sigma}$ 不可逆（即存在一个或多个特征值 $lambda_i = 0$）：
如果至少有一个特征值为零，则 $oldsymbol{Lambda}$ 的一个或多个对角线元素为零。此时 $oldsymbol{Lambda}^{1}$ 不存在。
从几何上看，如果一个特征值为零，例如 $lambda_1 = 0$，那么在对应的特征向量方向上，随机变量没有方差，即它是一个常数。这意味着所有可能的观测值都将集中在某个超平面上（该超平面垂直于具有零特征值的特征向量）。在这种情况下，概率质量集中在一个 $(k1)$ 维的空间上（或者更低维），而不是一个 $k$ 维的“体积”中。
此时，多元高斯分布的PDF将不再是定义在整个 $k$ 维空间上的，而是在一个更低维的子空间上。我们通常称这种分布为奇异多元高斯分布或退化高斯分布。在这种情况下，PDF通常会趋于无穷大，除非我们限制其定义域到那个低维子空间。而标准的多元高斯分布要求其在整个 $k$ 维空间上都有一个有限的、可积的概率密度。
3. 方差和线性组合角度：
协方差矩阵描述了变量之间的线性关系以及它们自身的变异程度。
对角线元素： $Sigma_{ii} = Var(X_i)$，即第 $i$ 个变量的方差。
非对角线元素： $Sigma_{ij} = Cov(X_i, X_j)$，即变量 $X_i$ 和 $X_j$ 的协方差。
一个随机向量的方差是衡量其“扩散程度”的指标。对于一个随机向量 $mathbf{X}$，其方差（更准确地说，是其期望的二次偏差的期望）可以通过 $ ext{Var}(mathbf{X}) = E[(mathbf{X}oldsymbol{mu})(mathbf{X}oldsymbol{mu})^T] = oldsymbol{Sigma}$ 来表示。
考虑随机向量的任意线性组合 $mathbf{a}^T mathbf{X}$，其中 $mathbf{a}$ 是一个非零向量。其方差是：
$$ ext{Var}(mathbf{a}^T mathbf{X}) = mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} $$
如果多元高斯分布是“非退化”的，这意味着在任何方向上，随机向量都有非零的方差。也就是说，对于任何非零向量 $mathbf{a}$，$mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} > 0$。
正定性： $mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} > 0$ 对于所有非零向量 $mathbf{a}$，这是协方差矩阵是正定（positive definite）的定义。
可逆性与正定性： 对于对称矩阵而言，正定性是可逆性的充分必要条件。如果一个对称矩阵是正定的，那么它的所有特征值都大于零，因此它的行列式（所有特征值的乘积）也大于零，所以它是可逆的。反之，如果一个对称矩阵是可逆的，意味着它的行列式非零，也意味着其所有特征值非零。但我们还需要确保特征值都是正的才能保证正定。协方差矩阵定义上就是半正定的，非退化情况下就是正定。
因此，如果协方差矩阵是不可逆的，这意味着存在某个非零向量 $mathbf{a}$ 使得 $mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} = 0$。这表明在这个方向上，随机变量没有方差，即它是常数，这个方向上的随机性是“消失”了。这与多元高斯分布通常被理解为在一个 $k$ 维空间中具有平滑、有限方差的分布的概念相悖。
4. 信息矩阵（Precision Matrix）角度：
有时，多元高斯分布的PDF也使用信息矩阵（precision matrix） $oldsymbol{Phi} = oldsymbol{Sigma}^{1}$ 来表示：
$$ P(mathbf{x}; oldsymbol{mu}, oldsymbol{Phi}) = frac{sqrt{|oldsymbol{Phi}|}}{(2pi)^k} expleft(frac{1}{2}(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Phi} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) ight) $$
从这个形式也直接可以看出，信息矩阵 $oldsymbol{Phi}$ 必须是可逆的（即 $oldsymbol{Phi}$ 的行列式 $|oldsymbol{Phi}|$ 非零）。同时，由于 $oldsymbol{Sigma}$ 是对称正定的，其逆矩阵 $oldsymbol{Phi}$ 也是对称正定的。
总结原因：
1. 数学定义的必然性： 概率密度函数（PDF）的定义中明确包含了协方差矩阵的行列式和逆矩阵。两者都要求协方差矩阵是可逆的。
2. 几何形状的完整性： 可逆性（或更强的正定性）保证了在所有方向上，随机向量都有非零的方差，这使得多元高斯分布的等高线（椭球）是“完整”的、非退化的。如果不可逆，则概率质量会“坍缩”到低维子空间，无法在整个 $k$ 维空间上定义一个平滑的PDF。
3. 统计学意义的无冗余性： 可逆性意味着变量之间没有线性冗余。如果协方差矩阵不可逆，说明至少有一个变量可以表示为其他变量的线性组合，这会使分布在统计模型中变得不那么有用，或者需要用更低维度的参数来表示。
何时协方差矩阵可能不是可逆的？
当处理低维子空间中的高斯分布时，协方差矩阵可能是奇异的（不可逆的）。例如，如果一个三维空间中的数据点实际上都位于一个二维平面上，那么它们所对应的协方差矩阵将是一个秩为2（而非3）的矩阵，因此是奇异的。在这种情况下，我们通常会说这是一个“退化的”多元高斯分布，或者我们会将数据投影到其所在的低维子空间，并在该子空间上使用一个可逆的协方差矩阵来描述它。
结论：
在标准的多元高斯分布定义中，协方差矩阵必须是对称正定矩阵。对称性源于协方差的定义，而正定性（也即可逆性）是保证其概率密度函数在整个 $k$ 维空间中有意义且统计上非退化的根本原因。
下面我将从多个角度详细解释这个问题：
1. 数学定义角度：
多元高斯分布的概率密度函数（PDF）定义如下：
$$ P(mathbf{x}; oldsymbol{mu}, oldsymbol{Sigma}) = frac{1}{sqrt{(2pi)^k |oldsymbol{Sigma}|}} expleft(frac{1}{2}(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) ight) $$
其中：
$mathbf{x}$ 是 $k$ 维随机向量。
$oldsymbol{mu}$ 是 $k$ 维均值向量。
$oldsymbol{Sigma}$ 是 $k imes k$ 的协方差矩阵。
$|oldsymbol{Sigma}|$ 是协方差矩阵的行列式。
$oldsymbol{Sigma}^{1}$ 是协方差矩阵的逆。
从这个公式中，我们可以直接看到：
需要 $|oldsymbol{Sigma}|$： 行列式 $|oldsymbol{Sigma}|$ 出现在分母中，表示需要计算其值。如果协方差矩阵不可逆，其行列式为零，那么整个分母将是零，PDF将无定义。
需要 $oldsymbol{Sigma}^{1}$： 协方差矩阵的逆 $oldsymbol{Sigma}^{1}$ 出现在指数项中，用于计算二次型 $(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu})$。如果协方差矩阵不可逆，其逆不存在，则这个二次型也无法计算。
因此，从数学定义上，协方差矩阵必须是可逆的。
2. 几何解释角度：
多元高斯分布的等高线（等概率密度面）在 $k$ 维空间中是椭球体。协方差矩阵 $oldsymbol{Sigma}$ 决定了这些椭球体的形状、方向和大小。
协方差矩阵的特征值和特征向量：
协方差矩阵 $oldsymbol{Sigma}$ 是一个对称的半正定矩阵。根据谱定理，任何对称矩阵都可以被正交对角化：
$$ oldsymbol{Sigma} = mathbf{P} oldsymbol{Lambda} mathbf{P}^T $$
其中：
$mathbf{P}$ 是一个正交矩阵，其列向量是 $oldsymbol{Sigma}$ 的特征向量，它们构成了新的坐标系的方向。
$oldsymbol{Lambda}$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素是 $oldsymbol{Sigma}$ 的特征值 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_k$。
特征值与椭球的伸缩：
多元高斯分布的等高线可以看作是单位球（当 $oldsymbol{Sigma} = mathbf{I}$ 时）经过线性变换得到的。这个线性变换由协方差矩阵的特征向量和特征值决定。
具体来说，如果令 $mathbf{y} = mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu})$，那么 $(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Sigma}^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu})$ 可以改写为：
$$ (mathbf{x} oldsymbol{mu})^T (mathbf{P} oldsymbol{Lambda} mathbf{P}^T)^{1} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) = (mathbf{x} oldsymbol{mu})^T mathbf{P} oldsymbol{Lambda}^{1} mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu}) $$
令 $mathbf{z} = mathbf{P}^T (mathbf{x} oldsymbol{mu})$，由于 $mathbf{P}$ 是正交矩阵，$mathbf{P}^T = mathbf{P}^{1}$。那么：
$$ mathbf{z}^T oldsymbol{Lambda}^{1} mathbf{z} = sum_{i=1}^k frac{z_i^2}{lambda_i} $$
这里的 $z_i$ 是在由特征向量构成的基下的坐标。
如果 $oldsymbol{Sigma}$ 可逆（即所有特征值 $lambda_i > 0$）：
此时 $oldsymbol{Lambda}$ 是对角矩阵且其对角线元素都是正数。$oldsymbol{Lambda}^{1}$ 也存在，其对角线元素为 $1/lambda_i$。
方程 $sum_{i=1}^k frac{z_i^2}{lambda_i} = C$ （常数）定义了一个椭球。特征值 $lambda_i$ 控制着在对应特征向量方向上的“拉伸”或“压缩”。如果 $lambda_i > 0$，则在对应方向上分布是有限的，形成了一个“闭合”的椭球。
如果 $oldsymbol{Sigma}$ 不可逆（即存在一个或多个特征值 $lambda_i = 0$）：
如果至少有一个特征值为零，则 $oldsymbol{Lambda}$ 的一个或多个对角线元素为零。此时 $oldsymbol{Lambda}^{1}$ 不存在。
从几何上看，如果一个特征值为零，例如 $lambda_1 = 0$，那么在对应的特征向量方向上，随机变量没有方差，即它是一个常数。这意味着所有可能的观测值都将集中在某个超平面上（该超平面垂直于具有零特征值的特征向量）。在这种情况下，概率质量集中在一个 $(k1)$ 维的空间上（或者更低维），而不是一个 $k$ 维的“体积”中。
此时，多元高斯分布的PDF将不再是定义在整个 $k$ 维空间上的，而是在一个更低维的子空间上。我们通常称这种分布为奇异多元高斯分布或退化高斯分布。在这种情况下，PDF通常会趋于无穷大，除非我们限制其定义域到那个低维子空间。而标准的多元高斯分布要求其在整个 $k$ 维空间上都有一个有限的、可积的概率密度。
3. 方差和线性组合角度：
协方差矩阵描述了变量之间的线性关系以及它们自身的变异程度。
对角线元素： $Sigma_{ii} = Var(X_i)$，即第 $i$ 个变量的方差。
非对角线元素： $Sigma_{ij} = Cov(X_i, X_j)$，即变量 $X_i$ 和 $X_j$ 的协方差。
一个随机向量的方差是衡量其“扩散程度”的指标。对于一个随机向量 $mathbf{X}$，其方差（更准确地说，是其期望的二次偏差的期望）可以通过 $ ext{Var}(mathbf{X}) = E[(mathbf{X}oldsymbol{mu})(mathbf{X}oldsymbol{mu})^T] = oldsymbol{Sigma}$ 来表示。
考虑随机向量的任意线性组合 $mathbf{a}^T mathbf{X}$，其中 $mathbf{a}$ 是一个非零向量。其方差是：
$$ ext{Var}(mathbf{a}^T mathbf{X}) = mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} $$
如果多元高斯分布是“非退化”的，这意味着在任何方向上，随机向量都有非零的方差。也就是说，对于任何非零向量 $mathbf{a}$，$mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} > 0$。
正定性： $mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} > 0$ 对于所有非零向量 $mathbf{a}$，这是协方差矩阵是正定（positive definite）的定义。
可逆性与正定性： 对于对称矩阵而言，正定性是可逆性的充分必要条件。如果一个对称矩阵是正定的，那么它的所有特征值都大于零，因此它的行列式（所有特征值的乘积）也大于零，所以它是可逆的。反之，如果一个对称矩阵是可逆的，意味着它的行列式非零，也意味着其所有特征值非零。但我们还需要确保特征值都是正的才能保证正定。协方差矩阵定义上就是半正定的，非退化情况下就是正定。
因此，如果协方差矩阵是不可逆的，这意味着存在某个非零向量 $mathbf{a}$ 使得 $mathbf{a}^T oldsymbol{Sigma} mathbf{a} = 0$。这表明在这个方向上，随机变量没有方差，即它是常数，这个方向上的随机性是“消失”了。这与多元高斯分布通常被理解为在一个 $k$ 维空间中具有平滑、有限方差的分布的概念相悖。
4. 信息矩阵（Precision Matrix）角度：
有时，多元高斯分布的PDF也使用信息矩阵（precision matrix） $oldsymbol{Phi} = oldsymbol{Sigma}^{1}$ 来表示：
$$ P(mathbf{x}; oldsymbol{mu}, oldsymbol{Phi}) = frac{sqrt{|oldsymbol{Phi}|}}{(2pi)^k} expleft(frac{1}{2}(mathbf{x} oldsymbol{mu})^T oldsymbol{Phi} (mathbf{x} oldsymbol{mu}) ight) $$
从这个形式也直接可以看出，信息矩阵 $oldsymbol{Phi}$ 必须是可逆的（即 $oldsymbol{Phi}$ 的行列式 $|oldsymbol{Phi}|$ 非零）。同时，由于 $oldsymbol{Sigma}$ 是对称正定的，其逆矩阵 $oldsymbol{Phi}$ 也是对称正定的。
总结原因：
1. 数学定义的必然性： 概率密度函数（PDF）的定义中明确包含了协方差矩阵的行列式和逆矩阵。两者都要求协方差矩阵是可逆的。
2. 几何形状的完整性： 可逆性（或更强的正定性）保证了在所有方向上，随机向量都有非零的方差，这使得多元高斯分布的等高线（椭球）是“完整”的、非退化的。如果不可逆，则概率质量会“坍缩”到低维子空间，无法在整个 $k$ 维空间上定义一个平滑的PDF。
3. 统计学意义的无冗余性： 可逆性意味着变量之间没有线性冗余。如果协方差矩阵不可逆，说明至少有一个变量可以表示为其他变量的线性组合，这会使分布在统计模型中变得不那么有用，或者需要用更低维度的参数来表示。
何时协方差矩阵可能不是可逆的？
当处理低维子空间中的高斯分布时，协方差矩阵可能是奇异的（不可逆的）。例如，如果一个三维空间中的数据点实际上都位于一个二维平面上，那么它们所对应的协方差矩阵将是一个秩为2（而非3）的矩阵，因此是奇异的。在这种情况下，我们通常会说这是一个“退化的”多元高斯分布，或者我们会将数据投影到其所在的低维子空间，并在该子空间上使用一个可逆的协方差矩阵来描述它。
结论：
在标准的多元高斯分布定义中，协方差矩阵必须是对称正定矩阵。对称性源于协方差的定义，而正定性（也即可逆性）是保证其概率密度函数在整个 $k$ 维空间中有意义且统计上非退化的根本原因。
网友意见
先来证明一个命题：
命题
成立的充分必要条件是 , ,…, 线性无关.
证明
充分性：
设 ，则
是一个二次型. , ,…, 线性无关的充要条件是对任意不全为 0 的 , ,…, ，都有 ，即有
故 是正定矩阵，当然 .
必要性：
成立，若有
则有
得到方程组，
由于 ，于是该齐次方程只有零解，即 ，故 , ,…, 线性无关.
Q. E. D
所以协方差矩阵 可逆的关键在于 , ,…, 线性无关，而根据 Gauss-Markov 条件， , ,…, 都是独立同分布的，独立必然不相关，不相关即为两两正交，正交必然线性无关，所以保证了协方差矩阵 可逆性.
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