多元函数有单调性吗？
对于多元函数，我们确实可以谈论它的“单调性”，但它与我们熟悉的单变量函数（比如 $y = f(x)$）的单调性概念有所不同，并且描述起来也更为复杂。
首先，我们要明确单变量函数单调性的含义。
对于一个单变量函数 $f(x)$，我们说它在某个区间上是单调递增的，是指对于该区间内的任意两个值 $x_1$ 和 $x_2$，如果 $x_1 < x_2$，那么 $f(x_1) le f(x_2)$。如果是严格递增，则要求 $f(x_1) < f(x_2)$。同理，单调递减是指如果 $x_1 < x_2$，那么 $f(x_1) ge f(x_2)$（或 $f(x_1) > f(x_2)$）。
简单来说，单变量函数的单调性描述了函数值随着自变量的增大而变化的方向：要么一直增大（或不变），要么一直减小（或不变）。
那么，多元函数呢？
多元函数，比如 $f(x, y)$，它的自变量不再是一个，而是多个。这就带来一个问题：当自变量增加时，函数的增减方向就不再是单一的了。
举个例子，考虑函数 $f(x, y) = x + y$。
如果我们只改变 $x$，保持 $y$ 不变（例如，沿着 $x$ 轴方向前进），那么 $f(x, y)$ 显然是随着 $x$ 的增大而增大的。
如果我们只改变 $y$，保持 $x$ 不变（例如，沿着 $y$ 轴方向前进），那么 $f(x, y)$ 同样是随着 $y$ 的增大而增大的。
看起来似乎是“单调”的。但是，如果我们同时改变 $x$ 和 $y$ 呢？
如果 $x$ 增大 1， $y$ 增大 1，那么 $f(x, y)$ 增大 2。
如果 $x$ 增大 1， $y$ 减小 1，那么 $f(x, y)$ 不变。
如果 $x$ 减小 1， $y$ 增大 1，那么 $f(x, y)$ 不变。
这就说明，仅仅说“随着自变量的增大而增大”已经不足以描述多元函数的行为。
因此，对于多元函数，我们通常不使用“单调”这个词来描述它整体的性质。取而代之的是，我们讨论它在特定方向上的单调性。
在特定方向上的单调性
我们可以定义一个方向（通常用一个向量表示），然后观察函数沿着这个方向的变化趋势。
假设我们有一个函数 $f(x_1, x_2, ldots, x_n)$。如果我们考虑一个方向向量 $mathbf{v} = (v_1, v_2, ldots, v_n)$，那么我们可以定义一个新的单变量函数 $g(t) = f(mathbf{p} + tmathbf{v})$，其中 $mathbf{p}$ 是空间中的一个点。
这个函数 $g(t)$ 就是函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 的截面函数。
如果 $g(t)$ 是一个关于 $t$ 的单调递增函数（例如，对任意 $t_1 < t_2$，都有 $g(t_1) le g(t_2)$），我们就说函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 是单调递增的。
同理，我们可以定义单调递减、严格单调递增、严格单调递减等概念。
举个例子：
考虑函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$。
1. 沿着 $x$ 轴方向 ($y$ 固定)：
如果我们保持 $y=c$ (常数)，那么函数变为 $f(x, c) = x^2 + c^2$。
当 $x > 0$ 时， $x^2$ 是递增的，所以 $f(x, c)$ 随 $x$ 增大而增大。
当 $x < 0$ 时， $x^2$ 是递减的，所以 $f(x, c)$ 随 $x$ 增大而减小。
所以，它在 $x$ 轴方向上不是整体单调的。
2. 沿着某个任意方向：
让我们看看在点 $(1, 1)$ 处，沿着方向向量 $mathbf{v} = (1, 1)$ 的单调性。
点 $mathbf{p} = (1, 1)$。
方向向量 $mathbf{v} = (1, 1)$。
截面函数 $g(t) = f(mathbf{p} + tmathbf{v}) = f((1, 1) + t(1, 1)) = f(1+t, 1+t)$.
$g(t) = (1+t)^2 + (1+t)^2 = 2(1+t)^2$.
我们来考察 $g(t)$ 关于 $t$ 的单调性。
$g'(t) = 2 cdot 2(1+t) cdot 1 = 4(1+t)$.
如果 $t > 1$，则 $g'(t) > 0$， $g(t)$ 是递增的。
如果 $t < 1$，则 $g'(t) < 0$， $g(t)$ 是递减的。
所以，函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处，沿着方向 $(1, 1)$，只有在 $t > 1$ 的范围内是单调递增的。
与偏导数的关系
这种在方向上的单调性与偏导数和方向导数密切相关。
偏导数可以看作是在坐标轴方向（即方向向量是 $(1, 0, ldots, 0)$ 或 $(0, 1, ldots, 0)$ 等）上的单调性的一种体现。例如，$frac{partial f}{partial x}$ 的正负可以在一定程度上反映函数在 $x$ 方向上的变化趋势。
方向导数 $D_{mathbf{v}} f(mathbf{p})$ 正是衡量函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 的变化率。
如果 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 是单调递增的，那么对于点 $mathbf{p}$ 附近沿着 $mathbf{v}$ 方向的很小的变化 $t > 0$，我们有 $f(mathbf{p} + tmathbf{v}) ge f(mathbf{p})$。
如果方向导数 $D_{mathbf{v}} f(mathbf{p}) > 0$，通常意味着函数在那个点沿着那个方向是“向上”变化的，这与单调递增有很强的关联。
某些特殊情况下的“整体”单调性
虽然我们不普遍讨论多元函数的“整体”单调性，但确实存在一些函数类，它们在某些意义下可以被认为是“单调”的：
1. 单调函数 (Monotone Functions)： 在一些高级数学领域（如实分析），会定义更广义的“单调函数”，但这些定义通常比较抽象，与我们初学时的概念有所不同。
2. 凸函数 (Convex Functions) 和凹函数 (Concave Functions)： 凸函数和凹函数在一定程度上表现出“单调”的性质。例如，一个凸函数在它的定义域内，它的“斜率”（梯度）是单调不减的。我们可以说，沿着某个方向，凸函数的变化率（二阶导数或Hessian矩阵）是非负的，这使得它在某些方向上表现出单调性。
3. 变量分离的函数： 如果一个多元函数可以写成每个变量的独立函数的和，例如 $f(x, y) = g(x) + h(y)$，并且 $g(x)$ 和 $h(y)$ 都是单变量的单调函数，那么 $f(x, y)$ 在各自变量方向上就具有单调性。
总结来说：
多元函数没有像单变量函数那样简单的“整体”单调性概念。我们讨论的是函数在特定方向上的单调性。这通常通过定义沿着某个向量的截面函数，然后分析这个单变量函数的单调性来实现。方向导数是衡量这种局部变化趋势的关键工具。一些特殊的函数类（如凸函数）在更广泛的意义上表现出与单调性相关的性质。
首先，我们要明确单变量函数单调性的含义。
对于一个单变量函数 $f(x)$，我们说它在某个区间上是单调递增的，是指对于该区间内的任意两个值 $x_1$ 和 $x_2$，如果 $x_1 < x_2$，那么 $f(x_1) le f(x_2)$。如果是严格递增，则要求 $f(x_1) < f(x_2)$。同理，单调递减是指如果 $x_1 < x_2$，那么 $f(x_1) ge f(x_2)$（或 $f(x_1) > f(x_2)$）。
简单来说，单变量函数的单调性描述了函数值随着自变量的增大而变化的方向：要么一直增大（或不变），要么一直减小（或不变）。
那么，多元函数呢？
多元函数，比如 $f(x, y)$，它的自变量不再是一个，而是多个。这就带来一个问题：当自变量增加时，函数的增减方向就不再是单一的了。
举个例子，考虑函数 $f(x, y) = x + y$。
如果我们只改变 $x$，保持 $y$ 不变（例如，沿着 $x$ 轴方向前进），那么 $f(x, y)$ 显然是随着 $x$ 的增大而增大的。
如果我们只改变 $y$，保持 $x$ 不变（例如，沿着 $y$ 轴方向前进），那么 $f(x, y)$ 同样是随着 $y$ 的增大而增大的。
看起来似乎是“单调”的。但是，如果我们同时改变 $x$ 和 $y$ 呢？
如果 $x$ 增大 1， $y$ 增大 1，那么 $f(x, y)$ 增大 2。
如果 $x$ 增大 1， $y$ 减小 1，那么 $f(x, y)$ 不变。
如果 $x$ 减小 1， $y$ 增大 1，那么 $f(x, y)$ 不变。
这就说明，仅仅说“随着自变量的增大而增大”已经不足以描述多元函数的行为。
因此，对于多元函数，我们通常不使用“单调”这个词来描述它整体的性质。取而代之的是，我们讨论它在特定方向上的单调性。
在特定方向上的单调性
我们可以定义一个方向（通常用一个向量表示），然后观察函数沿着这个方向的变化趋势。
假设我们有一个函数 $f(x_1, x_2, ldots, x_n)$。如果我们考虑一个方向向量 $mathbf{v} = (v_1, v_2, ldots, v_n)$，那么我们可以定义一个新的单变量函数 $g(t) = f(mathbf{p} + tmathbf{v})$，其中 $mathbf{p}$ 是空间中的一个点。
这个函数 $g(t)$ 就是函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 的截面函数。
如果 $g(t)$ 是一个关于 $t$ 的单调递增函数（例如，对任意 $t_1 < t_2$，都有 $g(t_1) le g(t_2)$），我们就说函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 是单调递增的。
同理，我们可以定义单调递减、严格单调递增、严格单调递减等概念。
举个例子：
考虑函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$。
1. 沿着 $x$ 轴方向 ($y$ 固定)：
如果我们保持 $y=c$ (常数)，那么函数变为 $f(x, c) = x^2 + c^2$。
当 $x > 0$ 时， $x^2$ 是递增的，所以 $f(x, c)$ 随 $x$ 增大而增大。
当 $x < 0$ 时， $x^2$ 是递减的，所以 $f(x, c)$ 随 $x$ 增大而减小。
所以，它在 $x$ 轴方向上不是整体单调的。
2. 沿着某个任意方向：
让我们看看在点 $(1, 1)$ 处，沿着方向向量 $mathbf{v} = (1, 1)$ 的单调性。
点 $mathbf{p} = (1, 1)$。
方向向量 $mathbf{v} = (1, 1)$。
截面函数 $g(t) = f(mathbf{p} + tmathbf{v}) = f((1, 1) + t(1, 1)) = f(1+t, 1+t)$.
$g(t) = (1+t)^2 + (1+t)^2 = 2(1+t)^2$.
我们来考察 $g(t)$ 关于 $t$ 的单调性。
$g'(t) = 2 cdot 2(1+t) cdot 1 = 4(1+t)$.
如果 $t > 1$，则 $g'(t) > 0$， $g(t)$ 是递增的。
如果 $t < 1$，则 $g'(t) < 0$， $g(t)$ 是递减的。
所以，函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处，沿着方向 $(1, 1)$，只有在 $t > 1$ 的范围内是单调递增的。
与偏导数的关系
这种在方向上的单调性与偏导数和方向导数密切相关。
偏导数可以看作是在坐标轴方向（即方向向量是 $(1, 0, ldots, 0)$ 或 $(0, 1, ldots, 0)$ 等）上的单调性的一种体现。例如，$frac{partial f}{partial x}$ 的正负可以在一定程度上反映函数在 $x$ 方向上的变化趋势。
方向导数 $D_{mathbf{v}} f(mathbf{p})$ 正是衡量函数 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 的变化率。
如果 $f$ 在点 $mathbf{p}$ 处沿着方向 $mathbf{v}$ 是单调递增的，那么对于点 $mathbf{p}$ 附近沿着 $mathbf{v}$ 方向的很小的变化 $t > 0$，我们有 $f(mathbf{p} + tmathbf{v}) ge f(mathbf{p})$。
如果方向导数 $D_{mathbf{v}} f(mathbf{p}) > 0$，通常意味着函数在那个点沿着那个方向是“向上”变化的，这与单调递增有很强的关联。
某些特殊情况下的“整体”单调性
虽然我们不普遍讨论多元函数的“整体”单调性，但确实存在一些函数类，它们在某些意义下可以被认为是“单调”的：
1. 单调函数 (Monotone Functions)： 在一些高级数学领域（如实分析），会定义更广义的“单调函数”，但这些定义通常比较抽象，与我们初学时的概念有所不同。
2. 凸函数 (Convex Functions) 和凹函数 (Concave Functions)： 凸函数和凹函数在一定程度上表现出“单调”的性质。例如，一个凸函数在它的定义域内，它的“斜率”（梯度）是单调不减的。我们可以说，沿着某个方向，凸函数的变化率（二阶导数或Hessian矩阵）是非负的，这使得它在某些方向上表现出单调性。
3. 变量分离的函数： 如果一个多元函数可以写成每个变量的独立函数的和，例如 $f(x, y) = g(x) + h(y)$，并且 $g(x)$ 和 $h(y)$ 都是单变量的单调函数，那么 $f(x, y)$ 在各自变量方向上就具有单调性。
总结来说：
多元函数没有像单变量函数那样简单的“整体”单调性概念。我们讨论的是函数在特定方向上的单调性。这通常通过定义沿着某个向量的截面函数，然后分析这个单变量函数的单调性来实现。方向导数是衡量这种局部变化趋势的关键工具。一些特殊的函数类（如凸函数）在更广泛的意义上表现出与单调性相关的性质。
网友意见
其实问题的根本在于，如何比较向量的大小。一般而言，比如复数 之间是不能比较大小的。如果我非要这么做呢？
简单的想法
大小，或者说“全序关系”，具有单一方向性：谁更接近正方向，谁就大。比如在一个一维流形上的局部总可以赋予一个全序关系。比如选取一条曲线：
那么即可定义一个复合函数：
于是我们可以在局部讨论 的单调性.
但是这样一来，我们只是给 的一个一维子流形上赋予了全序关系，并没有实现全局上的全序关系。
也许可以考虑充满空间的皮亚诺曲线。
但是真正的皮亚诺曲线长度是没有意义的，所以想继续按照上面的思路构造一元函数进而讨论单调性，是太天真的想法，（同时，皮亚诺曲线并不符合流形的定义，不仅不满足 Hausdorff 分离性，并且也不是一维的）. 因为对于绝大多数的点（全测集），皮亚诺曲线要想经过该点，在有限长度内达到是绝对不可能的. 这就意味，在这种意义下的单调函数几乎处处是常值函数.
字典排序法
所谓字典排序法，顾名思义不用解释。例如，我们常见的十进制小数比较法，本质上就是一种字典排序. 同理，我们可以把一个向量当做是广义上的“小数”：
从最高位 逐级比较，直至从某一位开始能分出大小即停止比较.
例 是一个字典排序法意义下的单调递增函数.
大结局
或曰：这个函数不严格单调.
答曰：臣告退……
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