如果实验数据可以被多个函数拟合，怎么确定哪个函数是正确的规律？

你遇到的问题，也就是“实验数据可以被多个函数拟合，如何确定哪个函数是正确的规律”，这确实是科学研究中一个非常核心且普遍的挑战。尤其是在物理、化学、生物、经济学等很多领域，我们观察到的现象往往是复杂的，直接写出描述其内在机制的解析表达式并非易事，因此常常需要通过数据来“反推”规律。

咱们就来聊聊，当面对这种“撞衫率”很高的数据拟合情况时，我们该如何层层剥茧，找到那个最接近真实规律的函数。这中间没有一蹴而就的“绝对正确”答案，更多的是一个严谨、迭代和批判性的科学判断过程。

第一步：审视数据的“纯洁度”与“代表性”

在开始任何复杂的拟合之前，得先回到数据本身。有时候“撞衫”不是因为函数本身的问题，而是我们对数据的理解不够深入。

数据来源与采集过程：这些数据是怎么来的？是人工采集的，还是自动化设备？采集过程中有没有可能引入误差？比如温度波动、试剂纯度变化、测量仪器的精度限制、操作人员的主观因素等等。一个精心设计、误差可控的实验，其数据自然更值得信赖。
数据点数量与分布：数据点够不够多？它们是否均匀分布在整个变化范围内？如果数据点稀疏，或者集中在某个狭窄区域，那么很多函数都能在这个范围内“碰巧”拟合得不错，但并不能代表全局的真实规律。想象一下，你只看了一个人20岁时的照片，就说他一辈子都是那个样子，显然不够客观。
异常值（Outliers）的检查与处理：数据中是否存在明显的异常值？这些异常值是因为测量错误，还是真的代表了某种特殊的物理现象？如果是有明显错误的数据，强行将它们纳入拟合，会严重干扰结果，甚至让错误的函数看起来更“契合”。对异常值的处理需要谨慎，可以剔除、修正，但务必记录。

第二步：理论指导下的函数选择

数学模型从来不是凭空产生的，它应该是对现实世界某种机制的抽象和简化。所以，在进入数据拟合之前，你最应该做的是：

回顾相关的科学理论：你研究的这个现象，在已有的科学理论框架下，应该遵循什么样的基本原理？例如，如果是描述衰减过程，通常会想到指数衰减；如果是描述增长限制，可能想到逻辑斯蒂曲线；如果是描述周期性变化，可能想到正弦或余弦函数。理论可以提供一些“先验知识”，帮你缩小函数选择的范围。
理解函数背后的物理意义：每个函数都有其代表的数学结构，而这些结构往往对应着某种物理或化学过程。
比如，一个简单的线性函数 $y = ax + b$ 可能代表一个恒定速率的变化。
一个指数函数 $y = A e^{kt}$ 可能代表一个“每单位时间减少一定比例”的过程，比如放射性衰变或电容放电。
一个二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 可能描述了带有加速度或重力影响的运动。
一个对数函数 $y = a ln(x) + b$ 可能描述了信息熵随数据量的增长，或者某些学习曲线。
一个幂函数 $y = ax^k$ 可能在描述物理规律中很常见，比如牛顿万有引力定律中的平方反比关系 ($k=2$)。
三角函数则直接用于描述振动和波动。
结合实验可控变量与被测变量的关系：你的实验是如何设计的？你控制了哪些变量（自变量），又测量了哪些变量（因变量）？这些自变量如何影响因变量，理论上是怎么解释的？

举个例子：如果你在研究某种物质的反应速率随温度的变化，而理论告诉你，反应速率通常遵循一个指数关系（阿伦尼乌斯方程 $k = A e^{E_a/RT}$），那么即使有几个多项式函数也能拟合数据，你的首选也应该是指数函数。多项式拟合可能只是在有限范围内的一种“近似”，而指数函数则可能揭示了更底层的能量活化机制。

第三步：量化评估拟合优劣

有了理论基础，你就可以开始用数学工具来评估不同函数的拟合效果了。

残差分析（Residual Analysis）：
残差的定义：残差（residual）就是实验观测值与模型预测值之间的差异：$r_i = y_i f(x_i; hat{ heta})$，其中 $y_i$ 是观测值，$f(x_i; hat{ heta})$ 是由拟合函数在 $x_i$ 点的预测值，$hat{ heta}$ 是通过拟合得到的参数估计值。
绘制残差图：将残差相对于自变量 $x$ 或者相对于预测值 $f(x)$ 作图。理想情况下，残差应该是随机分布在零线附近，没有明显的模式。
系统性偏差（Systematic Bias）：如果残差图呈现出某种模式，比如一个“U”形、一个“抛物线”形、或者随着 $x$ 增大而增大/减小，这说明拟合函数可能没有捕捉到数据的整体趋势，或者函数形式本身就不适合。例如，如果数据本身是弯曲的，你却用直线去拟合，残差图就会呈现出抛物线状。
异方差性（Heteroscedasticity）：如果残差的散布程度随着 $x$ 的变化而变化（比如在 $x$ 值小的时候散布得很窄，在 $x$ 值大的时候散布得很宽），这表明模型在某些区域的预测更可靠，在另一些区域则不那么可靠。
残差的正态性检验：对于很多统计方法（如最小二乘法），一个隐含的假设是误差项服从正态分布。你可以通过QQ图（QQ plot）或直方图来检查残差是否近似服从正态分布。

拟合优度指标：
决定系数（Rsquared, $R^2$）： $R^2$衡量的是模型解释了因变量变异的百分比。$R^2$值越接近1，表示模型解释力越强。但要注意，$R^2$只能说明模型拟合数据的“好坏”，而不能说明模型是否“正确”。增加更多参数的复杂模型，即使不增加实际解释力，也常常能提高$R^2$值。
调整的决定系数（Adjusted Rsquared）：调整的$R^2$考虑了模型中参数的数量。它是在$R^2$的基础上，根据模型参数的个数进行“惩罚”的。如果增加一个参数对模型拟合度的提升不足以弥补引入新参数的“代价”，调整的$R^2$反而会下降。这对于比较不同参数数量的函数非常有用。
均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）： RMSE是残差平方和的平均值的平方根。它衡量的是模型预测值与实际观测值之间的平均差异大小，单位与因变量相同。RMSE越小，表示拟合效果越好。
卡方检验（Chisquared test, $chi^2$）：如果你知道每个数据点的误差（比如通过重复测量或仪器规格），你可以计算卡方统计量。卡方检验的目的是评估观测数据与模型预测数据之间的差异是否显著。卡方值小且通过检验，说明模型拟合得很好。它尤其适用于有权重的数据拟合。

信息准则：
赤池信息量准则（Akaike Information Criterion, AIC）和贝叶斯信息量准则（Bayesian Information Criterion, BIC）：这两个准则是用来在模型之间进行选择的，它们在模型拟合优度的基础上，对模型的复杂度（参数数量）进行了惩罚。通常，AIC和BIC值越小，表示模型越优。BIC对模型复杂度的惩罚比AIC更重一些，所以更倾向于选择更简单的模型。

第四步：简洁性原则（奥卡姆剃刀）

在多个函数都能在统计学上拟合得不错的情况下，我们通常倾向于选择那个最简单的函数。这是“奥卡姆剃刀”原则的体现：如无必要，勿增实体。

模型复杂度：函数的复杂度体现在它的形式（比如多项式次数、三角函数周期）、参数的数量以及参数之间的非线性关系。一个简单的函数更容易理解、解释和预测，也更不容易出现过拟合。
避免过拟合（Overfitting）：过拟合是指模型在训练数据上表现得很好，但对新的、未见过的数据预测能力却很差。高阶多项式或包含太多参数的复杂模型很容易导致过拟合。看起来很复杂的函数可能只是“记住了”实验数据中的噪声和随机波动，而不是捕捉到了真实的内在规律。

如何判断简洁性？
首先是参数数量：参数越少的函数越简洁。
其次是函数形式：一个线性函数比一个高阶多项式简洁，一个指数函数通常比一个非常复杂的样条函数简洁。

第五步：参数的物理解释性

这是最关键的一步，尤其是在科学研究中。

参数的符号和量级：函数拟合后得到的参数值，是否符合你的理论预期？比如，如果理论预测一个系数应该是正的，而拟合结果是负的，那就非常值得怀疑。参数的量级是否合理？比如，能量活化能的单位是焦耳/摩尔，这个值如果异常大或异常小，就需要重新审视。
参数的稳定性：改变拟合的范围，或者增加/减少少量数据点，拟合得到的参数值是否依然保持相对稳定？一个对数据扰动非常敏感的参数，可能说明模型不够鲁棒，或者数据本身不够支持这个参数。
参数的物理单位：确保拟合的参数有正确的物理单位。

举例说明参数的物理解释性：
假设你在研究物体的质量 ($m$) 和其重力加速度 ($g$) 的关系，理论是 $F = mg$。
如果你的数据拟合结果是 $F = 1.05 imes m imes g_{fit}$，其中 $g_{fit} = 9.81 , m/s^2$（符合重力加速度的标准值），那么这个模型是合理的，1.05的系数可能代表了实验中的一些微小误差或附加力。
但如果你的数据拟合结果是 $F = m imes (g_{fit}^2 / 100)$, 并且 $g_{fit}$ 只是一个拟合出来的常数，这个函数的结构就完全不符合物理理论了，尽管它可能在某些数据范围内也能勉强拟合。

第六步：预测与验证

模型的预测能力：用拟合好的模型去预测一些在实验数据范围内但未用于拟合的点，或者最好是，用新的实验数据来验证模型的预测能力。如果一个函数能在新的、未知的实验数据上继续保持良好的预测能力，那么它被证明是更可靠的规律。
进行进一步的实验：有时候，为了区分不同的拟合函数，可能需要设计新的实验，让不同函数在某些特定条件下产生显著不同的预测结果。然后进行实验，看结果是否符合某个特定函数的预测。

综合决策流程

所以，当实验数据可以被多个函数拟合时，我们不会仅仅依赖一个指标来做决定。这是一个综合考量的过程：

1. 初步筛选：根据科学理论和已有的知识，排除明显不符合物理机制的函数形式。
2. 统计评估：使用残差分析、$R^2$、RMSE、AIC/BIC等指标来量化评估所有候选函数的拟合优劣。
3. 简洁性原则：在统计评估相近的情况下，优先选择参数更少、形式更简单的函数。
4. 物理解释：仔细检查拟合得到的参数，看它们是否具有合理的物理意义、符号和量级。这是区分“数字上的巧合”和“真实规律”的关键。
5. 预测与验证：利用模型进行预测，最好能通过新的实验数据进行验证。

总结一下，确定正确的函数规律是一个迭代和多维度的过程：

理论是灯塔：它指引我们方向，告诉我们哪些函数形式更可能正确。
数据是证据：它验证理论，帮助我们选择最优的模型。
数学工具是法官：它们量化评估，帮助我们区分模型的优劣。
物理意义是终极裁判：即使某个函数在统计上拟合得再好，如果其参数和形式无法进行合理的物理解释，那么它很可能只是对数据的一种“数学上的模仿”，而非真实的规律。

最终选择的函数，应该是在统计上拟合得好，形式简洁，并且其参数能够被赋予有意义的物理解释，同时在预测上也能经受住检验的那个。这往往是一个权衡和判断的过程，而不是一个简单的计算任务。希望这样的阐述能让你更清晰地理解这一过程中的关键环节！

网友意见

说到拟合就不得不提Freeman Dyson (就是提出戴森球的那个Dyson) 和Enrico Fermi的故事了。

Dyson当年研究过介子-质子散射理论，建立了一个模型，完美的重现了Fermi的实验结果。

Dyson琢磨着，这么好的实验对比肯定能搞个大新闻，于是他来到芝加哥找到Fermi讨论他的理论，几乎就要把"快夸我"三个字写在脸上了。

然而Fermi当场给他浇了一盆冷水。

Fermi批评道："做理论物理有两条路，要么从清晰明了的物理图像出发，要么从严格自洽的数学推导出发，而你的模型两点都不满足。"

Dyson此时还有点不服气，表示计算跟实验吻合的这么好总有点价值吧。Fermi反过来问他："你在计算中用了几个拟合参数？"

Dyson想了想，伸出四根手指头。

然后Fermi援引了John von Neumann的一句名言："给我四个参数，我能拟合出一头大象，多给一个我还能让大象的鼻子甩起来"。

Fermi的评价对Dyson的打击很大，不过Dyson事后回想却很感激Fermi。因为后续夸克模型的成功，证明当初Dyson的模型是错误的，Fermi阻止了Dyson在一条错误的道路上浪费时间。

Fermi的评论放到这个问题下其实也挺合适的，变量足够多，写成级数形式啥曲线都能给你拟合出来，但这样拟合的意义并不大，更像是凑结果。理想的情况，应该是从物理图像出发，推测出基本的函数形式，尽可能的减少需要拟合的参数，这样的结果才具有普遍意义。

不信？我当场拟合个大象给你看^[1]：

这是拟合鼻子能动的大象用到的五个参数：

参考

^Drawing an elephant with four complex parameters https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3254017

我在这里举一个我印象特别深的例子，就是分峰。对过渡金属配合物进行光谱测量，往往会得到一些峰看上去是几个峰组合而成。这时候有经验的科研人员会弄一个分峰软件，对一个胖峰，输入它是由几个峰组成的，程序就会相应的把一个大峰分解为若干个峰，这些峰叠加之后是原来的大峰。

看到这大家也都意识到了，到底一个峰是几个峰组合而来的是不知道的，写几软件就给你分解成几个。要想确定这个输入参数，必须使用基于量子力学的理论计算得到，或者使用其他实验手段来进行测量。

这个故事是我研究生上课听一位实验化学家老师讲的，印象十分深刻。因为后来我做光谱计算的工作时也遇到了这个问题。

感谢前面几个答主的回答。这几个回答所说的情况，其实各自都代表了一个类型。

题主在问题描述中已经提到了过拟合问题：任意多项式函数都可以拟合牛顿引力定律。可见题主也是有统计基础的。针对过拟合的问题，我们总是能够从拟合参数的置信区间中找到哪些参数是可靠的，哪些参数是不良定义（即过拟合的），从而扔掉不良定义的参数。因此，如果是一个牛顿引力定律的实验，虽然可以用任意高阶的多项式去拟合，但大概率你会发现最后还是只有 r^-2 次项有统计意义。此外，我们还可以通过观察协方差矩阵来分析各个拟合参数之间的相关性；如果有协方差接近 +1 或 -1 的，就说明这两个参数高度相关，可以、也应该合并为一个参数。因此，这种对拟合结果的统计学分析，可以帮助我们识别模型的可靠性。

题主问的第二种情况，x/(ax+b) 和 ln(ax+b)，大概率是可以直接分辨的，因为物理学要反应自然现实，模型需要符合量纲。除非 x 本身是一个无量纲数，否则，ln(ax+b) 中 ax+b 必定无量纲，那么 x/(ax+b) 肯定就有 x 的量纲。那么 y 究竟是什么量纲，就能确定哪个模型是正确的。

量纲分析是非常有用的东西。据说当年普朗克去猜黑体辐射公式，猜的过程中也依靠了量纲分析。

其次，像 x/(ax+b) 和 ln(ax+b) 这种完全不同类的函数形式，它们即使相近，也只可能在一个很有限的取值范围内相近。一旦超出这个取值范围，两个模型的差别就会拉大。我们很自然的就会想到，去更大范围内去测量数据，或者根据物理直觉，外推一些数据，从而判断模型的正误。事实上，当年促成黑体辐射公式的「紫外灾难」，说的正是物理学家对瑞利—金斯公式中的波长做外推，发现波长趋近于 0 时能量密度变成无穷大，而这是不可能的。所以大家哪怕尚不清楚正确的模型（普朗克的公式）是什么，也能知道当前的模型（瑞利—金斯公式）一定有问题。

第三类，像 @Triborg 老师提到的，拟合几个峰这种，就属于经验和理论都要结合的了。拟合峰中，峰的函数形式是可以确定的，不会错。拟合的参数无非就是有几个峰，峰在什么位置，峰宽多少。你当然可以把每个峰都看成是独立的，自由地拟合参数。但在很多情况下，考虑实际情况，可以对峰和峰之间的关系给出许多限制。比如，来自同一种物质、同一种物理环境下的峰，峰宽应当保持一致（相同或符合同一套展宽模型）；有些峰之间的相对强度应当是固定的，例如由于各种对称性破缺造成的谱线裂分；有些峰之间的位置差应当是固定的，例如以相同的视向速度运动会造成一致的多普勒频移，等等。这些实际情况可以帮助限定实际需要拟合的参数数量。

不管是上面哪一种情况，模型选择都需要符合实际数据所代表的体系，需要有实际意义。自然科学不是瞎编故事，拿到一堆数据瞎拟合一通而不去给出这么做的合理理由，这样的结果肯定是站不住脚的，也不会得到认可。

还有 @碗碗提到的

All the models are wrong, but some are useful.

这也正是经验主义的思想。物理学家中有一群人专门搞「唯象学」，就是这种纯粹用模型来描述观测结果的。当然，唯象不是目的，唯象只是手段。随着对研究对象认识的深入，有可能发掘出唯象模型背后更本质的规律。

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