面积有限的物体，周长是否有限？
这个问题挺有意思的，涉及到一些几何学的基本概念。简单来说，面积有限的物体，它的周长也是有限的。 但要说得详细一些，可能需要区分一下我们讨论的是哪种“物体”以及在什么样的空间背景下。
我们先从我们生活中最熟悉的二维平面图形开始说起。
在二维平面上：
想象一个我们能画出来的图形，比如一个正方形。它的面积是边长的平方，比如边长是5，面积就是25。它的周长是边长的4倍，就是20。如果我们把正方形变小，边长变成0.1，面积就是0.01，周长就是0.4。面积越小，周长也越小。
再想想一个圆。圆的面积是πr²，周长是2πr。如果我们想让圆的面积变得非常小，我们就需要减小它的半径r。当r趋向于0时，面积πr²也趋向于0，同时周长2πr也趋向于0。
这个规律在所有我们能想象到的、由有限条光滑曲线或者直线段围成的二维图形上都适用。任何一个“有形有状”的、面积是有限的二维图形，都可以被看作是由有限长度的边界线段（或者光滑曲线段）所围成的。 这些边界线的总长度，就是它的周长。既然我们能把它画出来，能测量它，那它的周长自然就应该是有限的。
那么，有没有例外呢？
这里就需要稍微深入一点，思考一下“面积有限”和“周长有限”到底是什么意思。
有限面积： 指的是图形所占据的二维空间区域的大小是一个具体的、可测量的数值，而不是无穷大。
有限周长： 指的是围成这个图形的边界线的总长度是一个具体的、可测量的数值，而不是无穷大。
在标准欧几里得几何（我们通常学习和接触的平面几何）中，如果一个区域的面积是有限的，那么它的边界也必然是由有限长度的曲线或线段组成的。
举个反面的例子会更有助于理解：
有没有一种情况，面积是有限的，但周长却是无限的？
在二维平面上，有一个非常著名的例子叫做科赫曲线（Koch curve），也叫雪花曲线。它是这样构造的：
1. 从一条线段开始。
2. 将这条线段分成三等份，去掉中间一段，并在原来的位置上画一个等边三角形的顶出去那部分。
3. 对新的每一段线段重复这个过程。
每一次重复，线段的数量会增加，总长度也会增加。你会发现，虽然科赫曲线“占地”的面积非常小（最终趋于一个有限值，因为不断向内收缩），但是它的边界却是由无数段越来越小的线段组成的。当你不断迭代下去，它的总长度会无限增长，趋于无穷大。
所以，科赫曲线是一个面积有限（在一定范围内），但周长无限的例子。
但是，这种科赫曲线有点“特殊”，它不是由简单的直线段或光滑曲线段围成的封闭图形，而是具有分形特征。它在任意小的尺度下都表现出相同的细节，非常“曲折”。
回到我们最初的理解：
当我们说一个“物体”的面积有限，通常指的是它有一个明确的、可被度量的二维轮廓或者三维体积。如果我们讨论的是一个封闭的、由有限个光滑曲线段或直线段组成的二维图形（这是我们最常见意义上的“图形”），那么它的面积和周长都是有限的。
再稍微扩展到三维空间：
如果一个三维物体的体积是有限的，它的表面积是否有限呢？
原则上也是一样的。一个有体积的物体，必然有一个封闭的、有限的表面来界定它的边界。比如一个球体，体积是(4/3)πr³，表面积是4πr²。缩小球体，体积和表面积都会缩小，但只要r是有限的，体积和表面积都是有限的。
但是，同样可以想象出一些“怪异”的三维结构，例如三维的科赫雪花之类的，它们可能在一个有限的范围内占据体积，但其表面“褶皱”得极其复杂，可能导致表面积趋于无穷。但这些通常不被认为是“常规”的、我们日常遇到的“物体”。
总结一下：
在我们通常意义下理解的，由有限条边界线段或光滑曲线围成的、在二维平面上的“物体”或“图形”，如果它的面积是有限的，那么它的周长也必然是有限的。 面积的有限性通常意味着它的边界是“规整”的，或者说没有“无限的曲折”去填满有限的空间。
科赫曲线这样的例子告诉我们，在数学中有一些构造可以突破这个直觉，但它们往往具有分形特征，并且其“周长”的概念也需要更精确的定义。对于我们日常生活中遇到的、我们能够清晰描绘或想象的物体来说，这个结论是成立的。
所以，当你看到一个面积有限的物体，可以放心地认为它的周长也是有限的，除非它是一个极其复杂、具有无限细节的分形结构。
我们先从我们生活中最熟悉的二维平面图形开始说起。
在二维平面上：
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这个规律在所有我们能想象到的、由有限条光滑曲线或者直线段围成的二维图形上都适用。任何一个“有形有状”的、面积是有限的二维图形，都可以被看作是由有限长度的边界线段（或者光滑曲线段）所围成的。 这些边界线的总长度，就是它的周长。既然我们能把它画出来，能测量它，那它的周长自然就应该是有限的。
那么，有没有例外呢？
这里就需要稍微深入一点，思考一下“面积有限”和“周长有限”到底是什么意思。
有限面积： 指的是图形所占据的二维空间区域的大小是一个具体的、可测量的数值，而不是无穷大。
有限周长： 指的是围成这个图形的边界线的总长度是一个具体的、可测量的数值，而不是无穷大。
在标准欧几里得几何（我们通常学习和接触的平面几何）中，如果一个区域的面积是有限的，那么它的边界也必然是由有限长度的曲线或线段组成的。
举个反面的例子会更有助于理解：
有没有一种情况，面积是有限的，但周长却是无限的？
在二维平面上，有一个非常著名的例子叫做科赫曲线（Koch curve），也叫雪花曲线。它是这样构造的：
1. 从一条线段开始。
2. 将这条线段分成三等份，去掉中间一段，并在原来的位置上画一个等边三角形的顶出去那部分。
3. 对新的每一段线段重复这个过程。
每一次重复，线段的数量会增加，总长度也会增加。你会发现，虽然科赫曲线“占地”的面积非常小（最终趋于一个有限值，因为不断向内收缩），但是它的边界却是由无数段越来越小的线段组成的。当你不断迭代下去，它的总长度会无限增长，趋于无穷大。
所以，科赫曲线是一个面积有限（在一定范围内），但周长无限的例子。
但是，这种科赫曲线有点“特殊”，它不是由简单的直线段或光滑曲线段围成的封闭图形，而是具有分形特征。它在任意小的尺度下都表现出相同的细节，非常“曲折”。
回到我们最初的理解：
当我们说一个“物体”的面积有限，通常指的是它有一个明确的、可被度量的二维轮廓或者三维体积。如果我们讨论的是一个封闭的、由有限个光滑曲线段或直线段组成的二维图形（这是我们最常见意义上的“图形”），那么它的面积和周长都是有限的。
再稍微扩展到三维空间：
如果一个三维物体的体积是有限的，它的表面积是否有限呢？
原则上也是一样的。一个有体积的物体，必然有一个封闭的、有限的表面来界定它的边界。比如一个球体，体积是(4/3)πr³，表面积是4πr²。缩小球体，体积和表面积都会缩小，但只要r是有限的，体积和表面积都是有限的。
但是，同样可以想象出一些“怪异”的三维结构，例如三维的科赫雪花之类的，它们可能在一个有限的范围内占据体积，但其表面“褶皱”得极其复杂，可能导致表面积趋于无穷。但这些通常不被认为是“常规”的、我们日常遇到的“物体”。
总结一下：
在我们通常意义下理解的，由有限条边界线段或光滑曲线围成的、在二维平面上的“物体”或“图形”，如果它的面积是有限的，那么它的周长也必然是有限的。 面积的有限性通常意味着它的边界是“规整”的，或者说没有“无限的曲折”去填满有限的空间。
科赫曲线这样的例子告诉我们，在数学中有一些构造可以突破这个直觉，但它们往往具有分形特征，并且其“周长”的概念也需要更精确的定义。对于我们日常生活中遇到的、我们能够清晰描绘或想象的物体来说，这个结论是成立的。
所以，当你看到一个面积有限的物体，可以放心地认为它的周长也是有限的，除非它是一个极其复杂、具有无限细节的分形结构。
网友意见
这里开一个回答，是因为有很多人举矩形的例子，但这样的构造方式是错误的。
题目的意思是：存在一个图形 ，使得 的面积是 并且 的周长是无限的。
很多人的理解是：对于任何正数 ，总存在一个面积为 的图形 ，使 的周长大于
请大家体会一下区别。
假设面积为1的矩形集合是 。他们仅仅证明了集合 中图形的周长没有上界，而并没有具体地构造出一个图形，使得这个图形的周长是正无穷。事实上，集合 中所有的图形的周长都是有限的实数。这就好像，有个数列 ，这个数列显然没有上界，但其中任何一个数都是有限的实数。
对比分形的答案。分形是一个具体的图形，它的周长是真正的正无穷。这就好像，有个数列 只有一个数 ，但 本身就是正无穷
矩形的回答其实是不靠谱的，那矩型做例子只能说明面积一定的物体周长可以任意大，不能说明周长可以无穷大。
正态分布类的答案也不那么完美，因为这个图形的围道在二维欧式空间(如果不考允许单点紧化之类的操作)里不是闭曲线。(虽然题目没有严格的要求要是一个闭曲线，但这个总是怪怪的)
相比而言，分型的例子我的确一下想不到很明显的不足之处。。
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