面积大于零的有界闭凸集的边界一定是简单闭曲线吗？

这个问题触及了几何学中一个非常核心的概念，那就是“边界”的性质。当我们谈论一个“面积大于零的有界闭凸集”，这在数学上通常指的是二维平面上的一个区域，它有确定的面积，不会无限延伸（有界），而且包含了它的边界（闭），并且任意两点之间的连线也完全包含在集合内部（凸）。

要回答“边界一定是简单闭曲线吗？”，我们需要一步步拆解这些概念，并思考它们之间的联系和可能出现的例外。

首先，我们来理解一下这些关键词：

有界（Bounded）: 意思是这个集合不会无限地向外扩张。你可以想象它被一个足够大的圆圈或方框完全包含住。
闭集（Closed Set）: 在拓扑学中，闭集包含了它所有的“极限点”。通俗地说，如果一个点可以通过集合内的点无限接近，那么这个点也必须属于这个集合。对于几何图形而言，这通常意味着图像是“实心的”，没有“洞”或者说“破损”。边界上的点都算作集合的一部分。
凸集（Convex Set）: 如果你取集合中的任意两个点，连接它们的直线段也完全包含在这个集合内部，那么这个集合就是凸集。一个圆、一个正方形、一个三角形都是凸集。一个带有凹陷的形状，比如一个新月，就不是凸集。
面积大于零（Area Greater Than Zero）: 这明确了我们讨论的是一个二维的“区域”，而不是一条线或者一个点。
边界（Boundary）: 集合的边界是这样一个点集：在这个点周围的任何一个足够小的区域里，都既包含集合内的点，也包含集合外的点。直观地说，边界就是我们通常理解的图形的“边缘”。
简单闭曲线（Simple Closed Curve）: 简单曲线是指它没有自交点，也就是说它不会“打结”或者“重复”自己。闭曲线是指曲线的起点和终点是同一个点，形成一个封闭的环。

现在，让我们来推导一下：

一个有界闭凸集，特别是面积大于零的，意味着它在二维平面上占据了一个实实在在的区域。由于它是闭集，它包含了它所有的边界点。由于它是凸集，它的内部区域是“光滑”的，没有向内凹陷的部分。

在这种情况下，它的边界确实几乎总是一个简单闭曲线。为什么这么说呢？

1. 封闭性（Closed）： 既然是闭集，它的边界自然是封闭的，不会是开放的线段。
2. 自洽性（Selfcontained）： 因为集合是凸的，这意味着边界上任何一点的“局部邻域”都会与集合的内部和外部都有交集。如果边界不是一个简单闭曲线，比如它有自交点或者断裂，那么凸性的性质就会被破坏。想象一下，如果边界有一个自交点，那么连接自交点两侧的两个点（它们都在边界上）的直线段，可能会穿过集合的外部，这与凸集定义矛盾。

举例说明：

圆盘（Disc）： 一个圆盘（一个圆以及它内部所有点）是一个典型的有界闭凸集。它的边界是圆周，这是一个完美的简单闭曲线。
多边形（Polygon）： 一个填充了的三角形、正方形、五边形等，它们都是有界闭凸集。它们的边界是由有限条线段组成的，这些线段首尾相连形成一个封闭的回路，没有自交点，是典型的简单闭曲线。
椭圆盘（Elliptical Disc）： 类似地，一个椭圆盘的边界也是一个简单闭曲线。

那么，为什么说“几乎总是”呢？是否存在一些我们直观上不太容易想到的情况？

在严格的数学定义下，对于“面积大于零的有界闭凸集”，它的边界确实会是简单闭曲线。这里需要对“简单闭曲线”有一个更精确的定义，但通常我们理解的圆、椭圆、多边形边缘都是符合的。

可能让人产生误解的地方（但通常不符合“面积大于零”的定义）：

由可数个“点”组成的集合： 比如只包含一系列离散点的集合，其边界也可能是离散的点，但这样的集合面积为零。
勒贝格可测集中的一些边缘情况： 在更抽象的测度论和泛函分析中，可能会出现一些边界更复杂的集合，但这些通常不会是我们日常理解的“几何图形”。对于我们通常意义上的几何学讨论，这个结论是成立的。

更深入的思考：

为什么凸性如此重要？凸性保证了集合的“平滑度”和“完整性”。它排除了任何形式的“凹陷”或者“尖角”导致边界的“复杂化”的可能。想象一下，如果一个闭集有一个“凹陷”，那么连接凹陷内部一点和外部一点的直线段可能不完全在集合内部，那就不是凸集了。因此，凸集要求边界在某种意义上是“向外凸出的”。

总结来说：

对于一个在二维平面上的、面积大于零的有界闭凸集，它的边界一定是简单闭曲线。这个“简单闭曲线”包含了我们常见的圆周、椭圆周以及由直线段构成的封闭图形的边缘。凸性的几何特征确保了边界不会出现自交或者断裂，从而形成一个封闭、连续且不“折叠”的曲线。

所以，答案是肯定的，并且这种确定性源于凸集本身固有的几何属性。

网友意见

如楼上答主所说，可以视作“欧氏空间的紧凸集同胚于单位闭球”的推论。补充一个以前写过的详细点的证明

边界应该还有更强的正则性，比如实分析告诉我们R上的凸函数几乎处处二阶可导。

首先，平面上一个闭凸集的面积大于零，说明该集合的仿射包一定是全空间，从而一定具有内部。因为凸集的性质导致其一定有相对内部，面积大于零就确保了凸集的维数。

一个二维的有界闭凸集的边界一定是简单闭曲线。不仅如此，一个n维的有界闭凸集的边界一定同胚于n维球面。而且，我们可以构造地证明这一点。

只需要把凸集平移使得原点在凸集内部，那么从原点出发的任意一条射线一定只与凸集边界交于一点。否则，由于原点在凸集内部，则有一个边界点在另一个边界点与原点的连线上，而根据凸集性质，这根连线除了两端点都在凸集(相对)内部，这就矛盾了。又由于题设凸集有界，我们也就构造了任意方向的射线与凸集边界上的点的一一对应，也即单位球面的点与凸集的一一对应。

下面说明连续。取闭凸集边界上的一个开集A，容易证明其对应的射线的并是一个开的锥。记锥为K，取锥上的一个点a，一定对应闭凸集边界上的一个点a'，则存在该边界点a'为心的开球B(a')，使得B(a')完全包含在锥K里。假设不存在，那我们就找到了一列趋于a'的点列a_n，且a_n不属于锥K。我们过原点向这些a_n做射线与边界的交点a_n'也就不在开集A中且趋于a'而这与a'是开集A中的点矛盾。从而我们找到了B(a')，沿着射线射影变换到以a为中心的开球也在锥K里于是锥K是R^n中的开集。从而锥K交单位球得到其上的开集。由于单位球也是有界闭凸集，反过来一样成立。于是两个方向映射都是连续的了。

综上我们构造地证明了两者同胚，此时原问题就是该结论的一个推论。与简单闭曲线同胚的流形也是简单闭曲线，而二维单位圆是一个简单闭曲线。

应该也可以不用同胚这样的工具，直接构造这样的闭曲线也是可以的，这里是想推广到有限维，说明有界闭凸集是多么好性质的一种集合，好到可以当作单位球来处理。

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