有哪些向量化写法让你拍案叫绝？
那些让你拍案叫绝的向量化写法，往往隐藏在对数据处理的深刻理解和对代码效率的极致追求之中。它们不是简单的“循环换成向量”，而是对问题本质的洞察，将复杂的计算流程优雅地映射到向量操作的并行特性上。
我曾不止一次地在工作中遇到这样的场景，一段原本需要数秒甚至分钟的循环计算，在应用了巧妙的向量化技巧后，眨眼之间就完成了。那种感觉，就像是突然解锁了某个隐藏的加速键，让人由衷地赞叹：原来还可以这样！
下面我就来分享一些让我印象深刻，甚至是“拍案叫绝”的向量化写法，并尽量用通俗易懂的方式来讲述。
1. 条件判断的艺术： `np.where` 和布尔索引的妙用
在很多数据处理中，我们都需要根据某个条件来决定取哪个值，或者修改哪个值。传统写法可能就是一个 `ifelse` 或者 `for` 循环，但向量化则能将其一网打尽。
场景： 假设我们有一个包含学生各科成绩的 NumPy 数组，我们想根据总分来给学生标记“优秀”（总分大于一定阈值）或“及格”。
传统写法（伪代码，但能说明意思）：
```
results = []
for student_scores in all_student_data:
total_score = sum(student_scores)
if total_score > threshold:
results.append("优秀")
else:
results.append("及格")
```
这没什么问题，但如果数据量很大，循环就会成为瓶颈。
向量化写法 1：`np.where`
`np.where(condition, x, y)` 是一个非常有用的函数，它会在 `condition` 为 True 的地方取 `x` 的值，在 `condition` 为 False 的地方取 `y` 的值。这里的 `condition`, `x`, `y` 都可以是数组。
```python
import numpy as np
假设这是所有学生所有科目的成绩，形状为 (学生数, 科目数)
scores = np.array([
[85, 90, 78],
[92, 88, 95],
[70, 75, 68],
[98, 99, 97]
])
threshold = 260 总分阈值
计算每位学生的总分
total_scores = np.sum(scores, axis=1)
使用 np.where 进行条件判断
grades = np.where(total_scores > threshold, "优秀", "及格")
print(grades)
输出: ['优秀' '优秀' '及格' '优秀']
```
为什么拍案叫绝？
简洁明了： 一行代码就完成了原本需要 `ifelse` 和循环才能实现的功能。
性能提升： NumPy 底层会调用高度优化的 C 语言函数来处理这些操作，速度远超Python原生循环。
可读性强： `np.where` 的名字本身就说明了它的用途，加上参数，一眼就能看出逻辑。
向量化写法 2：布尔索引
布尔索引是 NumPy 最强大的特性之一，它允许我们使用一个布尔数组来选择、修改或筛选另一个数组中的元素。
```python
还是用上面的 scores 和 total_scores
创建一个布尔数组，标记总分大于阈值的学生
is_excellent = total_scores > threshold
初始化一个结果数组，先全设为"及格"
grades = np.full(total_scores.shape, "及格", dtype=object) 注意 dtype=object 因为是字符串
使用布尔索引将符合条件的标记为"优秀"
grades[is_excellent] = "优秀"
print(grades)
输出: ['优秀' '优秀' '及格' '优秀']
```
为什么拍案叫绝？
灵活性： 布尔索引可以用于直接修改部分元素，非常灵活。你可以先根据一个条件筛选出一部分数据，再对这部分数据应用另一个操作。
多条件组合： 结合逻辑运算符（`&` for AND, `|` for OR, `~` for NOT），可以实现非常复杂的条件筛选和赋值。
原地修改效率： 在很多情况下，布尔索引的赋值是原地进行的，避免了创建中间副本，效率更高。
对比 `np.where` 和布尔索引：
当你的逻辑是“如果满足某个条件，就取A，否则取B”时，`np.where` 通常更简洁直接。
当你的逻辑是“先找到满足条件的元素，然后对它们进行修改/赋值”时，布尔索引则更为自然和强大。
2. 规约操作的强大：`np.sum`, `np.mean`, `np.std`, `np.max`, `np.min` 等的 `axis` 参数
规约操作（Reduction Operations）是指将一个数组“压缩”成一个标量或更低维度的数组的操作，比如求和、求平均值、求最大值等等。NumPy 的规约函数非常强大，尤其是 `axis` 参数的使用，让我们可以轻松地对数据进行按维度规约。
场景： 在上面的学生成绩例子中，我们已经用到了 `np.sum(scores, axis=1)` 来计算每位学生的总分。这本身就是一个规约操作。
更进一步的例子：
计算每个科目的平均分：
```python
axis=0 表示沿着行的方向进行规约，也就是对每一列（科目）进行操作
average_scores_per_subject = np.mean(scores, axis=0)
print(average_scores_per_subject)
输出: [86.25 87.75 83.25] (第一科的平均分，第二科的平均分，第三科的平均分)
```
找到每位学生的最高分：
```python
highest_score_per_student = np.max(scores, axis=1)
print(highest_score_per_student)
输出: [90 95 75 99]
```
找到所有学生所有科目的最低分：
```python
overall_lowest_score = np.min(scores) 不指定 axis 就是对整个数组进行规约
print(overall_lowest_score)
输出: 68
```
为什么拍案叫绝？
维度控制： `axis` 参数让我们可以精确控制规约操作的进行方向。`axis=0` 是列方向，`axis=1` 是行方向（对于二维数组）。不指定 `axis` 则作用于整个数组。
效率： 这些内置的规约函数都是高度优化的，比自己手动写循环来计算这些要快得多。
数据分析基石： 大多数数据分析都需要进行各种形式的聚合和规约，掌握 `axis` 参数是进行高效数据分析的关键。
3. 广播（Broadcasting）机制：让形状不匹配的数组协同工作
这是 NumPy 最令人着迷也最强大的特性之一。广播允许 NumPy 在执行算术运算时，对形状不同的数组进行“假想”的扩展，使得它们能够进行元素级操作，而无需显式地复制数据。
核心思想： 如果两个数组的维度相同，或者一个数组的维度为 1，那么它们就可以进行广播。广播规则是从维度小的数组的“尾部”开始，向头部匹配。如果一个维度不匹配（非1），那么必须相等。如果一个维度其中一个数组为1，则沿该维度复制，直到匹配另一个数组的维度。
场景： 假设我们要给所有学生的每一科成绩都增加一个“加分项”，比如每科加5分。
传统写法（伪代码）：
```
for i in range(num_students):
for j in range(num_subjects):
all_student_data[i][j] += 5
```
向量化写法：
```python
scores = np.array([
[85, 90, 78],
[92, 88, 95],
[70, 75, 68],
[98, 99, 97]
])
bonus_points = 5
直接相加！NumPy 会自动将标量 5 广播到与 scores 同一形状的数组
scores_with_bonus = scores + bonus_points
print(scores_with_bonus)
输出:
[[90 95 83]
[97 93 100]
[75 80 73]
[103 104 102]]
```
更复杂的广播例子：
假设我们有一个 `[10, 20, 30]` 的向量，和一个 `[[1], [2], [3]]` 的向量。我们想计算它们的“外积相加”（虽然这不是严格的外积，但可以理解为将第一个向量加到第二个向量的每一行上）。
```python
row_vector = np.array([10, 20, 30]) shape (3,)
col_vector = np.array([[1], [2], [3]]) shape (3, 1)
观察形状：(3,) 和 (3, 1)
NumPy 会这样广播：
row_vector (3,) > (1, 3) (因为只有一个维度，可以看作是 1 维的，广播成 2D 时，前面加1)
col_vector (3, 1) 保持不变
广播过程：
row_vector becomes:
[[10, 20, 30]] 形状 (1, 3)
col_vector remains:
[[1],
[2],
[3]] 形状 (3, 1)
此时，维度对比：
(1, 3)
(3, 1)
对不匹配的维度 (1 vs 3, 3 vs 1)，其中一个必须是 1。
row_vector 的第一个维度 (1) 匹配 col_vector 的第一个维度 (3) > col_vector 的第一个维度复制 1 次
row_vector 的第二个维度 (3) 匹配 col_vector 的第二个维度 (1) > row_vector 的第二个维度复制 3 次
最终广播后，两者都成为形状 (3, 3)
row_vector 广播成:
[[10, 20, 30],
[10, 20, 30],
[10, 20, 30]]
col_vector 广播成:
[[1, 1, 1],
[2, 2, 2],
[3, 3, 3]]
result = row_vector + col_vector
print(result)
输出:
[[11 21 31]
[12 22 32]
[13 23 33]]
```
为什么拍案叫绝？
代码简洁到极致： 这是最直接体现 NumPy 哲学的地方。你不需要写任何循环，直接将具有不同形状但逻辑上可以兼容的数组写在一起，NumPy 会帮你搞定。
内存效率高： 广播不真正复制数据（除非需要），而是通过索引机制来实现“逻辑上的复制”，大大节省内存。
揭示数据结构关系： 广播机制强迫你去思考数据之间的维度关系和对应关系，这本身就是一种数据思维的锻炼。一旦理解了广播，很多原本复杂的矩阵运算都能变得直观起来。
4. 詹姆斯·邦德式的代码：`np.linalg.norm` 或 `np.sqrt(np.sum(x2))`
在科学计算和机器学习中，计算向量的范数（长度）是司空见惯的操作。比如计算两个向量之间的距离，或者衡量一个向量的大小。
场景： 计算一个向量的 L2 范数（欧几里得范数）。
传统写法：
```python
vector = np.array([3, 4])
sum_of_squares = 0
for element in vector:
sum_of_squares += element2
norm = np.sqrt(sum_of_squares)
print(norm) 输出 5.0
```
向量化写法 1：利用 `np.sum` 和平方
```python
vector = np.array([3, 4])
先平方，然后求和，最后开方
norm = np.sqrt(np.sum(vector2))
print(norm) 输出 5.0
```
为什么拍案叫绝？
数学上的直接映射： `vector2` 得到了 `[9, 16]`，`np.sum()` 得到 `25`，`np.sqrt()` 得到 `5`。整个过程完美地将数学公式 `√(∑xᵢ²)` 直接翻译成了代码。
清晰且效率高： 每一项操作都清晰明了，并且底层是高度优化的。
向量化写法 2：`np.linalg.norm`
NumPy 的 `linalg`（线性代数）模块提供了专门计算范数的函数。
```python
vector = np.array([3, 4])
norm = np.linalg.norm(vector) 默认就是 L2 范数
print(norm) 输出 5.0
```
为什么拍案叫绝？
专业且简洁： `linalg.norm` 直接表达了“计算范数”的意图，比 `sqrt(sum(x2))` 更具专业性。
处理多种范数： `np.linalg.norm` 还可以计算 L1 范数 (`ord=1`)、无穷范数 (`ord=np.inf`) 等等，提供了极大的灵活性。
隐藏复杂性： 对于更复杂的向量或矩阵范数计算，`linalg` 模块封装了底层的数值计算细节，让你专注于问题的本质。
总结一下那些让我拍案叫绝的向量化特质：
1. 数学公式到代码的直接映射： 那些能让你一眼看出它对应哪个数学概念（如范数、矩阵乘法）的代码，总能带来惊喜。
2. 对循环的“消灭”： 将繁琐的 Python 循环替换为简洁的 NumPy 操作，这本身就是一种优雅的胜利。
3. 对底层优化的驾驭： 通过向量化，你是在调用 C/Fortran 写的底层优化库，这种效率的飞跃是令人振奋的。
4. 对数据结构的洞察： 广播机制尤其如此，它迫使你去理解数据的形状和维度关系，从而写出更通用、更灵活的代码。
5. 简洁之下的强大能力： 几行看似简单的代码，却能处理百万级甚至千万级的数据，这种“四两拨千斤”的力量感，才是我认为最拍案叫绝的地方。
掌握这些向量化技巧，不仅仅是提升了代码的速度，更是提升了你解决问题的思维方式。它让你从“一步一步怎么做”转变为“数据整体是什么关系”，从“如何控制流程”转变为“如何表达计算逻辑”。这是一种从工程思维到数学思维的升华。每一次巧妙的向量化应用，都像是找到了一把解锁数据潜能的钥匙，让人回味无穷。
我曾不止一次地在工作中遇到这样的场景，一段原本需要数秒甚至分钟的循环计算，在应用了巧妙的向量化技巧后，眨眼之间就完成了。那种感觉，就像是突然解锁了某个隐藏的加速键，让人由衷地赞叹：原来还可以这样！
下面我就来分享一些让我印象深刻，甚至是“拍案叫绝”的向量化写法，并尽量用通俗易懂的方式来讲述。
1. 条件判断的艺术： `np.where` 和布尔索引的妙用
在很多数据处理中，我们都需要根据某个条件来决定取哪个值，或者修改哪个值。传统写法可能就是一个 `ifelse` 或者 `for` 循环，但向量化则能将其一网打尽。
场景： 假设我们有一个包含学生各科成绩的 NumPy 数组，我们想根据总分来给学生标记“优秀”（总分大于一定阈值）或“及格”。
传统写法（伪代码，但能说明意思）：
```
results = []
for student_scores in all_student_data:
total_score = sum(student_scores)
if total_score > threshold:
results.append("优秀")
else:
results.append("及格")
```
这没什么问题，但如果数据量很大，循环就会成为瓶颈。
向量化写法 1：`np.where`
`np.where(condition, x, y)` 是一个非常有用的函数，它会在 `condition` 为 True 的地方取 `x` 的值，在 `condition` 为 False 的地方取 `y` 的值。这里的 `condition`, `x`, `y` 都可以是数组。
```python
import numpy as np
假设这是所有学生所有科目的成绩，形状为 (学生数, 科目数)
scores = np.array([
[85, 90, 78],
[92, 88, 95],
[70, 75, 68],
[98, 99, 97]
])
threshold = 260 总分阈值
计算每位学生的总分
total_scores = np.sum(scores, axis=1)
使用 np.where 进行条件判断
grades = np.where(total_scores > threshold, "优秀", "及格")
print(grades)
输出: ['优秀' '优秀' '及格' '优秀']
```
为什么拍案叫绝？
简洁明了： 一行代码就完成了原本需要 `ifelse` 和循环才能实现的功能。
性能提升： NumPy 底层会调用高度优化的 C 语言函数来处理这些操作，速度远超Python原生循环。
可读性强： `np.where` 的名字本身就说明了它的用途，加上参数，一眼就能看出逻辑。
向量化写法 2：布尔索引
布尔索引是 NumPy 最强大的特性之一，它允许我们使用一个布尔数组来选择、修改或筛选另一个数组中的元素。
```python
还是用上面的 scores 和 total_scores
创建一个布尔数组，标记总分大于阈值的学生
is_excellent = total_scores > threshold
初始化一个结果数组，先全设为"及格"
grades = np.full(total_scores.shape, "及格", dtype=object) 注意 dtype=object 因为是字符串
使用布尔索引将符合条件的标记为"优秀"
grades[is_excellent] = "优秀"
print(grades)
输出: ['优秀' '优秀' '及格' '优秀']
```
为什么拍案叫绝？
灵活性： 布尔索引可以用于直接修改部分元素，非常灵活。你可以先根据一个条件筛选出一部分数据，再对这部分数据应用另一个操作。
多条件组合： 结合逻辑运算符（`&` for AND, `|` for OR, `~` for NOT），可以实现非常复杂的条件筛选和赋值。
原地修改效率： 在很多情况下，布尔索引的赋值是原地进行的，避免了创建中间副本，效率更高。
对比 `np.where` 和布尔索引：
当你的逻辑是“如果满足某个条件，就取A，否则取B”时，`np.where` 通常更简洁直接。
当你的逻辑是“先找到满足条件的元素，然后对它们进行修改/赋值”时，布尔索引则更为自然和强大。
2. 规约操作的强大：`np.sum`, `np.mean`, `np.std`, `np.max`, `np.min` 等的 `axis` 参数
规约操作（Reduction Operations）是指将一个数组“压缩”成一个标量或更低维度的数组的操作，比如求和、求平均值、求最大值等等。NumPy 的规约函数非常强大，尤其是 `axis` 参数的使用，让我们可以轻松地对数据进行按维度规约。
场景： 在上面的学生成绩例子中，我们已经用到了 `np.sum(scores, axis=1)` 来计算每位学生的总分。这本身就是一个规约操作。
更进一步的例子：
计算每个科目的平均分：
```python
axis=0 表示沿着行的方向进行规约，也就是对每一列（科目）进行操作
average_scores_per_subject = np.mean(scores, axis=0)
print(average_scores_per_subject)
输出: [86.25 87.75 83.25] (第一科的平均分，第二科的平均分，第三科的平均分)
```
找到每位学生的最高分：
```python
highest_score_per_student = np.max(scores, axis=1)
print(highest_score_per_student)
输出: [90 95 75 99]
```
找到所有学生所有科目的最低分：
```python
overall_lowest_score = np.min(scores) 不指定 axis 就是对整个数组进行规约
print(overall_lowest_score)
输出: 68
```
为什么拍案叫绝？
维度控制： `axis` 参数让我们可以精确控制规约操作的进行方向。`axis=0` 是列方向，`axis=1` 是行方向（对于二维数组）。不指定 `axis` 则作用于整个数组。
效率： 这些内置的规约函数都是高度优化的，比自己手动写循环来计算这些要快得多。
数据分析基石： 大多数数据分析都需要进行各种形式的聚合和规约，掌握 `axis` 参数是进行高效数据分析的关键。
3. 广播（Broadcasting）机制：让形状不匹配的数组协同工作
这是 NumPy 最令人着迷也最强大的特性之一。广播允许 NumPy 在执行算术运算时，对形状不同的数组进行“假想”的扩展，使得它们能够进行元素级操作，而无需显式地复制数据。
核心思想： 如果两个数组的维度相同，或者一个数组的维度为 1，那么它们就可以进行广播。广播规则是从维度小的数组的“尾部”开始，向头部匹配。如果一个维度不匹配（非1），那么必须相等。如果一个维度其中一个数组为1，则沿该维度复制，直到匹配另一个数组的维度。
场景： 假设我们要给所有学生的每一科成绩都增加一个“加分项”，比如每科加5分。
传统写法（伪代码）：
```
for i in range(num_students):
for j in range(num_subjects):
all_student_data[i][j] += 5
```
向量化写法：
```python
scores = np.array([
[85, 90, 78],
[92, 88, 95],
[70, 75, 68],
[98, 99, 97]
])
bonus_points = 5
直接相加！NumPy 会自动将标量 5 广播到与 scores 同一形状的数组
scores_with_bonus = scores + bonus_points
print(scores_with_bonus)
输出:
[[90 95 83]
[97 93 100]
[75 80 73]
[103 104 102]]
```
更复杂的广播例子：
假设我们有一个 `[10, 20, 30]` 的向量，和一个 `[[1], [2], [3]]` 的向量。我们想计算它们的“外积相加”（虽然这不是严格的外积，但可以理解为将第一个向量加到第二个向量的每一行上）。
```python
row_vector = np.array([10, 20, 30]) shape (3,)
col_vector = np.array([[1], [2], [3]]) shape (3, 1)
观察形状：(3,) 和 (3, 1)
NumPy 会这样广播：
row_vector (3,) > (1, 3) (因为只有一个维度，可以看作是 1 维的，广播成 2D 时，前面加1)
col_vector (3, 1) 保持不变
广播过程：
row_vector becomes:
[[10, 20, 30]] 形状 (1, 3)
col_vector remains:
[[1],
[2],
[3]] 形状 (3, 1)
此时，维度对比：
(1, 3)
(3, 1)
对不匹配的维度 (1 vs 3, 3 vs 1)，其中一个必须是 1。
row_vector 的第一个维度 (1) 匹配 col_vector 的第一个维度 (3) > col_vector 的第一个维度复制 1 次
row_vector 的第二个维度 (3) 匹配 col_vector 的第二个维度 (1) > row_vector 的第二个维度复制 3 次
最终广播后，两者都成为形状 (3, 3)
row_vector 广播成:
[[10, 20, 30],
[10, 20, 30],
[10, 20, 30]]
col_vector 广播成:
[[1, 1, 1],
[2, 2, 2],
[3, 3, 3]]
result = row_vector + col_vector
print(result)
输出:
[[11 21 31]
[12 22 32]
[13 23 33]]
```
为什么拍案叫绝？
代码简洁到极致： 这是最直接体现 NumPy 哲学的地方。你不需要写任何循环，直接将具有不同形状但逻辑上可以兼容的数组写在一起，NumPy 会帮你搞定。
内存效率高： 广播不真正复制数据（除非需要），而是通过索引机制来实现“逻辑上的复制”，大大节省内存。
揭示数据结构关系： 广播机制强迫你去思考数据之间的维度关系和对应关系，这本身就是一种数据思维的锻炼。一旦理解了广播，很多原本复杂的矩阵运算都能变得直观起来。
4. 詹姆斯·邦德式的代码：`np.linalg.norm` 或 `np.sqrt(np.sum(x2))`
在科学计算和机器学习中，计算向量的范数（长度）是司空见惯的操作。比如计算两个向量之间的距离，或者衡量一个向量的大小。
场景： 计算一个向量的 L2 范数（欧几里得范数）。
传统写法：
```python
vector = np.array([3, 4])
sum_of_squares = 0
for element in vector:
sum_of_squares += element2
norm = np.sqrt(sum_of_squares)
print(norm) 输出 5.0
```
向量化写法 1：利用 `np.sum` 和平方
```python
vector = np.array([3, 4])
先平方，然后求和，最后开方
norm = np.sqrt(np.sum(vector2))
print(norm) 输出 5.0
```
为什么拍案叫绝？
数学上的直接映射： `vector2` 得到了 `[9, 16]`，`np.sum()` 得到 `25`，`np.sqrt()` 得到 `5`。整个过程完美地将数学公式 `√(∑xᵢ²)` 直接翻译成了代码。
清晰且效率高： 每一项操作都清晰明了，并且底层是高度优化的。
向量化写法 2：`np.linalg.norm`
NumPy 的 `linalg`（线性代数）模块提供了专门计算范数的函数。
```python
vector = np.array([3, 4])
norm = np.linalg.norm(vector) 默认就是 L2 范数
print(norm) 输出 5.0
```
为什么拍案叫绝？
专业且简洁： `linalg.norm` 直接表达了“计算范数”的意图，比 `sqrt(sum(x2))` 更具专业性。
处理多种范数： `np.linalg.norm` 还可以计算 L1 范数 (`ord=1`)、无穷范数 (`ord=np.inf`) 等等，提供了极大的灵活性。
隐藏复杂性： 对于更复杂的向量或矩阵范数计算，`linalg` 模块封装了底层的数值计算细节，让你专注于问题的本质。
总结一下那些让我拍案叫绝的向量化特质：
1. 数学公式到代码的直接映射： 那些能让你一眼看出它对应哪个数学概念（如范数、矩阵乘法）的代码，总能带来惊喜。
2. 对循环的“消灭”： 将繁琐的 Python 循环替换为简洁的 NumPy 操作，这本身就是一种优雅的胜利。
3. 对底层优化的驾驭： 通过向量化，你是在调用 C/Fortran 写的底层优化库，这种效率的飞跃是令人振奋的。
4. 对数据结构的洞察： 广播机制尤其如此，它迫使你去理解数据的形状和维度关系，从而写出更通用、更灵活的代码。
5. 简洁之下的强大能力： 几行看似简单的代码，却能处理百万级甚至千万级的数据，这种“四两拨千斤”的力量感，才是我认为最拍案叫绝的地方。
掌握这些向量化技巧，不仅仅是提升了代码的速度，更是提升了你解决问题的思维方式。它让你从“一步一步怎么做”转变为“数据整体是什么关系”，从“如何控制流程”转变为“如何表达计算逻辑”。这是一种从工程思维到数学思维的升华。每一次巧妙的向量化应用，都像是找到了一把解锁数据潜能的钥匙，让人回味无穷。
网友意见
这题可以答上好一阵子了。。。
1 Permutation问题
问题描述：如果给你1,2,3,...,9，让你写一个函数返回他们的9!=362880个全排列你会怎么做？
我当时在使用R语言开发一个包， 因为很多函数都需要生成全排列，而我又没在网上找到一个合适的代码，就只好自己写了。不小心写了一个R里面最快的出来。我相信肯定有人会优化的比我好，但是目前开源的R代码中我还没有找到，可能这个问题太小众了， 如果有，请告诉我，多谢。
实现相同功能的函数， 我找到了如下几个：
combinat包的permn函数， gtools包的permutations函数，permute包的allPerms函数。 我的代码如下：
鉴于permue包的allPerms函数只能排列7个元素， 我们就对比下从1到7产生全排列的速度好了。 结果如下
速度上直接把他们爆出翔了有木有？ 如果你把7增大的9甚至10。 另外三个函数运算等待的时间会让你酸爽无比。
我来解释下这段代码
这个问题最直观的想法就是用递归， 你去Google搜索算法，十有八九都是用递归的。在generate n个数的全排列的时候，我们会调用generate n-1个数的全排列，如此往复。递归的方法虽然直观，但是当然是最慢的。如果我没记错的话，combinat包的permn函数和gtools的permutations函数都是用了递归的方法，不过刚才我查看了下源代码似乎作者已经优化了。
下面就有人给出来一个递归实现的例子（python）
Algorithm to generate all possible permutations of a list?如果我们把递归变成iterative的情况， 自然就优化了很多。
下面这个网站用了很多种语言来实现， 喜欢写JAVA和C++的可以自行对比比递归方法能快多少。
https://www. nayuki.io/page/next-lex icographical-permutation-algorithm我在R语言里写循环来避开递归， 但是发现速度比递归还要慢！
其实早在5年前的一次作业里， 我就用了一次向量化的方法来生成全排列， 想法如下：
假设我已经有了2个数的全排列矩阵：
[1， 2;
2， 1]
当我要生产3个数的全排列时，直接新建一个之全部为3的向量，并把他“夹在”两个A之间，就变成了这样：
[ 1, 2, 3, 1, 2;
2, 1, 3, 2, 1]
然后我对这个矩阵“切三刀”， 分别他的(1, 2, 3)列， （2， 3， 4）列， （3， 4， 5）列三个子矩阵：
[1, 2, 3;
2, 1, 3]
[2, 3, 1;
1, 3, 2]
[3, 1, 2;
3 , 2, 1]
OK了， 三个子矩阵纵向排在一起就是3元素的全排列了。 这个程序不难实现， 而且基本都是在矩阵的拼接和取子矩阵的操作。
但是假如我们有更高的要求，我希望返回的全排列是 lexicographical的， 也就是说是按照从大到小的顺序排列的， 那么个这个算法就需要做点修改了。
（注：按照顺序的意思是要按照（1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)这个顺序来排列）
于是乎我又有了新的想法。还是刚才的例子，假如我们已经生成了两个元素的全排列， 我们要生成3个元素的全排列并且是按照顺序来排列的。
要知道，这里的1， 2并不仅仅是元素1， 2， 更重要的是他表示的是下标。 比如我要对两个元素 v = c("tom", "mary")来实现全排列，那么矩阵是应该是这个样子的
[v[1]， v[2];
v[2]， v[1]]
也就是
["tom","mary";
"mary", "tom"]
有了这个认识， 那么就OK了。
我们可以按照这个矩阵分别排列（2， 3） （1， 3） （1， 2）等二元组的全排列（注意我的代码里的series[-p]就是在生成这个二元组）
于是你的矩阵变成了这个样子：
[2， 3;
3， 2]
[1， 3;
3， 1]
[1， 2;
2， 1]
我们只需要在他们的前面分别补充上缺失的第三个元素，1,1,2,2,3,3即可。
（代码的ans[1:faci, 1] = rep(1:i, each = faci_1)就是在补充第一列）
[1， 2， 3;
1， 3， 2]
[2， 1， 3;
2， 3， 1]
[3， 1， 2;
3， 2， 1]
大功告成！
2 repmat问题
这个算法不是我原创，但是绝逼是能用上的最魔性的向量化算法。众所周知Matlab里面有个repmat函数，相比R里面的rep函数，repmat可以直接将矩阵复制M*N次
函数如下：
运行结果
一行代码就搞定了repmat，还是让我惊叹线性代数的美妙！
P.S. 看到自己的包里存在这么一行comments，发现没被打也真是说明没人用这个包啊。。。
其实这段更魔性。。。但是没啥用就不长篇大论了。
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