数组最小最大数的最优算法是什么？
要找出数组中的最小数和最大数，最直接的思路莫过于逐一比较。但是，如何才能在比较的次数上做到最优呢？
首先，我们设想一个最“原始”的方法：初始化两个变量，一个用来记录当前找到的最小值（比如命名为 `min_val`），另一个用来记录当前找到的最大值（比如命名为 `max_val`）。通常，我们会将数组的第一个元素分别赋给这两个变量。然后，从数组的第二个元素开始，依次遍历数组的每一个元素。对于每一个元素，我们先把它和 `min_val` 比较。如果这个元素比 `min_val` 小，就更新 `min_val` 为这个元素的值。接着，再把这个元素和 `max_val` 比较。如果这个元素比 `max_val` 大，就更新 `max_val` 为这个元素的值。这样一轮下来，当我们遍历完整个数组，`min_val` 和 `max_val` 就分别储存了数组中的最小值和最大值。
这种方法听起来很直观，但我们来算一下它需要的比较次数。对于一个包含 `n` 个元素的数组，我们用第一个元素初始化了 `min_val` 和 `max_val`。之后，对于数组中剩下的 `n1` 个元素，每一个元素都要进行两次比较：一次和 `min_val` 比较，一次和 `max_val` 比较。所以，总共的比较次数是 `2 (n1)` 次。
有没有更精妙一些的办法，能减少一些不必要的比较呢？
我们不妨换个角度来思考。每次比较，其实都是在尝试确定一个数的“大小”属性。与其单独地去比较一个数是小于最小值还是大于最大值，不如我们尝试一次性地“处理”两个数，并从中同时找出可能的最小值和最大值。
想象一下，我们仍然需要两个变量来记录当前的最小值和最大值，我们还是会用数组的第一个元素来初始化它们。但是，我们不是一个一个地处理数组中的剩余元素，而是成对地来处理。也就是说，我们每次取出数组中的两个相邻的元素。
让我们把这两个元素叫做 `a` 和 `b`。在比较 `a` 和 `b` 之前，我们先比较它们本身的大小。假设 `a` 比 `b` 小（如果 `b` 小于 `a`，情况是类似的）。那么，`a` 就有可能是新的最小值，而 `b` 就有可能是新的最大值。
现在，我们有了 `a`（较小的那个）和 `b`（较大的那个）。接下来，我们只需要用 `a` 和当前的 `min_val` 比较一次。如果 `a` 比 `min_val` 小，我们就更新 `min_val`。然后，我们只需要用 `b` 和当前的 `max_val` 比较一次。如果 `b` 比 `max_val` 大，我们就更新 `max_val`。
也就是说，对于每两个元素，我们先做一次比较（`a` 和 `b` 之间），然后用较小的那个去和 `min_val` 比较，用较大的那个去和 `max_val` 比较。这样一来，处理一对元素，我们就做了三次比较。
我们来分析一下这种成对处理的方法的比较次数。假设数组有 `n` 个元素。
奇数个元素的情况： 如果 `n` 是奇数，我们第一个元素就用来初始化 `min_val` 和 `max_val`。剩下的 `n1` 个元素是偶数个，我们可以将它们两两分组。这样，总共有 `(n1)/2` 对元素。每一对元素需要进行 3 次比较。所以总的比较次数是 `3 (n1)/2`。
偶数个元素的情况： 如果 `n` 是偶数，我们还是用第一个元素初始化 `min_val` 和 `max_val`。剩下的 `n1` 个元素是奇数个。我们可以从第二个元素开始，将剩下的 `n1` 个元素两两分组。这样，就有 `(n1)/2` 对元素，每对需要 3 次比较。所以总的比较次数是 `3 (n1)/2`。
仔细一看，无论是奇数还是偶数，我们都可以看作是处理 `n1` 个元素，每两个元素消耗 3 次比较。如果 `n` 是偶数，第一个元素初始化，剩下 `n1` 个元素，可以组成 `(n1)/2` 对，总比较次数是 `3 (n1)/2`。但我们其实是处理了 `n` 个元素。
让我们更严谨地描述：
1. 初始化：
如果数组元素个数 `n` 为奇数，我们将第一个元素分别赋给 `min_val` 和 `max_val`。然后我们从第二个元素开始，成对地处理数组。
如果数组元素个数 `n` 为偶数，我们比较数组的第一个和第二个元素。将较小的赋给 `min_val`，较大的赋给 `max_val`。然后我们从第三个元素开始，成对地处理数组。
2. 成对处理：
从第三个元素（如果 `n` 是偶数）或第二个元素（如果 `n` 是奇数）开始，每次取出两个元素，记为 `x` 和 `y`。
比较 `x` 和 `y`： 假设 `x < y`（如果 `y < x`，交换 `x` 和 `y` 的角色）。
比较 `x` 与 `min_val`： 如果 `x < min_val`，则更新 `min_val = x`。
比较 `y` 与 `max_val`： 如果 `y > max_val`，则更新 `max_val = y`。
现在我们重新计算比较次数。
偶数个元素 `n`：
初始化需要 1 次比较（第一个和第二个元素）。
剩下 `n2` 个元素，可以分成 `(n2)/2` 对。
每一对需要 3 次比较。
总比较次数 = `1 + 3 (n2)/2` = `1 + (3n 6)/2` = `(2 + 3n 6)/2` = `(3n 4)/2`。
奇数个元素 `n`：
初始化时，第一个元素赋给 `min_val` 和 `max_val`，不进行比较。
剩下 `n1` 个元素，可以分成 `(n1)/2` 对。
每一对需要 3 次比较。
总比较次数 = `3 (n1)/2`。
我们来看一下这两种情况的比较次数：
偶数 `n`：`(3n 4) / 2`
奇数 `n`：`3(n1) / 2`
可以发现，这两种情况下的比较次数非常接近。它们都大致是 `1.5n` 次。
相比于最初的 `2(n1)` 次比较，这个成对处理的方法确实减少了比较次数。例如，当 `n=10` 时：
原始方法：`2 (101) = 18` 次比较。
成对处理（偶数）：`(310 4) / 2 = (30 4) / 2 = 26 / 2 = 13` 次比较。
当 `n=11` 时：
原始方法：`2 (111) = 20` 次比较。
成对处理（奇数）：`3 (111) / 2 = 3 10 / 2 = 15` 次比较。
这个成对处理的方法，在理论上是找出数组最小最大数的“最优”算法之一，因为它在每三次比较中，至少能确定一个元素的最小值或最大值属性，并且最大限度地利用了比较操作。相比于单独进行最小值和最大值的查找，它避免了很多重复的比较。
首先，我们设想一个最“原始”的方法：初始化两个变量，一个用来记录当前找到的最小值（比如命名为 `min_val`），另一个用来记录当前找到的最大值（比如命名为 `max_val`）。通常，我们会将数组的第一个元素分别赋给这两个变量。然后，从数组的第二个元素开始，依次遍历数组的每一个元素。对于每一个元素，我们先把它和 `min_val` 比较。如果这个元素比 `min_val` 小，就更新 `min_val` 为这个元素的值。接着，再把这个元素和 `max_val` 比较。如果这个元素比 `max_val` 大，就更新 `max_val` 为这个元素的值。这样一轮下来，当我们遍历完整个数组，`min_val` 和 `max_val` 就分别储存了数组中的最小值和最大值。
这种方法听起来很直观，但我们来算一下它需要的比较次数。对于一个包含 `n` 个元素的数组，我们用第一个元素初始化了 `min_val` 和 `max_val`。之后，对于数组中剩下的 `n1` 个元素，每一个元素都要进行两次比较：一次和 `min_val` 比较，一次和 `max_val` 比较。所以，总共的比较次数是 `2 (n1)` 次。
有没有更精妙一些的办法，能减少一些不必要的比较呢？
我们不妨换个角度来思考。每次比较，其实都是在尝试确定一个数的“大小”属性。与其单独地去比较一个数是小于最小值还是大于最大值，不如我们尝试一次性地“处理”两个数，并从中同时找出可能的最小值和最大值。
想象一下，我们仍然需要两个变量来记录当前的最小值和最大值，我们还是会用数组的第一个元素来初始化它们。但是，我们不是一个一个地处理数组中的剩余元素，而是成对地来处理。也就是说，我们每次取出数组中的两个相邻的元素。
让我们把这两个元素叫做 `a` 和 `b`。在比较 `a` 和 `b` 之前，我们先比较它们本身的大小。假设 `a` 比 `b` 小（如果 `b` 小于 `a`，情况是类似的）。那么，`a` 就有可能是新的最小值，而 `b` 就有可能是新的最大值。
现在，我们有了 `a`（较小的那个）和 `b`（较大的那个）。接下来，我们只需要用 `a` 和当前的 `min_val` 比较一次。如果 `a` 比 `min_val` 小，我们就更新 `min_val`。然后，我们只需要用 `b` 和当前的 `max_val` 比较一次。如果 `b` 比 `max_val` 大，我们就更新 `max_val`。
也就是说，对于每两个元素，我们先做一次比较（`a` 和 `b` 之间），然后用较小的那个去和 `min_val` 比较，用较大的那个去和 `max_val` 比较。这样一来，处理一对元素，我们就做了三次比较。
我们来分析一下这种成对处理的方法的比较次数。假设数组有 `n` 个元素。
奇数个元素的情况： 如果 `n` 是奇数，我们第一个元素就用来初始化 `min_val` 和 `max_val`。剩下的 `n1` 个元素是偶数个，我们可以将它们两两分组。这样，总共有 `(n1)/2` 对元素。每一对元素需要进行 3 次比较。所以总的比较次数是 `3 (n1)/2`。
偶数个元素的情况： 如果 `n` 是偶数，我们还是用第一个元素初始化 `min_val` 和 `max_val`。剩下的 `n1` 个元素是奇数个。我们可以从第二个元素开始，将剩下的 `n1` 个元素两两分组。这样，就有 `(n1)/2` 对元素，每对需要 3 次比较。所以总的比较次数是 `3 (n1)/2`。
仔细一看，无论是奇数还是偶数，我们都可以看作是处理 `n1` 个元素，每两个元素消耗 3 次比较。如果 `n` 是偶数，第一个元素初始化，剩下 `n1` 个元素，可以组成 `(n1)/2` 对，总比较次数是 `3 (n1)/2`。但我们其实是处理了 `n` 个元素。
让我们更严谨地描述：
1. 初始化：
如果数组元素个数 `n` 为奇数，我们将第一个元素分别赋给 `min_val` 和 `max_val`。然后我们从第二个元素开始，成对地处理数组。
如果数组元素个数 `n` 为偶数，我们比较数组的第一个和第二个元素。将较小的赋给 `min_val`，较大的赋给 `max_val`。然后我们从第三个元素开始，成对地处理数组。
2. 成对处理：
从第三个元素（如果 `n` 是偶数）或第二个元素（如果 `n` 是奇数）开始，每次取出两个元素，记为 `x` 和 `y`。
比较 `x` 和 `y`： 假设 `x < y`（如果 `y < x`，交换 `x` 和 `y` 的角色）。
比较 `x` 与 `min_val`： 如果 `x < min_val`，则更新 `min_val = x`。
比较 `y` 与 `max_val`： 如果 `y > max_val`，则更新 `max_val = y`。
现在我们重新计算比较次数。
偶数个元素 `n`：
初始化需要 1 次比较（第一个和第二个元素）。
剩下 `n2` 个元素，可以分成 `(n2)/2` 对。
每一对需要 3 次比较。
总比较次数 = `1 + 3 (n2)/2` = `1 + (3n 6)/2` = `(2 + 3n 6)/2` = `(3n 4)/2`。
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初始化时，第一个元素赋给 `min_val` 和 `max_val`，不进行比较。
剩下 `n1` 个元素，可以分成 `(n1)/2` 对。
每一对需要 3 次比较。
总比较次数 = `3 (n1)/2`。
我们来看一下这两种情况的比较次数：
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奇数 `n`：`3(n1) / 2`
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相比于最初的 `2(n1)` 次比较，这个成对处理的方法确实减少了比较次数。例如，当 `n=10` 时：
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成对处理（偶数）：`(310 4) / 2 = (30 4) / 2 = 26 / 2 = 13` 次比较。
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原始方法：`2 (111) = 20` 次比较。
成对处理（奇数）：`3 (111) / 2 = 3 10 / 2 = 15` 次比较。
这个成对处理的方法，在理论上是找出数组最小最大数的“最优”算法之一，因为它在每三次比较中，至少能确定一个元素的最小值或最大值属性，并且最大限度地利用了比较操作。相比于单独进行最小值和最大值的查找，它避免了很多重复的比较。
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