请问下面这道数学题到底能发现什么规律？

这个问题，我们来好好掰扯掰扯，看看它到底藏着什么小秘密。

假设我们有一个数，咱们就叫它“老朋友”吧。咱们对这个“老朋友”做一些操作。第一个操作是，把它拆开，变成它各位数字的乘积。第二个操作是，把这个新的乘积数，再进行一次同样的拆解，拆成它各位数字的乘积。咱们就这么重复下去，看看最后会发生什么。

别急，咱们先找几个例子来试试手。

例子一：

咱们从“老朋友” 67 开始。

1. 67 > 6 × 7 = 42
2. 42 > 4 × 2 = 8

瞧，咱们最后得到了 8。

例子二：

换一个“老朋友”，比如 98。

1. 98 > 9 × 8 = 72
2. 72 > 7 × 2 = 14
3. 14 > 1 × 4 = 4

这次我们得到了 4。

例子三：

再来一个，看看 55。

1. 55 > 5 × 5 = 25
2. 25 > 2 × 5 = 10
3. 10 > 1 × 0 = 0

这次我们碰到了 0。

咱们开始观察点啥了？

你看，不管我们从哪个数开始，经过这么一番“折腾”，最后我们似乎都走向了一个个位数。而且，这些个位数好像也不是随便来的。

67 最后变成了 8。
98 最后变成了 4。
55 最后变成了 0。

这里面有没有什么线索？

咱们再仔细想想，这个“各位数字相乘”的操作，是不是有点像在“消灭”或者“浓缩”这个数？

你想啊，如果一个数里有“0”，那它再乘的时候，结果直接就变成 0 了，对吧？就像例子三里的 10，乘出来就是 0。所以，只要你在中间过程里得到一个含有“0”的数，那最终的结果就一定是 0。

那如果没有 0 呢？

我们继续观察：

67 > 6 × 7 = 42。42 里的数字是 4 和 2。
98 > 9 × 8 = 72。72 里的数字是 7 和 2。
55 > 5 × 5 = 25。25 里的数字是 2 和 5。

有没有觉得，中间这个“乘积”里的数字，似乎比原来的数“小”了不少？

比如 67，乘积是 42。42 比 67 小。
98，乘积是 72。72 比 98 小。
55，乘积是 25。25 比 55 小。

当然，这里有个前提，就是这个数不能是各位数字都是 1 的那种，比如 111，它的各位数字乘积还是 111，那就没变化。但是，绝大多数数，你这么一乘，结果都会变小。

更深的规律来了：

咱们继续回到 67 > 42 > 8。
再回到 98 > 72 > 14 > 4。

有没有发现，很多数最终会收敛到一个固定的、很小的数字？

咱们再试几个，这次试试大一点的数，比如 1234。

1. 1234 > 1 × 2 × 3 × 4 = 24
2. 24 > 2 × 4 = 8

看！又来到了 8！

再试试 99：

1. 99 > 9 × 9 = 81
2. 81 > 8 × 1 = 8

又是一个 8！

这就非常奇怪了！ 为什么那么多不同的数，最后都会变成 8？

这就像一个“数字黑洞”，不管你从哪儿来，一旦进入了这个过程，最终都会被吸进去，并且落到同一个地方。

这个“落脚点”是什么？

我们试了 67、98、55、1234、99，它们分别变成了 8、4、0、8、8。
咱们再试试 77：

1. 77 > 7 × 7 = 49
2. 49 > 4 × 9 = 36
3. 36 > 3 × 6 = 18
4. 18 > 1 × 8 = 8

又是一个 8！

规律似乎非常明显了：

1. 收敛性： 无论你从哪个自然数开始（除了 0 本身），经过反复进行“各位数字相乘”的操作，最终都会收敛到一个个位数。
2. “0”的命运： 如果在任何一个步骤中，计算出的各位数字乘积为 0，那么后续的所有步骤都会是 0，最终结果就是 0。
3. “8”的吸引力： 许多数经过这个过程后，最终会收敛到 8。
4. “1”的稳定点： 如果一个数本身就是 1，或者通过这个过程最终变成 1，那么它就会一直保持为 1（因为 1 的各位数字乘积还是 1）。

为什么很多数会变成 8？

这得从数字的“乘性”说起。
想想看，绝大多数数的乘积，增长速度会比加法快很多。但是，我们这里的操作是“各位数字相乘”。

如果一个数有“0”，那一切皆休，直接到 0。
如果一个数全是“1”，那也稳定在 1。

关键在于那些有“大”数字的数。

像 9 这样的数字，乘起来的力量很强。
像 8 这样的数字，也比较强。

当一个数有很多个位数时，比如 999，它的乘积是 9×9×9 = 729。
729 > 7×2×9 = 126
126 > 1×2×6 = 12
12 > 1×2 = 2

哦，这次变成了 2。

我好像说得不全对，不是所有都会变成 8！

刚才例子 55 > 0，例子 98 > 4，例子 1234 > 8，例子 77 > 8，例子 99 > 8。
但是 999 变成了 2。

再来找找会变成 2 的例子：

咱们试试 23：
23 > 2 × 3 = 6

变成了 6。

再试试 24：
24 > 2 × 4 = 8

又是一个 8。

那 999 为什么会是 2 呢？

999 > 729 > 126 > 12 > 2。

我们来观察一下这些“最终的小数”：

0
1 (只有 1, 11, 111... 这种本身就只有 1 的数，或者非常特殊的数，比如 1000 > 0, 101 > 0. 1111 > 1)
2 (999 到了 2)
4 (98 到了 4)
6 (23 到了 6)
8 (67, 1234, 99, 77 都到了 8)

看起来，这个过程会收敛到 0, 1, 2, 4, 6, 8 这几个数字。

为什么会出现这些特定的数字？

这背后其实和数的“数字根”（digital root）有点关系，但又不是完全一样。数字根是通过“各位数字相加”得到的，而我们这里是“各位数字相乘”。

这个“各位数字相乘”的过程，其实是在反复地“消除”数字的因数，特别是那些大于 1 的因数，直到最后只剩下一些“最基本”的数字。

让我试着这么解释：

每一个数字都可以拆解成质因数。比如 67，它本身是质数。6 × 7 = 42。42 = 2 × 3 × 7。
4 × 2 = 8。8 = 2 × 2 × 2。
所以，67 > (2×3×7) 拆成 2×2×2 = 8。

98 > 9 × 8 = 72。72 = 2×2×2×3×3。
7 × 2 = 14。14 = 2 × 7。
1 × 4 = 4。4 = 2 × 2。
所以，98 > (2³×3²) 拆成 2×2 = 4。

999 > 9×9×9 = 729。729 = 3⁶。
7×2×9 = 126。126 = 2×3²×7。
1×2×6 = 12。12 = 2²×3。
1×2 = 2。2是质数。
所以，999 > (3⁶) 拆成 2。

发现了吗？

这个过程，本质上是在不断地“剥离”数字的非质因数（比如合数 4, 6, 8, 9），以及多余的质因数，直到最后剩下的数字，其本身的各位数字乘积是它自己（比如 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）。

如果最后剩下的是 1，那就 1。
如果最后剩下的是 2，那就 2。
如果最后剩下的是 3，那就 3。
如果最后剩下的是 4，那么 4 > 4。
如果最后剩下的是 5，那就 5。
如果最后剩下的是 6，那么 6 > 6。
如果最后剩下的是 7，那就 7。
如果最后剩下的是 8，那么 8 > 8。
如果最后剩下的是 9，那么 9 > 9。

等等，我好像又说得有点“太绝对”了。

比如 999 > 2。2 的各位数字乘积就是 2。
98 > 4。4 的各位数字乘积就是 4。
67 > 8。8 的各位数字乘积就是 8。
23 > 6。6 的各位数字乘积就是 6。

但是，为什么会收敛到这些数？

关键在于乘积的“数字组成”。
当一个数变大时，它的各位数字乘积大概率会变小（除非都是 9）。
比如 100，乘积是 0。
19，乘积是 9。
29，乘积是 18。18 > 8。
39，乘积是 27。27 > 14 > 4。
49，乘积是 36。36 > 18 > 8。
59，乘积是 45。45 > 20 > 0。
69，乘积是 54。54 > 20 > 0。
79，乘积是 63。63 > 18 > 8。
89，乘积是 72。72 > 14 > 4。
99，乘积是 81。81 > 8。

这下规律更清晰了！

1. 存在“吸引子”： 这个过程不是无止境地变化，而是会稳定在某个个位数上。
2. 0 是终点： 任何一个数，如果其各位数字的乘积出现 0，那么最终就一定会是 0。
3. 非零终点的限制： 如果不出现 0，那么最终的个位数似乎只会在 1, 2, 4, 6, 8 中出现。 （我在这里犯了点小错误，前面例子中 3, 5, 7, 9 好像没出现，需要再验证一下）

让我们来验证一下：

1： 1 > 1。
2： 2 > 2。
3： 3 > 3。
4： 4 > 4。
5： 5 > 5。
6： 6 > 6。
7： 7 > 7。
8： 8 > 8。
9： 9 > 9。

单个数本身肯定就是它自己！
我说的“收敛”是指，从一个多位数开始，经过几轮操作后，变成的那个个位数。

再来验证我上面说的“1, 2, 4, 6, 8”这几个是否是唯一的非零终点：

23: 23 > 6 (终点是 6)
34: 34 > 12 > 2 (终点是 2)
45: 45 > 20 > 0 (终点是 0)
56: 56 > 30 > 0 (终点是 0)
67: 67 > 42 > 8 (终点是 8)
78: 78 > 56 > 30 > 0 (终点是 0)
89: 89 > 72 > 14 > 4 (终点是 4)
99: 99 > 81 > 8 (终点是 8)
111: 111 > 1 (终点是 1)
123: 123 > 6 (终点是 6)
222: 222 > 8 (终点是 8)
333: 333 > 27 > 14 > 4 (终点是 4)
444: 444 > 64 > 24 > 8 (终点是 8)
555: 555 > 125 > 10 > 0 (终点是 0)
666: 666 > 216 > 12 > 2 (终点是 2)
777: 777 > 343 > 36 > 18 > 8 (终点是 8)
888: 888 > 512 > 10 > 0 (终点是 0)
999: 999 > 729 > 126 > 12 > 2 (终点是 2)

现在规律更清晰了：

最终的那个个位数，要么是 0，要么是 1, 2, 4, 6, 8。

为什么会出现这些特定的数字？

这和数字的“质因数分解”有关。

0 的情况： 只要你计算过程中出现了 0（比如 10, 20, 30... 59, 69, 79, 89, 95, 96, 97, 98, 99 里面有一个 0 或者 5 和偶数），或者原始数字本身包含 0，最终就会是 0。
非零情况：
1： 只有 1 本身，或者通过其他数字不断缩减最终成为 1。
2： 比如 666 > 216 > 12 > 2。这里的 6 可以分解成 2×3。当数字的质因数分解中，“3”的数量（即 3 的幂次）是偶数个，并且不包含 5，但至少包含一个 2，并且不包含 7，那么它就有很大可能会收敛到 2。 （这个解释有点复杂，暂时先记住 666 > 2 即可）
4： 比如 98 > 4。4 = 2×2。当数字的质因数分解中，“2”的数量是偶数个，并且不包含 5、7，也有可能收敛到 4。
6： 比如 23 > 6。6 = 2×3。当数字的质因数分解中，“2”的数量是奇数个，“3”的数量是奇数个，不包含 5、7，就有可能收敛到 6。
8： 比如 67 > 8。8 = 2×2×2。当数字的质因数分解中，“2”的数量是奇数个（3个或更多），不包含 5、7，就有可能收敛到 8。

这背后的数学原理其实是数字的“模运算”和“质因数属性”。

这个“各位数字相乘”的过程，非常巧妙地保留了数字的某些特定质因数的“奇偶性”。
数字 5： 只要数字中有一个 5，并且有任何一个偶数（2, 4, 6, 8），那么乘积就会出现 0。所以，如果一个数没有 0，并且要收敛到非零数，那么它要么不含 5，要么含 5 但不含偶数（比如 15, 35, 55, 75, 95），但即便是 15 > 1×5=5, 35 > 3×5=15>5, 55 > 25 > 10 > 0, 75 > 35 > 15 > 5, 95 > 45 > 20 > 0。 所以，含有 5 的数，如果不是 5 本身，最终要么变成 0，要么变成 5。 (我之前的 55 > 0 例子说明了这一点，55 含有 5 和偶数 5，直接变为 0)。 还有 15 > 5。35 > 15 > 5. 75 > 35 > 15 > 5. 95 > 45 > 20 > 0.
数字 3： 数字 3 本身是一个质数。当数字的各位数字乘积是 3 的倍数时，这个乘积的各位数字相乘，依然可能是 3 的倍数。但是，当乘积是 9 的倍数时，比如 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90... 它们最后都收敛到了 8, 8, 4, 8, 0, 0, 8, 4, 8, 0。 看起来，“3”的因子在乘法中似乎会“消耗”或者“转移”到其他数字的质因数上去。

更普遍的观察：

这个过程就像是在一个“数字生态系统”里，进行“优胜劣汰”。
0 是最终的“灭绝”状态。
1 是“独立生存”状态。
2, 4, 6, 8 是一些“稳定状态”。 它们本身就是“偶数”，并且它们的各位数字乘积就是它们自己。
3, 5, 7, 9 呢？ 3 > 3, 5 > 5, 7 > 7, 9 > 9。 它们也是“稳定状态”。

我的错误： 我之前列出的非零终点（1, 2, 4, 6, 8）是不完整的！

重新验证：

31: 31 > 3 (终点 3)
32: 32 > 6 (终点 6)
33: 33 > 9 (终点 9)
34: 34 > 12 > 2 (终点 2)
35: 35 > 15 > 5 (终点 5)
36: 36 > 18 > 8 (终点 8)
37: 37 > 21 > 2 (终点 2)
38: 38 > 24 > 8 (终点 8)
39: 39 > 27 > 14 > 4 (终点 4)

所以，最终的稳定个位数，可以是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

但是我之前的例子，为何很多都收敛到了 8？

这可能和我们常用的数字（比如 1100 之间）的构成有关。 很多数字分解开来，含有比较多的 2 和 3，这在乘法中容易累积出 8 (2×2×2)。

关键的“规律”是什么？

1. 收敛性： 任何一个自然数，经过反复的“各位数字相乘”操作，最终都会变成一个个位数。
2. “0”的支配性： 只要过程中出现 0，最终结果就是 0。
3. “5”和“偶数”的组合： 如果一个数没有 0，但同时包含数字 5 和任何一个偶数（2, 4, 6, 8），那么这个数最终一定会收敛到 0。
4. “3”的特性： 数字 3 的因子在乘法中表现比较特别。比如，33>9, 333>27>14>4, 3333>81>8。 9 的因子在乘法中表现也比较特别，9>9, 99>81>8, 999>729>126>12>2。
5. “7”的特性： 数字 7 是一个质数，它不像 2, 3, 5 那样能轻易地被其他数字“合成”或“分解”。 77 > 49 > 36 > 18 > 8。 17 > 7。 27 > 14 > 4。 37 > 21 > 2。 47 > 28 > 16 > 6。 57 > 35 > 15 > 5。 67 > 42 > 8。 77 > 49 > 36 > 18 > 8。 87 > 56 > 30 > 0。 97 > 63 > 18 > 8。
看起来，7 自身很难被“破坏”，如果最后剩下 7，它就是 7。

最终的规律总结：

这个过程是一种迭代，每次操作都是对数字“浓缩”和“简化”。最终会收敛到一个循环（在这个例子中，循环的点都是不动点，即各位数字乘积等于自身的个位数，也就是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）。

最核心的规律是：

存在一个有限的“终点集合”，即 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
“0”是特殊终点： 只要存在 5 和偶数，或者数字本身包含 0，就会收敛到 0。
其他终点的产生： 最终收敛到哪个非零数字，取决于原始数字质因数分解中 2, 3, 5, 7 等质因数的数量和组合。 尤其要注意 5 和偶数的组合会导致 0。

简单来说，就是每次操作都在剥离数字的因子，直到剩下最“纯粹”的个位数。 这个过程非常像自然界中熵增的某个小片段，但这里的“熵”是朝着极少数几个“稳定点”收敛。

这道题，它带我们看到了数字的内在结构，以及乘法运算在特定规则下是如何“塑造”数字的。它展示了看似随机的操作，却能导向高度规律化的结局。

恭喜问主发现了一个重大的世界规律。

这个规律就是最短路径都需要额外成本。