动能定理真的普适吗？
动能定理，这个在力学入门时就被奉为圭臬的定理，我们耳熟能详：“合外力做的功等于物体动能的变化量”。听起来简练而强大，仿佛宇宙间的运动变化都可以尽收囊中。那么，它真的普适吗？就像很多看似简单的事实一样，答案是：在特定的框架下，它无比普适，但一旦我们试图将其推向更广阔的领域，就会发现它的边界。
咱们先来好好掰扯掰扯动能定理的“普适性”。
动能定理的“普适”之处：经典力学的舞台上，它是个王者
在我们日常理解的经典力学范畴里，动能定理简直是无懈可击的。想象一下：
推箱子： 你用力推一个静止的箱子，你做的功一部分转化为箱子的动能，让它加速。停止用力，箱子因为惯性继续滑动，但空气阻力和摩擦力做负功，最终让它的动能减少，速度变慢直到停止。动能定理完美解释了这些过程。
抛体运动： 你向上抛出一个球，重力始终做负功（在上升过程中），减小球的动能，使其速度降低。球达到最高点时动能最小（可能为零），然后开始下落，重力做正功，动能增加。整个过程，重力做的功和动能变化量的关系永远是相等。
行星绕日： 虽然我们很难直接计算万有引力做的功，但动能定理告诉我们，当行星靠近太阳时，引力做正功，动能增加，速度变快；远离太阳时，引力做负功，动能减小，速度变慢。这种能量转化是恒定的。
为什么它在经典力学里如此强大？
动能定理的根基在于牛顿第二定律和功的定义。我们知道：
牛顿第二定律： $vec{F} = mvec{a}$，即合外力等于物体的质量乘以加速度。
加速度的定义： $vec{a} = frac{dvec{v}}{dt}$
功的定义（线积分）： $W = int vec{F} cdot dvec{r}$
将这些概念结合起来，沿着物体运动的路径对牛顿第二定律进行积分，我们就可以推导出动能定理。
$W_{合} = int vec{F}_{合} cdot dvec{r} = int (mvec{a}) cdot dvec{r}$
又因为 $dvec{r} = vec{v} dt$，所以：
$W_{合} = int (mfrac{dvec{v}}{dt}) cdot (vec{v} dt) = int m vec{v} cdot dvec{v}$
这里的 $vec{v} cdot dvec{v}$ 可以写成 $frac{1}{2} d(vec{v} cdot vec{v}) = frac{1}{2} d(v^2)$。
所以，$W_{合} = int m d(frac{1}{2}v^2) = frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2 = Delta E_k$
这里的 $Delta E_k$ 就是动能的变化量。整个推导过程建立在经典力学对力、运动、质量这些概念的理解之上。在这个框架下，功和动能的定义是精确匹配的。
动能定理的“边界”：当经典不再是全部
然而，一旦我们走出经典力学的舒适区，动能定理的光芒就会有所黯淡，或者说，它的适用范围需要更精细地界定。
1. 相对论的冲击：速度的“上限”与质量的“变化”
在低速情况下，经典动能 $E_k = frac{1}{2}mv^2$ 非常好用。但当物体的速度接近光速时，情况就变了。爱因斯坦的狭义相对论告诉我们：
质量不是恒定的： 物体的“相对论质量”会随着速度的增加而增加。我们可以理解为，为了让物体加速，我们需要克服的“惯性”变大了。
动能的修正： 相对论动能的表达式是 $E_k = (gamma 1)mc^2$，其中 $gamma = frac{1}{sqrt{1 v^2/c^2}}$ 是洛伦兹因子，$m$ 是静止质量，$c$ 是光速。当 $v ll c$ 时，通过泰勒展开，可以近似得到经典动能公式 $frac{1}{2}mv^2$。
在相对论框架下，动能定理依然成立，但我们使用的“动能”概念必须是相对论性的，并且“功”的含义也需要与相对论能量变化联系起来。简单地套用经典动能公式 $ frac{1}{2}mv^2 $ 去计算高能粒子的能量变化，那就大错特错了。
更深一层说，相对论的能量动量关系 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ 才是描述粒子能量的更根本的关系。动能是总能量减去静止能量 $mc^2$。而功，是任何形式的能量转移到粒子上的过程。所以，从这个意义上说，动能定理（能量守恒的一种体现）在相对论中依然成立，只是我们对“能量”的理解更深刻了。
2. 量子世界的模糊性：粒子“位置”与“速度”的测量困境
在微观的量子世界，一切都不像经典世界那样“确定”。粒子的状态由波函数描述，我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和动量（海森堡不确定性原理）。
动量与动能的测量： 在量子力学中，动量和动能都是算符，它们的测量会受到不确定性原理的限制。我们很难像经典力学那样，在某一时刻精确地“测量”一个粒子的动量，然后让它再加速，再测量。
能量的量子化： 许多系统的能量是量子化的，只能取一些分立的值。这与经典力学中能量可以连续变化的观念不同。
虽然量子力学中有“能量守恒”的原理，但“动能定理”这种经典表述，直接套用起来会遇到概念上的困难。我们谈论的是一个量子态的演化，而不是一个经典质点的运动轨迹。比如，一个电子在原子中的能量是量子化的，它不像一个宏观物体那样可以被“推”着加速。
当然，在一些近似情况下，比如描述一个粒子在势场中运动的平均行为时，我们仍然可以讨论与动能变化相关的概念。但“普适”到可以直接套用 $Delta E_k = W$ 来描述所有量子现象，那是不可能的。
3. 非保守力与能量耗散：功的定义需要更广阔的视角
动能定理之所以强大，很大程度上是因为它允许我们处理各种各样的力，包括保守力和非保守力。我们只需要计算“合外力”做的总功。
然而，当遇到“耗散力”（如摩擦力、空气阻力）时，它们做的负功会转化为热能、声能等其他形式的能量，从我们关注的“机械能”层面“消失”。动能定理在这种情况下依然“成立”，因为它反映的是“总功”与“动能变化”的关系。
但如果我们将“动能定理”狭义地理解为“机械能守恒”，那它显然不是普适的。机械能守恒只在只有保守力做功时才成立。一旦有非保守力介入，机械能就会发生变化。
在更广泛的能量守恒定律看来，动能定理只是能量守恒在经典力学中一个非常具体和重要的体现。当有摩擦力时，总功 = 动能变化 + 内能增加（或其他形式的能量增加）。这才是更普遍的能量转化描述。
总结一下，动能定理的普适性取决于我们如何理解和运用它：
在经典力学的宏观世界里，对于质点或刚体（不考虑形变），只要我们正确计算了作用在它上面的“合外力”所做的总功，动能定理是绝对普适的。 它提供了一个强大而简洁的工具来分析物体的运动状态变化。
当进入相对论领域，经典动能的表达式失效，但动能定理的核心思想——能量转化与守恒——依然成立，只是需要用相对论的能量和动量概念来重新表述。
在量子力学中，动能定理的直接表述面临概念上的挑战，因为微观粒子的运动方式和我们可观测的量与经典世界截然不同。 但能量守恒这一更普适的原理在量子世界依然成立。
动能定理本身不涉及机械能是否守恒。 它只是关联了“合外力做的功”和“动能变化”。当有非保守力时，只是意味着“合外力做的功”会包含非保守力做的功，这部分功通常会转化为其他形式的能量，使得机械能不守恒，但动能定理本身的等式依然成立。
所以，“普适”是一个相对的概念。如果我们将动能定理定义为“物体动能的变化量等于作用在其上的所有力的总功”，那么它在经典力学框架下是完美的。但如果将其拓展到所有物理领域，或者期望它能独立于其他物理原理而存在，那么它的“普适性”就会显露出边界。
它更像是我们理解和描述运动变化的一种“数学语言”，而这种语言在不同的“语法规则”（物理理论框架）下，需要有相应的调整和解释。它是一个基石，但不是能囊括一切的宇宙真理的全部。
咱们先来好好掰扯掰扯动能定理的“普适性”。
动能定理的“普适”之处：经典力学的舞台上，它是个王者
在我们日常理解的经典力学范畴里，动能定理简直是无懈可击的。想象一下：
推箱子： 你用力推一个静止的箱子，你做的功一部分转化为箱子的动能，让它加速。停止用力，箱子因为惯性继续滑动，但空气阻力和摩擦力做负功，最终让它的动能减少，速度变慢直到停止。动能定理完美解释了这些过程。
抛体运动： 你向上抛出一个球，重力始终做负功（在上升过程中），减小球的动能，使其速度降低。球达到最高点时动能最小（可能为零），然后开始下落，重力做正功，动能增加。整个过程，重力做的功和动能变化量的关系永远是相等。
行星绕日： 虽然我们很难直接计算万有引力做的功，但动能定理告诉我们，当行星靠近太阳时，引力做正功，动能增加，速度变快；远离太阳时，引力做负功，动能减小，速度变慢。这种能量转化是恒定的。
为什么它在经典力学里如此强大？
动能定理的根基在于牛顿第二定律和功的定义。我们知道：
牛顿第二定律： $vec{F} = mvec{a}$，即合外力等于物体的质量乘以加速度。
加速度的定义： $vec{a} = frac{dvec{v}}{dt}$
功的定义（线积分）： $W = int vec{F} cdot dvec{r}$
将这些概念结合起来，沿着物体运动的路径对牛顿第二定律进行积分，我们就可以推导出动能定理。
$W_{合} = int vec{F}_{合} cdot dvec{r} = int (mvec{a}) cdot dvec{r}$
又因为 $dvec{r} = vec{v} dt$，所以：
$W_{合} = int (mfrac{dvec{v}}{dt}) cdot (vec{v} dt) = int m vec{v} cdot dvec{v}$
这里的 $vec{v} cdot dvec{v}$ 可以写成 $frac{1}{2} d(vec{v} cdot vec{v}) = frac{1}{2} d(v^2)$。
所以，$W_{合} = int m d(frac{1}{2}v^2) = frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2 = Delta E_k$
这里的 $Delta E_k$ 就是动能的变化量。整个推导过程建立在经典力学对力、运动、质量这些概念的理解之上。在这个框架下，功和动能的定义是精确匹配的。
动能定理的“边界”：当经典不再是全部
然而，一旦我们走出经典力学的舒适区，动能定理的光芒就会有所黯淡，或者说，它的适用范围需要更精细地界定。
1. 相对论的冲击：速度的“上限”与质量的“变化”
在低速情况下，经典动能 $E_k = frac{1}{2}mv^2$ 非常好用。但当物体的速度接近光速时，情况就变了。爱因斯坦的狭义相对论告诉我们：
质量不是恒定的： 物体的“相对论质量”会随着速度的增加而增加。我们可以理解为，为了让物体加速，我们需要克服的“惯性”变大了。
动能的修正： 相对论动能的表达式是 $E_k = (gamma 1)mc^2$，其中 $gamma = frac{1}{sqrt{1 v^2/c^2}}$ 是洛伦兹因子，$m$ 是静止质量，$c$ 是光速。当 $v ll c$ 时，通过泰勒展开，可以近似得到经典动能公式 $frac{1}{2}mv^2$。
在相对论框架下，动能定理依然成立，但我们使用的“动能”概念必须是相对论性的，并且“功”的含义也需要与相对论能量变化联系起来。简单地套用经典动能公式 $ frac{1}{2}mv^2 $ 去计算高能粒子的能量变化，那就大错特错了。
更深一层说，相对论的能量动量关系 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ 才是描述粒子能量的更根本的关系。动能是总能量减去静止能量 $mc^2$。而功，是任何形式的能量转移到粒子上的过程。所以，从这个意义上说，动能定理（能量守恒的一种体现）在相对论中依然成立，只是我们对“能量”的理解更深刻了。
2. 量子世界的模糊性：粒子“位置”与“速度”的测量困境
在微观的量子世界，一切都不像经典世界那样“确定”。粒子的状态由波函数描述，我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和动量（海森堡不确定性原理）。
动量与动能的测量： 在量子力学中，动量和动能都是算符，它们的测量会受到不确定性原理的限制。我们很难像经典力学那样，在某一时刻精确地“测量”一个粒子的动量，然后让它再加速，再测量。
能量的量子化： 许多系统的能量是量子化的，只能取一些分立的值。这与经典力学中能量可以连续变化的观念不同。
虽然量子力学中有“能量守恒”的原理，但“动能定理”这种经典表述，直接套用起来会遇到概念上的困难。我们谈论的是一个量子态的演化，而不是一个经典质点的运动轨迹。比如，一个电子在原子中的能量是量子化的，它不像一个宏观物体那样可以被“推”着加速。
当然，在一些近似情况下，比如描述一个粒子在势场中运动的平均行为时，我们仍然可以讨论与动能变化相关的概念。但“普适”到可以直接套用 $Delta E_k = W$ 来描述所有量子现象，那是不可能的。
3. 非保守力与能量耗散：功的定义需要更广阔的视角
动能定理之所以强大，很大程度上是因为它允许我们处理各种各样的力，包括保守力和非保守力。我们只需要计算“合外力”做的总功。
然而，当遇到“耗散力”（如摩擦力、空气阻力）时，它们做的负功会转化为热能、声能等其他形式的能量，从我们关注的“机械能”层面“消失”。动能定理在这种情况下依然“成立”，因为它反映的是“总功”与“动能变化”的关系。
但如果我们将“动能定理”狭义地理解为“机械能守恒”，那它显然不是普适的。机械能守恒只在只有保守力做功时才成立。一旦有非保守力介入，机械能就会发生变化。
在更广泛的能量守恒定律看来，动能定理只是能量守恒在经典力学中一个非常具体和重要的体现。当有摩擦力时，总功 = 动能变化 + 内能增加（或其他形式的能量增加）。这才是更普遍的能量转化描述。
总结一下，动能定理的普适性取决于我们如何理解和运用它：
在经典力学的宏观世界里，对于质点或刚体（不考虑形变），只要我们正确计算了作用在它上面的“合外力”所做的总功，动能定理是绝对普适的。 它提供了一个强大而简洁的工具来分析物体的运动状态变化。
当进入相对论领域，经典动能的表达式失效，但动能定理的核心思想——能量转化与守恒——依然成立，只是需要用相对论的能量和动量概念来重新表述。
在量子力学中，动能定理的直接表述面临概念上的挑战，因为微观粒子的运动方式和我们可观测的量与经典世界截然不同。 但能量守恒这一更普适的原理在量子世界依然成立。
动能定理本身不涉及机械能是否守恒。 它只是关联了“合外力做的功”和“动能变化”。当有非保守力时，只是意味着“合外力做的功”会包含非保守力做的功，这部分功通常会转化为其他形式的能量，使得机械能不守恒，但动能定理本身的等式依然成立。
所以，“普适”是一个相对的概念。如果我们将动能定理定义为“物体动能的变化量等于作用在其上的所有力的总功”，那么它在经典力学框架下是完美的。但如果将其拓展到所有物理领域，或者期望它能独立于其他物理原理而存在，那么它的“普适性”就会显露出边界。
它更像是我们理解和描述运动变化的一种“数学语言”，而这种语言在不同的“语法规则”（物理理论框架）下，需要有相应的调整和解释。它是一个基石，但不是能囊括一切的宇宙真理的全部。
网友意见
适用的，只是动能定义式改变了，因为狭义相对论中总能量为：
所以存在：
另一边：
可见存在：
实际上狭义相对论中的动能应该定义成：
(上面的动能定义式展开后第一项就是经典力学中的动能定义式）
这样：
动能定理也就成立了.
在经典力学的情况，不妨假设初始时 部分物体的速度为 ， 部分的速度为 ， 时间后二者加速至 . 于是动能变化为：
而做功则包括外力做功和系统内力做的部分功（导致两部分碰撞时的动能耗散那部分，还有一部分使得动能在两物体间转移），根据柯尼希定理和完全非弹性碰撞的定义，碰撞时的动能耗散大小为碰撞前质心系下系统的动能，故有：
根据动量定理，上式中 代回做功表达式得：
得证
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