这题怎么直接用泰勒展开求极限 (√(1+2sin x)-x-1)(x ln(1+x)) (x→0) ?
这道题要求我们计算当 $x o 0$ 时，表达式 $frac{(sqrt{1+2sin x}x1)(x ln(1+x))}{x^3}$ 的极限。使用泰勒展开是解决这类极限问题的最直接有效的方法之一，因为它能帮助我们看清当 $x$ 非常接近 $0$ 时，各个函数部分的“主要贡献”是什么。
咱们一步一步来分析：
第一步：处理 $sin x$ 的泰勒展开
我们知道 $sin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开是：
$sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} cdots$
由于我们最终的表达式里有 $x^3$ 作为分母，并且分子里面有 $sqrt{1+2sin x}$ 这样的项，通常我们需要将分子中的函数展开到 $x^3$ 甚至 $x^4$ 的阶数，以确保抵消后有非零项。
所以，我们先将 $2sin x$ 替换进去：
$2sin x = 2(x frac{x^3}{6} + O(x^5)) = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$
第二步：处理 $sqrt{1+2sin x}$ 的泰勒展开
现在我们来看 $sqrt{1+2sin x}$。我们知道 $(1+u)^alpha$ 在 $u=0$ 处的泰勒展开是：
$(1+u)^alpha = 1 + alpha u + frac{alpha(alpha1)}{2!} u^2 + frac{alpha(alpha1)(alpha2)}{3!} u^3 + cdots$
在这里，我们将 $u$ 替换为 $2sin x$， $alpha$ 为 $frac{1}{2}$。
我们已经知道 $2sin x = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$。
为了展开到 $x^3$ 的阶数，我们需要 $u$ 展开到 $x^3$ 的阶数，并且在求 $u^2$ 时，需要 $u$ 展开到 $x^2$ 的阶数；在求 $u^3$ 时，需要 $u$ 展开到 $x$ 的阶数。
$u$ 的展开： $u = 2sin x = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$u^2$ 的展开：
$u^2 = (2sin x)^2 = (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
这里，我们需要展开到 $x^2$ 阶。
$u^2 = (2x)^2 + 2(2x)(frac{x^3}{3}) + (frac{x^3}{3})^2 + cdots$
$u^2 = 4x^2 frac{4x^4}{3} + O(x^6)$
所以，为了得到 $u^2$ 的 $x^2$ 阶项，我们只需要 $u$ 的 $x$ 阶项：$(2x)^2 = 4x^2$。
更严谨地说，如果我们要展开到 $x^3$，那么 $u^2$ 需要到 $x^2$ 阶，所以 $u^2 approx (2x)^2 = 4x^2$。
$u^3$ 的展开：
$u^3 = (2sin x)^3 = (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
这里，我们需要展开到 $x^3$ 阶。
$u^3 approx (2x)^3 = 8x^3$。
现在，代入 $(1+u)^alpha$ 的公式：
$sqrt{1+2sin x} = (1 + (2x frac{x^3}{3} + O(x^5)))^{frac{1}{2}}$
这里我们用 $u = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$ 代入 $(1+u)^{frac{1}{2}}$ 的展开。
$alpha = frac{1}{2}$
$alpha(alpha1) = frac{1}{2}(frac{1}{2}1) = frac{1}{2}(frac{1}{2}) = frac{1}{4}$
$alpha(alpha1)(alpha2) = frac{1}{4}(frac{1}{2}2) = frac{1}{4}(frac{3}{2}) = frac{3}{8}$
所以，
$sqrt{1+2sin x} = 1 + frac{1}{2} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))$
$+ frac{frac{1}{4}}{2!} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
$+ frac{frac{3}{8}}{3!} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
$+ O(x^4)$
现在我们逐项展开并保留到 $x^3$ 阶：
第一项： $1$
第二项： $frac{1}{2} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5)) = x frac{x^3}{6} + O(x^5)$
第三项： $frac{1}{8} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
这里，我们只需要 $(2x)^2$ 的项，因为 $(frac{x^3}{3})^2$ 会是 $x^6$ 阶，其他的交叉项也都会是高阶项。
$frac{1}{8} (4x^2 + O(x^4)) = frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$
第四项： $frac{3}{48} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
这里，我们只需要 $(2x)^3$ 的项。
$frac{1}{16} (8x^3 + O(x^5)) = frac{1}{2}x^3 + O(x^5)$
将这些项加起来，得到 $sqrt{1+2sin x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开到 $x^3$ 阶：
$sqrt{1+2sin x} = 1 + (x frac{x^3}{6}) frac{1}{2}x^2 + frac{1}{2}x^3 + O(x^4)$
$sqrt{1+2sin x} = 1 + x frac{1}{2}x^2 + (frac{1}{6} + frac{1}{2})x^3 + O(x^4)$
$sqrt{1+2sin x} = 1 + x frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$
第三步：计算分子中的第一个因子 $(sqrt{1+2sin x}x1)$
将上面得到的 $sqrt{1+2sin x}$ 的展开式代入：
$(sqrt{1+2sin x}x1) = (1 + x frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)) x 1$
$= frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$
第四步：处理 $x ln(1+x)$ 的泰勒展开
我们知道 $ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开是：
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} cdots$
所以，
$x ln(1+x) = x(x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} O(x^4))$
$= x^2 frac{x^3}{2} + frac{x^4}{3} O(x^5)$
第五步：将分子两个因子相乘
现在我们来计算分子的整体：$(sqrt{1+2sin x}x1)(x ln(1+x))$
$= (frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4))(x^2 frac{x^3}{2} + O(x^4))$
当 $x o 0$ 时，我们只需要保留乘积中最低阶的项。
最低阶的项是由最低阶的项相乘得到的：
$(frac{1}{2}x^2)(x^2) = frac{1}{2}x^4$
如果我们需要更精确的展开（虽然在这个例子中可能不需要），我们也可以考虑更高阶的项：
$(frac{1}{2}x^2)(frac{x^3}{2}) = frac{1}{4}x^5$
$(frac{1}{3}x^3)(x^2) = frac{1}{3}x^5$
所以，分子展开到 $x^4$ 阶是：
$(frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4))(x^2 frac{x^3}{2} + O(x^4)) = frac{1}{2}x^4 + (frac{1}{4} + frac{1}{3})x^5 + O(x^6)$
$= frac{1}{2}x^4 + O(x^5)$
第六步：计算极限
最后，我们将分子展开的结果除以分母 $x^3$：
$lim_{x o 0} frac{(frac{1}{2}x^4 + O(x^5))}{x^3}$
$= lim_{x o 0} (frac{1}{2}x + O(x^2))$
当 $x o 0$ 时，$frac{1}{2}x o 0$，而 $O(x^2)$ 也会趋向于 $0$。
所以，极限为 $0$。
总结整个过程，我们做了什么？
1. 分析被积函数： 看到复杂的函数组合，知道泰勒展开是关键。
2. 拆解函数： 将表达式分解成更容易处理的函数部分 ($sin x$, $sqrt{1+u}$, $ln(1+x)$)。
3. 进行泰勒展开： 分别求出这些函数在 $x=0$ 处的泰勒展开，并根据分母的阶数（这里是 $x^3$）确定需要展开到哪一阶（通常比分母的阶数高一到两阶，以确保抵消后有非零项）。
$sin x$ 展开到 $x^3$
$sqrt{1+u}$ 展开到 $u^3$ (因为 $sin x$ 展开到 $x^3$，$2sin x$ 也是 $x^3$)
$ln(1+x)$ 展开到 $x^2$ (因为乘以 $x$ 后是 $x^3$)
4. 代入并简化分子： 将展开式代入原表达式的分子，进行乘法运算，并只保留关键的低阶项。
5. 计算极限： 将简化后的分子除以分母，计算极限。
这种方法虽然步骤多，但逻辑清晰，尤其适用于处理这类“看起来很吓人”但可以通过泰勒展开“驯服”的极限问题。关键在于准确地展开到需要的阶数，并细心地进行代数运算。
咱们一步一步来分析：
第一步：处理 $sin x$ 的泰勒展开
我们知道 $sin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开是：
$sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} cdots$
由于我们最终的表达式里有 $x^3$ 作为分母，并且分子里面有 $sqrt{1+2sin x}$ 这样的项，通常我们需要将分子中的函数展开到 $x^3$ 甚至 $x^4$ 的阶数，以确保抵消后有非零项。
所以，我们先将 $2sin x$ 替换进去：
$2sin x = 2(x frac{x^3}{6} + O(x^5)) = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$
第二步：处理 $sqrt{1+2sin x}$ 的泰勒展开
现在我们来看 $sqrt{1+2sin x}$。我们知道 $(1+u)^alpha$ 在 $u=0$ 处的泰勒展开是：
$(1+u)^alpha = 1 + alpha u + frac{alpha(alpha1)}{2!} u^2 + frac{alpha(alpha1)(alpha2)}{3!} u^3 + cdots$
在这里，我们将 $u$ 替换为 $2sin x$， $alpha$ 为 $frac{1}{2}$。
我们已经知道 $2sin x = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$。
为了展开到 $x^3$ 的阶数，我们需要 $u$ 展开到 $x^3$ 的阶数，并且在求 $u^2$ 时，需要 $u$ 展开到 $x^2$ 的阶数；在求 $u^3$ 时，需要 $u$ 展开到 $x$ 的阶数。
$u$ 的展开： $u = 2sin x = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$u^2$ 的展开：
$u^2 = (2sin x)^2 = (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
这里，我们需要展开到 $x^2$ 阶。
$u^2 = (2x)^2 + 2(2x)(frac{x^3}{3}) + (frac{x^3}{3})^2 + cdots$
$u^2 = 4x^2 frac{4x^4}{3} + O(x^6)$
所以，为了得到 $u^2$ 的 $x^2$ 阶项，我们只需要 $u$ 的 $x$ 阶项：$(2x)^2 = 4x^2$。
更严谨地说，如果我们要展开到 $x^3$，那么 $u^2$ 需要到 $x^2$ 阶，所以 $u^2 approx (2x)^2 = 4x^2$。
$u^3$ 的展开：
$u^3 = (2sin x)^3 = (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
这里，我们需要展开到 $x^3$ 阶。
$u^3 approx (2x)^3 = 8x^3$。
现在，代入 $(1+u)^alpha$ 的公式：
$sqrt{1+2sin x} = (1 + (2x frac{x^3}{3} + O(x^5)))^{frac{1}{2}}$
这里我们用 $u = 2x frac{x^3}{3} + O(x^5)$ 代入 $(1+u)^{frac{1}{2}}$ 的展开。
$alpha = frac{1}{2}$
$alpha(alpha1) = frac{1}{2}(frac{1}{2}1) = frac{1}{2}(frac{1}{2}) = frac{1}{4}$
$alpha(alpha1)(alpha2) = frac{1}{4}(frac{1}{2}2) = frac{1}{4}(frac{3}{2}) = frac{3}{8}$
所以，
$sqrt{1+2sin x} = 1 + frac{1}{2} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))$
$+ frac{frac{1}{4}}{2!} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
$+ frac{frac{3}{8}}{3!} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
$+ O(x^4)$
现在我们逐项展开并保留到 $x^3$ 阶：
第一项： $1$
第二项： $frac{1}{2} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5)) = x frac{x^3}{6} + O(x^5)$
第三项： $frac{1}{8} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^2$
这里，我们只需要 $(2x)^2$ 的项，因为 $(frac{x^3}{3})^2$ 会是 $x^6$ 阶，其他的交叉项也都会是高阶项。
$frac{1}{8} (4x^2 + O(x^4)) = frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$
第四项： $frac{3}{48} (2x frac{x^3}{3} + O(x^5))^3$
这里，我们只需要 $(2x)^3$ 的项。
$frac{1}{16} (8x^3 + O(x^5)) = frac{1}{2}x^3 + O(x^5)$
将这些项加起来，得到 $sqrt{1+2sin x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开到 $x^3$ 阶：
$sqrt{1+2sin x} = 1 + (x frac{x^3}{6}) frac{1}{2}x^2 + frac{1}{2}x^3 + O(x^4)$
$sqrt{1+2sin x} = 1 + x frac{1}{2}x^2 + (frac{1}{6} + frac{1}{2})x^3 + O(x^4)$
$sqrt{1+2sin x} = 1 + x frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$
第三步：计算分子中的第一个因子 $(sqrt{1+2sin x}x1)$
将上面得到的 $sqrt{1+2sin x}$ 的展开式代入：
$(sqrt{1+2sin x}x1) = (1 + x frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)) x 1$
$= frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$
第四步：处理 $x ln(1+x)$ 的泰勒展开
我们知道 $ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开是：
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} cdots$
所以，
$x ln(1+x) = x(x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} O(x^4))$
$= x^2 frac{x^3}{2} + frac{x^4}{3} O(x^5)$
第五步：将分子两个因子相乘
现在我们来计算分子的整体：$(sqrt{1+2sin x}x1)(x ln(1+x))$
$= (frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4))(x^2 frac{x^3}{2} + O(x^4))$
当 $x o 0$ 时，我们只需要保留乘积中最低阶的项。
最低阶的项是由最低阶的项相乘得到的：
$(frac{1}{2}x^2)(x^2) = frac{1}{2}x^4$
如果我们需要更精确的展开（虽然在这个例子中可能不需要），我们也可以考虑更高阶的项：
$(frac{1}{2}x^2)(frac{x^3}{2}) = frac{1}{4}x^5$
$(frac{1}{3}x^3)(x^2) = frac{1}{3}x^5$
所以，分子展开到 $x^4$ 阶是：
$(frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 + O(x^4))(x^2 frac{x^3}{2} + O(x^4)) = frac{1}{2}x^4 + (frac{1}{4} + frac{1}{3})x^5 + O(x^6)$
$= frac{1}{2}x^4 + O(x^5)$
第六步：计算极限
最后，我们将分子展开的结果除以分母 $x^3$：
$lim_{x o 0} frac{(frac{1}{2}x^4 + O(x^5))}{x^3}$
$= lim_{x o 0} (frac{1}{2}x + O(x^2))$
当 $x o 0$ 时，$frac{1}{2}x o 0$，而 $O(x^2)$ 也会趋向于 $0$。
所以，极限为 $0$。
总结整个过程，我们做了什么？
1. 分析被积函数： 看到复杂的函数组合，知道泰勒展开是关键。
2. 拆解函数： 将表达式分解成更容易处理的函数部分 ($sin x$, $sqrt{1+u}$, $ln(1+x)$)。
3. 进行泰勒展开： 分别求出这些函数在 $x=0$ 处的泰勒展开，并根据分母的阶数（这里是 $x^3$）确定需要展开到哪一阶（通常比分母的阶数高一到两阶，以确保抵消后有非零项）。
$sin x$ 展开到 $x^3$
$sqrt{1+u}$ 展开到 $u^3$ (因为 $sin x$ 展开到 $x^3$，$2sin x$ 也是 $x^3$)
$ln(1+x)$ 展开到 $x^2$ (因为乘以 $x$ 后是 $x^3$)
4. 代入并简化分子： 将展开式代入原表达式的分子，进行乘法运算，并只保留关键的低阶项。
5. 计算极限： 将简化后的分子除以分母，计算极限。
这种方法虽然步骤多，但逻辑清晰，尤其适用于处理这类“看起来很吓人”但可以通过泰勒展开“驯服”的极限问题。关键在于准确地展开到需要的阶数，并细心地进行代数运算。
网友意见
其实我感觉这个题用洛必达更好做.
如果用洛必达的话.
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