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问题

能否用具体的例子解释一下 (Model-based) Structural Estimation？

回答
洞悉市场深层逻辑：以汽车购买行为为例详解结构化估计

想象一下，你是一位汽车厂商的市场分析师，你的任务是了解消费者是如何做出购买决策的，以便更好地调整你的产品策略和营销活动。你可能会收集大量的销售数据、消费者调查问卷，甚至是一些关于宏观经济的指标。但仅仅堆砌这些数据，是很难真正理解背后的驱动因素的。这就是结构化估计（Structural Estimation）大显身手的地方。

结构化估计，顾名思义，它不是简单地在数据里找关联，而是建立一个理论模型，然后用实际数据来“喂养”这个模型，从而估计出模型中那些无法直接观测到的关键参数。这些参数往往代表着经济行为的“内在规律”或“动机”。

我们以一个具体的例子——消费者购买汽车的行为——来深入剖析这个过程。

1. 构建理论模型：消费者眼中的汽车世界

首先，我们需要构建一个理论模型，来描述消费者是如何在众多汽车选项中做出选择的。这就像为消费者的决策过程画一张“蓝图”。

个体视角： 每一个消费者都是独立的决策者。他们面临着各种各样的汽车，每辆车都有其独特的“属性”。这些属性可能包括：
价格（Price）： 这是最直接的考虑因素。
燃油经济性（Fuel Efficiency）： 长期使用成本的重要组成部分。
动力性能（Engine Power）： 比如马力、加速性。
品牌声誉（Brand Reputation）： 这是一个难以量化的心理因素。
车型（Vehicle Type）： SUV、轿车、MPV等等。
配置（Features）： 天窗、导航、座椅加热等。
可靠性（Reliability）： 预期的维修成本和使用寿命。

效用函数（Utility Function）： 消费者选择一辆汽车，是因为他们预期这辆车能给自己带来“效用”或“满足感”。这个效用可以写成一个数学函数，它取决于汽车的属性以及消费者的个人特征。
假设一个消费者 $i$ 对汽车 $j$ 的效用 $U_{ij}$ 可以表示为：
$U_{ij} = V_{ij} + epsilon_{ij}$
其中：
$V_{ij}$ 是可观测的效用部分，它取决于汽车 $j$ 的属性（$X_j$）以及消费者 $i$ 的可观测属性（$W_i$），并且与一个效用系数向量 $eta$ 相关。我们可以写成 $V_{ij} = eta'X_j + gamma'W_i$。这里的 $eta$ 就代表了消费者对不同汽车属性的“重视程度”。例如，一个注重环保的消费者，对燃油经济性的 $eta$ 值可能很高。
$epsilon_{ij}$ 是不可观测的效用部分。这包含了消费者个人独特的偏好、当时的心情、甚至是买车时遇到的促销活动等难以量化的因素。这部分通常被假设服从某种概率分布，比如正态分布或Gumbel分布。

选择规则（Choice Rule）： 消费者会选择那个能给自己带来最大效用的汽车。
如果一个消费者 $i$ 在一系列可用的汽车集合 $J$ 中进行选择，那么他会选择汽车 $j^$，当且仅当 $U_{ij^} ge U_{ij}$ 对于所有的 $j in J$ 都成立。

市场供给与竞争： 汽车厂商也会根据消费者的偏好来定价和生产。这构成了一个动态的互动过程，但为了简化，我们有时会假设厂商已经给出了固定价格和车型。

2. 收集和准备数据：现实世界的“样本”

接下来，我们需要现实世界的数据来“训练”我们的模型。

销售数据： 这是最核心的数据。我们需要知道在某个时间段内，哪些车型在哪些地区卖出了多少辆。这可以看作是消费者选择结果的直接体现。
汽车属性数据： 需要收集每款汽车的详细属性信息，包括价格、燃油经济性、动力、配置等等。这些对应着模型中的 $X_j$。
消费者属性数据： 如果可能，我们还需要了解消费者的个人特征，比如年龄、收入、家庭结构、地理位置等，这些对应着模型中的 $W_i$。这些数据通常来自于市场调研问卷、忠诚度计划等。

3. 结构化估计：让模型“学习”

现在，我们的模型和数据都准备好了。结构化估计的核心任务就是，通过比较模型的预测结果和实际数据，来找到最能解释数据的模型参数（特别是 $eta$ 和 $gamma$）。

这里有几种主要的估计方法，其中最常用的是模拟最大似然估计 (Simulation Maximum Likelihood Estimation, SMLE)：

设定参数的初始值： 我们需要为模型中的参数（比如 $eta$ 和 $gamma$）设定一些初始的猜测值。
模拟消费者的选择：
1. 生成不可观测效用： 对于每一个消费者（或者根据消费者属性分组），我们根据设定的概率分布（比如 Gumbel 分布）随机生成大量的不可观测效用 $epsilon_{ij}$。
2. 计算效用： 将生成的 $epsilon_{ij}$ 与根据当前参数值计算出的可观测效用 $V_{ij}$ 相加，得到每个消费者对每辆车的总效用 $U_{ij}$。
3. 预测选择： 根据选择规则，预测每个消费者会选择哪辆车。
4. 汇总预测： 将所有模拟的消费者选择汇总起来，得到模型预测的销量分布。
计算“损失函数” (Objective Function)： 我们将模型模拟出的销量分布与实际销售数据进行比较。一个常用的“损失函数”是对数似然函数 (LogLikelihood Function)。目标是最大化这个函数，意味着模型预测的销量分布与实际销量分布越接近越好。
简单来说，对于每个消费者 $i$ 和他们选择的汽车 $j^$，我们计算他们选择该车的概率 $P_{ij^} = frac{exp(V_{ij^})}{sum_{k in J} exp(V_{ik})}$ (这是基于 Logit 模型，Gumbel 分布的性质)。
对数似然函数就是所有消费者的选择概率的对数之和：$sum_i log(P_{ij^})$。
迭代优化： 我们使用优化算法（如梯度下降法）来调整参数的初始值，使得对数似然函数的值越来越大。这个过程不断重复，直到找到一组最优的参数，使得模型预测的结果与实际数据最吻合。

举个具体的例子：

假设我们想估计消费者对“燃油经济性”的敏感度（即 $eta$ 中与燃油经济性对应的系数）。

模型初始猜测： 我们可能猜想，消费者愿意为提高1单位的燃油经济性（比如每百公里少1升油）而支付1000元的额外价格。
模拟：
我们收集了5000个消费者的信息（收入、家庭大小等）和市场上30款汽车的属性（价格、燃油经济性等）。
对于每个消费者，我们模拟出500次选择（每次模拟都会生成不同的不可观测效用）。
根据当前的 $eta$ 参数，计算出每辆车对每个消费者的效用。
例如，一个消费者可能觉得A车的效用是 $(0.8 imes ext{价格} + 5 imes ext{燃油经济性} + ext{其他} + epsilon_A)$，B车的效用是 $(0.9 imes ext{价格} + 4 imes ext{燃油经济性} + ext{其他} + epsilon_B)$。
通过比较效用，我们模拟出这位消费者会选择A车。
重复这个过程，我们得到了模型预测的每款车的销量。
对比与调整：
我们将预测销量与实际销量进行比较。如果模型预测某款省油但价格较高的车卖得比实际少，说明我们的 $eta$ 对燃油经济性的系数可能估计得偏低了。
优化算法会调整 $eta$ 的值，比如提高对燃油经济性的系数，让模型在下一次模拟时更看重燃油经济性。
收敛： 经过无数次的迭代，当模型预测的销量与实际销量非常接近时，我们就找到了最佳的参数估计值。比如，我们最终估计出，消费者平均愿意为提高1单位燃油经济性多支付2500元。

4. 模型应用：洞悉未来，制定策略

一旦结构化模型被估计出来，它就成为了一个强大的分析工具。

预测“如果”场景 (Counterfactual Analysis)：
如果我们降低A车价格10%会怎样？ 我们可以将A车价格的参数值调整，然后用更新后的模型重新模拟消费者的选择，预测销量会增加多少。
如果政府推出购车补贴，每辆车补贴2000元，销量会如何变化？ 我们可以将这个补贴看作是所有车的“价格”都下降了2000元，然后重新模拟。
如果新一代电动汽车上市，其“电池续航”和“充电速度”属性如何影响销量？ 我们可以为新车设定这些属性，然后预测它在市场上的潜在份额。

评估政策效果： 结构化模型能够帮助政策制定者评估不同政策（如税收、补贴、排放标准）对市场行为和消费者福利的影响。

优化产品设计： 汽车厂商可以利用模型来理解不同属性组合对消费者吸引力的影响，从而指导新车型的开发。例如，如果模型显示消费者对“自动驾驶辅助”功能的敏感度很高，厂商就会优先投入资源开发这方面技术。

为什么结构化估计“有力量”？

1. 深入理解经济原理： 它不仅仅是“黑箱”的关联性分析，而是建立在坚实的经济理论基础上的。我们能理解为什么会发生某种现象，而不是仅仅知道发生了。
2. 提供政策洞察： 它能回答“如果……会怎样？”这样的“反事实”问题，这是其他方法难以做到的。这对于政策评估和战略规划至关重要。
3. 参数的可解释性： 模型估计出的参数（如 $eta$）直接反映了消费者对不同属性的重视程度，这些参数具有明确的经济含义。
4. 通用性： 这种方法可以应用于各种经济决策问题，如消费者对住房的选择、企业对技术投资的决策、劳动力市场的匹配等等。

当然，结构化估计也并非没有挑战。模型构建的合理性、不可观测效用的分布假设、计算的复杂性等都是需要仔细处理的问题。但正是通过这种严谨的建模和数据驱动的估计过程，我们才能更深层次地理解市场运作的“结构性”逻辑，从而做出更明智的决策。

网友意见

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这个问题很大，试着从IO角度来答一发，顺便复习下两年前学的东西。IO可以说引领了Structural的发展，比较有代表性。以下的例子基于经典的Bresnahan & Reiss在90年代初的几篇paper，包括90年RES和91年JPE等。

Entry问题简单来说是这样的：假设你是某种产品/服务的生产者，比如理发师。与你的无数个潜在的理发师同行一样，你们都面对着许多个市场（比如全国的各个社区）。你选择进入哪个市场的时候，要考虑市场需求，包括市场大小、弹性。另一方面，成本也很重要，包括边际成本如电费水费，和固定成本比如租金等。这些用来构造市场均衡的基本变量是如何决定的？这就是所谓模型的primitives。此外，注意到你的决策和你同行的决策是互相影响的，因此决策时需要考虑也包括有多少同行以及同行对竞争是如何反应的。这个competitive conduct也可以被model为一个primitive。

我们加一些假设来找均衡。假设如下：

  • 生产者都是同质的，成本一样，也就是说每个理发店都是一位理发师开的个体户；
  • 需求的弹性一样，只有市场大小（社区人口）区别；
  • 市场与市场之间是隔离的。

可以解出来均衡是这样的：社区人口直接决定了这个社区的理发店数量。打个比方，如果一个垄断的理发师每个月需要给1000人理发才能保证break-even（未来赚的全部利润在discount后能够支付固定成本），又假设平均每人每月理发一次，那么需要一个1000人的社区才能支持一家理发店开张。要想支持两家理发店，则至少需要2000人的社区。

看到这里，我们已经有了一个可以用来test的prediction：社区的理发店数量与人口有非常强的正相关。当然，在实际的数据中，还有无数的问题要解决。第一个问题就是得找到相对隔离的社区。然后是各个变量的measurement问题。比如人口是怎么度量的？只用现在的人口显然不行，需要考虑到对未来人口变化的预期。只考虑本社区的人口也不一定合理，说不定有旁边社区的人愿意走几步过来理发等等。又如收入不一样的地区很可能对理发服务的需求也不一样，需要控制。对因变量的测量也是个问题，因为实际上理发店很可能大小不一，大到几十上百位“老师”、“总监”，小到一位师傅一把剪刀支个摊。reduced-form model要做的就是在控制了其他所有因素的情况下，直接验证这个prediction。一个理想的实验是找到在各个方面都近似，唯有人口数量不一样的社区，看看理发店的数目，做一个简单的OLS。更复杂的情况下，可以考虑找人口数的IV，或者利用比如库区移民之类的外生冲击来做DiD，再或者看看有没有什么类似的政策导致社区人口数量的不连续变化从而做RD之类。

下一步我们还可以考虑理发师之间的竞争。前一段提到，如果需要1000人才能支持一个理发店，那么要想支持两家理发店，则至少需要2000人的社区。这个“至少”是很重要的，因为这是在两家理发店没有竞争，互相合谋定价时才能实现。如果两家店有竞争，那么势必导致价格和利润的下降，因而需要比2000人更大的市场才能支持这两家店的共存。通过比较数据中一家vs两家理发店的市场大小，我们的数据又能帮助我们理解理发师之间的竞争行为。假如你认为理发师之间确有竞争，那就有了另一个prediction：一个社区的人口数需要在（只有一家理发店的社区人口数）两倍以上时，才能支持两家理发店共存。同样，对这个prediction的验证也是可以通过reduced-form来完成。

（顺便提一下，另外一种可能性是两家理发店差异化，从而弱化了竞争，有可能反而不需要两倍人口。在卖车的例子中，BR1990 的发现就是Ford与GM dealer之间差异化的效应就超过了竞争的效应。）

那么Structuralist会怎么做呢？structural的想法是这样的，既然我用primitives可以解出均衡，并且用数据来验证均衡解，那为何不用数据来估计我的primitives呢？

具体来说，我们最感兴趣的参数有这几个。其一，是成本曲线（固定、边际成本）。其二，是需求曲线。其三，是competitive conduct，或者说竞争的激烈程度。下一步，则是看数据能够identify其中哪些参数。

（插一句无关话题，现在identification几乎成了exclusive restriction的同义词，其本意是模型参数能否由数据唯一决定。如果几套不同的参数能generate一样的数据，那这个模型就不是identified）

假设我们手头有社区人口（及几个其他可能影响市场大小的变量，如人口变化率）、收入、工资等可能同时影响需求与可变成本的变量、几个可能只影响固定成本的变量（比如租金），最后是模型的outcome variable即理发店数目。那么我们的目的就是用可观测的这些数据与模型的关系作为primitives，然后用均衡解来给出outcome，最后调整model的参数使得我们模型的解能够fit数据中理发店的数量。具体到这个理发店的entry model，我们最感兴趣的是成本曲线和competitive conduct。因此，我们对需求可以暂时不用model得特别仔细，在BR1990 RES paper中采取的办法是省去从需求和可变成本到均衡价格这一步，直接用人均利润作为潜在变量之一（它由收入等影响需求弹性和可变成本的变量决定，同时，根据市场中理发店是否垄断，还受到可能的竞争的影响，这些关系构成了模型的一部分primitives）。用市场大小作为潜在变量之二（由现有人口、周边人口、人口变化率决定，这是模型的另一部分primitives）。最后，加上固定成本作为第三个潜在变量（租金等如何决定它将成为模型最后一部分primitives）。最后我们需要一些error term，根据不同的model可以放在不同的地方。这里暂时不对它过多的处理，只是需要它来保证likelihood在任何参数都不为零以便于MLE的计算。根据每一套参数，我们都可以计算出这三个潜在变量，利用均衡条件可以解出理发店数目。用MLE等方法，我们可以不断迭代优化求解一套拟合最佳的参数，并且根据MLE的asymptotic性质得到standard error。

可以看出，这套思路和reduced-form是有所相通，但又很不相同的。具体到这个例子中，它在需求这一步其实已经部分的reduced-form了，因为它model的人均利润是个均衡下的结果，而非真正的效用、成本这样的primitive。不难看出，如果我们有更好的数据（如价格、销量等），那么更进一步的model是可能的（这也是structural IO / quantitative marketing最重要的工作之一demand estimation的内容）。但是整体看来，它和之前直接test model prediction的思路差别是显而易见的。

那么比较这同一个问题、同一数据的两种做法，各有何优劣呢？简单说几句。

  1. structural model无疑用了更强的假设。在reduced-form中test的hypothesis，虽然是在一定的假设下推导出来的，不难看出它很可能在弱得多的假设下也都成立。例如它不太依赖于具体的函数（比如说人口对市场大小的影响真的是线性的吗？租金对固定成本的影响又是何种形式呢？）和分布（error term真的是logit error吗？）等等。
  2. 但是，structural model也得到了"强"很多的结论。这个“强”的意思是信息量大很多。这些额外的信息量来源，一部分必然是从假设来的，但是另外一部分是对数据的更充分利用来的。reduced-form为了放宽假设，同时也会丧失一定的信息量，这个trade-off是不可避免的。reduced-form中的confounding factor，在structuralist看来可能恰恰是梦寐以求的exogenous variation。
  3. 至于structural model额外的信息量多有用，则是具体问题具体分析。structural model最大的吸引力之一就是可以做policy simulation，得到完全不在原来数据的自变量区间中有的信息。在这个问题上，我认为structural model额外得到的信息值得它额外的假设带来的代价。例如，如果有人对regulations感兴趣，想知道对理发店减税等等政策对理发店数量会带来什么影响，对消费者的福利又有什么影响，这是只有structural model能回答的问题。
  4. 现代的做法，对structural的paper一般都要先看所谓model-free evidence，然后再看模型的结果。所以并不太需要在这两种方法中做太多取舍。鱼和熊掌大可以兼得。作为学生，学好structural对reduced-form也是有益的。
  5. structural model往往比较delicate，所以在structural中犯错要比reduced-form中容易得多，做起来往往难度也大很多，coding和计算上的门槛也高一些（有些estimator收敛很慢，有些根本就不是global concave……）。

以上只是structural model非常早期的一个例子，权当抛砖引玉。最新的进展在模型和计算上都可谓日新月异，我也是刚刚接触不多，就不献丑了。

匆匆写完，望各位方家指正。

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