请简单地表述结合律和交换律的区别和联系。结合律为什么那么普遍？
结合律和交换律：区别与联系
首先，我们来定义这两个重要的数学性质：
交换律 (Commutative Property)
交换律描述的是运算的顺序不影响结果。如果一个运算满足交换律，那么你可以随意改变参与运算的两个元素的顺序，而运算的结果保持不变。
形式化表示：
对于二元运算 $$，如果对于任意属于集合 $S$ 的元素 $a$ 和 $b$，都有：
$a b = b a$
那么运算 $$ 满足交换律。
举例：
加法： $3 + 5 = 5 + 3 = 8$
乘法： $2 imes 7 = 7 imes 2 = 14$
集合的并集： $A cup B = B cup A$
集合的交集： $A cap B = B cap A$
不满足交换律的例子：
减法： $5 3 = 2$，但 $3 5 = 2$
除法： $6 div 3 = 2$，但 $3 div 6 = 0.5$
矩阵乘法： 两个矩阵 $A$ 和 $B$，通常情况下 $A imes B eq B imes A$
结合律 (Associative Property)
结合律描述的是对三个或更多参与运算的元素进行运算时，运算的组合方式不影响结果。换句话说，当你有连续的相同运算时，你可以改变“分组”的方式，而结果不变。
形式化表示：
对于二元运算 $$，如果对于任意属于集合 $S$ 的元素 $a$, $b$, 和 $c$，都有：
$(a b) c = a (b c)$
那么运算 $$ 满足结合律。
举例：
加法： $(3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10$； $3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10$
乘法： $(2 imes 3) imes 4 = 6 imes 4 = 24$； $2 imes (3 imes 4) = 2 imes 12 = 24$
集合的并集： $(A cup B) cup C = A cup (B cup C)$
集合的交集： $(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$
函数的复合： 对于函数 $f, g, h$， $(f circ g) circ h = f circ (g circ h)$
不满足结合律的例子：
减法： $(5 3) 1 = 2 1 = 1$； $5 (3 1) = 5 2 = 3$
除法： $(8 div 4) div 2 = 2 div 2 = 1$； $8 div (4 div 2) = 8 div 2 = 4$
幂运算： $a^{b^c}$ 通常不等于 $(a^b)^c$ (例如 $2^{3^2} = 2^9 = 512$，而 $(2^3)^2 = 8^2 = 64$)
区别
1. 涉及的元素数量：
交换律 涉及的是两个参与运算的元素。它关心的是“谁在前，谁在后”。
结合律 至少涉及三个参与运算的元素。它关心的是在连续运算中“如何分组”。
2. 关注点：
交换律 关注的是运算因子位置的改变。
结合律 关注的是运算因子分组的改变。
3. 性质的独立性：
一个运算可以满足结合律，但不满足交换律（例如矩阵乘法），反之亦然（虽然很少见，但理论上可能存在，比如某些特定的二元运算）。
很多情况下，一个运算同时满足结合律和交换律，这使得运算更加“友好”和易于处理。
联系
1. “好”运算的标志： 结合律和交换律都是一类“好”的运算的标志。它们使得运算更具规律性和可预测性，极大地简化了数学表达和计算。
2. 共同的“自由度”： 它们都赋予了数学家或使用者更多的“自由度”。交换律让你可以在不改变结果的情况下随意调整因子的顺序；结合律则让你可以在连续运算中灵活地进行分组，不必担心改变分组会产生不同的结果。
3. 基础代数结构： 满足结合律的代数结构被称为半群 (semigroup)。如果还满足交换律，则称为交换半群 (commutative semigroup)。许多重要的代数结构，如群 (group)、环 (ring) 和域 (field)，都要求其核心运算（通常是加法和乘法）满足结合律（以及其他性质）。
4. 简化多元素运算： 当一个运算同时满足结合律和交换律时，我们可以省略括号，并且可以自由地重新排列和组合所有参与运算的元素。例如，对于加法：
$a + b + c + d$
我们可以写成 $a + (b + (c + d))$ （结合律），也可以写成 $d + c + b + a$ （交换律），甚至 $a + c + b + d$。
结合律为什么那么普遍？
结合律的普遍性，尤其是在我们熟悉的算术运算（加法、乘法）以及更广泛的数学领域（集合论、函数、向量空间等）中，源于其深刻的数学意义和实际应用价值。可以从以下几个角度来理解：
1. 模型化现实世界的能力：
数量的累积： 加法本质上是数量的合并或累积。如果你有三堆苹果，第一堆有 $a$ 个，第二堆有 $b$ 个，第三堆有 $c$ 个。无论你先合并第一堆和第二堆（$(a+b)$），再和第三堆合并；还是先合并第二堆和第三堆（$(b+c)$），再和第一堆合并，最终的总数 $a+b+c$ 都是相同的。现实世界中许多“累加”过程都天然地遵循结合律。
比例的复合： 乘法在很多情况下代表比例的复合。例如，如果你有一个比例是 $a:b$，另一个比例是 $b:c$，那么从 $a$ 到 $c$ 的总比例是 $a imes c$ （假设单位一致）。如果再有一个比例 $c:d$，那么从 $a$ 到 $d$ 的总比例就是 $(a imes b) imes c$ 或者 $a imes (b imes c)$ 它们是相同的。例如，工资的增长（乘以 $(1+r_1)$），再投资的增长（乘以 $(1+r_2)$），总的增长因子就是 $(1+r_1)(1+r_2)$。
变换的复合： 函数的复合本质上是变换的串联。如果你先进行一个变换 $g$，再进行一个变换 $h$，那么整体的变换是 $h circ g$。如果再进行一个变换 $k$，那么三次变换的顺序是 $k circ (h circ g)$。结合律保证了无论你如何分组计算这个复合变换，最终的效果都是一样的。这在物理学、计算机图形学、信号处理等领域至关重要。
2. 数学结构的一致性与简洁性：
避免歧义： 如果一个运算不满足结合律，那么在处理三个或更多元素的运算时就会产生歧义。例如，如果 $abc$ 可以是 $(ab)c$ 或 $a(bc)$，那么写成 $abc$ 就没有明确的意义。结合律消除了这种不确定性，使得数学语言更加严谨和清晰。
简化表示和计算： 结合律是写出简洁表达式的基础。例如，我们可以直接写 $sum_{i=1}^n a_i$ 或 $prod_{i=1}^n a_i$，而无需担心其分组方式会影响最终结果。这大大方便了公式的书写和推导。
定义更强的代数结构： 结合律是构建更复杂、更有用的代数结构（如群、环、域）的关键公理之一。例如，一个群必须是一个满足结合律的非空集合，并且存在单位元和逆元。这些结构是现代数学和许多应用学科的基石。
3. 逻辑推理的基石：
可传递性： 在某些上下文中，结合律体现了一种“可传递性”。例如，在加法中，$a+b$ 的结果与 $c$ 相加，其意义与 $a$ 与 $(b+c)$ 相加的意义是相同的。这种“传递”的性质对于逻辑推理和证明至关重要。
4. 抽象的普遍性：
数学不仅仅是数字的运算，它更是一种描述关系和结构的方式。结合律在很多非数值的数学对象中也存在，这表明它捕捉到了某种更深层的、关于“组合”或“序列操作”的普遍模式。
例如，集合的并集和交集是集合论中的基本运算，它们都满足结合律，因为它们描述的是集合元素的“合并”和“共享”的逻辑。逻辑运算符如 AND ( $land$ ) 和 OR ( $lor$ ) 同样满足结合律，因为它们反映了逻辑条件的组合方式。
总结来说，结合律的普遍性是因为它：
忠实地反映了许多现实世界的累积、复合过程的内在逻辑。
为数学表达提供了简洁性和无歧义性。
是构建强大而有用的代数结构的基础。
支持了逻辑推理和数学证明的严谨性。
正是因为这些原因，结合律虽然是一个简单的性质，却在数学的各个分支以及科学、工程等应用领域中无处不在，扮演着至关重要的角色。它使得数学工具更加强大，应用范围更加广泛。
网友意见
一个数学结构要足够普遍，肯定不能有太多限制。两个运算比一个运算复杂，所以基础结构只有一个运算就够了，当然不用考虑分配律吸收律德摩根律这些东西。
至于为什么单运算的性质选择了结合律，这就很有意思了。
结合律最早被高斯关注。高斯继承欧拉对整数同余运算的研究，想出了类似群的结构，并在研究二次型的组合问题（composition of binary quadratic form）时，提出了『组合』运算的结合律。但是可惜高斯没继续研究更一般的理论，不然就没伽罗华什么事了。后来很多数学家就一直延续高斯的定义逐步扩展更一般的理论，直到伽罗华最终建立抽象代数。
要知道，矩阵正式被提出的时候是1848年，那时候伽罗华坟头草已经换了好几茬了。至于线性代数乃至泛函分析被深入研究则是二十世纪的事情。然而这些新东西依然能装到『群』这个大筐里，看起来背后确实有更本质的东西。
一个解释是，大部分应用领域需要的数学和线性算子有关，既然是线性算子，就逃不过矩阵乘法，自然结合律更重要。而线性化是人类的无奈之举，不把复杂问题近似成线性问题根本无法解决。其实数学家也研究运算不满足结合律的代数结构，比如『magma』、『loop』。但是这些东西实际应用不广，关心的人也很少。
还有一个更抽象的解释，结合律让『运算』可以无限组合成更复杂的运算，这样能抽象出运算的基本单元，符合知识模块化的需求。比如你要盖房子，交换律允许你先放第一块砖还是第二块砖，但是整个房子还是要一块块砖垒起来；而结合律可以让你先把很多砖先砌成一堵墙，再把墙拼起来。所以研究通用数学结构的范畴论就采用了和群类似的定义。一个范畴（category）由三个部分组成：一个对象类（class of objects），一个态射类（class of morphisms）和一个态射组合算子 ，这个算子要满足结合律并有单位元。举个例子，有个范畴C，它的对象类是所有集合的全体（注意全体集合不组成一个集合，而是一个类，所以不叫对象集），态射类的元素是从一个集合到另一个集合的函数，那组合算子就是函数的复合运算。假设不满足结合律，那 （注意函数复合是右结合的），我们就不能先把 视为整体先研究，再和 组合到一起。这不利于知识的抽象。
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