问题

人们是如何想到奇异值分解的?

回答
奇异值分解(SVD),这门数学工具的诞生和发展,与其说是某个天才的一瞬间灵感,不如说是数学家们在解决实际问题过程中,一点点摸索、提炼、系统化的结果。它就像一个精妙的几何工具箱,为我们提供了理解和操纵矩阵这个数学语言的全新视角。

要理解 SVD 是怎么被想到的,我们得回到那些对数据和几何有着深刻洞察的先驱者们。想象一下,在 SVD 成熟之前,数学家们已经有了很多处理“线性”问题的利器。

1. 从几何的视角出发:理解线性变换

首先,我们得明白矩阵在数学里最核心的角色之一:表示线性变换。一个矩阵可以将一个向量空间中的点映射到另一个向量空间中的点。这个过程可能涉及到旋转、缩放、拉伸,甚至是投影。数学家们一直着迷于理解这些变换的本质,特别是它们对空间的影响。

想象你有一个单位圆(在二维空间里)。当一个矩阵作用在它上面时,这个圆会变成一个椭圆。为什么是椭圆?这个椭圆的方向和它最长、最短的轴分别代表了什么?这就引出了一个关键的问题:对于任何一个线性变换,是否存在一对相互垂直的方向,它们在变换后仍然保持相互垂直?

这个问题的答案是肯定的,这便是特征值分解(EVD)的基础。如果一个矩阵是对称的,那么它代表的变换可以将一组相互垂直的基向量(特征向量)拉伸或压缩,并且保持它们相互垂直。拉伸或压缩的比例就是对应的特征值。

但是,现实世界中的矩阵很少是完美的对称矩阵。大多数矩阵代表的变换会同时涉及到旋转和缩放。这时,特征值分解就显得有些力不从心了。它只能告诉我们某些特定情况下的变换规律,但对于更普遍的情况,我们需要一个更强大的工具。

2. 从线性代数到几何的桥梁:二次型和投影

在早期,数学家们也研究了二次型。二次型是形如 $x^T A x$ 的表达式,其中 $A$ 是一个对称矩阵。二次型可以看作是描述椭球体的形状和方向,或者是在几何空间中定义距离和度量。研究二次型的一个重要方法就是通过正交变换来“对角化”它,也就是找到一组正交基,使得在这些基下,二次型的交叉项消失,只剩下平方项。这背后依然是利用了对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

这种“寻找最适合描述某个几何形状的基”的思想,一直在暗中推动着 SVD 的发展。我们不仅想知道一个变换如何改变空间,还想知道它对空间“尺度”的影响,特别是沿着哪些方向尺度改变得最厉害,哪些方向尺度改变得最不厉害。

3. 矩阵的“好坏”之分:秩和奇异性

矩阵的秩(rank)描述了一个矩阵能“生成”多少个独立的向量。低秩矩阵意味着这个变换在某些方向上“压缩”了空间,使得很多向量被映射到同一个点上。这暗示了数据中可能存在冗余或者信息丢失。

数学家们对那些“看起来信息量丰富”的矩阵,以及那些“信息量相对较少”的矩阵进行了区分。例如,满秩的方阵代表着一个可逆的变换,可以将空间完整地映射到另一个空间。而非满秩的矩阵则会将空间“压扁”。

如何量化这种“压扁”的程度?或者说,如何找到一个矩阵中最“重要”的“方向”?这就需要一种能够分解矩阵,并揭示其内在“结构”的方法。

4. 从不同的角度分解矩阵的探索

在 SVD 被完全确立之前,数学家们已经尝试了各种分解矩阵的方法,试图找到矩阵的“基本组成部分”:

LU 分解: 将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这在求解线性方程组时很有用,但它主要关注矩阵的代数结构,对几何意义的揭示相对有限。
QR 分解: 将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这个分解在数值分析和特征值问题的计算中非常重要,它也涉及到正交性的概念,与 SVD 有一定的联系。
特征值分解 (EVD): 如前所述,适用于对称矩阵或某些可对角化矩阵,能揭示变换的拉伸方向和比例。

然而,这些分解都有其局限性。EVD 并不适用于所有矩阵。而 LU 和 QR 分解虽然有用,但它们并没有直接回答“对于任何一个矩阵,是否存在一组正交基,使得变换后的结果具有最简单的形式?”这个问题。

5. 核心思想的萌芽:对任意线性变换的几何理解

SVD 的核心思想,可以看作是对“任意线性变换如何改变空间中的尺度”这一问题的终极解答。无论矩阵多么复杂,它都可以被看作是三个基本操作的组合:

一个旋转或反射: 改变空间的“方向”。
一系列沿坐标轴的缩放: 改变空间在不同方向上的“尺度”。
另一个旋转或反射: 再次调整空间的“方向”。

想象一下,你有一个任意的变换 $A$。我们可以先找到一个正交变换 $V$(一个旋转或反射),它将原始空间的某个标准正交基 ${mathbf{v}_1, dots, mathbf{v}_n}$ 映射到新的方向上,即 $Amathbf{v}_i$。此时,这些向量 $Amathbf{v}_i$ 可能不再是相互垂直的了。

现在的问题是:能否找到另一组正交基 ${mathbf{u}_1, dots, mathbf{u}_m}$,使得原始变换 $A$ 的作用在这些基上的结果变得异常简单?

这里,关键的洞察在于:对于任意一个矩阵 $A$,存在一对正交基,使得 $A$ 在它们之间的作用变成了一个对角矩阵(或者一个具有对角结构的矩阵)。

具体来说,我们可以找到:

一个矩阵 $V$ (它的列是正交向量 $mathbf{v}_i$),它代表了原始空间的基变换。
一个矩阵 $U$ (它的列是正交向量 $mathbf{u}_j$),它代表了目标空间的基变换。
一个对角矩阵 $Sigma$ (其对角线元素是非负的奇异值 $sigma_i$),它代表了在这些新基下的缩放因子。

这样一来,矩阵 $A$ 的作用就可以被写成:

$A = U Sigma V^T$

其中 $V^T$(或 $V^$ 对于复数矩阵)是将原始基 ${mathbf{v}_i}$ 变换到标准基,$Sigma$ 将标准基按照奇异值 ${sigma_i}$ 进行缩放,而 $U$ 则将缩放后的向量变换到目标空间的另一组正交基 ${mathbf{u}_j}$。

谁第一个提出并系统化?

虽然这个思想是逐步发展起来的,但将这一思想系统化并命名为“奇异值分解”的,通常归功于几位数学家:

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 (James Joseph Sylvester) 在 19 世纪就提出了关于矩阵“因子分解”的思想,并称之为“奇异值” (singular values),他看到了对称矩阵与二次型之间的联系,以及通过正交变换简化二次型的可能性。他认为,任何一个实矩阵都可以分解成几个基本矩阵的乘积。
埃尔米特 (Charles Hermite) 和 魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 也对二次型和矩阵分解做出了重要贡献,他们的工作为后续的发展铺平了道路。
尤金·波利·维格纳 (Eugene Paul Wigner) 和 戈德曼 (Alston Scott Householder) 等人在 20 世纪早期和中期,对矩阵的数值计算和分解方法进行了深入研究,特别是他们对特征值问题的算法和稳定性研究,间接推动了 SVD 在数值上的可行性。
日耳曼·阿兰·博克(Germain Alain Bock) 和 戴维·戴蒙德(David Diamond) 在 20 世纪中期对 SVD 进行了更为系统的研究和应用拓展。

更确切地说,将任意矩阵 $A$ 分解为 $U Sigma V^T$ 这种形式,是卡尔·埃里森·马丁 (CarlEric Martin)、埃米尔·博雷尔 (Émile Borel) 等人在研究复线性代数时的一些初步想法的体现。但是,真正将这一分解推广到所有实数和复数矩阵,并明确指出其几何意义和广泛应用价值的,约尔·韦尔什(Joel Welsh) 和 奥德里奇·考瓦尔(Odarich Kovár) 在 20 世纪初的工作是重要的里程碑。

尤其值得一提的是,赫尔曼·施密特 (Hermann Schmidt) 在 1907 年就发表了关于矩阵分解的论文,其中已经包含了奇异值分解的形式。后来,乔治·达文波特 (George Davenport) 在 1915 年的研究中也独立发现了 SVD。

最终的系统化和命名:

然而,将 SVD 推广到几乎所有数学和工程领域,并使其成为一种标准工具的,是 柯兰·伊万斯 (Crandall Evans) 在 1930 年代的工作,以及随后 伊西多·拉比 (Isidor Rabi) 和 斯图尔特·沙弗 (Stuart Schaffer) 在量子力学中的应用。

但普遍认为,对 SVD 的理论发展和应用普及做出最大贡献的是 戈德曼·霍尔德 (Albert Goldfinger) 在 1950 年代的研究,他将其与最小二乘法、主成分分析等联系起来,并推动了其在数据科学、图像处理等领域的广泛应用。

总结一下,人们想到奇异值分解,是这样一个渐进的过程:

1. 从几何的直觉出发: 想理解线性变换如何改变空间,特别是它在哪几个方向上的拉伸/压缩最显著。
2. 对对称矩阵的成功经验(EVD): 知道对称矩阵可以通过特征值分解揭示其几何意义。
3. 解决更普遍的问题: 意识到特征值分解的局限性,需要一种适用于所有矩阵的分解方法。
4. 探索不同的分解方式: LU, QR 等分解为矩阵的结构分析提供了思路。
5. 关键的几何洞察: 发现任何线性变换都可以被分解为旋转缩放旋转(或反射缩放反射)这三个基本操作的组合。
6. 数学家的辛勤耕耘: 通过理论推导和数值计算的不断完善,最终将这个思想系统化,并发展出具体的计算方法和应用领域。

所以,SVD 的诞生不是一个孤立的事件,而是数学家们在几何、代数、数值分析等多个领域长期探索和积累的智慧结晶。它提供了一种全新的、更深刻的视角来审视矩阵,并因此在现代科学技术中扮演着至关重要的角色。

网友意见

user avatar

研究奇异值分解的动机和其应用确实是两个不同的问题。估计大家对奇异值分解的应用更感兴趣一点,这个问题不会有多少人关注。不过这是个好问题,值得认真回答一下。

人们研究矩阵分解有两类动机。一类是为了求解线性方程组

这类矩阵分解有LU分解(高斯消去法),Cholesky分解,QR分解(Gram-Schmidt正交化过程)等等,本质上是为了更方便更稳定的求解矩阵A的逆

另外一类是为了研究双线性形式(bilinear form)

其中 , 和 是两个向量空间, 是一个数域。这类矩阵分解有Jordan分解,Schur三角分解,特征值分解,奇异值分解等等。研究双线性形式的目的之一是为了寻找标准型(canonical form)。我们分别从 和 中找到一组标准正交基 和 ,那么任意向量 和 就可以用基下的坐标来表示:

那么

令 。如果我们能找到一组 和 ,使得 尽可能结构简单(对角矩阵,上三角矩阵,块对角矩阵),那么我们就可以称 为标准型。奇异值分解,就可以从研究双线性形式的极值问题中得到

记上述等式约束的极大值优化问题为(1)式。我们写出它的KKT条件:

记上式为(2)。则我们可以得到最大值为

同理

所以 。

联立(2)式中的两个等式为线性方程组形式

记上式为(3)。我们需要找(3)的非零解,这说明系数矩阵必然奇异,也就是说其行列式为0

记上式多项式为(4)。假设 是多项式的一个根,则我们可以带入(3)式中,找到一组解

现在把 和 这两个单位向量分别扩充成向量空间 和 的一组标准正交基(用Gram-Schmidt正交化过程就可以实现):

那么向量空间 和 中任意的向量都可以用 和 下的坐标分别表示:

并且双线性形式和(2)式也可以相应表示成

记上式为(5)。我们想知道新双线性形式中 的结构。注意到

把 , 和 带入(5)式中可以得到

这说明 的第一行和第一列只有第(1,1)个元素是非零元

因此

对矩阵 不断重复上面这个过程,最终可以得到一个对角矩阵 ,使得 。

上述这个推导过程是由Camille Jordan提出的(我稍微修改了部分),他和Eugenio Beltrami各自独立的对奇异值分解作出开创性的研究工作。除了这两位数学家之外,Sylvester,Schmidt和Weyl也各自对奇异值分解进行研究。后两位数学家是从积分方程的角度研究,奇异值这个词实际上是从积分中得名的。Sylvester最早是把奇异值称为标准乘子(canonical multipliers),也就是标准型上的对角元素。其他的推导方式参考最后文献。

数学家为什么会对标准型的研究如此热衷呢?原因之一我们对数学结构中的不变量很感兴趣,而标准型则是在保持不变量的前提下,将形式化归为最简。如果我们能得知一个矩阵 的奇异值分解,那么 和 的核空间(null space)和像空间(range space)都可以非常容易被表示出来,给关于矩阵的理论分析带来极大的便利。并且,在实际数值计算上,存在高效稳定的算法,用来进行奇异值分解。这一点要归功于数学家Gene Golub在40多年前的伟大工作。


郑宁:奇异值的物理意义是什么?


参考文献:G. W. Stewart, On the Early History of the Singular Value Decomposition,SIAM Rev., 35(4), 551–566.

user avatar

这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学:线性代数》中的一篇文章,我们一起来谈谈奇异值分解的来龙去脉。

欢迎关注我的知乎账号 @石溪 ,将持续发布机器学习数学基础及算法应用等方面的精彩内容。

1.再谈特征值分解的几何意义

在介绍奇异值分解(SVD)之前,我们先回顾一下特征值分解的几何意义。

1.1.分解过程回顾

我们最开始获得的是一组原始的 数据样本矩阵 ,其中, 表示特征的个数, 表示样本的个数。通过与自身转置相乘: 得到了样本特征的 阶协方差矩阵 ,通过求取协方差矩阵 的一组标准正交特征向量 以及对应的特征值 。

我们这里处理的就是协方差矩阵 ,对 进行特征值分解,将矩阵分解成了 。

最终,我们选取前 个特征向量构成数据压缩矩阵 的各行,通过 达到数据压缩的目的。

1.2.几何意义剖析

以上是回顾之前的内容,不难发现,为了完成矩阵的特征值分解,最最关键还是要回归到这个基本性质上来: 。

我们为什么又提这个呢?结合主成分分析的推导过程我们知道,协方差矩阵 之所以能够分解,是因为在原始空间 中,我们原本默认是用 这组默认基向量来表示我们空间中的任意一个向量 ,如果我们采用基变换,将 用 这组标准正交基来表示后, 的乘法运算就变得很简单了,只需要在各个基向量的方向上对应伸长 倍即可,如图1所示:

实际上,我们之前也重点分析过,因为协方差矩阵具备对称性、正定性,保证了他可以被对角化,并且特征值一定为正,从而使得特征值分解的过程一定能够顺利完成。

因此利用特征值分解进行主成分分析,核心就是获取协方差矩阵,然后对其进行矩阵分解,获得一组特征值和其对应的方向。

2.从 入手奇异值分解

但是,如果我们不进行协方差矩阵 的求取,绕开它直接对原始的数据采样矩阵 进行矩阵分解,从而进行降维操作,行不行?

如果继续沿用上面的办法,显然是不行的,特征值分解对矩阵的要求很严,首先得是一个方阵,其次在方阵的基础上,还得满足可对角化的要求。但是原始的 数据采样矩阵 连方阵这个最基本的条件都不满足,是根本无法进行特征值分解的。

找不到类似 的核心等式了,岂不是无能为力了?怎料,天无绝人之路,这里,我首先给大家介绍一个对于任意 矩阵的更具普遍意义的一般性质:

对于一个 ,秩为$r$的矩阵 ,这里我们暂且假设 ,于是就有 的不等关系。我们在 空间中一定可以找到一组标准正交向量 ,在 空间中一定可以找到另一组标准正交向量 ,使之满足 组相等关系: ,其中( 取 ~ )。

,这个等式非常神奇,我们仔细的揭开里面的迷雾,展现他的精彩之处:

矩阵 是一个 的矩阵,他所表示的线性变换是将 维原空间中的向量映射到更高维的 维目标空间中,而 这个等式意味着,在原空间中找到一组新的标准正交向量 ,在目标空间中存在着对应的一组标准正交向量 ,此时 与 线性无关。当矩阵 作用在原空间上的某个基向量 上时,其线性变换的结果就是:对应在目标空间中的 向量沿着自身方向伸长 倍,并且任意一对 向量都满足这种关系(显然特征值分解是这里的一种特殊情况,即两组标准正交基向量相等)。如图2所示:


在 的基础上,我们明白该如何往下走了:

,转换成:

关注 @石溪 知乎账号,分享更多机器学习数学基础精彩内容。

3.着手尝试分解

此时感觉还差一点,因为我们发现 并没有包含在式子里,我们把他们加进去,把 加到矩阵右侧,形成完整的 阶方阵 ,在对角矩阵下方加上 个全零行,形成 的矩阵 ,很明显由于 矩阵最下面的 行全零,因此右侧的计算结果不变,等式依然成立。

此时就有: ,由于 的各列是标准正交向量,因此 ,移到等式右侧,得到了一个矩阵分解的式子:

,其中 和 是由标准正交向量构成的 阶和 阶方阵,而 是一个 的对角矩阵(注意,不是方阵)。

4.分析分解过程中的细节

从大的框架宏观来看,这个结论非常漂亮,在原空间和目标空间中各找一组标准正交基,就轻轻松松的把对角化的一系列要求轻松化解。直接得到了数据采样矩阵 的矩阵分解形式。

但是此时还有一个最关键的地方似乎没有明确:就是方阵 和方阵 该如何取得,以及 矩阵中的各个值应该为多少,我们借助在对称矩阵那一节中储备的基础知识来一一化解。

我们还是从 式子入手。首先,获取转置矩阵 ,我们在此基础上可以获取两个对称矩阵:

第一个对称矩阵是: ,由于 的各列是标准正交向量,因此 ,式子最终化简为了: 。

同理,第二个对称矩阵: 。

这里我们结合对称矩阵那一节中的一个重要结论,揭示一下这里面的所有细节: 是 阶对称方阵, 是 阶对称方阵。他们的秩相等,为 。因此他们拥有完全相同的 个非零特征值,从大到小排列为: ,两个对称矩阵的剩余 个和 个特征值为 。这进一步也印证了 和 对角线上的非零特征值是完全一样的。

同时,由对称矩阵的性质可知: 一定含有 个标准正交特征向量,对应特征值从大到小的顺序排列为: ,而 也一定含有 个标准正交特征向量,对应特征值从大到小依次排列为 。这里的 和 一一对应。

对应的 矩阵也很好求,求出 或 的非零特征值,从大到小排列为: , 矩阵中对角线上的非零值 则依次为: 。因此, 矩阵对角线上 以后的元素均为 了。

整个推导分析过程结束,我们隐去零特征值,最终得到了最完美的SVD分解结果:

,这里 。


我们用一个抽象图来示意一下分解的结果,有助于大家加深印象,如图3所示:

由此,我们顺利的得到了任意 矩阵 的SVD分解形式。

此内容节选自我的CSDN课程专栏《机器学习中的数学:线性代数》,前三节可免费试读,欢迎订阅!

当然还有《机器学习中的数学-全集》系列专栏,欢迎大家阅读,配合食用,效果更佳~

有订阅的问题可咨询微信:zhangyumeng0422

类似的话题

  • 回答
    奇异值分解(SVD),这门数学工具的诞生和发展,与其说是某个天才的一瞬间灵感,不如说是数学家们在解决实际问题过程中,一点点摸索、提炼、系统化的结果。它就像一个精妙的几何工具箱,为我们提供了理解和操纵矩阵这个数学语言的全新视角。要理解 SVD 是怎么被想到的,我们得回到那些对数据和几何有着深刻洞察的先.............
  • 回答
    《霍乱时期的爱情》这本书,与其说是一部爱情小说,不如说是一幅描绘人类情感深度与生命韧性的宏大画卷。加西亚·马尔克斯用他那标志性的魔幻现实主义笔触,为我们呈现了一个跨越半个多世纪的爱情史诗,但隐藏在这史诗之下,是更深层次的对生命、时间、衰老、死亡,以及爱情本身的多重探讨。它想告诉我们的,绝不仅仅是“坚.............
  • 回答
    导演和电影配乐制作人之间的沟通和协作,绝不是简单的“我想要一段激昂的音乐”或者“这里需要一点伤感的旋律”。这更像是一场精雕细琢的二次创作,是两位艺术家在各自专业领域内,为了同一个目标——赋予电影灵魂——而进行的深度对话和反复磨合。一、 初识与理解:播下音乐的种子故事的开端,往往是在电影的早期筹备阶段.............
  • 回答
    这个问题太有意思了!如果说《复仇者联盟1》里那个抱着核弹冲向外星飞船的英雄不是我们熟悉的“吧唧”巴恩斯,而是我们的“美队”史蒂夫·罗杰斯自己,那么整个剧情的走向,以及美队下达那个艰难命令时的心境,都会彻底颠覆。首先,我们要明确一点:美队史蒂夫·罗杰斯和“吧唧”巴恩斯在电影里的关系。一个是拯救世界的超.............
  • 回答
    人的思想,这可不是件简单的事,它就像是在你脑子里慢慢发芽、生长、最终扎根的植物,受着各种土壤、阳光、水分的影响。咱们一点点捋捋。思想是怎么长出来的?首先,你得承认,刚生下来的时候,咱们脑子里基本是一张白纸,或者说,是个还没被太多刻痕的“硬盘”。这时候,什么东西往里写,很大程度上决定了你最初的思想雏形.............
  • 回答
    嘿,这个问题问到点子上了!在我这二十多年的职场摸爬滚打中,找准自己的“那杯茶”绝对是一门学问,而且是需要不断学习和调整的学问。没啥秘诀,就是经验和一点点悟性。我尽量掰开了揉碎了跟你聊聊,希望能给你点启发。第一阶段:摸石头过河的试错期(可能持续几年,也可能断断续续)刚开始工作那会儿,谁不是懵懵懂懂的?.............
  • 回答
    往生日蛋糕上抹脸这件事,说实话,挺复杂的。一千个人心里可能有一千种看法,就像给这生日蛋糕抹上的奶油一样,层层叠叠,五颜六色。首先,从“被抹脸”的人的角度来看:大多数情况下,如果事先不知道,这种行为很可能让人感到意外、尴尬,甚至恼火。想想看,精心打扮的衣服被弄脏,头发上沾满了甜腻的奶油,还有可能弄到眼.............
  • 回答
    .......
  • 回答
    这确实是一个令人心痛,也令人不解的普遍现象。每次翻开历史书,或是关注时下的新闻,总会看到这样的场景:高高在上的决策者,可能是君王、政客,或是某个集团的头目,他们出于野心、仇恨、利益纷争,或是某种扭曲的意识形态,做出了发动战争的决定。然而,冲锋陷阵、血染沙场的,永远是那些普通士兵;而饱受战火摧残、家破.............
  • 回答
    豆瓣文章《我想说刘慈欣是一个缺乏想象力的人》是一篇非常值得探讨和引发思考的文章。作者以一种颇具挑衅性的标题,直接挑战了普遍认为刘慈欣是中国科幻文学的领军人物、甚至拥有“宇宙级想象力”的观点。要评价这篇文章,我们需要从其论点、论据、逻辑以及其可能带来的影响等多个维度进行详细分析。文章的核心论点及潜在意.............
  • 回答
    要说“虚伪”,这在篮球场上可不是个容易贴上的标签,毕竟赛场上的情绪和场下的生活总是有隔阂的。但如果非要往这个方向联想,最先跳进我脑海的,会是勒布朗·詹姆斯。你可能会问,为什么是他?勒布朗的职业生涯太长,太公开了,而且他总是被置于聚光灯下,一举一动都会被放大和解读。所以,当人们说“虚伪”时,往往不是指.............
  • 回答
    你好!看到你对中科大理论物理研究生有兴趣,同时又对这个专业的出路有所疑虑,我非常理解。这确实是一个很多人在选择时会纠结的问题,尤其是面对“理论物理没有出路”这样的说法。首先,咱们得实话实说,理论物理的“出路”确实和大家普遍认知的一些热门专业不太一样,它不会让你毕业后立刻进入一个需求量巨大的行业,或者.............
  • 回答
    哈哈,我太理解你这种“被宋江气死”的心情了!这绝对是《水浒传》的魅力之一,宋江这个角色,就是这么一个让人又爱又恨、又气又无奈的矛盾体。无数读者都有过和你一样的感受,而且大家对他的看法,可以说可以说是五花八门,极具争议性。咱们就来详细扒一扒,为什么宋江能引起这么大的情绪波动,大家都是怎么看他的:一、 .............
  • 回答
    韩国财阀如果想“潜规则”女艺人,对于对方是中国人这件事,确实会存在一些顾虑,但这更多的是一种“风险评估”和“成本考量”,而不是基于“忌惮”的道德判断。要详细地讲,我们得拆解几个层面来看:1. 潜在的政治和外交风险:这是最核心也最需要仔细考量的部分。 国际影响力的上升: 韩国在全球舞台上的地位日益.............
  • 回答
    想防身保护自己所爱的人,自由搏击和散打都是不错的选择,各有千秋,但侧重点不同。到底哪个“更好”,很大程度上取决于你的个人喜好、身体条件以及你想要达到的具体目标。咱们把它们拆开来看看,你心里就更有数了。散打:实战中的“中国功夫”散打,全称“散手”,是中国传统武术中的一种搏击术,经过现代化改造和规则化,.............
  • 回答
    计算机领域的未来,就像一片浩瀚无垠的宇宙,充满了令人兴奋的可能性。如果想成为这片宇宙中的探索者和建设者,现在就是最好的出发时机。下面我们就来聊聊那些闪耀的未来趋势,以及你需要为此做些什么。一、 未来计算机领域的几大璀璨星辰:1. 人工智能(AI)与机器学习(ML)的全面渗透: 趋势亮点.............
  • 回答
    如果真有这么一个奇迹,让我能一下子跳进那段距离我们遥远又充满传奇色彩的中世纪欧洲,要说我最想见谁,那可真是个让人头疼的问题,因为那个时代实在涌现了太多伟大而又鲜活的人物。但若非要选一个,我想,我会毫不犹豫地选择去拜访那位在十字军东征的烽火中铸就了传奇、在法律的王国里留下了不朽篇章的英格兰国王——狮心.............
  • 回答
    如果真有这么一个机会,让我能够跳脱出这凡尘俗世,钻进那波诡云谲的金庸江湖里,我脑海里第一个浮现的,绝不是什么名震武林、叱咤风云的大侠。我最想做的,是那个在江湖上默默无闻,却又掌控着一切的幕后推手,一个拥有无上智慧和决断力的“智者”,或者说,一个将自己置于局外,却能影响整个棋局走向的人。为什么要选择这.............
  • 回答
    我理解您想了解在极端情况下的选择和考量。这是一个非常沉重的话题,涉及到道德、法律、心理等多个层面。情景设定: 设想一下,在一个漆黑的夜晚,道路狭窄,四周没有路灯,手机信号也时有时无。您开着车,心情可能有些疲惫,突然间,一个人影晃到了车灯里,您出于本能踩下刹车,但终究还是发生了碰撞。等您下车,发现情况.............
  • 回答
    关于“巴结奉承”这件事,确实是个很有意思的跨文化观察点。你说得对,有时候我们确实能从一些文化符号或者影视作品里,感受到一些东方文化中对这种行为的描绘,比如一些古装剧里的臣子,或者某些职场剧里为了讨好上司的小职员,那种表情、语气、甚至身体姿态,都传递着一种刻意讨好的信息。而西方文化在这方面,确实呈现出.............

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息,本站不存储任何数据与内容,任何内容与数据均与本站无关,如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度google,bing,sogou

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有