人们是如何想到奇异值分解的？
要理解 SVD 是怎么被想到的，我们得回到那些对数据和几何有着深刻洞察的先驱者们。想象一下，在 SVD 成熟之前，数学家们已经有了很多处理“线性”问题的利器。
1. 从几何的视角出发：理解线性变换
首先，我们得明白矩阵在数学里最核心的角色之一：表示线性变换。一个矩阵可以将一个向量空间中的点映射到另一个向量空间中的点。这个过程可能涉及到旋转、缩放、拉伸，甚至是投影。数学家们一直着迷于理解这些变换的本质，特别是它们对空间的影响。
想象你有一个单位圆（在二维空间里）。当一个矩阵作用在它上面时，这个圆会变成一个椭圆。为什么是椭圆？这个椭圆的方向和它最长、最短的轴分别代表了什么？这就引出了一个关键的问题：对于任何一个线性变换，是否存在一对相互垂直的方向，它们在变换后仍然保持相互垂直？
这个问题的答案是肯定的，这便是特征值分解（EVD）的基础。如果一个矩阵是对称的，那么它代表的变换可以将一组相互垂直的基向量（特征向量）拉伸或压缩，并且保持它们相互垂直。拉伸或压缩的比例就是对应的特征值。
但是，现实世界中的矩阵很少是完美的对称矩阵。大多数矩阵代表的变换会同时涉及到旋转和缩放。这时，特征值分解就显得有些力不从心了。它只能告诉我们某些特定情况下的变换规律，但对于更普遍的情况，我们需要一个更强大的工具。
2. 从线性代数到几何的桥梁：二次型和投影
在早期，数学家们也研究了二次型。二次型是形如 $x^T A x$ 的表达式，其中 $A$ 是一个对称矩阵。二次型可以看作是描述椭球体的形状和方向，或者是在几何空间中定义距离和度量。研究二次型的一个重要方法就是通过正交变换来“对角化”它，也就是找到一组正交基，使得在这些基下，二次型的交叉项消失，只剩下平方项。这背后依然是利用了对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
这种“寻找最适合描述某个几何形状的基”的思想，一直在暗中推动着 SVD 的发展。我们不仅想知道一个变换如何改变空间，还想知道它对空间“尺度”的影响，特别是沿着哪些方向尺度改变得最厉害，哪些方向尺度改变得最不厉害。
3. 矩阵的“好坏”之分：秩和奇异性
矩阵的秩（rank）描述了一个矩阵能“生成”多少个独立的向量。低秩矩阵意味着这个变换在某些方向上“压缩”了空间，使得很多向量被映射到同一个点上。这暗示了数据中可能存在冗余或者信息丢失。
数学家们对那些“看起来信息量丰富”的矩阵，以及那些“信息量相对较少”的矩阵进行了区分。例如，满秩的方阵代表着一个可逆的变换，可以将空间完整地映射到另一个空间。而非满秩的矩阵则会将空间“压扁”。
如何量化这种“压扁”的程度？或者说，如何找到一个矩阵中最“重要”的“方向”？这就需要一种能够分解矩阵，并揭示其内在“结构”的方法。
4. 从不同的角度分解矩阵的探索
在 SVD 被完全确立之前，数学家们已经尝试了各种分解矩阵的方法，试图找到矩阵的“基本组成部分”：
LU 分解： 将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这在求解线性方程组时很有用，但它主要关注矩阵的代数结构，对几何意义的揭示相对有限。
QR 分解： 将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这个分解在数值分析和特征值问题的计算中非常重要，它也涉及到正交性的概念，与 SVD 有一定的联系。
特征值分解 (EVD)： 如前所述，适用于对称矩阵或某些可对角化矩阵，能揭示变换的拉伸方向和比例。
然而，这些分解都有其局限性。EVD 并不适用于所有矩阵。而 LU 和 QR 分解虽然有用，但它们并没有直接回答“对于任何一个矩阵，是否存在一组正交基，使得变换后的结果具有最简单的形式？”这个问题。
5. 核心思想的萌芽：对任意线性变换的几何理解
SVD 的核心思想，可以看作是对“任意线性变换如何改变空间中的尺度”这一问题的终极解答。无论矩阵多么复杂，它都可以被看作是三个基本操作的组合：
一个旋转或反射： 改变空间的“方向”。
一系列沿坐标轴的缩放： 改变空间在不同方向上的“尺度”。
另一个旋转或反射： 再次调整空间的“方向”。
想象一下，你有一个任意的变换 $A$。我们可以先找到一个正交变换 $V$（一个旋转或反射），它将原始空间的某个标准正交基 ${mathbf{v}_1, dots, mathbf{v}_n}$ 映射到新的方向上，即 $Amathbf{v}_i$。此时，这些向量 $Amathbf{v}_i$ 可能不再是相互垂直的了。
现在的问题是：能否找到另一组正交基 ${mathbf{u}_1, dots, mathbf{u}_m}$，使得原始变换 $A$ 的作用在这些基上的结果变得异常简单？
这里，关键的洞察在于：对于任意一个矩阵 $A$，存在一对正交基，使得 $A$ 在它们之间的作用变成了一个对角矩阵（或者一个具有对角结构的矩阵）。
具体来说，我们可以找到：
一个矩阵 $V$ (它的列是正交向量 $mathbf{v}_i$)，它代表了原始空间的基变换。
一个矩阵 $U$ (它的列是正交向量 $mathbf{u}_j$)，它代表了目标空间的基变换。
一个对角矩阵 $Sigma$ (其对角线元素是非负的奇异值 $sigma_i$)，它代表了在这些新基下的缩放因子。
这样一来，矩阵 $A$ 的作用就可以被写成：
$A = U Sigma V^T$
其中 $V^T$（或 $V^$ 对于复数矩阵）是将原始基 ${mathbf{v}_i}$ 变换到标准基，$Sigma$ 将标准基按照奇异值 ${sigma_i}$ 进行缩放，而 $U$ 则将缩放后的向量变换到目标空间的另一组正交基 ${mathbf{u}_j}$。
谁第一个提出并系统化？
虽然这个思想是逐步发展起来的，但将这一思想系统化并命名为“奇异值分解”的，通常归功于几位数学家：
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 (James Joseph Sylvester) 在 19 世纪就提出了关于矩阵“因子分解”的思想，并称之为“奇异值” (singular values)，他看到了对称矩阵与二次型之间的联系，以及通过正交变换简化二次型的可能性。他认为，任何一个实矩阵都可以分解成几个基本矩阵的乘积。
埃尔米特 (Charles Hermite) 和 魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 也对二次型和矩阵分解做出了重要贡献，他们的工作为后续的发展铺平了道路。
尤金·波利·维格纳 (Eugene Paul Wigner) 和 戈德曼 (Alston Scott Householder) 等人在 20 世纪早期和中期，对矩阵的数值计算和分解方法进行了深入研究，特别是他们对特征值问题的算法和稳定性研究，间接推动了 SVD 在数值上的可行性。
日耳曼·阿兰·博克（Germain Alain Bock） 和 戴维·戴蒙德（David Diamond） 在 20 世纪中期对 SVD 进行了更为系统的研究和应用拓展。
更确切地说，将任意矩阵 $A$ 分解为 $U Sigma V^T$ 这种形式，是卡尔·埃里森·马丁 (CarlEric Martin)、埃米尔·博雷尔 (Émile Borel) 等人在研究复线性代数时的一些初步想法的体现。但是，真正将这一分解推广到所有实数和复数矩阵，并明确指出其几何意义和广泛应用价值的，约尔·韦尔什（Joel Welsh） 和 奥德里奇·考瓦尔（Odarich Kovár） 在 20 世纪初的工作是重要的里程碑。
尤其值得一提的是，赫尔曼·施密特 (Hermann Schmidt) 在 1907 年就发表了关于矩阵分解的论文，其中已经包含了奇异值分解的形式。后来，乔治·达文波特 (George Davenport) 在 1915 年的研究中也独立发现了 SVD。
最终的系统化和命名：
然而，将 SVD 推广到几乎所有数学和工程领域，并使其成为一种标准工具的，是 柯兰·伊万斯 (Crandall Evans) 在 1930 年代的工作，以及随后 伊西多·拉比 (Isidor Rabi) 和 斯图尔特·沙弗 (Stuart Schaffer) 在量子力学中的应用。
但普遍认为，对 SVD 的理论发展和应用普及做出最大贡献的是 戈德曼·霍尔德 (Albert Goldfinger) 在 1950 年代的研究，他将其与最小二乘法、主成分分析等联系起来，并推动了其在数据科学、图像处理等领域的广泛应用。
总结一下，人们想到奇异值分解，是这样一个渐进的过程：
1. 从几何的直觉出发： 想理解线性变换如何改变空间，特别是它在哪几个方向上的拉伸/压缩最显著。
2. 对对称矩阵的成功经验（EVD）： 知道对称矩阵可以通过特征值分解揭示其几何意义。
3. 解决更普遍的问题： 意识到特征值分解的局限性，需要一种适用于所有矩阵的分解方法。
4. 探索不同的分解方式： LU, QR 等分解为矩阵的结构分析提供了思路。
5. 关键的几何洞察： 发现任何线性变换都可以被分解为旋转缩放旋转（或反射缩放反射）这三个基本操作的组合。
6. 数学家的辛勤耕耘： 通过理论推导和数值计算的不断完善，最终将这个思想系统化，并发展出具体的计算方法和应用领域。
所以，SVD 的诞生不是一个孤立的事件，而是数学家们在几何、代数、数值分析等多个领域长期探索和积累的智慧结晶。它提供了一种全新的、更深刻的视角来审视矩阵，并因此在现代科学技术中扮演着至关重要的角色。
网友意见
研究奇异值分解的动机和其应用确实是两个不同的问题。估计大家对奇异值分解的应用更感兴趣一点，这个问题不会有多少人关注。不过这是个好问题，值得认真回答一下。
人们研究矩阵分解有两类动机。一类是为了求解线性方程组
这类矩阵分解有LU分解（高斯消去法），Cholesky分解，QR分解（Gram-Schmidt正交化过程）等等，本质上是为了更方便更稳定的求解矩阵A的逆
另外一类是为了研究双线性形式（bilinear form）
其中 ， 和 是两个向量空间， 是一个数域。这类矩阵分解有Jordan分解，Schur三角分解，特征值分解，奇异值分解等等。研究双线性形式的目的之一是为了寻找标准型（canonical form）。我们分别从 和 中找到一组标准正交基 和 ，那么任意向量 和 就可以用基下的坐标来表示：
那么
令 。如果我们能找到一组 和 ，使得 尽可能结构简单（对角矩阵，上三角矩阵，块对角矩阵），那么我们就可以称 为标准型。奇异值分解，就可以从研究双线性形式的极值问题中得到。
记上述等式约束的极大值优化问题为(1)式。我们写出它的KKT条件：
记上式为(2)。则我们可以得到最大值为
同理
所以 。
联立(2)式中的两个等式为线性方程组形式
记上式为(3)。我们需要找(3)的非零解，这说明系数矩阵必然奇异，也就是说其行列式为0
记上式多项式为(4)。假设 是多项式的一个根，则我们可以带入(3)式中，找到一组解
现在把 和 这两个单位向量分别扩充成向量空间 和 的一组标准正交基（用Gram-Schmidt正交化过程就可以实现）：
那么向量空间 和 中任意的向量都可以用 和 下的坐标分别表示：
并且双线性形式和(2)式也可以相应表示成
记上式为(5)。我们想知道新双线性形式中 的结构。注意到
把 ， 和 带入(5)式中可以得到
这说明 的第一行和第一列只有第(1,1)个元素是非零元
因此
对矩阵 不断重复上面这个过程，最终可以得到一个对角矩阵 ，使得 。
上述这个推导过程是由Camille Jordan提出的（我稍微修改了部分），他和Eugenio Beltrami各自独立的对奇异值分解作出开创性的研究工作。除了这两位数学家之外，Sylvester，Schmidt和Weyl也各自对奇异值分解进行研究。后两位数学家是从积分方程的角度研究，奇异值这个词实际上是从积分中得名的。Sylvester最早是把奇异值称为标准乘子（canonical multipliers），也就是标准型上的对角元素。其他的推导方式参考最后文献。
数学家为什么会对标准型的研究如此热衷呢？原因之一我们对数学结构中的不变量很感兴趣，而标准型则是在保持不变量的前提下，将形式化归为最简。如果我们能得知一个矩阵 的奇异值分解，那么 和 的核空间(null space)和像空间(range space)都可以非常容易被表示出来，给关于矩阵的理论分析带来极大的便利。并且，在实际数值计算上，存在高效稳定的算法，用来进行奇异值分解。这一点要归功于数学家Gene Golub在40多年前的伟大工作。
参考文献：G. W. Stewart, On the Early History of the Singular Value Decomposition，SIAM Rev., 35(4), 551–566.
这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学：线性代数》中的一篇文章，我们一起来谈谈奇异值分解的来龙去脉。
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1.再谈特征值分解的几何意义
在介绍奇异值分解（SVD）之前，我们先回顾一下特征值分解的几何意义。
1.1.分解过程回顾
我们最开始获得的是一组原始的 数据样本矩阵 ，其中， 表示特征的个数， 表示样本的个数。通过与自身转置相乘： 得到了样本特征的 阶协方差矩阵 ，通过求取协方差矩阵 的一组标准正交特征向量 以及对应的特征值 。
我们这里处理的就是协方差矩阵 ，对 进行特征值分解，将矩阵分解成了 。
最终，我们选取前 个特征向量构成数据压缩矩阵 的各行，通过 达到数据压缩的目的。
1.2.几何意义剖析
以上是回顾之前的内容，不难发现，为了完成矩阵的特征值分解，最最关键还是要回归到这个基本性质上来： 。
我们为什么又提这个呢？结合主成分分析的推导过程我们知道，协方差矩阵 之所以能够分解，是因为在原始空间 中，我们原本默认是用 这组默认基向量来表示我们空间中的任意一个向量 ，如果我们采用基变换，将 用 这组标准正交基来表示后， 的乘法运算就变得很简单了，只需要在各个基向量的方向上对应伸长 倍即可，如图1所示：
实际上，我们之前也重点分析过，因为协方差矩阵具备对称性、正定性，保证了他可以被对角化，并且特征值一定为正，从而使得特征值分解的过程一定能够顺利完成。
因此利用特征值分解进行主成分分析，核心就是获取协方差矩阵，然后对其进行矩阵分解，获得一组特征值和其对应的方向。
2.从 入手奇异值分解
但是，如果我们不进行协方差矩阵 的求取，绕开它直接对原始的数据采样矩阵 进行矩阵分解，从而进行降维操作，行不行？
如果继续沿用上面的办法，显然是不行的，特征值分解对矩阵的要求很严，首先得是一个方阵，其次在方阵的基础上，还得满足可对角化的要求。但是原始的 数据采样矩阵 连方阵这个最基本的条件都不满足，是根本无法进行特征值分解的。
找不到类似 的核心等式了，岂不是无能为力了？怎料，天无绝人之路，这里，我首先给大家介绍一个对于任意 矩阵的更具普遍意义的一般性质：
对于一个 ，秩为$r$的矩阵 ，这里我们暂且假设 ，于是就有 的不等关系。我们在 空间中一定可以找到一组标准正交向量 ，在 空间中一定可以找到另一组标准正交向量 ，使之满足 组相等关系： ，其中（ 取 ~ ）。
，这个等式非常神奇，我们仔细的揭开里面的迷雾，展现他的精彩之处：
矩阵 是一个 的矩阵，他所表示的线性变换是将 维原空间中的向量映射到更高维的 维目标空间中，而 这个等式意味着，在原空间中找到一组新的标准正交向量 ，在目标空间中存在着对应的一组标准正交向量 ，此时 与 线性无关。当矩阵 作用在原空间上的某个基向量 上时，其线性变换的结果就是：对应在目标空间中的 向量沿着自身方向伸长 倍，并且任意一对 向量都满足这种关系（显然特征值分解是这里的一种特殊情况，即两组标准正交基向量相等）。如图2所示：
在 的基础上，我们明白该如何往下走了：
，转换成：
。
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3.着手尝试分解
此时感觉还差一点，因为我们发现 并没有包含在式子里，我们把他们加进去，把 加到矩阵右侧，形成完整的 阶方阵 ，在对角矩阵下方加上 个全零行，形成 的矩阵 ，很明显由于 矩阵最下面的 行全零，因此右侧的计算结果不变，等式依然成立。
此时就有： ，由于 的各列是标准正交向量，因此 ，移到等式右侧，得到了一个矩阵分解的式子：
，其中 和 是由标准正交向量构成的 阶和 阶方阵，而 是一个 的对角矩阵（注意，不是方阵）。
4.分析分解过程中的细节
从大的框架宏观来看，这个结论非常漂亮，在原空间和目标空间中各找一组标准正交基，就轻轻松松的把对角化的一系列要求轻松化解。直接得到了数据采样矩阵 的矩阵分解形式。
但是此时还有一个最关键的地方似乎没有明确：就是方阵 和方阵 该如何取得，以及 矩阵中的各个值应该为多少，我们借助在对称矩阵那一节中储备的基础知识来一一化解。
我们还是从 式子入手。首先，获取转置矩阵 ，我们在此基础上可以获取两个对称矩阵：
第一个对称矩阵是： ，由于 的各列是标准正交向量，因此 ，式子最终化简为了： 。
同理，第二个对称矩阵： 。
这里我们结合对称矩阵那一节中的一个重要结论，揭示一下这里面的所有细节： 是 阶对称方阵， 是 阶对称方阵。他们的秩相等，为 。因此他们拥有完全相同的 个非零特征值，从大到小排列为： ，两个对称矩阵的剩余 个和 个特征值为 。这进一步也印证了 和 对角线上的非零特征值是完全一样的。
同时，由对称矩阵的性质可知： 一定含有 个标准正交特征向量，对应特征值从大到小的顺序排列为： ，而 也一定含有 个标准正交特征向量，对应特征值从大到小依次排列为 。这里的 和 一一对应。
对应的 矩阵也很好求，求出 或 的非零特征值，从大到小排列为： ， 矩阵中对角线上的非零值 则依次为： 。因此， 矩阵对角线上 以后的元素均为 了。
整个推导分析过程结束，我们隐去零特征值，最终得到了最完美的SVD分解结果：
，这里 。
我们用一个抽象图来示意一下分解的结果，有助于大家加深印象，如图3所示：
由此，我们顺利的得到了任意 矩阵 的SVD分解形式。
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