和女朋友在商场走丢了，随机乱逛和守在特定地点等候，哪个相遇的概率更高？

这是一个非常经典的“走失”问题，涉及到概率、策略和一些心理因素。我们来详细分析一下，看看哪种策略的相遇概率更高。

核心问题： 两个人同时在商场这个相对封闭但空间广阔的环境中走失了，如何提高相遇的概率？

两个主要策略的分析：

策略一：随机乱逛

运作方式： 双方都停止在一个相对固定的点等待一段时间（比如几分钟），然后各自随机选择方向继续移动，在商场内随意游荡。
优点：
覆盖面广： 如果对方也采取了随机乱逛的策略，理论上你们在商场内的不同区域都有可能遇到。如果一方守株待兔，而另一方乱逛，乱逛的一方更有可能“撞上”守株待兔的人。
缺点：
效率低下，浪费体力： 商场很大，随机乱逛就像大海捞针。你们可能在同一个区域擦肩而过很多次，却无法发现彼此。
概率分散： 你们相遇的概率被分散到了商场内的每一个角落，每个角落的概率都很小。
时间成本高： 找到对方可能需要非常长的时间，而且很有可能找不到。
增加走失时间，心理压力增大： 双方都会因为长时间找不到对方而感到焦虑和不安。

策略二：守在特定地点等候

运作方式： 双方商定一个非常明显的、容易记住的地点（例如商场的中心喷泉、某个标志性的雕塑、主要的入口/出口、服务台等），然后各自前往该地点，并在那里等待一段时间。如果一段时间后没有遇到，可以轮流前往几个预设的备选地点，或者一方等待，另一方在一定范围内搜索后返回原点等待。
优点：
聚焦概率，效率高： 你们的搜索和等待行为都集中在一个或几个高概率区域。如果对方也遵循这个策略，那么在约定的地点相遇的概率会大大提高。
减少无效劳动： 避免了在不相关的区域浪费时间和体力。
心理稳定： 知道对方也在努力寻找，并且知道一个共同的“目的地”，会降低焦虑感。
便于沟通（如果可能）： 如果有手机，可以约定在地点碰头后再联系。即使没手机，这个策略也比完全随机有效。
缺点：
依赖预设地点： 如果约定的地点不是最佳的汇合点，或者其中一方无法到达该地点，这个策略的效果会打折扣。
对方不遵循相同策略的风险： 如果对方采取了随机乱逛，而你一直在守株待兔，对方可能就擦肩而过了。但反过来说，如果你随机乱逛，而对方守在特定地点，你也可能错过对方。

哪个相遇概率更高？—— “守在特定地点等候”

综合来看，守在特定地点等候的策略，其相遇的概率通常比随机乱逛要高得多。

详细解释为什么“守在特定地点等候”概率更高：

1. 概率的集中与分散：
随机乱逛： 假设商场面积为A，你们的搜索范围都分布在这A上。你们各自在一个瞬间占据了一个点。即使你们在商场里移动，你们的“出现”的概率密度分布在整个商场。你们相遇的概率可以想象成在商场这个大图上，你们两个“点”重叠的概率。这种概率是分散的，而且非常小。
守在特定地点： 假设你们约定在某个关键地点等候。这个地点对于商场里的所有人来说，是一个“吸引点”。你们俩都集中在这个点上。如果你们都到达了这个点并且停留足够长的时间，那么你们相遇的概率就等同于你们俩都到达了这个特定点的概率。这个概率远高于你们在随机情况下，在商场某个角落“偶然”碰到的概率。

2. “约定”的力量：
“走失”意味着信息中断，你们不知道对方的实时位置。但“约定一个地点”是在信息中断的情况下，创造一个最高效的“信息汇聚点”。这是一个共享的“目标”。
如果你随机乱逛，你是在主动搜索，但你的搜索是分散的。对方也在搜索，但如果对方也在随机搜索，你们的搜索效率都极低。
如果你守在固定地点，你就相当于把自己的“概率出现在某个地方”的概率，瞬间集中到了这个地点。如果对方也做出同样的“集中决策”，你们就有了极大的相遇可能。

3. 商场的性质：
商场是人类活动的场所，虽然大，但也有其规律。例如，人流量大的地方（如主要入口、中庭、热门店铺附近）是人们聚集和移动的节点。而随机乱逛可能会让你长时间处于人流量稀少且不重要的区域。
选择一个显眼的、人们容易经过或停留的地点，本身就提高了你们在该地点出现的概率（相对于其他不显眼的地方）。

举个例子说明：

假设商场是一个100x100米的方形区域（面积10000平方米）。你们俩都在这个区域内。

随机乱逛： 想象你们各自都拿着一个激光笔，在黑暗的商场里随意走动。你们相遇的概率就是你们的激光束在某个时刻指向同一个点（或者在很近的距离）。这个概率极低。即使你们都动起来，你们在某个时刻“正好”在同一地点出现的概率也小得可怜。
守在中心喷泉： 你们俩都被告知“如果在商场里走散了，去中心喷泉那里等”。你们俩都朝着喷泉走去，并在那里停留。此时，你们相遇的概率取决于：
1. 你们是否都能成功到达喷泉。
2. 你们在喷泉等待的时间。
3. 商场里有多少人经过喷泉。

相较于在整个10000平方米区域内随机碰到，在喷泉这个有限区域内碰面，概率高了不是一个数量级。

最佳实践的建议：

事前に约定 (事先约定)： 这是最好的情况。在进入商场前，就约定好，如果走散，就去某个固定的、显眼的地点汇合。
选择合适的地点： 如果没有约定，走失后选择以下地点作为汇合点会更高：
商场的中庭或中心区域
主要入口/出口（靠近柜台或指示牌的地方）
标志性的雕塑或装饰
服务台/咨询台
电梯/扶梯附近（人流汇聚点）
停留一段时间： 在选定的地点停留至少510分钟，给对方时间找到你。
轮流/组合策略（如果双方都有手机且信号良好）：
一人守在约定地点，另一人小范围（比如约定区域附近几层楼）搜索。
双方都守在约定地点一段时间，如果没遇到，再各自前往另一个预设的备用地点。
利用现代科技： 如果有手机，保持电话畅通，或者使用微信、Find My Friends等定位功能。这是最有效的解决办法。

结论：

在没有现代通讯工具的情况下，守在特定地点等候，并且这个地点是一个显眼且容易到达的汇合点，其相遇的概率远高于随机乱逛。 随机乱逛是一种低效、高耗时且成功的可能性很低的策略。

所以，如果你和女朋友在商场走散了，最好的策略就是尽快找到一个明显的地标，然后守在那里等待。如果还有其他可以联系的方式，那当然是首选。

网友意见

离散空间，尤其是离散时间的模型，处理这种问题特别麻烦，不如考虑一个连续模型。

商场看作R^2，两个人初始分别在(0,0), (1,0). 其中一个人做标准布朗运动，或者两个人分别做独立的标准布朗运动。当两人的距离小于某个小常数，比如0.01时，视为相遇。由于二维布朗运动是邻域常返的，两人一定能相遇。

如果一个人动，另一个不动，二者的坐标差的变化就是一个标准布朗运动。如果两个人都动，坐标差的变化是两个独立标准布朗运动的和，相当于标准布朗运动的方差加倍。这等效于一个人以两倍的速度动，另一个不动，相遇用时自然减半。

简言之，一个一倍速的布朗运动，观测另一个独立的一倍速的布朗运动，看到的其实是个二倍速的布朗运动。

总之结论是随机乱逛更好，能节约一半的时间。

注：考虑两个独立的标准布朗运动B(t), W(t). B(1)+W(1)和B(2)同分布，因为B(2)=B(1)+[B(2)-B(1)]，也是两个独立标准正态的和。这是说两个独立标准布朗运动的和在t时刻的分布，等于一个标准布朗运动在2t时刻的分布。在这个意义上我们说“速度加倍”了。实际上，对于布朗运动，速度按照“对单位时间内的轨道求全变差”作为定义，是无穷。

可能更快，也可能更慢。取决于商场的地形。地形开阔大家一起走，地形复杂，还是找个枢纽地区守株待兔。

如 @Mather King 的回答，都是随机游走的话，两个人一起走相当于（积累方差的）速度*2。然而与之相对的，两个人一起走对应的图更复杂，有可能出现很多岔路，消耗在岔路的时间也可能更多。

一个极端例子：考虑在实数轴的每个整数点上粘一条垂直的实数轴构成的一个梳子一样的图。这个图上的一个随机游走的人是常返的，但两个一起随机游走的人是非常返的。

(之前写了一些别的东西，后来发现好像记得不是很准确……等想起来了再加上吧。）

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