算子代数是一门怎样的数学分支？学习算子代数需要怎样的基础？
算子：空间的“翻译官”
在数学里，我们经常会遇到各种各样的“空间”，比如我们熟悉的实数直线（一维空间）、平面（二维空间），甚至是更高维度的空间。这些空间中的元素，我们可以看作是点，它们具有各种性质。而“算子”呢，就像是这些空间里的“翻译官”或者“变换器”。它接收空间中的一个元素，经过一番“处理”（通常是数学上的运算），然后把它“翻译”成另一个元素，这个新元素可能在同一个空间里，也可能在另一个相关的空间里。
更严谨地说，算子通常是指在“向量空间”上的“线性映射”。向量空间是一个结构更丰富的空间，里面的元素（向量）可以进行加法和数乘运算，并且满足一些基本性质。而线性映射则保证了这种“翻译”过程是“良好”的，即它保持了向量空间的加法和数乘结构。
最常见也最重要的一类向量空间是“希尔伯特空间”。希尔伯特空间在向量空间的基础上，还引入了“内积”的概念，这使得我们可以谈论向量的长度、角度，以及它们的“正交性”。这就像我们在欧几里得空间里测量距离和夹角一样，内积提供了这种度量的能力。
而算子代数，则主要研究的是定义在希尔伯特空间上的有界线性算子。这里的“有界”意味着算子的“放大能力”是有限的，不会把空间中的一个点“拉伸”到无穷远。
算子代数：算子的“俱乐部”
算子代数研究的不是单个的算子，而是一族算子。这族算子需要满足一定的代数结构，就像一个“俱乐部”一样，里面的成员（算子）之间需要遵循某些规则。这些规则包括：
加法封闭性： 如果两个算子在这个俱乐部里，那么它们的和（也是一个算子）也必须在这个俱乐部里。
数乘封闭性： 如果一个算子在这个俱乐部里，并且我们用一个数去乘它，那么结果（仍然是一个算子）也必须在这个俱乐部里。
乘法封闭性： 如果有两个算子在这个俱乐部里，那么它们的复合（一个接一个地作用）也必须在这个俱乐部里。
除了这些基本的代数运算，算子代数还会关注一些更特殊的运算，比如伴随运算。对于一个算子 $A$，它的伴随算子 $A^$ 也是一个算子，并且满足 $(Ax, y) = (x, A^y)$ 对所有向量 $x, y$ 成立，这里的 $( cdot, cdot )$ 是希尔伯特空间的内积。这个伴随运算给算子代数带来了丰富的结构。
算子代数最核心的研究对象是C代数。C代数是一类特殊的算子代数，它不仅满足上述的加法、数乘、乘法封闭性，还额外满足以下条件：
1. 伴随运算的性质： $(A^)^ = A$，$(AB)^ = B^A^$。
2. C恒等式： $|A^A| = |A|^2$，这里的 $|A|$ 是算子的范数，衡量了算子的“最大放大系数”。
C代数是算子代数中最自然、最重要的一类，它们在量子力学、泛函分析、非交换几何等许多领域都有着极其重要的应用。
学习算子代数需要怎样的基础？
算子代数是一门比较“高深”的数学分支，它建立在一系列扎实的数学基础上。要真正深入学习算子代数，你需要具备以下基础知识：
1. 高等数学（微积分与线性代数）： 这是最基本的要求。你需要熟练掌握函数的求导、积分，以及线性代数中向量空间、线性映射、矩阵、特征值、特征向量等概念。
2. 实变函数论： 这是泛函分析的基石。你需要理解测度、积分（特别是勒贝格积分）、可测函数、Lp空间等概念。希尔伯特空间就是泛函分析中的一个重要对象，而实变函数论是理解它的必要工具。
3. 泛函分析： 这是算子代数最直接的“母学科”。你需要深入理解：
向量空间与赋范向量空间： 了解各种类型的空间，如巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）。
希尔伯特空间： 这是算子代数研究的主要舞台。你需要理解内积、正交性、完备性、投影定理等。
有界线性算子： 掌握算子的定义、性质、谱理论（理解算子“能做什么”）、算子范数、有界算子代数等。
算子代数基础： 了解代数结构、子代数、理想、商代数等概念。
C代数初步： 了解C代数的定义、基本性质，如正元、自伴元、交换性等。
4. 拓扑学： 虽然不是直接的算子代数工具，但理解拓扑空间、紧致性、连续性等概念，有助于更好地理解希尔伯特空间和算子代数中的拓扑结构，尤其是在讨论算子的极限和收敛性时。
5. 抽象代数（初步）： 对群、环、域等抽象代数的基本概念有所了解，能够帮助你更好地理解算子代数中的代数结构。
学习路线建议：
如果你想深入学习算子代数，一个比较推荐的学习路径是：
巩固高等数学和线性代数。
学习实变函数论。
深入学习泛函分析，重点放在希尔伯特空间和有界线性算子。
开始接触C代数和算子代数的基本概念。
算子代数的魅力与应用：
算子代数之所以迷人，在于它将代数、分析和拓扑等数学领域巧妙地结合起来。它不仅仅是纯粹的理论研究，在许多科学领域都有着深刻的应用：
量子力学： 量子力学中的可观测量（如能量、动量）对应着希尔伯特空间上的自伴算子，而量子态则对应于空间中的向量。算子代数（尤其是C代数）为描述量子系统的代数结构提供了强大的框架，在量子信息、量子统计力学等领域有重要应用。
非交换几何： 算子代数可以被看作是“非交换空间”的描述工具。传统几何研究的是“交换”的空间（比如我们熟悉的欧几里得空间），在那里函数的乘法是可交换的。而非交换几何则研究那些“非交换”的结构，而算子代数恰好是理解和描述这些非交换几何的语言。这在数学物理、代数几何等领域有着前沿的探索。
信号处理与图像分析： 算子代数中的某些概念和工具，例如傅里叶变换的推广，在信号的分解、分析和重建等方面有所应用。
动力系统： 算子代数可以用来研究动力系统的性质，特别是那些具有复杂动力学行为的系统。
总而言之，算子代数是一门研究算子（尤其是希尔伯特空间上的有界线性算子）的代数结构的数学分支。它建立在扎实的泛函分析基础上，并与代数、拓扑等领域紧密联系。学习它需要耐心和毅力，但其深刻的数学洞察力和广泛的应用前景，使其成为数学和相关科学领域中一个极具吸引力的研究方向。
网友意见
算子代数这个方向分支很广，应用也很多，但如
@千本所说，只需要泛函分析做基础就足够了，用到什么学什么也来得及。
但是算子代数的应用角度很多，所以读哪些书最好先确定目的。一般来说，现在很多人学习算子代数一是为了数学化量子力学和量子场论， 二是研究非交换几何。不同的目的决定了你从那方面入手。纯粹的算子代数研究的人不多。
学过泛函分析的话你就可以读懂这样一句话：“对于希尔伯特空间上的有界线性算子，我们可以做加法，做乘法（也就是算子的复合），还可以做数乘。所以所有有界线性算子的全体构成了一个代数。而算子代数这门学科就是要研究这个代数的子代数的性质。”
为什么要研究它呢？因为这个代数有个很好（cha）的性质------它是不交换的。最简单的，有限维空间的有界线性算子是矩阵，就是不交换的。量子力学刚刚开始的时候，大家就发现很多可观测量是不可交换的，如果想用数学模型来描述可观测量，就需要找到一个非交换的代数。在当时的时代，大家能找到的唯一的非交换代数就是矩阵代数，然后大家就happy地用起来了。慢慢地，矩阵不够用了，大家需要用到无穷维的矩阵，而无穷维矩阵并没有坚实的数学基础。怎么办？天上掉下来个 冯诺依曼。36年到43年，冯诺依曼写了一系列文章来研究这件事情。题目很直白，就叫做“On rings of operators (I, II, III, IV)”， 顺便还写了本书叫 “量子力学的数学基础”。这几篇文章奠定了算子代数这个学科的基础（原谅我忽略了Jordan, Murray 等奠基者，冯诺依曼太耀眼了），很值得读一读，但读起来不太容易，因为语言和工具比较古老，我们可以先学些基础再去瞻仰。
就现在的算子代数来说，入门不需要物理背景。大家主要关心的是两类子代数：C* 代数（为什么不叫盖尔芳德代数呢？） 和 冯诺依曼代数。一本不错的参考书是
Blackadar Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.
作者主页上有电子版
就我个人而言，更喜欢的是Dixmier 的两本砖头：C*-algebra 和 von Neumann algebra。只是这两本太厚，而且有点古老，基本是Allan Connes 之前算子代数的总结，可以当字典翻翻。（当然，这三本我都没读完）
对于C* 代数来说，我们碰到的第一个大定理是：对每一个交换C*代数都存在一个仿紧拓扑空间使得这个代数同构于空间上所有连续函数的全体组成的代数。交换C*代数的集合和仿紧拓扑空间（一点点点集拓扑还是需要的）的集合是一一对应的。然后我们就可以通过研究交换C*代数来研究拓扑。如果代数这边推广到一般的非交换代数，我们就可以把另一边推广到非交换拓扑空间（是不是听起来很高大上？）。这就是非交换几何的一个起源。如果你懂一些拓扑K理论，（不懂也没关系，可以现学）我们就通过这个关系将K理论推广到了C*代数的K理论。（两个K理论没啥不一样的甚至有些人把C*代数K也叫做拓扑K也叫算子K, 把代数K的名字给了一般环上的K理论（好难好难的））
所以从某种意义上来说，C*代数是一个拓扑理论。
对应的，冯诺依曼代数是一个测度理论（需要一点点测度论基础，比如什么是Haar测度，当年冯诺依曼就是照着Haar测度搞出来的）。粗略来说按照trace 函数的值（记得冯诺依曼代数是矩阵代数的推广，这里的trace 也相当于矩阵trace的推广）可以将冯诺依曼代数分为三类， I, II 两类对应 trace是0 和有限实数，还好，第三类对应trace 正无穷，很难很难（Connes 就是分类这个东东得了fields）。在connes 的那本“非交换几何”里不同类别的冯代数对应了 叶层结构 (foliation) 是不是有好的测度。
看到这如果你不专门做算子代数方向的研究，我想基本也就够了，如果做了这方向，下一步就要去问自己的老师，毕竟分支这么多，找一个扎下去才是根本。
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