如何证明不全无界的两不相交闭集之间的的距离大于0？
在数学的世界里，有一些看似朴素的真理，它们的证明却蕴含着严谨的逻辑和深刻的洞察。今天要聊的，就是一个这样的定理：不全无界的两个不相交闭集之间，总存在一个正的距离。
听起来是不是有点拗口？别急，我们一点点来剖析它。
首先，我们得理解几个关键词：
闭集（Closed Set）: 在拓扑学里，闭集是一个包含其所有极限点的集合。更直观地说，如果一个集合里的点，你无论怎么靠近它，最终都会“落”到这个集合里面，那它就是闭集。想象一下一个圆盘，它包含了圆周上的所有点以及圆盘内部的所有点。这个圆盘就是一个闭集。
不相交（Disjoint）: 这很简单，就是两个集合没有任何共同的元素。就像两个独立的岛屿，它们之间没有连接。
不全无界（Not both unbounded）: 这个是关键。它意味着至少有一个集合是“有边有际”的，也就是说，它是可以被一个足够大的圆圈完全包含住的。另一个集合，它可以是无界的，也可以是有界的，但只要有一个是有界的，这个条件就满足了。
距离（Distance）: 在我们这里，两个集合之间的距离，指的是它们“最近”的两个点之间的距离。如果集合 A 和集合 B 之间存在点 $a in A$ 和点 $b in B$，那么我们称 $|ab|$ 为 A 和 B 之间的一个距离值。而集合 A 和 B 之间的距离，就是所有这些可能的距离值中的最小值。如果这个最小值存在且大于0，那就证明了我们的结论。
好了，有了这些基础知识，我们就可以开始构建证明的思路了。
证明的核心思路：反证法
数学证明常常用到“反证法”，就是假设我们要证明的结论不成立，然后推导出矛盾。如果能够推导出矛盾，那就说明我们最初的假设是错误的，那么原命题就必然成立。
在这里，我们要证明“距离大于0”。那么，我们假设这个结论不成立，也就是说：
假设： 两个不相交闭集 A 和 B 之间的距离等于 0。
这意味着什么呢？如果距离为 0，那么就意味着我们可以找到集合 A 中的一个点 $a_n$ 和集合 B 中的一个点 $b_n$，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 和 $b_n$ 之间的距离 $|a_n b_n|$ 趋向于 0。换句话说，A 和 B 之间存在无限多对“越来越近”的点。
推导矛盾：寻找“极限点”的归属
现在，我们有了这两个序列 $a_n$ 和 $b_n$。我们知道：
1. $a_n in A$ 对于所有的 $n$。
2. $b_n in B$ 对于所有的 $n$。
3. $|a_n b_n| o 0$ 当 $n o infty$。
接下来，我们要利用集合 A 和 B 的性质来寻找矛盾。
情况分析：利用“不全无界”的性质
我们知道，A 和 B 中至少有一个是有界的。我们不妨假设集合 A 是有界的。
有界集合的序列性质: 如果一个集合是有界的，那么从这个集合中取出的任意一个无限序列，都必定存在一个子序列收敛到一个点。这是实分析中的一个重要性质（例如， HeineBorel 定理）。
既然 A 是有界的，那么序列 $a_n$ 必然存在一个收敛的子序列。我们不妨就称这个收敛的子序列仍然是 $a_n$，并且它收敛到一个点 $a$。
现在，我们来看 $b_n$ 这个序列。我们知道 $|a_n b_n| o 0$。这意味着什么呢？这意味着当 $n$ 足够大的时候，$b_n$ 必须非常接近 $a_n$。
由于 $a_n o a$，而 $b_n$ 与 $a_n$ 之间的距离趋近于零，那么根据极限的性质，我们可以推断出 $b_n$ 这个序列也必须收敛到同一个点 $a$。
为什么 $b_n$ 也收敛到 $a$？
我们可以这样理解：$|b_n a| = |b_n a_n + a_n a|$。根据三角不等式， $|b_n a| le |b_n a_n| + |a_n a|$。
我们已知 $|b_n a_n| o 0$ 且 $a_n o a$（这意味着 $|a_n a| o 0$）。
所以，当 $n$ 趋向无穷大时， $|b_n a|$ 的值也会趋向于 0。也就是说，$b_n$ 也收敛到点 $a$。
找到矛盾的根源：闭集的定义
现在我们得到了一个至关重要的信息：存在一个点 $a$，使得 A 的序列 $a_n$ 收敛到 $a$，并且 B 的序列 $b_n$ 也收敛到 $a$。
我们之前说过，闭集是包含其所有极限点的集合。
因为集合 A 是闭集，而序列 $a_n$ 中的所有点都在 A 中，并且 $a_n o a$，所以点 $a$ 必然属于集合 A。
同理，因为集合 B 是闭集，而序列 $b_n$ 中的所有点都在 B 中，并且 $b_n o b$ (我们已经推断出 $b_n$ 也收敛到 $a$)，所以点 $a$ 必然属于集合 B。
这下矛盾就出现了！
我们推导出点 $a$ 同时属于集合 A 和集合 B。这意味着 A 和 B 存在一个共同的元素 $a$。
但是，在我们的初始假设之前，我们明确说明了集合 A 和集合 B 是“不相交”的！ 不相交意味着它们没有任何共同的元素。
这显然是矛盾的。
结论：原假设不成立
我们通过假设“距离为 0”推导出了集合 A 和 B 不相交的矛盾。因此，我们最初的假设是错误的。
所以，两个不相交的、不全无界的闭集之间的距离，必然大于 0。
更直观的理解
想象一下，如果两个不相交的闭集之间的距离可以无限接近于零，那么它们就好像在“触碰”一样。由于它们是闭集，这意味着它们“拥抱着”自己的边界。如果它们之间的距离为零，就意味着它们至少有一个共同的“边界点”，就像两个圆盘紧紧地贴在一起，中心点重合了。但题目明确说了它们是不相交的，所以它们之间必须留有“缝隙”，这个缝隙的大小就是它们的距离，而这个缝隙至少要大于零，才能保证它们不相交。
“不全无界”这个条件非常重要。如果两个集合都是无界的，比如两条平行的直线，它们就不相交，但它们之间的距离却是恒定的正值。然而，如果其中一个集合是有界的，并且它无限地“逼近”另一个集合（距离趋向于零），那么那个有界集合的“收敛”就必然会带动另一个集合的“收敛”，从而产生一个共同的极限点，违背了不相交的性质。
这个证明的精妙之处在于，它巧妙地利用了闭集的“完备性”以及有界序列的“收敛性”，最终导出了“不相交”这一前提条件的根本性矛盾。它展现了数学语言的精确和逻辑的力量。
听起来是不是有点拗口？别急，我们一点点来剖析它。
首先，我们得理解几个关键词：
闭集（Closed Set）: 在拓扑学里，闭集是一个包含其所有极限点的集合。更直观地说，如果一个集合里的点，你无论怎么靠近它，最终都会“落”到这个集合里面，那它就是闭集。想象一下一个圆盘，它包含了圆周上的所有点以及圆盘内部的所有点。这个圆盘就是一个闭集。
不相交（Disjoint）: 这很简单，就是两个集合没有任何共同的元素。就像两个独立的岛屿，它们之间没有连接。
不全无界（Not both unbounded）: 这个是关键。它意味着至少有一个集合是“有边有际”的，也就是说，它是可以被一个足够大的圆圈完全包含住的。另一个集合，它可以是无界的，也可以是有界的，但只要有一个是有界的，这个条件就满足了。
距离（Distance）: 在我们这里，两个集合之间的距离，指的是它们“最近”的两个点之间的距离。如果集合 A 和集合 B 之间存在点 $a in A$ 和点 $b in B$，那么我们称 $|ab|$ 为 A 和 B 之间的一个距离值。而集合 A 和 B 之间的距离，就是所有这些可能的距离值中的最小值。如果这个最小值存在且大于0，那就证明了我们的结论。
好了，有了这些基础知识，我们就可以开始构建证明的思路了。
证明的核心思路：反证法
数学证明常常用到“反证法”，就是假设我们要证明的结论不成立，然后推导出矛盾。如果能够推导出矛盾，那就说明我们最初的假设是错误的，那么原命题就必然成立。
在这里，我们要证明“距离大于0”。那么，我们假设这个结论不成立，也就是说：
假设： 两个不相交闭集 A 和 B 之间的距离等于 0。
这意味着什么呢？如果距离为 0，那么就意味着我们可以找到集合 A 中的一个点 $a_n$ 和集合 B 中的一个点 $b_n$，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 和 $b_n$ 之间的距离 $|a_n b_n|$ 趋向于 0。换句话说，A 和 B 之间存在无限多对“越来越近”的点。
推导矛盾：寻找“极限点”的归属
现在，我们有了这两个序列 $a_n$ 和 $b_n$。我们知道：
1. $a_n in A$ 对于所有的 $n$。
2. $b_n in B$ 对于所有的 $n$。
3. $|a_n b_n| o 0$ 当 $n o infty$。
接下来，我们要利用集合 A 和 B 的性质来寻找矛盾。
情况分析：利用“不全无界”的性质
我们知道，A 和 B 中至少有一个是有界的。我们不妨假设集合 A 是有界的。
有界集合的序列性质: 如果一个集合是有界的，那么从这个集合中取出的任意一个无限序列，都必定存在一个子序列收敛到一个点。这是实分析中的一个重要性质（例如， HeineBorel 定理）。
既然 A 是有界的，那么序列 $a_n$ 必然存在一个收敛的子序列。我们不妨就称这个收敛的子序列仍然是 $a_n$，并且它收敛到一个点 $a$。
现在，我们来看 $b_n$ 这个序列。我们知道 $|a_n b_n| o 0$。这意味着什么呢？这意味着当 $n$ 足够大的时候，$b_n$ 必须非常接近 $a_n$。
由于 $a_n o a$，而 $b_n$ 与 $a_n$ 之间的距离趋近于零，那么根据极限的性质，我们可以推断出 $b_n$ 这个序列也必须收敛到同一个点 $a$。
为什么 $b_n$ 也收敛到 $a$？
我们可以这样理解：$|b_n a| = |b_n a_n + a_n a|$。根据三角不等式， $|b_n a| le |b_n a_n| + |a_n a|$。
我们已知 $|b_n a_n| o 0$ 且 $a_n o a$（这意味着 $|a_n a| o 0$）。
所以，当 $n$ 趋向无穷大时， $|b_n a|$ 的值也会趋向于 0。也就是说，$b_n$ 也收敛到点 $a$。
找到矛盾的根源：闭集的定义
现在我们得到了一个至关重要的信息：存在一个点 $a$，使得 A 的序列 $a_n$ 收敛到 $a$，并且 B 的序列 $b_n$ 也收敛到 $a$。
我们之前说过，闭集是包含其所有极限点的集合。
因为集合 A 是闭集，而序列 $a_n$ 中的所有点都在 A 中，并且 $a_n o a$，所以点 $a$ 必然属于集合 A。
同理，因为集合 B 是闭集，而序列 $b_n$ 中的所有点都在 B 中，并且 $b_n o b$ (我们已经推断出 $b_n$ 也收敛到 $a$)，所以点 $a$ 必然属于集合 B。
这下矛盾就出现了！
我们推导出点 $a$ 同时属于集合 A 和集合 B。这意味着 A 和 B 存在一个共同的元素 $a$。
但是，在我们的初始假设之前，我们明确说明了集合 A 和集合 B 是“不相交”的！ 不相交意味着它们没有任何共同的元素。
这显然是矛盾的。
结论：原假设不成立
我们通过假设“距离为 0”推导出了集合 A 和 B 不相交的矛盾。因此，我们最初的假设是错误的。
所以，两个不相交的、不全无界的闭集之间的距离，必然大于 0。
更直观的理解
想象一下，如果两个不相交的闭集之间的距离可以无限接近于零，那么它们就好像在“触碰”一样。由于它们是闭集，这意味着它们“拥抱着”自己的边界。如果它们之间的距离为零，就意味着它们至少有一个共同的“边界点”，就像两个圆盘紧紧地贴在一起，中心点重合了。但题目明确说了它们是不相交的，所以它们之间必须留有“缝隙”，这个缝隙的大小就是它们的距离，而这个缝隙至少要大于零，才能保证它们不相交。
“不全无界”这个条件非常重要。如果两个集合都是无界的，比如两条平行的直线，它们就不相交，但它们之间的距离却是恒定的正值。然而，如果其中一个集合是有界的，并且它无限地“逼近”另一个集合（距离趋向于零），那么那个有界集合的“收敛”就必然会带动另一个集合的“收敛”，从而产生一个共同的极限点，违背了不相交的性质。
这个证明的精妙之处在于，它巧妙地利用了闭集的“完备性”以及有界序列的“收敛性”，最终导出了“不相交”这一前提条件的根本性矛盾。它展现了数学语言的精确和逻辑的力量。
网友意见
如果是在一般的度量空间下，这个命题是不对的。考虑度量空间 （ 就是 这个度量）。作 上的函数序列 ， 。考虑 ， 。有：
- 和 不全无界（甚至都有界）
- 和 不相交（每个函数都不一样）
- 和 都是闭集。这个不是很显然，以复杂的 为例。我们只需说明： 没有聚点。进一步只需说明： 不存在 意义下收敛（即一致收敛）的子列。假如 有收敛子列 ，一致收敛于 ，首先由 在 上点态收敛于 得知 也必在 上点态收敛于 ，故 在 上只能是 ，由连续性 在 上恒等于 ，但 ，故 不可能一致收敛于 ，矛盾。
- 和 距离是0. 这是因为
所以上述就是反例。
如果改动一下题目的表述，比如，
如果 是紧集 是闭集且二者不相交，则其距离大于0
这个命题是正确的。此时也可以知道这与题主命题的差别：有界闭集未必是紧集。
证明很简单，首先 中任何点 到 的距离都是正的，记为 （为什么？利用 是闭集的事实，以及闭集是开集的补集这个定义去证）。然后考虑 的开覆盖 ，由 是紧集的事实知道存在有限覆盖 ，记 ，剩下的你就知道该怎么办了。
评论区也给出了非常优秀的做法，就是紧集到闭集的距离作为紧集上的函数是连续的。注意这需要用到连续函数把紧集映成紧集的事实，像是紧集，下确界是可以取到的，所以必须大于0。这也看出来原来的有界闭集为什么不对，因为连续函数不一定把有界闭集映成有界闭集。
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